或有可转换巨灾债券的估值——以

但是，与指数挂钩的ILS的一个令人愉快的优点是，它们可以消除道德风险的普遍性，不幸的是，道德风险在恢复时是一个问题。最后，可以收回投资于共同公司的全部本金，即使其被转换（如果股票在未来表现良好），但对于CAT债券而言，这种完全收回并非始终可行。表1总结了这一比较的要点。表1：CAT键、CAT-E和CO键的简要比较（上标*，表示规格的变化可能超出表中所述）。CAT债券CAT-E认沽期权共同履约期限3-5年1-5年*取决于触发资本准备金X事后事前全额本金的可能性否否是灾后恢复触发付款指数关联罢工vs.股票指数关联债务赔偿参数纯参数指数参数指数模型损失多个触发多个触发因素道德风险如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。如果与指数挂钩，则风险很小。交易对手。与索引相关的CoCocate：模型3.1。模型设置、假设和属性我们现在将重点放在一种特定类型的协同产品上，并介绍其分析定价所需的工作方式、注释和基本定义。我们支持触发器是指数链接的，并且还支持CAT bonds所基于的许多指数链接触发器（例如，参见康明斯（Cummins）[19]，w el l as Haslip and K Aisev[36]，Ma and Ma[51]，Nowak and Romaniuk[55]和Gatzert et al[30]）。

例如，考虑一种最常见的与指数挂钩的CAT债券：其类型取决于财产索赔服务（PCS）行业指数。对于大多数此类债券，触发点被定义为PCS指数累计损失超过合同规定阈值水平的时间点。从这里开始，我们假设CoCocate是基于PCS损失指数，但是，请注意，就模型中可以使用的指数类型而言，没有失去一般性。我们的框架中也可以使用其他指数（如欧洲联盟的风险指数）。我们大致遵循Jaimungal和Wang【41】，并在现实世界的孔隙度测量下开始。在任何概率度量下，共同运营者的价格取决于两种正在出现的现象：金融市场相关风险和灾难相关风险。由于灾难风险会导致跳跃，我们需要在不完整的市场环境下工作，并注意可能会出现复杂的衡量变化。为了避免这种情况，我们根据之前有关灾难相关金融工具定价的大量文献，做出以下假设。Hoyt和McCullougH【37】以及Cummins和Weiss【21】提出了支持这一假设的证据，但Carayannopoulos和Perez【13】以及Hagendorff et al【34】对此提出了质疑。假设1。灾难风险变量和金融市场风险变量在现实世界中是独立的。这一假设在众多与灾难相关的工具研究论文中都有提出，包括Baryshnikov等人【4】、Cox和Pedersen【18】、Jarrow【42】、Braun【9】、Ma和Ma【51】以及Nowak和Romaniuk【55】。它为我们提供了独立于金融市场风险变量处理灾难风险变量的可能性。

因此，我们可以在现实世界中，以及随后在风险中性概率测度下，将Coccat pricin g分解为两个独立的问题。此外，以下方法是建立模型所需概率空间的一种方便方法。我们假设存在两个概率空间：对于金融市场风险变量，该空间由(OhmF、 ^F∞,PF），其中^F∞:=Wt公司≥0^Ft部分金融市场过滤（^Ft）t≥0.A lso，OhmF分别为样本空间和PFI，是金融市场风险变量的真实概率度量。对于灾难风险变量(OhmC、 ^C∞,PC），其中^C∞:=Wt公司≥0^Ct表示部分灾难风险过滤（^Ct）t≥0.此外，OhmCis是相应的样本速度，PCS是灾难市场风险变量的现实概率度量。从这些概率空间，我们可以构造一个乘积空间(Ohm,G∞,P） ，其中Ohm:= OhmF×OhmC、 G级∞:=^F∞^C∞和P：=PFPC.N注意到如何在P.On的定义中方便地捕捉到第1类消费Ohm, 我们定义了以下两类对我们的分析很重要的集合：Ft:=^Ft×{φ，OhmC} 和Ct：={φ，OhmF} ×^Ct。此外，请注意Gt：=^Ft连续油管。正如布劳恩（Braun）[9]研究的巨灾掉期以及CATbonds和其他ILS一样，COCOCT不是一份保险合同，而是一种金融工具，因此需要使用金融定价技术对其进行定价。正如Cox等人[17]提出的那样，如果存在非流动性和大市场的灾难关联证券（s ay Coccates），那么标准衍生品定价理论（例如，见Harrison和Pliska[35]）意味着存在风险中性度量，因此可以对指数关联Coccates等ILS进行定价。

