或有可转换巨灾债券的估值——以

定理2提醒我们，（21）中规定的在QF下的Longstaff利率模型是在QF下的Longstaff利率模型，这两个参数分别为b yθ*r=θr-σrρσS（1-ν) ; m级*r=mrθrθr-σrρσS（1-ν).通过简单应用It^o引理，也可以在测度Q下显示，过程{rt，t≥ 0}，其中▄r（t）：=νr（t）是一个Longstaff利率过程，其中▄Q-dynamics由d▄rt=θ给出orm级or-√rtdt+σor√rtd  Wt，其中θor=√νθ*rm级or=√νm*rσor=√νσr，而且mor=（σor） /4θoR电源。因此，我们可以将方程（57）改写为asexp(1 -ν） σSsE'Q经验值-Zsrudu（58）我们有一个偏微分方程的解，具体是（14），乘以一个常数。利用方程（15），我们可以简化方程（58），得到它等于xp(1 -ν） σSsP（r，s，θor、 σor） 。（59）因此，方程式（54）最终可以表示为一个包含整数的积分，即isSZTP（ν）τ（τ∈ ds）扩展Zs（1-ν)ακλu-σS杜邦-φ(α(1 -ν） ，s）+（1-ν） σSs×P（r，s，λ，θor、 σor） （60）=SZTA（s）P（r，s，θor、 σor） B（s）ds，（61）其中（s）=exp-（σS/2）ν（1-ν） s+（1-ν） [^1（α，s）-φ(α(1 -ν） ，s）]-Zsλ（ν）uduB（s）=λ（ν）s∞∑n=0Rsλ（ν）udun-1（n-1)!-Rsλ（ν）udunn！F（ν）n*X（D），其中F（ν）n*X（D）表示n-F（ν）x与其el F的折叠卷积，在参数D处计算，且Д（α，s）：=Д（α（1-ν） ，s）|ν=0。回想一下，F（ν）x和λ（ν）皮重分别在（51）和（50）中给出，P在（15）中给出。我们现在可以在分析表中计算出一种无风险中性价格。我们在定理4中将这一切形式化。定理4。

在分析形式中，转换价格等于ν的Sντ的IL-CoCoCate的时间零风险中性价格V∈（0,1），并假设方程（21）至（27）中给出的动力学由v=Z给出IE+IE+IE, （62）其中=R+cP（r，t，θr，σr）P（Lt<D） +N∑i=2P（Lti<D）[c + P（r，ti-1，θr，σr）-P（r，ti，θr，σr）]；IE=SζZTA（S）P（r，S，|θr，|σr）B（S）d S；IE=P（r，T，|θr，|σr）P（LT≥ D）方程（39）和（44）、方程（61）和方程（45）中确定的IEI。案例2。在本节的最后部分，我们考虑了与whenKPis a constantof K有关的有趣案例。因此，为了分析等式，我们将只关注简化ngEQ[SτI{τ≤T}B（0，τ）]不可能使用定理4来推导结果，因为不可能对P不等式（61）进行分析评估。可按asEQ扩展Sexp-αLτ+ακZτλudu+Zτrudu-σSτ+σSWτI{τ≤T}exp-Zτrrdu= 均衡器SI{τ≤T}exp-αLτ+Zτακλu-σSdu+σSWτ. （63）由于LTI是一个时间不均匀复合泊松n过程，因此第4.3节第（i）部分中考虑的测量变化可在ν=0时应用。对于密度过程（47），我们表示η（t）=η（0）（t）。注意，Д（α，t）=Д（α（1-ν） ，t）|ν=0。考虑到该度量值的变化，注意等式（63）可以重写为asEQSI{τ≤T}exp-αLτ+Д（α，τ）-Д（α，τ）+Zτακλu-σSdu+σSWτ= EQF公司P（0）SI{τ≤T}expZτακλu-σS杜邦-Д（α，τ）+σSWτ= SZTP（0）τ（τ∈ ds）扩展Zs公司ακλu-σS杜邦-^1（α，s）EQF[eσSWs]，（64），其中最后一行紧随其后，因为Wsis独立于所有S的度量值变化∈ [0，T]，P（0）τ是τ在P（0）下的密度函数。通过考虑~Wt的矩母函数，我们得到方程（64）等于ztp（0）τ（τ∈ ds）扩展ακZsλudu-^1（α，s）= SZTP（0）τ（τ∈ ds）=SP（0）τ（τ≤ T）（65）=S1.-经验值-ZTλ（0）udu∞∑n=0RTλ（0）udunn！F（0）n*X（D）, （66）式中F（0）n*X（D）表示n-F（0）x与自身的折叠卷积，在论证时计算。

