调查交叉持股的配置：联合

这种“公平性”在Frank和Claytoncopulas的情况下更为明显，其校准参数表明，左尾依赖（Clayton）和正相关（Frank）更可能与内外度的均匀分布相关。我们指出，当多样性和整合水平较低时，左尾依赖性与存在强相关性有关。最大值的检测表明，联合分布存在可能的配置，从而导致网络的入度（分布）与出度（分布）解耦。当公司是专门创建的，这样就可能出现这样的情况，从而可能出现一组不同的组合：具有低（高）入度和高（低）出度的节点或具有类似值的入度和出度的节点。例如，在MIB30（[33]，图1）中，IFIPRIV公司是为控制IFIL而创建的，该公司的主要职责是为阿涅利家族的主要公司菲亚特和尤文图斯提供金融服务，因此IFIL只有一个传出链接，没有传入链接-最终所有者是家族成员。在【33】中，引用的论文中的图2显示了一个公司列表，其中唯一的联系是因为需要使用金融机构，即inturn，获得融资公司的所有权。银行和保险公司的角色给出了一个导致kinand Kout在单个节点上的价值差异很大的情况：因为他们向其他公司提供资金，所以他们获得了所有权，而所有权有许多传出链接。另一方面，他们利用保险公司将自己的部分风险转移给他们。

在【33】图1左侧，MPS银行和UNIPOL保险公司的案例清楚地证明了这种情况。5.3案例3：边缘取决于参数上一节显示了案例研究。在文献中，大多数Kout遵循幂律，指数在一个范围内（2，3）。few0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.41.61.82Gumbelθ0 10 20 3011.52θ-10-8.-6.-4.-2 011.52Frankθ0 10 20 3011.52θ-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 011.52θClayton图4：Gumbel、Frank和Clayton的熵函数与参数θ的依赖关系图，根据案例研究的边缘进行计算。显然，定义集内部没有最小值。Gumbel copula在θ=2.13时有一个最大值。离秩copula在θ=9.41时有一个最大值。Clayton copula在θ=6.39时有一个最大值。对Kin的研究表明，大多数情况下，Kin要么是幂律，要么是指数律。在本节中，我们的目标是将以前的结果扩展到幂律指数可能发生变化的更一般的情况。这对应于研究指数变化对熵最大化和最小化结果的影响。值得一提的是，幂律指数对公平价值的存在有着影响。指数越高，减少的速度越快，这意味着度数有很多较低的值，很少有较高的值。例如，在[11]中，MIB30交叉持股网络表现出幂律。事实上，引文中提到的公司更热衷于多元化投资。2008年的危机取消了这种投资，2008年MIB30上幂律指数的值增加就表明了这一点【33】。虽然幂律仍然是最合适的，但分布的形状正在缓慢地移动到一个急剧下降的函数，变成指数分布。

在财富的背景下，在[8]中也显示了同样的分配行为。对于上面列出的每个copula，我们在这里使用以下边际分布寻找最小和最大熵：1。步骤1：kout的幂律，kin的原始数据。步骤2：kout的原始数据，kin的幂律。步骤3：kout的原始数据，kin的指数定律。步骤4：kout的幂律，kin的幂律。步骤5：kout的幂律，kin的指数律。最后两个案例对应于最一般的案例，独立于案例研究。对于其中的每一个，都测试了方法学部分中列出的所有copula。为了简洁和信息丰富，我们在这里仅介绍步骤1。感兴趣的读者可以在附录B.5.3.1第1步：kout的幂律和Kin的原始数据中找到其他情况。在这种情况下，我们考虑累积分布P（kout<x）=ax-k+1。我们不考虑更一般的函数形式ax-k+1+b，因为这类问题中的密度随着k的增加而消失，所以b为0。参数a由归一化条件P（kout<∞) = 1、我们已经指出，参数在该范围内调节质量分布。较低的k值会导致更大的流量分布；k值越高，偏斜度越大，因此累积分布函数在范围的开始处快速增长；反射点正在向左移动。偏度的增加导致kin分布的对齐，从而增加分布的峰值和浓度，从而使熵最小化。下面，我们报告了参数和非参数copula的结果。参考非参数copulas的图在x轴上报告了非参数copulas的k。

