一般强度部分信息下的最优做市

适用于所有1≤ 我≤ k、 它适用于：（i）每个紧凑的k R、 存在[a，b](δ*, δ*) 使得H±i（d）=最大δ∈[a，b]h±i（δ，d），对于所有d∈ K、 （ii）H±iis局部Lipschitz。证据修复1≤ 我≤ k和let k R是一个紧集。我们首先验证（i）是假设1.2.2的结果。设C>0，使| d |≤ C代表所有d∈ K、 如果δ*= -∞, 然后我们可以做任何一个<分钟{-C、 δ*} 因为所有δ<a和d的h±i（δ，d）<h±i（a，d）∈ K、 另一方面，如果δ*= +∞, 取一些c>max{δ*, 2C}。它认为h±i（c，d）≥ ∧±i（c）Uγ（c）=：ε>0，我们可以选择b>c，使得h±i（δ，d）≤ 所有δ的h±i（δ，C）<ε≥ b和d∈ K、 由于[a，b]上的h±i（·，d）对所有d的连续性，现在可以立即通过最大值进行替换。（ii）使用{h±i（δ，·）}δ族进行常规验证∈[a，b]是K上的equi-Lipschitz。我们现在想证明Cauchy问题（4.1.3）承认一个唯一的全局经典解θ，它是Cin时间。为此，我们将处理有限系统（N*< ∞) 和有限系统（N*= ∞) 方程组。4.2约束库存ODEN*< ∞ 我们正在处理一个有限的颂歌系统。我们知道，在一定的正则条件下，Cauchy问题（4.1.3）保证在某些邻域（τ，T）上有经典解 T中的[0，T]。然而，这种局部解并不总是可以在[0，T]上推广到全局解。根据【Gu’e17，GL15】，我们首先证明（4.1.3）的比较原则，这将特别允许我们展示全局解决方案的存在性。使用的参数是HJB型方程比较原则的标准。命题4.2.1（比较原则）。让我 [0，T]是包含T和letθ的区间，θ：I×I→ R是经典的（C关于时间）超解和子解。of（4.1.3）。

即0≤ -θt（t，n，i）- un+σn（ζ+γ）-Xj6=iqijtUγθ（t，n，j）- θ（t，n，i）-{n<n*}H-我θ（t，n+1，i）- θ（t，n，i）-{-n<n*}H+iθ（t，n- 1，i）- θ（t，n，i）,(4.2.1)0 ≥ -θt（t，n，i）- un+σn（ζ+γ）-Xj6=iqijtUγθ（t，n，j）- θ（t，n，i）-{n<n*}H-我θ（t，n+1，i）- θ（t，n，i）-{-n<n*}H+iθ（t，n- 1，i）- θ（t，n，i）（4.2.2）和θ（T，·，·）≤ -` ≤ θ（T，·，·）。（4.2.3）然后θ≤ θ.证据见附录A。我们现在可以证明Cauchyproblem（4.1.3）的经典全局解的存在性和唯一性。定理4.2.2。存在唯一的Θ：[0，T]×I→ R、 Cin时间，它（经典地）解决了柯西问题（4.1.3）。证据对于每个1≤ 我≤ k、 引理4.1.1告诉我们H±i:R→ R是局部Lipschitz。我们还计算了Q：[0，T]→ Rk×K连续（假设1.2.1）。因此，根据Cauchy-Lipschitz定理，ODE的终端条件系统（4.1.3）允许唯一的闭式解（Θ（·，n，i））（n，i）∈一、 定义了一些最大区间I [0，T]包含T。假设I（[0，T]），那么I=（τ，T）对于一些0≤ τ<T和kΘ（T）k→ ∞ 作为t&τ。我们声称Θ实际上是有界的，导致了矛盾。实际上，takeK=max（i，n）∈我un-σn（ζ+γ）+{n<n*}H-i（0）+{-n<n*}H+i（0）andK=`（N*),定义θ：I×I→ R乘以θ（t，n，i）=K（t- t） 和θ：=-θ - K、 那么θ（分别为θ）是柯西问题（4.1.3）的超（分别为次）解。根据比较原则（4.2.1），-千吨级- K≤ θ ≤ Θ ≤ θ ≤ KT，证明Θ有界。4.3我们现在考虑的无约束库存ODEs N*= +∞, 其中（4.1.3）成为一个完整的ODE系统。回想一下，在这种情况下，我们假设γ=ζ=0≡ `, i、 例如，MM是完全风险中性的，具有可忽略的成本。这允许我们通过额外的ANSATZΘ（t，n，i）=un（t）进一步降低状态变量的维数- t） +Φi（t），（4.3.1）对于某些Φ=（Φi）ki=1∈ C（[0，T]，Rk）。

