一般强度部分信息下的最优做市

尽管如此，证明仍然是一样的，只是简单地说明了N±t的Q-矩母函数由标准泊松随机变量（见（1.2.5））。一致可积性是即时的。（i） 保证（ii）中定义的Pα是等效的概率度量。N的Pα强度的形状-, N+是由于【Br'e81，p.166 T3】。在Pα下，W仍然是维纳过程这一事实是Girsanov–MeyerThermore【Pro04，P.132 Thm.35】和Levy特征化定理的结果。对于Y，首先请注意，当Zα=1时，其初始分布不会发生变化，并且其最小生成算子的分布相同。要了解这一点，请考虑Q-generator操作符AYt:RE→ RE，AYtf（i）=Pkj=1qijtf（j）。我们知道过程Mt=f（Yt）- f（Y）-RtAYuf（Yu）du是一个Q-局部鞅。再一次，根据Girsanov–Meyer定理。，M也是Pα-局部鞅（[M，Z]=0，因为Y，N-, N+是满足（1.2.2）的FV过程。此外，在有界的情况下，M是真Pα鞅，Y为（F，Pα）解了（AYt，u）的适定鞅问题。这意味着Y是一个具有唯一确定定律的Pα-马尔可夫链[EK09，P.184Thm.4.2]。Q也是Pα生成矩阵的唯一性。（1.2.2）在概率度量的等效变化下明显保持不变。虽然我们的鞅问题在时间上是非齐次的，（Qt）是确定性的，所以这并不代表一个问题。命题1.4.2的证明。（i） 和（ii）的证明与命题1.4.1相同（过程1∧±i（δ±）为严格正且有界于1≤ 我≤ k） 。Y，N，W的Qα独立性是[JYC09，p.543 Lem.9.5.4.1]的结果。即（Qα，F）-鞅-R·Pkj=1qYu-,北朱伊杜-R·(-u-+u） du和W具有关于FY、fn和fwrep的可预测表示属性。

（关于补偿计数度量，请参见[Br'e81，p.239 T8]），它们是（F，Qα）-正交的，这意味着它们是独立的。随机指数的显式表达式（见（A.1.1））直接表明Zα′Zα=1，证明（iii）。（iv）是由于【Br'e81，p.64 T8】。命题2.1.1的证明。我们证明它只适用于N+，其他的都是类似的，为了简单起见，我们省略了α。很明显，Cλ+是可预测的。我们需要检查对于任何FW，非预测过程ψ≥ 0，E“ZTψtcλ+tdt#=E”ZTψtdN+t#。对于任何1≤ 我≤ k、 c ` adl ` ag过程∏iand{Y·=i}的每条路径只有可数的跳跃。因此，当与dt积分时，我们可以交换这些过程及其左极限。根据条件期望和Fubini定理的性质，E“ZTψtcλ+tdt#=EZTψt+tkXi=1∏it-∧+i（δ+t）dt= EZTψt+tkXi=1∏it∧+i（δ+t）dt= EZTψt+tkXi=1E{Yt=i}FN，重量∧+i（δ+t）dt=中兴通讯Ehψt+tkXi=1{Yt=i}∧+i（δ+t）FN，Wtidt=ZTEhψt+tkXi=1{Yt=i}∧+i（δ+t）idt=EZTψt+tkXi=1{Yt-=i} ∧+i（δ+t）dt= E“ZTψtλ+tdt#=E”ZTψtdN+t#。命题2.1.2的证明。让我们检查∏α是否求解（2.1.1）。显然，约束条件和初始条件已得到满足。SDEs的验证应根据[CEFS16a，第3.3款]（更多详情见[CEFS16b，附录A，引理A.2和第3.3款]），尽管需要进行一些考虑。一方面，作者使用纯跳跃模型，策略仅适用于驾驶跳跃过程的自然过滤（即没有差异）和马尔可夫链的恒常生成矩阵。

然而，经过必要的修改后，前一种差异在证明中没有重大变化。另一方面，作者的主要假设[CEFS16a，Asm.2.1]假设在具有紧支集的R上存在一些确定性测度|ηN（dz），因此对于所有∈ E、 δ+，δ-∈ (δ*, δ*), n∈ [-N*, N*] ∩ Z、 测量ηN（i，δ+，δ-, n、 dz）相当于|ηn（dz）和氡尼科德姆导数dηn（i，δ+，δ-, n、 ·）/d|ηNis一致有界且远离零|ηn（dz）-a.s.在[CEFS16a]中，假设支撑是(-1.∞), 但这只适用于“回报（或收益）过程”，就像他们的情况一样。由于扩散过程是固定且有界的，我们可以假设δ*是有限的。设定值ηN（dz）：=m（dz）+m-1（dz）我们清楚地看到，这两个测度与导数ηN（i，δ）等价-, δ+，n，·）dηn（z）=∧-i（δ-){n<n*}{z=1}+∧+i（δ+）{-n<n*}{z=-1} ，（A.1.2）一致以∧为界-i（δ*) + ∧+i（δ*). 然而，我们的模型允许dηN/dηN（z）=0，这是消失强度λ±的结果。尽管如此，这并不构成问题，asdηN/dηN（z）>0仅在[CEFS16a，3.3号提案]中使用，以保证“zα>0”（见提案1.4.2）。该条件在我们的模型中也得到了满足，允许从物理概率α到参考概率Qα再向后。现在我们来看看唯一性的证明。我们首先指出，跳跃高度系数（2.1.1）通常不会是Lipschitz（SDE的经典结果，如[Pro04，p.253 Thm.7]无法应用），且在N的跳跃时间之间，排列路径不需要是连续的（排除ODE的最经典结果[CL55]）。

