一般强度部分信息下的最优做市

我们与t合作-而不是t，因为过程N的跳跃-, N+。然而，由于N-, N+是准左连续的，对于大多数预期目的，可以放弃左极限而不会造成伤害。我们定义Ft，W，N=（σ（Wr- 重量，Nr- Nt公司-:t型≤ r≤ u∨ t）∨ F） uand Ft，Nanalogously。让s，x∈ R、 n个∈ Z∩[-N*, N*] 和π∈ o Rk。从t开始的容许扩散集是δ的集∈ A独立于FN、Wt-（等效地，δ∈ A为Ft、W、n可预测）。考虑每个α=（δ-, δ+) ∈ 在路径定义的过程St、s、Xα、t、X、s、Nt、n、πα、t、n、π，在某些集合A之外∈ F、 根据（1.2.1）、（1.2.4）、（1.2.3）、（2.1.1）分别。，将时间0处的初始条件s、x、n、u分别替换为s、x、n、π。在时间t-. 我们注意到Ft，W，N=Ft，W，Nt，N（因为Nt，N=N+N-- N个+- （N）-t型-- N+t-)) 本节中定义的所有流程均适用于此过滤。我们进一步假设存在一系列“物理”概率（Pα，t，n，π）α∈At使得它们的空集生成F，而对于（Pα，t，n，π，Ft，W，n），i则表示W- WT为维纳过程，N±- N±t-具有可预测的强度λ±α，t，n，π，如命题2.1.1中所定义的Nt，nand∏α，t，n，π。我们定义了从t到t的惩罚损益（参数限制见（1.2.6））asPα，s，x，nt，t：=xα，t，x，sT+sT，sTNt，nt- `（Nt，Nt）-σζZTt（Nt，nu）du，（3.1.1）和问题（1.2.6）的值函数asV（t，s，x，n，π）：=supα∈AtEα，t，n，πUγPα，s，x，nt，T.

（3.1.2）我们的目标是计算最优或“接近最优”策略。动态规划原理和伊藤引理允许我们正式推导（例如，参见[Bou07]）与V相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（或动态规划）偏积分微分方程：0=vt+uvs+σvss+kXi，j=1qjitπjvπi+σζn（γV- 1） +{n<n*}supδ-∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ-j- Λ-i） （δ-)πjπivπi+d-δ-（v） kXi=1πi∧-i（δ-)o+{-n<n*}supδ+∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ+j- 例如，∧+i）（δ+）πjπivπi+d+δ+（v）kXi=1πi∧+i（δ+）o，（3.1.3），因为它们增加了c ` adl\'ag过程，允许（任何一种）物理概率的连续补偿器[JS02，p.70 Prop.1.19或p.77 Prop.2.9]。通过“接近最优”，我们的意思是，对于每个ε>0，存在一种策略，使得（3.1.2）中的最大值达到ε。终端条件v（T，s，x，n，π）=Uγ（x+sn- `（n） ，式中：d±（v）（t，s，x，n，π）=vt、 s，x±（s±δ），n 1，Pkj=1πj∧±j（δ）πΛ±(δ), . . . , πk∧±k（δ）- v（t，s，x，n，π），我们集合如下：符号。（i） 关于π=（π，…，πk）的导数应通过备注2.1.3的说明来理解。（ii）虽然在库存±N上评估v没有意义*±1，仅当相应项消失时，方程（3.1.3）中才会出现这种情况。这种轻微的符号滥用可以在之前的作品中找到，我们也将使用它。方程（3.1.3）也可以看作是以n为索引的PID耦合系统∈ Z∩[-N*, N*].（我们将讨论方程组或简单的“方程”模糊）。撇开非线性不谈，（3.1.3）是相当复杂的，特别是由于它是二阶的，高维的，并且几乎所有这些维都有导数。直接（无论是从分析角度还是从数值角度）解决这一问题是完全具有挑战性的。