然而，由于CEA灾难掉期是一种金融工具，其中保护卖方从保护买方处定期收到付款，作为交换，保护买方收到预先确定的损失赔偿金，并应事先约定触发事件。指数关联的共同目标依赖于一个表现出跳跃的过程，市场是不完整的，并且存在henceno统一的风险中性度量[27]。因此，我们假设金融市场风险变量QF存在给定的风险中性定价度量，QF是通过适当的利率和股票价格过程校准获得的。然而，下一个问题涉及巨灾风险变量的相关风险中性概率度量是什么。由于巨灾风险变量将被假定为遵循跳跃过程，我们将有几种选择【22】。我们考虑默顿的不完全市场框架[52]。这种方法已广泛应用于估值收益（以某种方式）与自然灾害发生相关的衍生品时，例如Bakshi和Madan【3】、Lee和Yu【44】、Vaugirard【64】、Jaimungal和Wang【41】、Lee和Yu【45】、Ma和Ma【51】、Nowak和Romaniuk【55】以及Chang和Chang【15】。基于默顿框架的普遍性，我们在工作中提出了以下假设，并广泛使用。假设2。投资者对自然灾害风险变量带来的跳跃风险保持风险中性。更全面地说，在金融工具定价的背景下，假设2指出，在整体经济中，自然灾害可以被视为可以（几乎）完全分散的特殊风险。灾难风险将构成“无n-系统性风险”，并且不合理地将产生零风险溢价。

因此，巨灾风险变量的风险中性概率测度将与各自的真实概率测度c重合，并且在测度之间改变时，跳跃过程将保持其分布特征。关于支持这一点的进一步讨论，请参见Delbaen和Haezendonck【24】、Cummins和Geman【20】以及Cox和Pedersen【18】。然而，必须记住，最近的经验巨灾债券定价文献表明，巨灾债券没有零风险溢价（例如，见Papachristou【57】、Braun【10】和G¨urtler等人【33】）；这可能会延续到其他与灾难相关的ILS工具，如w el l。在此背景下，可以推断，基于零风险溢价假设的定价将产生比假设非零风险溢价的定价模型更高的价值。因此，这些定价模型的使用可能需要在计算价值中增加额外保证金，或在与跳跃过程相关的分配参数中增加保证金，所有这些都由发行人自行决定。尽管如此，我们在工作中仍然对假设2感到遗憾，原因有二。首先，它与根据布劳恩[9]在实践中盛行的精算定价技术相称。其次，也是最重要的一点，它可以适应模型中不属于投资资产因而不可交易的状态变量的范围。因此，我们可以使用真实世界的数据来定价。考虑到许多与灾难相关的ILS（尤其是协同运营商）定价数据的稀缺性（且难以获得），这一点非常有用。我们现在可以在可测量的产品空间上构建风险中性度量(Ohm,G∞): 我们设置Q：=QFPC.我们考虑乘积空间上定义的两个重要随机变量(Ohm,G∞,Q） 。

对于金融市场随机变量YF：OhmF7层→ R（其中yf∈ m^F∞) 我们可以将其与一个独特的Y∈ mG公司∞, 带Y：Ohm 7.→ R、 例如y（ωF，ωC）：=YF（ωF）（1）指数挂钩证券基于保险损失指数，如PCS指数。此类指数通常被建模为跳跃过程，我们将在本节后面的部分中回到这一点。对于ωF∈ Ohm风扇ωC∈ OhmC、 类似地，对于灾难风险随机变量XC：OhmC7级→ R（其中XC∈ m^C∞) 我们可以将其与唯一的X关联∈ mG公司∞, 带X：Ohm 7.→ R使得x（ωF，ωC）：=XC（ωC）。（2） 请注意，随机变量X和Y的定义为我们提供了一个从单个空间到乘积空间的简单随机变量转换。请注意，更一般地说，对于某些X，X（ωF，ωC）∈mG为C∞-可测的当且仅当它不依赖于ωF时。类似地，对于some▄Y，▄Y（ωF，ωC）∈ mG是F∞-可测量的当且仅当它不依赖于wC时。在从两个概率空间构造可测积空间的过程中，我们注意到假设1导致以下属性。假设1表明，在风险中性概率测度Q下，我们可以方便地拆分预期。命题1。对于所有可积G∞-可测随机变量Y和d X分别定义了方程（1）和（2），它认为eq【XY】=EQC【XC】EQF【YF】。（3） 证明。XC（ωC）时的Supp o se th：=对于某些A∈^C∞和YF（ωF）：=对于某些B∈^F∞. 因此，通过构造，X（ωF，ωC）=IOhmF×A（ωF，ωC）和Y（ωF，ωC）=IB×OhmC（ωF，ωC）。现在，等式[IA×]Ohm金融机构OhmC×B]=Q（{A×）OhmF}∩{OhmC×B}）=Q（A×B）=QC（A）QF（B）=EQC[IA]EQF[IB]。通过基于单调类定理的标准参数，结果适用于所有非负可测函数。在…上Ohm, 我们定义了以下两组对我们的分析很重要的数据：Ft：=^Ft×{φ，OhmC} 和Ct：={φ，OhmF} ×^Ct。以下命题为美国国债定价提供了依据。

