或有可转换巨灾债券的估值——以

通过变量技术的分离求解方程（14）得到债券定价函数P（r，s，^θr，^σr）=ADSR（s）exp（BDSR（s）r+CDSR（s）√r） ，（15）其中DSR=1+eψs1/2经验c+cs+c1+eψs,BDSR（s）=-ψ（σr）+ψ（σr）（1+eψs），CDSR（s）=θr1.-eψs/2（σr）（1+eψs）和ψ=q2（σr）；c=（θr）ψ（σr）；c=ψ-（θr）ψ；c类=-4（^θr）ψ。股价我们选择股价过程的方式与Cox等人【17】、Jaimungal和Wang【41】、Lin和Wang【47】和Wang【66】等类似。请注意，我们的股价过程包括两个组成部分：SCtand SFt，前者是由灾难风险变量驱动的组成部分，后者是由金融市场风险变量驱动的组成部分。更具体地说，当影响发行人的灾难性事件发生时，股价可能会下降，因为这些大额债权必须支付。这在sh areprice过程中得到了解释，因此该过程对Lt的负依赖性。在P下，是初始股价，us是Yt的长期平均值，σs是Yt的瞬时波动率。常数α>0表示灾难性损失对股价对数的影响。α的值越大，灾难损失对αLt的影响就越严重。此外，如Wang[66]所述，索赔的平均数量λudu被包括在内，以积极（在一定程度上）补偿股价出现的向下跳跃。常数κ>0控制着这种效应的表现，并在下面引理1的基础上进行了讨论。请注意，P.骨料损失下的Wtis标准布朗运动遵循一种模拟骨料损失过程的辅助方法，因为我们采用时间不均匀复合泊松过程来控制IL-Cococate未衰减指数的行为。

Embrechts和Meist er【28】指出，这种过程是灾难相关衍生品灾难损失模型的合适候选模型。我们也可以选择这样的过程，因为它可以捕捉到灾难到来时的过度分散。相关性我们假设利率和股价过程是相互依赖的：这是由ρ的相关系数得出的。3.3. 仪器操作自发行之日起，IL COCOCATA持有人将收到（按合同规定的恒定值) 基于-年伦敦银行同业拆借利率，R（ti-1，ti-1，ti-1+ ),加上价差c。因此，在每个息票日期收到的浮动付款为R（ti-1，ti-1，ti-1+) + c每单位标称值。在时间T，投资者收到债券本金Z>0，除非提前触发IL CoCocate。在交易期限内，发行人将监控基础指数的表现，并记录导致过程Lt的累积损失。如果要发生触发事件，即对于某些τ，Lτ>D∈ [0，T]（如果存在），则IL-CoCocate的IL-CAT债券类型的分支终止，投资者以等于KP的转换价格获得公司普通股权中的sh。也就是说，投资者将以（ζZ/KP）Sτ的值收回发行人的ζZ/KP股份单位，该值为投资于IL Cocate的Z名义值。3.4. 正如我们前面提到的那样，转换价格的选择有三种一般情况，我们可以考虑每种情况。对于将kpi假设为股价的实值函数的情况，我们假设它的形式为KP：=Sντ，表示ν∈ （0,1）.采用Sτ的这种函数可以灵活地设计IL-CoCoCate，并分析IL-CoCoCate的价格。

首先，它允许投资者和发行人考虑他们对巨灾相关损失对发行人股价影响的观点。例如，如果投资者认为市场在评估股票价值时没有令人满意地捕捉到巨大灾难性损失的影响，则应将th enν设置为小于1的值，以便投资者以低于市场价值的价格购买股票。其次，投资者和发行人都可以说明他们对发行人股票未来市场表现的看法。例如，如果发行人认为股票价格将上涨（与灾难性损失无关），则可以将ν设置为avalue小于1，这样投资者就不会获得大部分股权。最后，请注意，如果ν=1，则转换价格设置为转换时的股价。4、指数挂钩CoCocate的分析性风险中性定价我们现在在我们的模型中对指数挂钩CoCocate进行定价，从代理转换价格KP开始，在我们的风险中性概率度量下，在发行日期t：=0。假设所有符号都遵循第3.1节的规定，其中的假设和结果也假设为HOLD。如第3.1节所述，R（t，ti-1，ti-1+ ) （16） 是间隔时间t的远期伦敦银行同业拆借利率-1，ti-1+ ]. 特别是，R（t，t，t+) 伦敦银行同业拆借利率是否在时间t：自 假设为常数，我们用{Rt，t表示LIBOR过程≥ 0}.B（0，t）：=经验值-Ztrudu公司（17） 贴现无风险银行账户是否与渐进可测量过程{rt，t≥ 0}，andP（0，t）：=等式[B（0，t）| Ft]，t型∈ [0，T]。（18） 现在，在Q下，可以找到有争议的COCOCATE价格低于预期的表达式。这非常重要，我们将其正式化为一个主要事实。事实

