一般强度部分信息下的最优做市

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英文标题：
《Optimal market making under partial information with general intensities》
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作者：
Diego Zabaljauregui and Luciano Campi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Starting from the Avellaneda-Stoikov framework, we consider a market maker who wants to optimally set bid/ask quotes over a finite time horizon, to maximize her expected utility. The intensities of the orders she receives depend not only on the spreads she quotes, but also on unobservable factors modelled by a hidden Markov chain. We tackle this stochastic control problem under partial information with a model that unifies and generalizes many existing ones under full information, combining several risk metrics and constraints, and using general decreasing intensity functionals. We use stochastic filtering, control and piecewise-deterministic Markov processes theory, to reduce the dimensionality of the problem and characterize the reduced value function as the unique continuous viscosity solution of its dynamic programming equation. We then solve the analogous full information problem and compare the results numerically through a concrete example. We show that the optimal full information spreads are biased when the exact market regime is unknown, and the market maker needs to adjust for additional regime uncertainty in terms of P&L sensitivity and observed order flow volatility. This effect becomes higher, the longer the waiting time in between orders.
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中文摘要：
从Avellaneda-Stoikov框架开始，我们考虑一个做市商，她希望在有限的时间范围内最优地设定买卖报价，以最大化其预期效用。她收到的订单的强度不仅取决于她引用的价差，还取决于由隐马尔可夫链建模的不可观察因素。我们用一个模型来解决部分信息下的随机控制问题，该模型在完全信息下统一和推广了许多现有的模型，结合了多个风险度量和约束，并使用一般的递减强度泛函。利用随机滤波、控制和分段确定马尔可夫过程理论，对问题进行降维，并将降维函数刻画为其动态规划方程的唯一连续粘性解。然后，我们解决了类似的全信息问题，并通过一个具体的例子对结果进行了数值比较。我们表明，当准确的市场制度未知时，最优的完全信息利差是有偏差的，做市商需要根据损益敏感性和观察到的订单流波动性调整额外的制度不确定性。这种影响越大，订单之间的等待时间越长。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_market_making_under_partial_information_with_general_intensities.pdf (977.65 KB)

2022-6-11 14:20:36 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Unobservable Optimization information

基于广义Luciano Campi和Diego Zabaljauregui的部分信息下的最优做市*伦敦经济和政治科学学院统计系摘要从Avellaneda–Stoikov框架[AS08]开始，我们考虑一个做市商，她希望在有限的时间范围内以最佳方式设定买入/卖出报价，以最大化她的预期效用。她收到的订单的强度不仅取决于她引用的价差，还取决于由隐马尔可夫链建模的不可观察因素。我们使用一个模型来解决部分信息下的随机控制问题，该模型在完全信息下统一并推广了许多现有的模型，结合了若干风险度量和约束，并使用一般的递减强度函数。我们使用随机滤波、控制和分段确定性马尔可夫过程理论来降低问题的维数，并将约化值函数描述为其动态规划方程的唯一连续粘性解。然后，我们解决了类似的全信息问题，并通过一个具体的例子对结果进行了数值比较。我们表明，当准确的市场制度未知时，最优的完全信息利差是有偏差的，市场制造商需要根据损益敏感性和观察到的订单流量波动性调整额外的制度不确定性。这种影响越大，订单之间的等待时间越长。关键词：做市、高频交易、算法交易、随机最优控制、隐马尔可夫模型、随机过滤、粘性解、分段确定马尔可夫过程。引言对于金融市场，做市商（MM）可以理解为为为特定资产提供流动性的人。也就是说，她（几乎）连续发布资产的买卖报价，希望从买卖价差中获利。