尽管如此，我们仍然可以遵循冷漠的方法。让我们确定一条路径，并在区间[τm，τm+1]上归纳验证唯一性，其中τ：=0和0<τ<τ<·····<τm=T是N的跳跃时间（包括终点时间T，即使该点没有跳跃）。设置Ajit=-t（λ-j- Λ-i） （δ-t） ++t（λ+j- ∧+i）（δ+t）。然后Ajiis为所有1绑定≤ i、 j≤ k、 现在，请注意，任何求解SDEs（2.1.1）约束系统的c\'adl\'ag过程∏都必须求解m=0，1，…，的路径，M- 1以下整数形式的密码系统，用于t∈ [τm，τm+1）：￠∏it=Rim~Πτ-m级+ZtτmkXj=1qjiu▄∏ju+▄∏iu▄∏juAjiudu，（A.1.3）带轮辋~Πτ-m级:=∏iτ-m∧±i（δ±τm）/Pkj=1∏jτ-m∧±j（δ±τm）如果Nτm=1、m>0和Ri~Πτ-= ui.使用该∏∈  是有界的，且有界Lipschitz函数的初等代数，它遵循fi:[τm，τm+1）× → R、 定义为fi（u，π）=Pkj=1（qjiuπj+πiπjAjiu）是π中的Lipschitz，均匀地在u中。设K为fl的最大Lipschitz常数，对于1≤ l≤ k并假设∏ατ-m=△τ∏-m（显然满足m=0）。然后（A.1.3）得到k∏αt-∏tk≤ KRtτmk∏αu-~ukdu，通过Gr¨onwall不等式表示∏αt=~ton[τm，τm+1）。因此，[0，t]上的等式后面是归纳法。它在时间t也必须明确保持，无论是通过连续性还是（如果有跳跃），因为∏αt=RMΠατ-M= RM~Πτ-M=∏T.命题2.1.4的证明。我们想证明∏α，对于所有1，它>0≤ 我≤ k、 0个≤ t型≤ 助教。s、 在命题2.1.2的证明结束时，我们对每条路径的跳跃时间N进行归纳。使用相同的符号，让1≤ 我≤ k并假设∏α，jτ-m> 0表示所有1≤ j≤ k（假设m=0时满足）。

然后（A.1.3）、假设1.2.1和≡ 定义为0，表明∏α，iis在区间[τm，τm+1]上绝对连续，满足度（∏α，it）=kXj=1qjit∏α，jt+∏α，it∏α，jtAjit= πα，itqiit+Xj6=i∏α，jtAjit+Xj6=iqjit∏α，jt≥ πα，itqiit+Xj6=i∏α，jtAjit,（A.1.4）这最终是假设1.2.2（i）中分解的结果，允许强度的消失因子作为参考概率强度。对于dt-a.e.t∈ [τm，τm+1），受制于∏α，iτm=Rim（∏ατ-m） >0。让我们设置s：=sup（[τm，τm+1）∩ {t∈【0，T】：α∏，it>0}）。我们需要证明s=τm+1。根据∏α，i的连续性，它必须>τm。因此，（A.1.4）和对数∏α，离子的绝对连续性[τm，t] [τm，s）屈服∏α，it≥ 轮辋∏ατ-m） 经验值ZtτmQiu+Xj6=i∏α，juAjiu杜邦对于dt-a.e.t∈ [τm，s）。如果是s<τm+1，则∏α，iagain的连续性和前面的不等式将意味着0=∏α，是>0，通过矛盾证明，s=τm+1和∏α，在整个区间上是正的[τm，τm+1]。[0，T）上的正性现在由归纳得出，并且它在时间T上也必须明确成立，因为要么存在跳跃，要么我们可以像刚才那样推理。定理3.1.4的证明。案例N*< +∞ γ>0：我们写ψ=1+Γ，其中Γ（t，n，π）=supα∈§At▄Eα，t，n，π经验值- γ~Pα，n，πt，t+`（Nt，Nt）- 经验值γ`（Nt，Nt）.然后，可以将Υ视为标准Bolza-Lagrange公式中优化问题的值函数，即Υ（a）=supα∈~At▄Eα，a“ZTtDα，At，uf（u，aα，au，αu）du+Dα，At，Tg（aα，At）#，其中状态变量aα，au=（u，Nt，nu，πα，t，n，πu）是有界状态空间[0，t]×（Z）的PDMP∩ [-N*, N*]) × o初始条件a=（t，n，π），Dα，at，u=exp-Rvtρ（u，Aα，au，αu）du贴现因子和f，g，ρ是有界函数。