发行日期（或零时间）风险中性价格，V，o of an IL cococate isV=EQ[I+I+I]，（19），其中I：=N∑i=1Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）；一： =ζZKPSτI{τ≤T}B（0，τ）；一： =ZI{τ>T}B（0，T）。请注意，事实上的期望包括三个术语。IRE表示包含利差的耦合付款（与伦敦银行同业拆借利率挂钩），而IRE表示如果之前未发生违约，则在到期时偿还的资本。IRE表示转换为股权后的恢复情况。请注意，如果KPI设置为等于Sτ，我们将获得特殊类型的CAT债券的定价公式，该债券在触发时立即支付ζZ（即时间τ）。我们对模型的这一特性进行了阶段化，使其适用于更广泛的应用程序套件。一些CAT债券发行实际上就是这种性质的，因此我们的估值框架可能会在这种情况下找到潜在的适用性。然而，在下面的框架中，我们将考虑Sτ的特殊函数，这将导致转换价格的三种情况。现在，我们展示了我们的模型在marti ngale测度Q下的变化。在Q下，贴现股价过程经验值-Rtrudu公司St，t≥ 0通过定义风险中性度量，必须是关于过滤Gt的鞅。这给出了以下定理。定理3。设κ=α（1-（L fX）（α）），（20），其中（L fX）（α）：=R∞e-αyfX（y）dy是fX的拉普拉斯变换，fX是每个严重度分量X在α处计算的X的正支撑上的密度函数。

然后存在风险中性度量Q=QFPc和该度量下的巨灾风险和金融市场风险变量由以下方程组捕捉：drt=θr（mr-√rt）dt+σr√rtdWt，（21）St=SCtSFt，（22）SCt=exp-αLt+ακZtλudu, （23）SFt=Sexp{Yt}，（24）dYt=rtYtdt+σSYtd▄Wt，（25）dh▄Wt，▄Wti=ρdt，（26）Lt=Nt∑k=1Xk，（27），其中θrand mra是利率过程的风险中性参数，给出了显式不等式（33）和（34），其中dwt和wt是度量QF下的两个布朗运动。证据方程（23）和（27）都是假设2的直接结果，因为当从P移动到Q时，过程保留其分布形式和参数。现在，我们考虑如何分别从方程（5）、（8）、（9）和（10）中找到方程（21）、（24）、（25）和（26）。在第一步中，我们证明了折扣后的现货价格经验值-Rtrudu公司SFt，t≥ 0是在适当选择的市场鞅测度QF下的一个^ft鞅。基于It^o公式的经典论证表明，该要求等价于方程式（25）。我们现在展示了如何选择度量qf，以从方程（9）中获得该方程。定义T=WT和BT=p1-ρWt-ρp1-ρWt.根据L'evy定理（见Karatzas和Shreve【43，第3章】），Bt和Bt分别是两个布朗运动。此外，Bt和Bt之间的协方差为零，因此这两个布朗运动是不相关的。设γ：=ρσSand（28）γu：=σSq1-ρ+βu.（29）对于一些βu，稍后将具体说明。我们使用Girsanov鞅的逆定义金融市场上的风险中性度量Qf，其中ich也是一个鞅：dQFdPF^Ft=η（t）：=exp-Zt[（γ）+（γu）]du-ZtγdBu-ZtγudBu.现在，根据多维Girsanov T heorem（见Karatzas和Shreve【43，第3章】），过程Bt：=Bt+Ztγdu和Bt：=Bt+Ztγudu是度量QF下的标准（不相关）布朗运动。