代入（4.1.3），我们得到Φ必须解微分方程的有限线性系统（φ（t）=-Q（t）φ（t）+b（t）φ（t）=0，（4.3.2），bi（t）=-H-i（u（T- t） （）- H+i(-u（T- t） ），i=1，k、 通过Q和b的连续性（见引理4.1.1），已知之前的系统具有唯一的全局解Φ∈ C（[0，T]，Rk），可通过参数变化法计算。直截了当的VerificationNow给出了以下内容：命题4.3.1。LetΦ∈ C（[0，T]，Rk）是（4.3.2）的唯一解。然后Θ：[0，T]×I→ R使得Θ（t，n，i）=un（t- t） +Φi（t），是具有N的Cauchy问题（4.1.3）的唯一Cin时间（经典）解*= +∞ γ=ζ=0≡ `.4.4一般验证理论我们现在给出了完整信息下一般模型的完整解决方案。对于下一个定理，我们注意到，对于N，给定定理4.2.2中定义的函数*< +∞ （N对应提案4.3.1*= +∞ γ=ζ=0≡ `) 方程（4.1.3）的差异或“跳跃”项以连续性为界。即Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）有界于[0，t]×i forN*< +∞ （分别为（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）=u（T- t） 在[0，t]上有界。定理4.4.1（验证定理）。设Θ与N的定理4.2.2相同*< +∞ 命题4.3.1中N的andas*= +∞ γ=ζ=0≡ `. 那么（4.1.1）中的值函数isV（t，s，x，n，i）=Uγ（x+sn+Θ（t，n，i））。此外，如果C>0，则|Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）|≤ C代表所有（t、n、i）∈ [0，T]×i带-N*≤ n 1.≤ N*, 存在Borel可测函数δ±，δ±k：[-C、 C]→ (δ*, δ*)使得δ±i（d）∈ arg最大δ∈(δ*,δ*)所有d的h±i（δ，d）∈ [-C、 C]，1≤ 我≤ k对于任何这样的函数，策略（δ+u，δ-u） ，带δ±u：=δ±Yt，iu-Θ（u、Nt、nu- 1，Yt，iu-) - Θ（u、Nt、nu-, Yt，iu-),是最佳的。符号

注意，我们稍微滥用了符号，在定理中为Borel函数写δ±If，在扩展过程中写（δ±u）。证据让1≤ 我≤ k、 我们首先检查，我们可以根据d以可测量的方式选择h±i（·，d）的最大化子。引理4.1.1告诉我们存在[ai，bi] (δ*, δ*) 对于所有d，h±i（δ，d）在[ai，bi]中达到最大值∈ [-C、 C）]。根据假设1.2.2（ii），h±iis连续，尤其是Carath’eodory函数【AB06，定义4.50】。因此，可测量最大值定理[AB06，Thm.18.19]保证了arg maxδ±i的Borel选择器的存在：[-C、 C]→ [人工智能，人工智能] (δ*, δ*). （请注意，在这种情况下，弱可测性假设得到了验证。）从这里开始，让δ±，δ±k：[-C、 C]→ (δ*, δ*) 是一些如上所述的Borel选择器。根据引理4.1.1，这些函数必须从下方有界，并且定理中定义的扩展过程（δ±u）明确允许。我们现在定义▄V（t，s，x，n，i）：=Uγ（x+ns+Θ（t，n，i）），我们想表明▄V=V。让我们确定初始时间和值，t∈ [0，T]，s，x∈ R和（n，i）∈ 一、 考虑一个任意策略α=（δ-u、 δ+u）∈ 美国犹他州。简而言之，我们在过程和期望的旋转中省略了这些初始条件和策略。