注意，表达式的简化，EQ[SτI{τ≤方程（65）给出的T}B（0，τ）]非常直观。触发时股价的贴现值仅为现有股价S乘以概率测度下的触发概率，该概率测度明确调整了服务水平S过程。现在，我们可以以分析形式给出具有常数转换价格的IL-CoCate的时间零ris k-中性价格。我们在第5节中介绍了这一点。定理5。在分析形式中，转换价格等于K且假设方程（21）至（27）中给出的动力学，IL CoCocate的时间零风险中性价格V由V=Z给出IE+IE+IE. （67）式中，IEI定义为等式（39）和（44），IEI定义为等式（66）（乘以ζ/k）和等式（45）。4.4. 关于定理4和定理5，我们现在提供了使用方程定理4和定理5计算IL-Coccat定理的简要动机。与直接使用Mon-te Carlo模拟近似方程（19）相比，使用我们的定理更精确。首先，如果度量P（ν）和P（0）下的损失卷积是以闭合形式已知的，那么我们可以直接近似IL CoCocate的价格（尤其是转换特征的值），而无需蒙特卡罗模拟。因此，在没有任何模拟的情况下，我们将能够通过在计算合适的上限处截断求和，并通过离散积分来计算方程（61）。此外，在没有任何模拟的情况下，我们将能够通过在计算合适的上限处截断求和来计算方程式（6）。

如果我们假设，在概率测度P下，损失遵循阿加玛分布，那么这种情况实际上可能发生。其次，对于损失随机变量的更重尾分布假设，有必要使用蒙特卡罗模拟对方程（60）和（65）中的积分进行数值计算。也就是说，必须模拟停车时间τs的时间分布。这比蒙特卡罗直接计算公式（19）d更准确，事实上更快，因为在前一种情况下，与后一种情况相比，只需模拟一个过程Lt，其中需要模拟三个过程，即Lt、RTA和St.5。本节中的实证说明我们提出了数值实验，作为对共同经营者价格行为的首次尝试。在此类仪器的设计阶段，了解不同参数下的IL-CoCocate价格行为至关重要。此外，它还有助于为ILS结构人员可以用来向潜在发行人营销新ILS发行类型的推介书准备插图。在我们的模拟中，我们特别注意转换功能，因为这将是发布仪器时最感兴趣的部分。此外，由于我们选择的潜在损失严重性分布无法获得精确的闭合形式解，因此我们对损失过程使用基于重要性抽样的蒙特卡罗模拟。在应用重要性采样后，每个实例中使用100000个模拟。为了获得IL-CoCocate优先级的数值，我们需要指定一组基本参数。这些参数如表2所示。方程（60）和（65）的使用首先需要损失随机变量的指数倾斜，然后是n倍卷积。

现在，一个指数倾斜的伽马分布随机变量再次被伽马分布，它的卷积也是。此外，gamma随机变量的Laplace变换存在封闭形式。表2：IL CoCocate价格数值说明的选定参数值。复合泊松损失过程参数值λ突变损失过程方程的tIntensity（68）Burr严重度分布的cbShape参数1.57kb严重度分布的Shape参数0.7ζbScale参数Burr严重度分布9.53×10 QrInitial瞬时利率下的利率过程参数0.02θrModel参数0.02σrInstanentous volatility0.1mrModel参数1.125×10-3初始股价下发行人的股价过程参数10ρ股票和利率过程的相关系数-0.5α亏损对对数股价的影响5.81×10-11IL CoCocate参数Pconstant conversion price varievesνPower参数for conversion price varievesζconversion fraction 0.2 期限：息票支付之间的时间0.25c固定利差（CAT风险溢价）0.1Z名义金额1T期限变量阈值水平变量首先，有必要为IL Cocate下的复合泊松过程选择参数。我们使用了以下强度，这是Gi uricich和Burnecki于1985年至2011年的PCS数据【32】：λ（t）=24.93+0.03t+5.61 sin{2π（t+7.07）}+0.30 exp余弦πt4.76. （68）然而，我们也指出了布劳恩工作的以下有趣的潜在应用【9】。假设我们只对地震和/或飓风造成的损失进行建模。