但在此之前，让我们先介绍一下下面的有用引理。引理1。它认为F∞⊥⊥质量控制部∞证据支持F∈ F∞和C∈ C∞. 然后我们可以写出F=F′×OhmF′的C∈^F∞andC=OhmF×C′表示C′∈^C∞. NowQ（F∩C） =EQ[IFIC]=EQ[IF′×OhmCI公司OhmF×C′）=EQF[IF′]EQC[IC′）=QF（F′）QC（C′），其中最后一行后面是命题1。现在，注意QF（F′）QC（C′）=QF（F′）QC(OhmC） QF公司(OhmF） QC（C′）=Q（F′×OhmC） Q(OhmF×C′）。提案2。假设t h在G处∞-可测量的随机变量Y和X分别如方程（1）和（2）所示。然后，它认为EQ[XY | Gt]=EQ[X | Ft]EQ[Y | Ct]。证据根据条件期望的部分平均性质，对于所有A∈ 燃气轮机。我们现在需要证明zaeq[X | Ft]EQ[Y | Ct]dQ=ZAXY dQ。（4） 然而，通过一个单调的类参数，就足以证明方程（4）在a：=F×C时成立，其中F∈ F和C∈ 计算机断层扫描。现在，方程（4）可以重写为Ohm如果×，则等于[X | Ft]Ohm|{z}Ft可测eq[Y | Ct]IOhm×C |{z}Ct可测dq，根据过滤fta和Ctunder Q的依赖关系（见引理1），等于ZOhm如果×，则等于[X | Ft]Ohm干熄焦ZOhm等式[Y | Ct]IOhmF×干熄焦=采埃孚×OhmCEQ[X | Ft]dQZOhmF×CEQ[Y | Ct]dQ=采埃孚×OhmCX dQZOhmF×CY dQ=ZF×CXY-dQ，其中最后一行后面是Q下X和Y的独立性。现在，在我们提出CAT债券定价定理之前，我们为命题2提供了一个有用的推论。推论1。使用与提案1中相同的符号，如下所示：（i）EQ[X | Gs]=EQ[X | Fs]s>0；和（ii）等式[Y | Gs]=等式[Y | Cs]s>0。证据第（i）部分接着在命题1中设置g Y=1，并应用假设2，而第（ii）部分接着设置X=1。在呈现捕捉金融市场行为和灾难风险变量的过程之前，我们先介绍一些符号。设：oT>0表示IL COCOCATE的术语。

对于IL-CocoCats，我们假设期限将与普通发行的ind-ex-linked CAT债券的期限一致。然而，对于基于非常罕见的tai-l风险的参数型CocoCats（如第2.1节提到的SwissRe-CoCocate），期限更长是有意义的Z是投资于CoCocate的本金金额，投资者将在CoCocate有效期内收到该本金金额，而CoCocate在有效期内不会触发Vdenote截止日期的IL COCOCATE价格，t：=0{St，t≥ 0}是发行公司的股价。o{Lt，t≥ 0}是一个聚合的l oss进程，它捕获IL CoCocate所基于的索引的行为。假设总损失过程的频率分量由（可能不均匀）泊松过程N={Nt，t指定≥ 0}，具有实值函数λt指定的确定性强度，以及一系列ID严重度分量连续随机变量{Xk，k∈N} （与频率成分无关），每个都具有分布函数fX和密度fX。我们假设RTλsds<+∞.o T： ={T，T，…，tN-1，tN=T}表示N个息票支付日期的集合。o 表示息票支付日期ti之间的固定年时间段-1和tifori∈ {1，2，…，n}。根据Jarrow【42】，在CAT债券的情况下，这应该是一（1/12年）、三（3/12年）或六个月（6/12年）。oR（t，ti-1，ti-1+ ) 成为-时间t时的年简单远期伦敦银行同业拆借利率≥ 0.o{rt，t≥ 0}是每年无风险的即期汇率过程，持续复合。oc≥ 0是IL共同成本的固定价差（即灾难风险溢价）。oζ是之前介绍的IL CoCocate合同规定的换算分数D>0是IL公司招股说明书中规定的触发因素的阈值水平τ=inf{0≤t型≤T：Lt≥D} ，第一次达到或超过触发水平。