因此，最佳做市商和最佳清算模型“a la Avellaneda–Stoikov【AS08】的常见做法是为解决方案提出anansatz【AS08、BL14、CDJ17、CJ15、CJR14、FL12、FL13、GUE17、GL15、GLFT13】。然而，这种方法在很大程度上依赖于结果简化方程的经典解的存在，因此，通过适当的验证，最终证明ansatz是有效的。（详见第4节。）当简化方程不允许（或不能保证允许）经典解，并且需要使用粘度方法代替时，前面的论点就不成立了。如果我们试图用标准方法解决我们的问题，那么值函数的一个似是而非的ansatz可能是v（t，s，x，n，π）=Uγ（x+sn+Θ（t，n，π））。（3.1.4）形式替换产生以下公式：0=θt+un-σn（γ+ζ）+kXi，j=1qjitπjθπi+{n<n*}supδ-∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ-j- Λ-i） （δ-)πjπiθπi+Uγδ-+ d-δ-(θ)kXi=1πi∧-i（δ-)o+{-n<n*}supδ+∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ+j- ∧+i）（δ+）πjπiθπi+Uγδ++d+δ+（θ）kXi=1πi∧+i（δ+）o，（3.1.5），终端条件θ（T，n，π）=-`（n） ，式中：d±δ（θ）（t，n，π）=θt、 n个 1，Pkj=1πj∧±j（δ）πΛ±(δ), . . . , πk∧±k（δ）- θ（t，n，π）。新的PIDEs系统是一阶系统，不再依赖于变量s和x（不再有差异）。这相当简单；第5节中的有效数值解。但这还不足以让我们断言经典解的存在。尽管如此，我们能够严格证明分解（3.1.4），并明确地将Θ作为一个新的“值函数”（定理3.1.1）。当控制空间是紧的时，这最终允许我们将Θ描述为粘度意义下的终端条件PIDE（3.1.5）的唯一解（定理3.1.4），在无约束库存情况下进一步简化。

这两个定理构成了本文的主要数学结果。它们允许我们安全地为最佳（或-最优）MM策略，即（至少大致）实现（3.1.5）中上限的利差给出的策略。定理3.1.1。存在唯一函数Θ：[0，T]×（Z∩[-N*, N*])×o→ 使分解（3.1.4）成立。此外，还存在一系列等效概率测度Pα，t，n，π~ Pα，t，n，π，α=（δ-, δ+) ∈ At，使得（i）∏α，t，n，π是（2.1.1）的唯一强解，初始条件为（t-, π） 在▄Pα，t，n，π下。（ii）uNt，nhas（▄Pα，t，n，π，Ft，W，n）-可预测强度核▄ηNu（dz）：=e-γδ-ucλ-uα，t，n，πm（dz）+e-γδ+ucλ+uα，t，n，πm-1（dz）。（iii）Θ=U-1γo Ψ = -γ测井（1- γψ）带ψ（t，n，π）：=supα∈§At▄Eα，t，n，πUγ~Pα，n，πt，t, （3.1.6）式中▄Pα，n，πt，t：=RTtUγ（δ-u） cλ-uα，t，n，π+uγ（δ+u）cλ+uα，t，n，π+uNt，nu-σ（γ+ζ）（Nt，nu）杜邦-`（Nt，Nt）和▄At：={δ∈ A： δ是Ft，Nt，n-可预测}。证据简而言之，我们滥用了符号，省略了概率度量和期望中的（t，n，π）。让我们从证明（3.1.4）和发现（~Pα）α开始∈At具有所需的属性。使用分部积分，我们可以重写惩罚损益（3.1.1）asPα，s，x，nt，T=x+sn+ZTtuNt，nu-σ（γ+ζ）（Nt，nu）杜邦- `（Nt，Nt）+σZTtNt，nudWu+σγZTt（Nt，nu）du+ZTtδ-udN公司-u+δ+udN+u=：x+sn+Pα，nt，T，（3.1.7）首先考虑γ=0的情况。关于W，N的积分-, N+都有有界被积函数（对于N可预测-, N+，无约束库存除外：N*= +∞γ=ζ=0≡ ` （见（1.2.6））。无论如何，我们仍然有EαhRTt（Nt，nu）dui=RTtEαh（Nt，nu）idu<+∞ 根据（1.2.5）。选择▄Pα：=Pα，通过取期望值和命题2.1.1和2.1.2得出结论。现在考虑γ>0。因此，我们的情况是| N |≤ N*< +∞.