如果我们不假设灾难风险变量的真实世界和风险中性概率度量值重合，而是对灾难风险变量使用风险中性度量值，那么我们可以使用从灾难掉期交易中得到的布劳恩隐含强度。通过这样做，我们可以确保在灾难风险市场中，CoCocate与其他工具的价格保持一致。此外，我们希望我们的流程基于厚尾的潜在严重性分布，这样就可以考虑低频和高严重性的灾难。证据随着PCS数据的更详细细分，确实可以提取这些信息。也就是说，如果我们没有使用假设2，而是做了一个稍微弱一点的假设，即当从现实世界移动到风险中性概率度量时，随机变量保留其分布特征。Levi和Partrat【46】、Burnecki等人【12】、Mi lidonis和Grace【53】、Braun【9】、Ma和Ma【51】以及Giuricich和Burnecki【32】发现了与灾难相关的经济和保险损失中的重尾分布属性。在评估哪些重尾分布符合这些数据的所有努力中，从对灾难相关ILS文献的回顾来看，毛刺分布一致性最好。在本节中，我们确实使用了Burr XII型分布，其概率密度函数由f（x，ζb，cb，kb）=kbcbζb指定xζbcb公司-1.1 +xζbcb公司kb+1ζb，cb，kb>0和x>0，其中cb和kb是形状参数，ζbis是s刻度参数。为了便于说明，我们考虑了Giurici ch和Burnecki[32]确定的毛刺分布，取cb=1.57、kb=0.7和ζb=9.53×10。顺便说一句，请注意，可以将风险边际添加到我们从真实数据得出的损失过程的各种参数中。

这与传统精算方法的som eof是一致的（例如，关于这一点的简要讨论，请参见Chang和Chang最近的工作【15】，并简要提及Braun【9】），但与往常一样，这种选择是主观的，对建模者来说是特定的。最后，必须注意的是，适用于复杂自然灾害模型的真实世界和综合模拟数据的严重分布（以及强度函数）也可以在我们的环境中使用。与行业实践者讨论，这似乎是在实践中用于自然灾害相关工具定价的方法。其次，我们考虑利率参数。我们重申，鉴于定理4和定理5中的共同定价公式的简化，没有必要模拟利率过程。我们让风险中性参数θrandσr分别等于0.2和0.03。此外，我们规定相关系数ρ为-0.5. 所有这些参数都符合Lo等人[49]和Wang等人[66]，以及之前关于保险背景下利率建模的文献（例如，见Duan和Simonato等人[25]和Chang等人[14]）。第三，我们考虑了股价过程的参数。我们将初始股价S设定为10。灾难损失对股价对数α的影响与Jaimung al和Wang[41]类似。我们让α表示每单位预期损失对数股价的下降百分比，即α=δEP【Xk】，我们考虑这种情况，如Jaimungal和Wang【41】，其中δ=0.02。因此，α=5.81×10-11