D称为合同规定的IL合作伙伴的阈值水平KPbe第2.1节中介绍的预先规定的转换价格。如前所述，kp可以是一个p指定的常数K（我们稍后会考虑这种情况），但对于某些实值函数f，它也可以等于Sτ或f（Sτ）。基于上述所有符号，我们的建模假设包含在以下随机微分方程系统（SDE）和真实世界度量值P下的恒等式中：drt=’θr（’mr-√rt）dt+σr√rtdWt，（5）St=SCtSFt，（6）SCt=exp-αLt+ακZtλudu, （7） SFt=Sexp{Yt}，（8）dYt=uSYtdt+σSYtdWt，（9）dhWt，Wti=ρdt，（10）Lt=Nt∑k=1Xk。(11)3.2. Remar ks on the model interest rate我们根据Cox et al.（16）（CIR）m model（见Ahn et al.（1）和Lo and Hui（48））的一些缺点，选择Longstaff的q uadratic期限结构模型（50），以获取有利于二次期限结构模型的经验证据），但也因为它在任何具有常数核的Girsanov变换中都是长Staff过程（见定理2）。事实上，只要满足后一个属性，也可以对任何其他利率模型完成下面的整个分析。例如，可以考虑Vasicek的Vasicek单因素模型[63]和Hul l和White的Hull-White单因素模型（以及扩展的Vasicekssingle因子模型）[38]。Longstaff模型的形式如等式（5）所示。这是一个双参数模型，其中收益率在rt中是非线性的，而CIR模型有三个参数，收益率在rt中是线性的。在P下，’θrand’mrare模型参数，σris是瞬时波动率，WT是标准布朗运动。请注意，\'mr=σr/4'θrand'θr，σr>0。定理2。

考虑到Longsta ff模型在任何概率测度下的动力学，P:drt=θr（mr-√rt）dt+σr√rtd'Wt，（12）其中'Wt是在'P，θr>0，σr>0和'mr=（σr）/4'θr下的标准布朗运动。如果'pi由具有常数核的Girsanov变换定义，γ，即对于所有t>0，d'Pd'P^Ft=^η（t），对于^η（t）：=eγ′Wt-γt，则利率过程在‘’P still下的动力学遵循Longstaff模型，即isdrt=△θr（△mr-√rt）dt+σr√rtd''Wt，另请参见Hull and White[39]。其中‘’Wt：=’Wt-γt是'P和'θr=（^θr）下的标准布朗运动-γ^σr）~mr=^mr^θr^θr-γ^σr。此外，^mr=（σr）/4^θr的性质。证据根据P，Longstaff模型的动力学可以表示为drt=θr（mr-√rt）dt+σr√rt（d？Wt+γdt）。（13） 经过一点代数运算后，方程（13）可以用Longstaff利率模型的形式表示：drt=（^θr-γ^σr）^mr^θr^θr-γ^σr-√rt！dt+σr√rtd？Wt。此外，很容易验证？mr=（σr）/4？θr。还必须注意，等式（12）中所示的Longstaff模型（也称为双平方根模型）允许价格P（r，s，θr，σr）（s）的闭式解≥ 0），azero息票债券在s年内到期时支付1-UNIT的货币，在rt=0时没有明确的边界条件（见Longstaff【50】、Beaglehole和Tenney【5】以及Lo和Hui【48】）。事实上，根据基于费曼-卡克公式的经典论点，它是偏微分方程的解，具体为：^σrrPr+^σr-^θr√rPr-卢比-Ps=0（14），初始条件为s=0时为1。