我们定义α：=E-γσZ·tNt，nudWu= 经验值-γσZ·tNt，nudWu-σγZ·t（Nt，nu）du.根据Novikov条件，Aα是eα[AT]=1的严格正一致可积（UI）鞅，因此定义了一个等价的概率测度Aα~ PαviadAαdPα=AαT。注意，Girsanov–Meyer定理。[项目04，第132页第35节]确保Ft、W、N强度为N±- N±t-更改为α时保持不变。让我们设定α：=E-γZ·tUγ（δ-u） dN-uα+uγ（δ+u）dN+uα= EZ·te-γδ-u- 1.dN-uα+e-γδ+u- 1.dN+uα,其中，N±uα表示相应的（Pα，Ft，W，N）补偿（或等效的（Aα，Ft，W，N）补偿）过程。根据命题1.4.1和1.4.2的相同论点，Bα是EAα[BαT]=1的严格正UI鞅，并定义了一个等价的概率测度Pα~ Aα~ PαviadPαdAα=BαT，因此（ii）成立。请注意，（i）也很容易验证概率度量的等效性。假设目前ψ的定义如（3.1.6）所示，但在代替。我们将在之后看到这一点。参见（3.1.4），观察恒等式Uγ（a+b）=Uγ（b）e-γa+Uγ（a）和（3.1.7）产生Uγ（Pα，s，x，nt，T）=Uγ（Pα，nt，T）e-γ（x+sn）+Uγ（x+sn），givingV（t，s，x，n，π）=supα∈AtEαhUγ（Pα，n，πt，t）ie-γ（x+sn）+Uγ（x+sn）。另一方面，通过相同的恒等式，Uγ（x+sn+Θ）=（Uγo Θ）e-γ（x+sn）+Uγ（x+sn）=ψe-γ（x+sn）+Uγ（x+sn）。因此，（3.1.4）等于ψ（t，n，π）=supα∈AtEαhUγ（Pα，nt，T）i.我们检查更强的陈述eα经验值- γPα，nt，T=Eα经验值- γОPα，nt，T, 对于所有α∈ 在

（3.1.8）使用显式指数公式（见（A.1.1）），通过直接计算：exp- γPα，nt，T= 经验值-γZTt公司uNt，nu-σ（γ+ζ）（Nt，nu）杜邦- `（Nt，Nt）!×AαTexp-γZTtδ-udN公司-u+δ+udN+u！=经验值- γОPα，nt，TAαTexpγZTtUγ（δ-u） cλ-uα，t，n，π+uγ（δ+u）cλ+uα，t，n，π杜！×Yt≤u≤电话：N-u6=0exp-γδ-u年初至今≤u≤电话：N+u6=0exp-γδ+u= 经验值- γОPα，nt，TAαTBαT，取Pα期望值后得到（3.1.8）。还有待观察ψ（t，n，π）：=supα∈在Eα处Uγ~Pα，n，πt，t= supα∈在▄EαUγ~Pα，n，πt，t=:Иψ（t，n，π）。清晰ψ≥~Ψ. 让我们检查ψ≤~Ψ. 如命题1.4.2所述，我们可以定义一系列“参考”等效概率测度Qα~Pα，α∈ At，对于（▄Qα，Ft，W，N）itholds:W- WT是一个独立于计数过程（N）的维纳过程-- N-t型-, N个+- N+t-)和N±- N±t-具有可预测的强度±，t，nu：={Nt，nu-<N*}（尤其是，其定律不依赖于α）。此外，测度的逆变化由dPα/dQα=ZαTwithZα：=E给出Z·tc∧-（πα，t，n，πu-, δ-u）- 1.dN-u--,t、 努杜+c∧+（πα，t，n，πu-, δ+u）- 1.dN+u-+,t、 努杜.让我们确定α∈ 在用D=D（[t，t]，R）表示c\'adl\'ag函数的Skorokhod空间及其通常的sigma代数，并用PW，pn表示D上的定律（或向前推测度）-Wt、Nt、NREP。当从Qα开始时。这些定律不依赖于α，并且表征了（W）的联合定律- Das PW上的Wt、Nt、n） PN，由于两个过程的独立性。由于α是Ft，W，N-可预测的，通过一个单调的类参数，可以证明存在一个联合可测量过程f:[t，t]×D→ R使得αu=fu（W-Wt、Nt、n）和PW几乎所有∈ D、 过程▄αu：=fu（w，Nt，n）在▄At。还请注意，我们可以写▄ZαTUγ~Pα，n，πt，t=g（α，Nt，n）=g（f（W- Wt，Nt，n），Nt，n）对于某些函数g。