参数copula依赖于k和θ，但三维可视化不如二维可视化清晰。因此，参数copula的可视化更加清晰，将熵作为θ的函数（在x轴上）绘制为k的不同意义值（对应于不同的曲线）非参数copula：图5显示了熵作为k函数的行为。上Frechet界和乘积copula非常重叠：熵随着k的增加而增加。实际上，在Koutt的边缘，当质量被推到kin的最高质量浓度时，熵是最小的，即在域的左侧边界，尽管它不应该变得比kin的经验分布更尖锐。这与附录中的理论一致，也与众所周知的事实一致，即随着分散度的减小和质量的集中，熵最小。下Frechet copula具有相反的行为。档位叉内部没有最小值和最大值。所有三个都显示出最大值：对于k=0.46和H=2.12（乘积），k=2.2和H=0.97（下Frechet），k=1和H=2.09（上Frechet）。k最有趣范围内的唯一最大值∈ （2，3）是上Frechet。在Frechet公式中，还有另一个局部极大值，k=0.81和H=0.52，以及两个局部极小值，k=0.71和H=0.50，k=0.91和H=0.48。上Frechet中的其他局部波动不会导致其他局部最大值或最小值。随着k的增加，所有熵都在减小图6显示了允许koutis幂律指数变化时的熵函数。因此，边际分布可以改变，仍然是一个幂律。另一个边际由kin的案例研究给出。边缘分布通过Gumbel copula组合。

在θ=1的原始数据上检测到的最小值消失了，并且一个渐近行为仍然存在：θ的熵在减小→ ∞, i、 e.在向Frechet上界收敛的情况下。因此，当copula是乘积或所考虑的量完全正相关时，可以获得最小熵。再一次，我们可以注意到熵随着分布浓度的增加而减小，可能达到狄拉克的德尔塔函数。由于kin上的边缘是固定的，当通过另一个边缘的质量集中在kin的最高峰（即左边界）时，获得的最小值。这种影响通过增加kout边缘的陡度来实现。k值越高，质量越集中在左边界上。copula的应用强调了这一影响。由于两个边缘都是左偏的，因此乘积给出了k值的quitea范围的最小值。然而，熵随着θ的减小而减小→ ∞,达到低于最小值的值（如果存在）。因此，只要幂律斜率较大，任何浓度限值都可能超限。我们已经注意到，大多数系统显示指数在2到3之间的幂律。这可以防止注意力不集中。对最大值的分析差别很大。随着k的增加，最大值被推到θ范围的左侧，对于k的高值，即在独立的情况下，趋向于1弗兰克copula。此外，对于Frank copula，随着幂律参数的变化，存在不同的配置。

图7概述了θ<0（左侧）和θ>0（右侧）的情况。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.40.60.811.21.41.61.822.22.4kH产品FrechetUpper-FrechetFigure 5：该图显示了三个非参数copula的熵对k的依赖性。1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 5 5 5 5 5 6 1.51.61.71.81.9HGumbel k=31 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 1.161.181.21.22H k=51 1.5 2.5 3.5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 60.9811.021.04θH k=9图6：图中显示了熵（y轴）作为θ（x轴）函数的三种情况。边缘是：koutand的幂律来自kin的案例研究。它们通过一个Gumbel copula组合在一起。在所有情况下，函数都以θ递减→ ∞. 最大值得到了很好的证明，就像我们的案例研究一样。随着k的增加，最大值移动到左边界。θ<0时的Frank copula得出的结果类似于图4第二行的左侧：没有最小值。此外，熵的值随着θ的增加而增加。然而，对于每个固定θ，熵的值随着k的增加而减小。如果θ>0，则随着k的增加，最大值向右移动。因为0不属于定义集，所以存在nominimum克莱顿copula。图8显示了取决于幂律参数的情况。对于θ>0，子图显示，随着k的增加，最大值移动到右侧。存在nominimum，因为0不属于定义集，所以存在nominimum。对于θ<0，θ=-1、对于k.6结论的任何值，本文提供了对市场集中度的详细分析，这是通过对多元化和一体化的联合分析得出的。这些概念与交叉持股矩阵和相关熵测度所描述的网络密切相关。