然后，通过进一步应用L'evy定理，我们可以定义两个新的相关布朗运动，在测量QF下，使得▄Wt：=▄Bt=Wt+Ztγdu，（30）▄Wt：=ρBt+q1-ρИBt=Wt+Ztργ+q1-ργudu，（31）dh▄Wt，▄Wti=ρdt。现在选择βu=uS-俄罗斯-σSσSp1-ρ（32）我们得到us-σSργ+p1-ργu= 俄罗斯。因此，将其插入方程（9）并使用（31），我们得到方程（25）。从方程式（30）和定理3可以看出，Longst aff利率模型保持不变，即方程式（21）成立。在这种情况下，新参数由θr：=(R)θr+σrγ和（33）mr：=σrθr.（34）给出。在第二步中，我们证明所选κ满足EPChSCt | Csi=SCsfor s<t。在假设2中，我们因此要求，对于s<t，EPC经验值-αLt+ακZtλudu|^Cs= 经验值-αLs+ακZsλudu, （35）可在asEPC上重写经验值-α（Lt-Ls）+ακZtsλudu|^Cs= EPC总承包经验值-α（Lt-Ls）+ακZtsλudu= 1.（36）现在考虑EPC[经验(-α（Lt-Ls））]。这可以简化如下。EPC[经验(-α（Lt-Ls））]=EPChEPC[经验(-α（Lt-Ls））| Nt-Ns]i=EPC“exp-αNt-Ns系列∑k=1Xk|Nt公司-Ns#=EPC{（L-fX）（α）}Nt-Ns系列= GNt公司-Ns（（L fX）（α））=经验值[（L fX）（α）-1] Ztsλudu, （37）（38）其中GNt-nsi是均值为λudu的泊松随机变量的概率母函数。从方程（36）中，我们得到κ=α（1-（L fX）（α））。在证明的最后一步中，我们考虑了贴现股价过程，经验值-Rtrudu公司St，t≥ 0.请注意，根据设计，每t>0的期望值是有限的。利用推论1，我们得到，fors<t，EQSCtSFtexp-Ztrudu公司|Gs公司= 均衡器均衡器SCtSFtexp-Ztrudu公司|Gs公司∨英尺|Gs公司= 均衡器SFTEX公司-Ztrudu公司EQhSCt | Gsi | Gs= SCsEQ公司SFTEX公司-Ztrudu公司|Gs公司= SCsSFsexp-兹鲁杜,其中最后一行从证明的第一步开始。现在我们分别计算等式（19）中的三项。4.1. 息票支付应考虑等式【I】，将其分为第一个参考息票的伦敦银行同业拆借利率和其余后续息票。

简化这一术语的一种方法是对远期伦敦银行同业拆借利率进行近似计算，并假设其始终高于无息利率（例如，见Jarrow[42]）。在2007/2008年金融危机前后的金融稳定期间，这一假设在实践中得到了很大程度的支持（将OIS利率视为无风险利率）。然而，在危机时期，实证研究表明，这种价差显著扩大，这一假设值得怀疑[40]。我们在分析中不使用这种近似方法，但指出了这一缺点，因为它已用于理论CAT债券定价（以获得封闭形式的解决方案为目的）。（i） 第一个伦敦银行同业拆借利率参考息票（一开始为kn所有）可通过风险中性估值公式找到：公式R+cZI{τ>t}B（0，t）,根据假设2，等于R+cP（r，t，θr，σr）P（Lt<D）Z、 （39）式（16）和（18）中分别定义了Rt和P（0，t），ris为初始瞬时利率，P（Lti<D）=exp-Ztiλudu∞∑n=0Rtiλudunn！Fn公司*X（D）。（40）其中Fn*X（D）表示n-单损失分布函数fx自身的折叠卷积，在正参数D处进行评估。（ii）对于第二个到第n个libor参考息票，我们将度量改为相应的前向度量。对于每个i∈ {2，…n}，我们使用t向前测量Qti，定义为数值过程P（0，ti）的向前测量；见【8】。因此，在发行日期，ITH息票付款的价值为Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）= ZcP（Lti<D） + ZP（Lti<D）等式Rti公司-1B（0，ti）,（41）等式（40）给出了相应的概率。

考虑情商Rti公司-1B（0，ti）.通过改变tiforward度量（见Bj¨ork[8]），回顾远期伦敦银行同业拆借利率是一个数量比例（见Bj¨ork[8]），并注意远期伦敦银行同业拆借利率的定义（见Brigoand Mercurio[11]）：等式Rti公司-1B（0，ti） = P（0，ti）EQtiRti公司-1.= P（0，ti）R（0，ti-1，ti-1+ ) （42）=P（0，ti）P（0，ti-1） P（0，ti）-1.= P（0，ti-1) -P（0，ti）。（43）将方程式（43）插入方程式（41）中，并采用我们对Longstaff模型下零耦合债券价格的表示法，给出了剩余息票支付在发行日期的所需值，即：等式“N”∑i=2Rti公司-1+cZI{τ>ti}B（0，ti）#=ZN∑i=2P（Lti<D）c + P（r，ti-1，θr，σr）-P（r，ti，θr，σr）. (44)4.2. 赎回金额我们现在考虑等式[I]。通过类似于第4.1节的推理，我们得到ZI{τ>T}B（0，T）= ZP（r，T，θr，σr）P（LT≥ D） 。(45)4.3. 转换特性最后，我们考虑特定类型转换价格的等式[I]。回想一下，KPcan eitherb被设置为一个常数，作为转换时的股价，或者被指定为函数kp：=Sντ，表示ν∈ （0，1）如第3.4节所述。必须将ν限制在该区间内，才能使FX的拉普拉斯变换不受限制。如果ν=1，则经济转换价格等于股价。我们下面的分析是一般性的，我们考虑4.3.1 KP：=sντ，或4.3.2 KP：=K。我们在下面依次进行分析。情况1。在这种情况下，我们对simplif感兴趣yingEQ[S1-ντI{τ≤T}B（0，τ）]，可按asEQ展开经验值-α(1 -ν） Lτ+Zτ（1-ν)ακλu-σSdu+σS（1-ν） Wτ-νZτrudu×SI{τ≤T}. （46）计算公式（46）。我们将使用特定的度量变更。由于t在过程lti中是一个强度为λt的时间非均匀泊松过程，因此过程X#t：=（t，Lt）是所谓分段确定性过程的一种特殊情况（有关更多详细信息，请参见Palmowski和Rolski【56，第5.2节】。