根据Fubini定理，EαUγ~Pα，n，πt，t=等式α~ZαTUγ~Pα，n，πt，t=ZEPN公司g（f（w，·），·）dPW（w）≤Z？ψdPW（w）=？ψ。自α起∈ At是任意的，我们得出的结论是ψ=￠ψ。正如在完整信息下发生的一样（见第4节），对于完全风险中性的MM，成本可以忽略不计（即*= +∞, γ = ζ = 0 ≡ `), Θ可以进一步分解。请注意，从定义来看，在这种情况下，cλ±α、t、n、π和∏α、t、n、π不依赖于n。正如OREM 3.1.1中所证明的，当γ=0时，族（~Pα、t、n）可被视为原始物理概率，并且它们也不依赖于n。下面的推论现在是直接的。推论3.1.2。如果N*= +∞ γ=ζ=0≡ ` thenV（t，s，x，n，π）=x+sn+un（t- t） +Φ（t，π），其中Φ（t，π）=supα∈AtEt，πRTt公司δ-ucλ-uα，t，π+δ+ucλ+uα，t，π+u（cλ-uα，t，π-cλ+uα，t，π）杜邦.在前面的推论中，（3.1.3）或（3.1.5）中的形式替换产生Φ的以下PIDE：0=φt+kXi，j=1qjitπjφπi+supδ-∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ-j- Λ-i） （δ-)πjπiφπi+δ-+ u（T- t） +d-δ-(φ)kXi=1πi∧-i（δ-)o+supδ+∈(δ*,δ*)nkXi，j=1（λ+j- ∧+i）（δ+πjπiφπi+δ+- u（T- t） +d+δ+（φ）kXi=1πi∧+i（δ+）o，（3.1.9），终端条件φ（T，π）=0，其中：d±δ（φ）（T，π）=φt、 Pkj=1πj∧±j（δ）πΛ±(δ), . . . , πk∧±k（δ）- φ（t，π）。备注3.1.3。除了理论动机之外，定理3.1.1本身也很有趣。当问题的维度使得PDEs方法无法使用时，它可以使用概率和PDMPs数值技术。此外，正如在证明中很容易看到的那样，对于任何可接受的策略，预期损益效用的分解都是正确的。这尤其意味着，可以有效地模拟任何策略的收益，而无需模拟不同的状态变量（见第5.2节）。我们现在想证明Θ（resp.Φ）是终端条件PIDE（3.1.5）（resp.（3.1.9））的唯一连续粘度解。

（有关相关定义，请参见[Son88，定义2.1]，或更一般的[DF99，定义7.3]，回顾一下，在我们的情况下，除了在终端时间，我们没有任何边界条件。）由于经典粘度技术[Bou07、FS06、OS09]无法直接应用于我们这样的弱配方模型，因此不可避免地会出现复杂性。然而，定理3.1.1（分别为推论3.1.2）的分解不仅降低了问题的维数，而且表明MM可能会完全忽略状态过程的不同组成部分，只关注时空状态变量（u、Nt、n、πα、t、n、π）（分别为（u、πα、t、n、π））。这是一个在[Dav84]中介绍的PDMP（详细的处理也可在[BR11，Dav93]中找到）。利用PDMPs理论的结果，我们的连续时间问题被确定为离散时间马尔可夫决策模型的控制问题，asin【BR09、BR10、BR11、CEFS16a】，并再次与HJB PIDEs asin【CEFS16a、DF99】的粘度解相联系。一个不可避免的缺点是，PDMPs方法依赖于所谓的随机（或宽松）控件的使用，并要求控制空间紧凑。因此，对于下面的定理，我们将假定-∞ < δ*< δ*< +∞. 假设一致下约束δ*> -∞ 这几乎不是问题。相反，δ*= 0（甚至一些小的正数）在实践中最有意义，因为负价差意味着MM愿意为客户提供比参考价格更好的价格。（δ*= -∞ 文献中的动机是数学上的方便，而不是建模的准确性。）一致上界δ*< +∞,另一方面，更难进行先验评估。幸运的是，在实践中遇到的大多数情况下，无约束优化将产生有界的最优价差，而MM可以省去δ*, δ*如果她希望这样做（参见第5节中的示例）。定理3.1.4。