在选择如何做到这一点时，MM面临着多个层面的复杂问题；即：即时保证金/交易量（她报价离“公平价格”越远，执行的越少，反之亦然）、不利的价格变动和库存风险（敞口）、执行成本以及许多其他因素。在学术界和实践中，越来越流行的数学方法是通过随机最优控制来解决MM问题。特别是，一系列研究集中于Avellaneda和Stoikov[AS08]提出的建模框架（植根于[HS81]）。尽管在文献中，订单驱动市场（如股票市场）的动机广泛存在，但没有明确考虑限额指令簿的形状。因此，该框架更容易理解并应用于场外（OTC）报价驱动*通讯作者。电子邮件：d。zabaljauregui@lse.ac.ukThe作者要感谢阿尔瓦罗·卡塔（AlvaroCartea）和卡蒂娅·科拉内里（KatiaColaneri）对这一主题的有益讨论。外汇（FX）市场等市场，因此我们选择在此设置中呈现。在此框架中，MM通过选择与某个参考价格相关的买卖价差，在有限的时间间隔内给出固定的买卖报价。根据市场的不同，该价格可能是一个聚合的中间价或经销商对经销商的价格，通常假设其表现为算术布朗运动。为了明确建模边际/容积交易效应，MM执行的概率随着相应的扩散而衰减。更准确地说，假设MM根据随机强度的计数过程接收市场订单。最典型的是在数学文献中，强度在传播上呈指数衰减（主要是出于可处理性的原因）。

MM的目标是找到一种策略，使其能够最大化预期的终端效用，这被称为恒定绝对风险规避（CARA）效用。然后将问题转化为确定性问题：求解相关的Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，该方程是MM值函数的部分积分微分方程（PIDE），并最终以反馈形式度量最优策略。在所描述的框架内，提出了许多变体并进行了扩展研究。在[BL14，GLFT12]中，Bayraktar和Ludkovski以及Gu’eant、Lehalle和FernandezTapia分别在风险中性和风险规避文本中对最优清算应用了一个交易方版本。在[GLFT13]中引入库存约束，允许作者通过验证定理严格解决[AS08]的指数强度原始问题。这一约束已被广泛使用，但[FL12，FL13]除外，在FL12，FL13中，策略是在没有验证定理的情况下推导出来的。Gu’eant和Lehalle继续为该地区做出积极贡献。在[GL15]中，他们重新讨论了一般强度满足某种有序微分不等式的风险规避最优清算问题，在[Gu\'e17]中，造市也是如此。该假设已在【BL14，第5.3节】风险中性项下首次引入。该领域的其他proli fic贡献者是Cartea、Jaimungal及其合著者【CJ15、CJP15、CJR14】，他们对库存引入了二次连续惩罚，以管理其他风险中性MM的“累积”库存风险。其中一些还考虑了MM吊具的限制。

值得注意的是，【Gu’e17】展示了在考虑两个适当的ansatz时，两个看似不同的模型子类（风险规避和“风险中性”和连续惩罚）如何最终由一个独特的普通微分方程系统（ODE）来表征。以下是之前模型中未包含的实践中的相关问题。经验证据（例如，参见[CJ13]）表明，客户获得的流动性不仅取决于报价利差，还取决于其他不可观察的因素。事实上，市场对资产的情绪以及与其他做市商的竞争等因素的影响也会影响MM收到订单的强度。这种复杂的影响可以通过使强度也依赖于隐藏的不动产马尔可夫链以简化的方式建模，有效地反映市场的制度或状态（从非常缓慢到非常活跃的不同水平）。据我们所知，这只是在Vellaneda–Stoikov框架中通过提出指数强度最优策略的近似值（CJ13，第5.1节）或研究具有幂律强度的简单两国版本（BL14，第5.4节）来实现的。这两篇论文都只涉及“风险中性”（可能类型化）的案例，并做出了不切实际的假设，即MM了解当前的市场机制。当市场状态未知时，问题变得更具挑战性。在鞅的情况下，一些作者也将其称为微观价格[CJP15]或有效价格[DRR13]。后一篇文章还考虑了多资产的情况。【BL09，第3.3节】（arXiv版）和【CJ19】也研究了部分信息下的最优交易执行，尽管强度不受控制。ing有几个原因：o它成为随机控制和过滤的组合问题。