尽管α的尺寸很小，但其影响仍然是由Ltin方程（23）乘以的，Ltin方程（23）比α大得多。最后，我们考虑了IL-CoCocate本身的各种参数。我们将合同规定的换算分数ζ设置为20%，这与之前有关CocoCats的文献一致（见Georgiopoulos【31】），我们将期限设为3个月（与Jarrow【42】一致）。为了举例说明，我们让IL-CocoCat扩散为10%，并将键的标称值Z设置为1。此外，我们将让某些参数发生变化，即术语（T）、阈值水平（D）和ν，以评估IL协同配置时间零价格如何随这些参数的变化而变化。我们现在讨论如何通过蒙特卡罗模拟分别在测度P（ν）和P（0）下估计方程（60）和（65）的数值。为了评估这些积分，有必要通过考虑每个t<t的Lt值来模拟过程Lt的路径，从而得出相应度量下停止时间τ的经验分布。为了模拟测量值P（ν）和P（0）下的Lt路径，有必要知道这些测量值下的强度和严重度分布，必要的链接分别由方程（50）和（51）提供。方程（50）很容易找到，因为我们在数值上知道严重性随机变量的拉普拉斯变换。然而，对于Burr分布的严重性随机变量，处理方程式（51）并不明显。这主要是因为指数倾斜的Burr分布没有已知和可计算的密度。因此，为了模拟等式（51）中的损失，我们采用了接受-拒绝算法【65】。

我们指出，这种模拟技术可用于任何测量变化由等式（51）规定的情况。请注意，这种模拟技术在模拟随机变量的领域中很常见，在其他概率度量下，这些随机变量在给定的复杂度量变化下。我们的步骤如下：如果f（x，ζb，cb，kb）是Q（可逆且已知）下毛刺分布损耗的pdf，那么我们可以通过直接从f（x，ζb，cb，kb）生成密度f（ν）（x，ζb，cb，kb），然后应用具有常数cR的接受-拒绝算法来生成密度f（ν）（x，ζb，cb，kb-ν))]-1、在测度P（ν）下，在下面的伪码中对仿真算法进行了总结。P（0）的算法是类似的。生成Lt1算法的关键步骤。对于间隔ti-1对于ti，生成泊松实现ni，强度为ti-1λudu。2、通过接受-拒绝算法从f（ν）（x，ζb，cb，kb）生成nirealisions：（i）从U（0，1）和密度为f（x，ζb，cb，kb）的独立x生成U。（ii）如果U<f（ν）（X，ζb，cb，kb）cRf（X，ζb，cb，kb），则接受X，否则返回步骤（i）。（ii）继续，直到绘制f（ν）（x，ζb，cb，kb）的NIrealisions。继续到时间tN，连续添加已接受的变现。在给出数值结果之前，我们现在对第5节的其余部分进行简要概述。最重要的IL-Cocate方面将是转换特性（即Ifrom定理4），因此我们将重点分析不同类型的IL-Cocate。对于转换功能，考虑了两种截然不同的转换价格，并通过蒙特卡罗模拟对每种价格进行评估。方程（39）、（44）和（45）中与损失过程相关的概率（即P（Lti<D）=P（τ>=ti））也通过蒙特卡罗模拟停止时间的分布来评估。

然而，方程式（39）、（44）和（45）以及方程式（60）中与酯交换过程有关的剩余项通过可用的封闭式溶液进行评估。因此，第5.1节考虑了IL CoCocate具有KP恒定转换价格的情况，而第5.2节考虑了转换价格是股价函数的情况，即KP=Sντ表示ν∈ [0，1）。后者包括KP=Sτ时的特殊情况，因为转换价格设置为sh是转换时的价格。最后，第5.3节比较了三种情况下IL-CoCocate的价格行为：当KP为常数时，KP=Sτ，KP=S0.5τ。注意，指数倾斜是一种情况。为了有效模拟重尾密度f（x，ζb，cb，kb），我们使用重要性抽样（见Giuricich和Burnecki[32]）。0.6200.81155价格1.24Fixed strike（KP）1.41031011阈值水平（D）1.6251000.5 1.5 2.5 3.5 4 4.5到期时间0.30.40.50.60.70.80.911.11.21.3定价=1.3 1010D=2.5 1010D=3.7 1010）（a）（b）图3：（a）IL CoCocate价格作为转换价格（KP）和阈值水平（D）的函数，使用损失过程的100000蒙特卡罗模拟计算，Lt.（b）三个不同阈值水平的IL-CoCocate价格作为期限（T）的函数，使用损失过程的100000 Mo nte Carlo模拟计算，Lt，takin gKP=8.5.1。案例1：关键绩效指标（KPI）是一个恒常变量。首先，我们研究了在不断变化的恒定转换价格（KP）和阈值水平（D）的背景下，IL CoCocate价格的行为。