我们用S表示：={j- l： 1个≤ l、 j≤ k、 l 6=j}，Y的跳跃高度集，andRt，v：=-σζZvtNudu，Zt，v：=exp- γRt，v.通过等式Uγ（a+b）=Uγ（a）e-γb+Uγ（b），我们可以重写MM的惩罚dp和L asUγ的效用Pt，T= UγXT+STNT- `（NT）Zt，T+UγRt，T=VT、 ST、XT、NT、YTZt，T+UγRt，T.（4.4.1）使用分部积分和Ito引理（回顾（1.2.2）），我们重新表示最后两个术语SasuγRt，T= -σζZTtZt，未断续VT、 ST、XT、NT、YTZt，T=~V（T，s，x，n，i）+ZTtV（u，Su，Xu，Nu，Yu）dZt，u+ZTtZt，udV（u，Su，Xu，Nu，Yu）=~V（T，s，x，n，i）+σζγZTtV（u，Su，Xu，Yu）Zt，uNudu+ZTtZt，uVt（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+uZTtZt，uVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+σZTtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu+σZTtZt，uVss（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+ZTtZt，uV（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN-u+ZTtZt，uV（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN+u+ZTtZt，uZSV（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-+ h）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)uY（dt，dh），其中uY是Y的跳跃度量。替换（4.4.1）中的UγPt，T=V（t，s，x，n，i）+σZTtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu+ZTtZt，unVt（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+uИVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)du+σ￠Vss（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)du+σζNuγV（u、Su、Xu、Nu、Yu）- 1.du+ZSV（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-+ h）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)uY（dt，dh）+V（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN-u型+V（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)dN+uo。（4.4.2）接下来，我们要验证该过程RvtZt，uVs（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)dWu公司t型≤v≤这是一个零均值鞅。自Zt起，uis有界（N或*< ∞ 或γ=0）有必要检查ztteh？Vs（u，su，Xu，Nu，Yu）idu<+∞. （4.4.3）如果γ=0，则▄Vs（u，Su，Xu，Nu，Yu）=Nuand（4.4.3）是（1.2.5）的结果。如果γ6=0（因此N*< ∞), 设C为（δ）的下界-u） 和（δ+u）。

分部积分和H¨older不等式yieldEhVs（u，Su，Xu，Nu，Yu）i=γEhexp- 2γXu+SuNu+θ（u，Nu，Yu）Nui=γexp(-2γ（x+sn））×E经验值- 2γZutδ-wdN公司-w+δ+wdN+w+uNwdw+σNwdWw+θ（w，Nw，Yw）如新大学≤ γN*经验值2γx+sn+uN*（T- t） +kθkL∞（[t，t]×I）+2σγN*（T- t）×E经验值- 4γCN-T+N+T- N-t型-- N+t-E“exp- 4γσZTtNudWu- 8γσZTtNudu#（4.4.3）也是（1.2.5）和Novikov条件（基本满足）的结果。同样地，回顾（Zt，u）是有界的，（δ±u）是从下方有界的，Q是由连续性有界的，可以检查zttehzt，uV（u、Su、Xu-±（Su±δ±u），Nu- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)λ±uidu<+∞andZTtEhZt，uXj6=Yu-qYu公司-,jt公司V（u、Su、Xu-, 如新大学-, j）-V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)idu<+∞.以（4.4.2）中的期望值为例，布朗项消失并与todN积分-, dN+和duYi在其双重可预测预测预测方面被集成所取代（参见，例如，[Br'e81，p.27 T8和p.235 C4]）。即EhUγPt，Ti=~V（t，s，x，n，i）+ZTtEhZt，unVt（u，Su，Xu-, 如新大学-, 于-)+ uVs（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-) +σ▄Vss（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)+σζNuγОV（u、Su、Xu、Nu、Yu）- 1.+kXj=1qYu-jtV（u、Su、Xu-, 如新大学-, j）+-u∧-于-(δ-u）V（u、Su、Xu-- （苏- δ-u） ，Nu-+ 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)++u∧+Yu-（δ+u）V（u、Su、Xu-+ Su+δ+u，Nu-- 1，余-) -V（u、Su、Xu-, 如新大学-, 于-)奥杜伊≤~V（t，s，x，n，i），正如~V求解（4.1.2）一样，等式为（δ-u） =（δ-u） 定义为（δ+u）=（δ+u）。我们得出结论，V=~V，并且该对（δ-u） ，（δ+u）是最优的。评论对于N*< ∞, 因为MM不会在任何时候购买（或出售）（Nu-) 点击次数N*（分别为。-N*), （δ）的值-u） （分别为δ+u））在这些停止时间基本上是无关的。