MM需要根据自己掌握的信息（即迄今为止收到的订单和参考价格的变化），动态地对市场机制（或更准确地说，其分布）做出尽可能最好的预测，并相应地调整价差。这种预测被称为过滤器关联的HJB PIDE具有更高的维度和更多的非线性所有先前引用的论文中使用的标准方法都依赖于通过ansatz将HJB PIDE简化为ODE系统，证明此类系统具有类（光滑）解，并通过验证定理恢复值函数。然而，在部分信息下，简化的HJB方程仍然是一个复杂的难题，一般来说，经典解可能不存在（或者很难用其他方法证明）。因此，安萨兹的论点被推翻了因此，需要借助粘度溶液的概念【FS06】。此外，与常微分方程的简单系统相比，数值分辨率始终变得更加复杂在技术层面上，模型的构建并不简单。MM需要根据其可观察到的信息（如到达的订单）调整策略，但信息流反过来又会受到MM行动的影响。本文解决了部分信息下的MM问题。首先，我们开始将迄今为止描述的所有建模特征统一到一个公式中。这使得我们可以用一种方法同时处理所有模型，同时对它们进行泛化。事实上，我们的公式允许任何CARA效用（无论是风险中性还是风险规避）与运行库存惩罚、终端执行成本、库存约束和价差约束的交互作用。

此外，出于从业者的需要，Westrong将强度形状概括为任何连续的、递减到零的函数，增加了建模灵活性。我们甚至允许库存在没有处罚的情况下不受限制。（考虑此场景主要是为了完整性和比较，几乎没有额外成本。）其次，我们让强度依赖于k维隐马尔可夫链。在[CEFS16a]之后，我们使用弱公式构建一个定义良好的模型（带有外源信息），并通过随机过滤的参考概率方法解决过滤问题[Br'e81，第六章]。第1节对模型进行了严格设置并对其进行了全面描述，而第2节解决了过滤问题。然后，根据通常的状态变量以及马尔可夫链的k维可观测分布，重新表述了MM的优化问题（第3节）。在这一点上，这个问题在分析和数值上都太复杂了。我们继续说明，在形式上，值函数有一个ansatz，它降低了问题的维数。然而，由于验证方法不再有效，我们根据一个新的、无扩散的问题的值函数明确地找到了猜测分解（定理3.1.1）。然后，我们将约化值函数描述为其形式导出方程的唯一连续粘性解（定理3.1.4）。后者是通过利用分段确定性马尔可夫过程（PDMPs）的结果来实现的【CEFS16a，DF99】，如【Dav84】中首次定义的。这是以放弃最优策略中的唯一性为代价的。

我们还假设在某些情况下，decayto“足够快”。也就是说，使用受控概率度量。第三，我们解决了具有完全信息的MM的理想化问题，他们可以观察马尔科夫链（第4节）。我们表明，在这种情况下，类似的ansatz方法和标准方法也能起作用。我们通过一个一般的验证定理（定理4.4.1）证明了MM的值函数是其HJB方程的经典解，并且我们恢复了一个区域的已知策略作为特例。最后，我们通过一个具体的例子，通过数值分析（第5节），比较了完全信息和部分信息下的最优策略。特别是，我们证明了当确切的制度未知时，最优的完全信息传播是有偏差的，并且使用它们是次优的。我们根据可观察的订单流量波动性和预期利润对可观察的制度变化的敏感性来解释所需的调整；我们展示了这种影响如何变得更高，订单之间的等待时间越长（导致MM的不确定性越高）。1设置和主要假设1.1概率空间的准备工作我们首先以抽象的方式建立我们的框架，将模型存在的问题推迟到命题1.4.1，并将所有此类模型的特征化推迟到命题1.4.2。如引言所述，我们试图在弱公式下构建一个模型，以便信息流保持外生（即不受MM行动的影响）。设T>0为给定的有限地平线，且(Ohm, F、 F=（英尺）0≤t型≤T） 右连续过滤可测空间，FT=F。