（由于控制空间有界，这些函数是有界的。）现在可以用与[CEFS16a，Thm.4.10]中相同的方式证明Υ的连续性，尽管是以更直接的方式。这是由于f，g，ρ的有界性，即∏α，t，n，π从不访问单纯形的相对边界, 除了终端时间，状态空间没有退出时间。假设【CEFS16a，Asm.4.7】在我们的模型中得到了明确验证，并且【CEFS16a，Asm.2.1】已经在命题2.1.2的证明开始时得到了说明。我们注意到，在我们的例子中，边界函数（见[CEFS16a，Lem.4.6]）可以简单地表示为b（t，n，π）=exp（η（t- t） ，η>0大时，证明收缩性。在证明了连续性之后，[CEFS16a，Thm.5.3]（或[DF99，Thm.7.5]）的相同证明表明，Υ是其标准HJB方程的唯一连续粘度解。Weremark再次指出，我们的情况更简单，因为Υ是有界的，除了终端时间条件外，我们没有任何边界条件。特别是，没有必要对Υ的增长进行额外的假设。最后，通过两个递增的微分变换ψ=1+Υγ和Θ=U，得到了Θ的结果-1γo Ψ.案例N*< +∞ γ=0：与前一种情况的唯一区别是，由于Θ（t，n，π）=supα，直接获得了问题的BolzaLagrange表示∈AtEα，t，n，π“ZTtδ-ucλ-uα，t，n，π+δ+ucλ+uα，t，n，π+uNt，nu-σζ（Nt，nu）杜邦- `（Nt，Nt）#，无需任何转换。案例N*= +∞ γ=ζ=0≡ `: 与后一种情况相同，但使用状态变量（u，πα，t，n，π）和值函数Φ。现在的另一个细节是[CEFS16a，Asm.2.1]也用于[CEFS16a，Lem.4.1]，其中指出方程（2.1.1）中的漂移系数是状态变量中的Lipschitz，在时间和控制上是一致的。

这在我们的案例中得到了验证，在我们的新假设下：-∞ < δ*< δ*< ∞.命题4.2.1的证明。假设第一个I=[τ，T]约为0≤ τ<T，ε>0。辛岑*< ∞, 存在（tε，nε，iε）∈ [τ，T]×I使得θ（Tε，nε，Iε）- θ（tε，nε，iε）+ε（t- tε）=最小值（t，n，i）∈[τ，T]×Iθ（T，n，I）- θ（t，n，i）+ε（t- t） 。（A.1.5）如果tε<t，那么我们必须有θt（tε，nε，iε）- θt（tε，nε，iε）≥ ε.让我们看看左边是非正数。通过（4.2.1）和（4.2.2），θt（tε，nε，iε）- θt（tε，nε，iε）≤Xj6=iεqiεjtUγθ（tε，nε，j）- θ（tε，nε，iε）- Uγθ（tε，nε，j）- θ（tε，nε，iε）+{n<n*}H-我θ（tε，nε+1，iε）- θ（tε，nε，iε）- H-我θ（tε，nε+1，iε）- θ（tε，nε，iε）+{-n<n*}H+iθ（tε，nε- 1，iε）- θ（tε，nε，iε）- H+iθ（tε，nε- 1，iε）- θ（tε，nε，iε）.H±i增加（Uγ增加）和（A.1.5）意味着最后两项（Firstone）为非正。我们必须得到tε=t，并且由于（A.1.5）和（4.2.3）对于所有（t，n，i）∈ [0，T]×I：θ（T，n，I）- θ（t，n，i）+ε（t- t）≥ θ（T，nε，iε）- θ（T，nε，iε）+ε（T- T）≥ 0θ（t，n，i）≥ θ（t，n，i）- ε（T- t） 。由于ε>0是任意的，我们得到了期望的结果。情况I=（τ，T）现在是比较θ和θ在[tn，T]形式区间上的结果 （τ，T）参考文献[AB06]C.D.Aliprantis和K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》，第三版，Springer，2006。[AS08]M.Avellanda和s.Stoikov，《限额订单簿中的高频交易》，量化金融8（2008），第3期，217–224。【BL09】E.Bayraktar和M.Ludkovski，《非流动市场中的最佳交易执行》，arXiv预印本arXiv:0902.2516v1（2009）。【BL14】，《控制强度的限额指令簿清算》，MathematicalFinance 24（2014），第4627–650号。【Bou07】B。

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