实际上，在这种情况下，必须考虑空的activeboundary，取该进程的外部状态索引等于1，并取状态空间O为R，即x#：=（t，y）∈ Ris是过程X#t的一个值。此外，X#的微分算子是通过χf（t，X#）指定的：=tf（t，x#），进程满足度Q（x#，dy）=FQX（dy）（其中FQXis是进程在Q下的严重性分布），其跳跃强度λ（t，y）等于λt。现在取h（y）=e-α(1-ν） yin Palmowskiand Rolski【56，方程（1.1）】作为一个好函数，并将其应用于生成器，a f（t，x）=tf（t，x）+λtZ∞f（t，x+y）FX（dy）- f（t，x）,过程Lt（见Palmowski和Rolski[56]第776页）产生以下指数鞅：(R)η（ν）（t）：=exp(-α(1 -ν） Lt+Д（α（1-ν） ，t）），（47）式中，Д（α（1-ν） ，t）：=[1-（L fX）（α（1-ν） ）]Ztλudu。（48）和（L fX）（α（1-ν） ）是fX的拉普拉斯变换，对于随机变量X负支撑上的n，在argum entα（1）处计算-ν). 继Palmowski和Rolski【56，定理5.3】之后，我们现在可以通过Radon-Nikodym导数定义一个新的概率测度P（ν）：dP（ν）dPC^Ct=(R)η（ν）（t），（49），在此过程上，我们的过程lt仍然是一个复合泊松过程，但严重程度分布和强度有所改变：λ（ν）t=（L fX）（α（1-ν） ）λt和（50）F（ν）X（dx）=e-α(1-ν） xFQX（dx）（L fX）（α（1-ν)). （51）注意，当λt=λ（常数）时，许多事情都会简化。例如，Д（α（1-ν） ，t）=λД（α（1-ν） ）t，（52），其中Д（α（1-ν)):=λ[1 -（L-fX）（α（1）-ν))].

（53）通过应用等式（49）规定的测量变化和应用假设2，我们可以重写等式（46）asEQFP（ν）经验值Zτ（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，τ）+σS（1-ν） Wτ-νZτrudu×SI{τ≤T}= SZTP（ν）τ（τ∈ ds）经验值Zs（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，s）×EQF经验值σS（1-ν） Ws-νZsrudu, （54）其中，最后一行后面是▄wt和▄wt与测量值变化的独立性，P（ν）τ是τ在P（ν）下的密度函数。注意，方程（54）是三项的乘积，第一项是P（ν）下τ的分布，第二项是指数项，第三项是QF下两个相关Q-布朗运动的预期。我们现在给出以下有用的引理。在进一步阅读之前，回想一下在我们的模型中，我们在Q、~Wt和~Wt下有两个相关的标准布朗运动，相关系数ρ。该引理的目的是从等式（54）中的期望值中删除ws。引理2。考虑一个新的概率度量“QF”，由byd指定的Radon-Nikodym导数“QFdQF”给出^Ft：=η*（t） ：=扩展(1 -ν） σSWt-(1 -ν） σSt然后，在概率测度“Q t h h e process”Wt下：=▄Wt-ρσS（1-ν） t是标准布朗运动。证据如果ζ>0，则通过将测量值从“Q”更改为“Q”，E“QFheζ”Wti=EQF经验值ζОWt+（1-ν） σSWt-(1 -ν） σSt= 经验值-(1 -ν） σStEQF公司(ζ,(1 -ν） σS）·（▄Wt，▄Wt）. （55）由于（▄Wt，▄Wt）的分布是二元正态分布，我们可以证明方程（55）中的th是equaltoexp-(1 -ν） σSt+ζt+2ρσS（1-ν） ζt+（1-ν） σSt= 经验值ζt+ρσS（1-ν） ζt.因此，我们能够继续进行sim p LIFINGEQF经验值σS（1-ν） Ws-νZsrudu（56）来自方程式（54）。现在，将度量值从qf改为“qf”，以获得等式（56）为equaltoexp(1 -ν） σSsE’QF经验值-νZsrudu（57）式中{rt，t≥ 0}是目前在“QF”度量下的利率过程。