假设它支持三个自适应随机过程W，N+，N-.（续集中将添加更多假设。）设FW，N+，N-= （σ（Wu，N+u，N-u： 0个≤ u≤t）∨ F） 0个≤t型≤通过Fandde扩大（“完成”）这些过程的自然过滤，确定允许的扩散集asA：={δ：[0，T]×Ohm → (δ*, δ*):δ是FW，N+，N--可预测且有界}，（1.1.1），其中-∞ ≤ δ*< δ*≤ +∞ 是固定常数，且（a，b）=R∩ [a，b]表示R中区间（a，b）的闭合，对于任何-∞ ≤ a<b≤ +∞. 注意，对于δ*= -∞ 和δ*= +∞, 容许价差不是一致有界的。自我约束δ*, δ*如果需要，MM的广告可以被视为不同于出价和询问，没有任何额外的影响。关于前一空间a族（Pα）α的思考∈A、 α=（δ-, δ+，具有等效的概率度量，使得由其空集生成的西格玛代数为F。请注意，对于每个α(Ohm, F、 F，Pα）在通常的条件下，Fis是完备的平凡sigma代数。我们将Pα作为给定容许策略（或控制）α的物理或历史概率，并将Eα作为Pα下的期望。如果没有模棱两可的余地，我们将从符号中去掉“α”。此后，所有考虑的过程（各自属性）都应该在空间上定义（各自保持）(Ohm, F、 F，Pα）表示所有α∈ A、 除非另有说明。例如，“布朗运动”是一个在[0，T]×上的过程Ohm 这是所有α的（F，Pα）-布朗运动。所有次过滤都被认为是为了满足通常的条件而增加的（对于伐木过程的自然过滤，这相当于完成它们）。只要可用，就使用C\'adl\'ag版本的流程。1.2模型描述报价驱动市场中的做市商提供有约束力的买入/卖出报价-, S+响应。对于某一金融资产，在时间间隔[0，T]内。

她收到了单一规模的市场秩序。任何固定规模都会以同样的方式工作，但这种惯例简化了符号。有关完整信息下具有任意常量大小的一些公式，请参见[Gu'e17]。根据计数流程进行购买/出售N-, N+从0开始，a.s.无公共跳跃和随机强度λ-, λ+响应。（见【Br'e81，第27页，定义D7】）。时间t的每个强度取决于相应的扩散δ±t：=±S±t- St公司MM的报价和参考价格之间的s.s可能会被解释为，例如，根据市场情况，是一个合计的中间价或经销商对经销商的价格。我们假设S是一个带漂移的布朗运动，形式为st=S+ut+σWt，（1.2.1），其中W是维纳过程，S，u∈ R和σ≥ 注意，由于S±t=St±δ±t，MM可以通过选择排列δ±t完全指定她的引号±tb。我们假设δ-, δ+∈ A、 特别是，theMM根据对W、N的观察来选择她的利差-和N+。我们指的是FN-,N+，是可观察到的过滤。此外，强度还取决于状态空间{1，…，k}，初始分布u和确定性生成矩阵Q=（qijt）1的隐马尔可夫链Y≤i、 j≤k、 Weassume Q是一个连续、稳定、保守的Q（t）矩阵，即：假设1.2.1（生成矩阵）。对于所有t∈ [0，T]和1≤ 我≤ k： 0个≤ qijt<+∞ 适用于所有1≤ j≤ k、 j 6=i，kXj=1qijt=0和Q∈ C【0，T】。前面的假设是马尔可夫链文献中的常备假设，它们特别保证存在唯一（直至消失）的c\'adl\'ag版本的Y，以及其跳跃度量的可预测强度核的存在，如（1.3.1）所示。此外，wesuppose thatY有a.s.与N没有常见的跳跃-和N+。