假定-∞ < δ*< δ*< ∞. 对于N*< ∞ （分别为*= +∞ γ=ζ=0≡ `), 设Θ（相应Φ）如定理3.1.1（相应推论3.1.2）所示。那么Θ（resp.Φ）是终端条件PIDE（3.1.5）（resp.（3.1.9））的唯一连续粘度溶液。证据参见附录A.4完整信息在本节中，我们考虑了具有完整信息的MM的理想情况。我们假设MM有内部信息，她可以观察到完整的过滤F，尤其是Y。例如，如果Y代表大多数流动性提供者之间的不同竞争水平，这实际上意味着MM拥有关于其竞争对手报价的信息。我们将看到，在这种情况下，值函数是其HJB方程的正则经典解。之后，我们将把结果与在更真实的部分信息环境中获得的结果进行比较。4.1降维和ODES的一般系统我们考虑问题（1.2.6），但在完全信息下，允许的扩展集为：U：={δ：[0，T]→ (δ*, δ*):δ是F-可预测的，并且从下方开始有界}。注意，在本节中，当δ*= +∞, 我们不假设展开的上界。让t∈ [0，T]，s，x∈ R和（n，i）∈ 一：=Z∩ [-N*, N*]×{1，…，k}。考虑第3节中定义的过程St、s、Xα、t、X、s、Nt、n、Pα、s、X、nas，以及具有确定性生成矩阵Q、状态空间{1，…，k}的Yt、ia马尔可夫链，并使Yt-= i、 我们假设物理概率Pα，t，n，i为每个α定义∈ U和假设1.2.1、1.2.2和（1.2.2）（从时间t开始-) 仍然存在。

这种情况下的值函数是v（t，s，x，n，i）：=supα∈UtEt，n，ihUγPα，s，x，nt，Ti、 （4.1.1）利用动态规划原理和伊藤引理，可以正式推导出V的以下HJB-PIDE：0=vt（t，s，x，n，i）+uvs（t，s，x，n，i）+σvss（t，s，x，n，i）+σζn（γV（t，s，x，n，i）- 1） +kXj=1qijtv（t，s，x，n，j）+{n<n*}supδ-∈(δ*,δ*)Λ-i（δ-)vt、 s，x- （s）- δ-), n+1，i- v（t、s、x、n、i）+{-n<n*}supδ+∈(δ*,δ*)∧+i（δ+）vt、 s，x+（s+δ+），n- 1，我- v（t、s、x、n、i）,（4.1.2）终端条件v（T，s，x，n，i）=Uγ（x+sn- `（n） ）。在这种新的背景下，与其像定理3.1.1那样正式证明V的分解，不如更直接地提出ansatz，并最终用Verificationtheorem证明其有效。（这是Avellanda–Stoikov框架中使用的标准方法。）让我们为值函数考虑一个ansatz，类似于用于一个区域情况的值函数：V（t，s，x，n，i）=Uγ（x+sn+Θ（t，n，i）），对于某些函数Θ：[0，t]×i→ R、 Cin时间。替换（4.1.2）并使用假设1.2.1，我们可以看到Θ必须满足（n，i）中索引的ODE系统∈ 一： 0=θt（t，n，I）+un-σn（ζ+γ）+Xj6=iqijtUγθ（t，n，j）- θ（t，n，i）+{n<n*}H-我θ（t，n+1，i）- θ（t，n，i）+{-n<n*}H+iθ（t，n- 1，i）- θ（t，n，i）,（4.1.3）终端条件θ（T，n，i）=-`（n） ，其中：1。H±i（d）：=supδ∈(δ*,δ*)h±i（δ，d），对于d∈ R、 2。h±i（δ，d）：=λ±i（δ）Uγ（δ+d），对于d∈ R、 δ∈ (δ*, δ*).如果我们可以证明问题（4.1.3）可以解决，那么原始问题可以通过状态变量的维数和方程的复杂性以这种方式简化。考虑到这一目标，让我们首先证明哈密顿函数H±，…，的以下性质，H±k引理4.1.1。