从astrict数学的角度来看，唯一的限制是，无论我们选择哪个值，该过程都需要保持可接受性。4.5计算最优利差：定理4.4.1中的一些特殊情况表明，全信息问题（4.1.1）的最优利差可以按照（t，n，i）=（t，Nt）的反馈形式计算-, 年初至今-) 每次t∈ [0，T]。实际上，这意味着找到（通常是数字）解算常微分方程的终端条件系统（4.1.3），并通过最大化找到价差：δ±（t，n，i）∈ arg最大δ∈(δ*,δ*)∧±i（δ）Uγδ+Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）. （4.5.1）（参见引理4.1.1的证明，以了解在δ的情况下如何将最大化减少到紧致域*= -∞ 或δ*= +∞.) （4.5.1）中的函数通常可以允许多次最大化。在【BL14、Gu’e17、GL15】中，对订单强度进行了更有力的假设，尤其是保证了最大化子的唯一性。现在，我们将这些假设扩展到我们的上下文中，并给出相应的利差特征。此后，假设1.2.2（ii）替换为以下内容：假设4.5.1。∧±i∈ C(δ*, δ*), 对于部分0<c<2，对于所有1，则∧±i<0和∧±i∧±i<c（∧±i）≤ 我≤ k、 备注。示例1.2.4 1、2和3的强度函数都验证了这些更强的假设，而示例4仅在d±i>1时验证。事实上，通过解决假设4.5.1中的差异线质量，我们可以看到，在这个新框架中，任何∧±i都有一个严格的上界，其形式如示例4所示。特别是对于δ*= +∞, limδ→+∞Δ∧±i（δ）=0是必须满足的。在假设4.5.1下，（4.5.1）的最大化（对于固定的（t，n，i）），可以通过求解收缩固定点方程来替代，并在域边界上考虑横向导数，对结果进行调整和封顶。

当γ=0且扩散无约束时，需要严格不等式c<2。δ*和δ*分别地为了使其精确，即使强度函数不超过（δ*, δ*), 设D±i*:=-U-1γ∧±i（δ*)∧±i（δ*)- δ*如果δ*> -∞+∞ 如果δ*= -∞,d±i*:=-U-1γ∧±i（δ*)∧±i（δ*)- δ*如果δ*< +∞-∞ 如果δ*= +∞.以下结果表明，在约束条件下，最优利差是如何通过最大化MM即时保证金的“预期”效用的第一个条件（见备注1.2.3）以及考虑到持有库存和市场转移前景的额外风险调整得出的。注意第一项如何取决于∧±i/∧±i，即流动性对利差变化的敏感性百分比。提案4.5.2。在假设4.5.1下，函数δ±，δ±kof定理4.4.1的唯一特征是δ±i（d）=δ*如果d<d±i*, δ±i（d）=δ*如果d>d±i*（4.5.2）如果d∈ （d±i*, d±i*), 那么δ±i（d）是固定点方程δ±i（d）=-U-1γ∧±i（δ±i（d））∧±i（δ±i（d））- d、 （4.5.3）此外，方程式（4.1.3）的哈密顿量可表示为asH±i（d）=h±i（δ*, d） 如果是d≤ d±i*-∧±i（cδ±（d））∧±i（cδ±（d））-γ∧±i（cδ±（d））如果d±i*< d<d±i*h±i（δ*, d） 如果是d≥ d±i*.证据对于每个1≤ 我≤ k、 定义±i（δ，d）=δ+U-1γ∧±i（δ）∧±i（δ）！+d、 带δ∈ (δ*, δ*), d∈ R、 根据假设4.5.1和简单的计算（参见计算，例如，在【Gu’e17，引理3.1】中），一个验证sgnh±iδ= - sgn（f±i）和f±iis在每个变量上严格增加。因此，对于任何d<d±i*和δ<δ*（分别为d>d±i*和δ>δ*), f±i（δ，d）<f±i（δ*, d±i*) = 0（分别为f±i（δ，d）>f±i（δ*, d±i*) = 0），这证明了（4.5.2）。同样，如果d∈ （d±i*, d±i*) 和-∞ < δ*< δ*< +∞, 那么f±i（δ*, d） <0和f±i（δ*, d） >0。因此，f±i（·，d）的连续性意味着（4.5.3）（解的唯一性是由于f±i（·，d）的严格单调性）。

【Gu’e17】中证明了无限制利差的情况。最后，案例d=d±i*> -∞ d=d±i*< +∞ 以同样的方式遵循；哈密顿量的新表达式是直接的，即H±i（d）=H±iδ±i（d），d.如【Gu’e17，引理3.1】所述，（4.5.3）可由显式公式δ±i（d）=（λ±i）代替-1.γH±i（d）- H±i（d）,sgn表示符号函数，sgn（0）：=0。但计算（λ±i）-通常，H±I和H±I必须以数字进行。现在，我们陈述了在某些特定情况下出现的一些简化，即强度为指数或N*= ∞, γ = ζ = 0 ≡ `. 这些都是通过直接替换得到的。我们参考[Gu\'e17，Sect.4]中的一些渐近近似，当t<t时，在一个制度的情况下，具有无约束的利差和N*< ∞.推论4.5.3。如果N*= +∞ γ=ζ=0≡ `, 那么δ±（t，i）=δ*如果 u（T- t） <d±i*, δ±i（d）=δ*如果 u（T- t） >d±i*, （4.5.4）如果u（T- t）∈ （d±i*, d±i*), 那么δ±（t，i）是定点方程δ±（t，i）=-∧±i（δ±（t，i））∧±i（δ±（t，i））±u（t- t） 。（4.5.5）如果另外∧±i（δ）=a±ie-b±iδ，a±i，b±i>0，每个1≤ 我≤ k、 那么δ±（t，i）=δ*∨b±i±u（T- t） 哦！∧ δ*.换句话说，如果N*= ∞ γ=ζ=0≡ `, 然后，不再需要求解（4.1.3），只需求解定点方程（4.5.5）。此外，MM的利差不依赖于n。这是可以预期的，因为在这种情况下，她对所有类型的库存风险都是中性的，并且忽略了终端执行成本。然而，她确实需要重新调整体制的变化，因为这些变化会影响她获得订单的可能性。此外，如果理论强度是指数的，则直接计算扩散，避免了任何数值格式的需要。

还要注意，这个简单的模型如何通过方程（4.5.5）证明最优利差的第二个组成部分：漂移调整，通过漂移调整，资产管理模型考虑到资产价格的总体趋势。现在我们来看看一般指数强度的结果，特别是N*< +∞. 在这种情况下，方程式（4.5.3）成为一个明确的公式，因为百分比流动性敏感性∧±i/∧±i是恒定的。推论4.5.4。如果∧±i（δ）=a±ie-b±iδ，a±i，b±i>0，每个1≤ 我≤ k、 那么δ±（t，n，i）=δ*∨-U-1γ-1/b±i-Θ（t，n 1，i）- Θ（t，n，i）∧ δ*.这意味着对于指数强度而言，不再需要求解任何定点方程，只需要求解常微分方程组（4.1.3）。一般来说，后者仍然需要用数值方法来解决。（或者，有关一些渐近近似值，请参见[Gu\'e17]。）评论除了案例N*= +∞, γ = ζ = 0 ≡ `, （4.1.3）可进一步简化为线性常微分方程组（常数系数）的一个值得注意的情况是，当nk=1，N*< +∞, δ*= -∞, δ*= +∞ 和∧±（δ）=ae-bδ，a，b>0。通过转换Θ（t，n）=blogψ（t，n）实现还原。详见【GLFT13】。5数值分析在本节中，我们展示了我们的数值结果，重点关注部分和完整信息框架之间的最佳行为差异，以及过滤器背后的直觉。