特别是，公司的外度价值正式确定了其多元化，而内度价值则与其在股东网络中的整合有关。此类程度的分析可能与监管机构相关，监管机构需要确定阈值，并最终捕获早期信号以防止集中。文献研究表明，描述多样性和整合的最常见概率是幂律和指数律。分布参数调节其形状。然而，与浓度演化最相关的是输入和输出度之间的耦合。矩阵各组成部分之间的依赖关系（输入和输出度）在此通过适当选择的copula捕捉。其中，最突出的非参数copulas例子-乘积和Frechet界-也包括在内。通过最小化熵可以达到浓度的最大值。当一个边际分布固定时，结果表明，当其他边际分布聚集在参考边际分布的质量中心时，达到最小熵。相反，达到系统最大无序的可能性受到内外度之间的依赖结构的影响；这样的体是通过合适的连接词捕获的。因此，本文为现有文献的某些特定方面添加了新的视角。首先，投资组合所有者不被视为市场外部的，但他们是市场的一部分。这意味着引入了整合和多元化的概念；suchan方法在关于公司绩效的文献和关于公司互动的文献之间架起了一座桥梁，其中公司在网络中的嵌入是一个关键因素。

其次，我们的分析基于文献和案例研究中的可用数据，以探索在考虑集成和差异时导致最大/最小熵的配置。这里的浓度是指多样化和一体化之间的最大相关性。由于测量方式的不同，它与网络上众所周知的分类不同：相关性是指根据原始数据测量的差异和整合之间的相关性【29】。不同的是，浓度通过-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.922.12.2HFrank（θ<0）k=1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.51.551.61.65H k=2-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.141.161.181.2Hθk=30 10 20 3022.22.42.62.8HFrank（θ>0）k=10 10 20 301.11.21.31.41.5H k=30 10 20 300.680.6820.6840.6860.688θH k=7图7：熵（y轴）作为θ（x轴）函数的三种情况。边缘是：库塔的幂律和亲属案例研究的经验分布。它们通过一个Frank copula组合。当θ>0时，随着k的增加，最大值移动到θ的较高值。由于0不属于定义集，因此没有最小值。图的左侧：在所有情况下，θ的函数都在增加→ 0+和θ递减→ -∞.-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.511.522.5HClayton（θ<0）k=1.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 011.21.41.61.8H k=2.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 011.11.21.31.4θH k=2.50 5 10 152.22.32.42.52.6HClayton（θ>0）k=1.00 5 10 151.61.822.22.4H k=2.00 5 10 151.41.61.8θH k=2.5图8：图中显示了熵（y轴）作为θ（x轴）函数的三种情况。边缘部分是：forkin案例研究中koutand的幂律。它们通过参数θ<0的Clayton copula组合。左图显示θ<0的情况。θ=-1，对于k的任何值。右图显示θ>0的情况。

随着k的增加，最大值移动到右侧。对于任何k，函数为θ递减→ -∞.熵和在不同相关结构的假设下，通过连接函数表示。致谢作者感谢Anna Maria D\'Arcangelis教授提供数据和富有成效的讨论参考文献[1]Aoyama，H.，Fujiwara，Y.，Ikeda，Y.，Iyetomi，H.，Souma，W.《经济物理学与公司：复杂商业网络中的统计生与死》。剑桥大学出版社2010。[2] Bellenzier L.，Grassi R.，意大利连锁董事会：网络动力学中的持续链接，经济互动与协调杂志，2014年9（2）183-202。[3] G.Caldarelli，《无标度网络：自然与技术中的复杂网络》，牛津大学出版社，2007[4]Chang，X.，Wang，H.基于复杂网络的交叉持股结构特征和演化分析，《自然与社会中的离散动力学》（DiscretedDynamics in Nature and Society）2017文章ID 5801386，7 pageshttps://doi.org/10.1155/2017/5801386[5] A.Chapelle，A.Szafarz，《通过多数表决规则控制公司》，Physica A，2005年355509-529。[6] Cimini，G.、Serri，M.，《银行间市场的信贷和融资冲击》，PloS One 2016 11.8:e0161642。[7] Clayton，D.G.，双变量生命表关联模型及其在慢性病发病率家族趋势流行病学研究中的应用。Biometrika 1978 65（1）141-151。[8] Clementi F.、Gallegati M.、Pareto收入分配法：德国、英国和美国的证据。财富分配的经济物理学，斯普林格，2005年3-14。[9] Croci E.，Grassi R。。意大利连锁董事会的经济影响：使用中心性指标的新证据，计算与数学组织理论，2014 20 89-112。[10] Delpini，D.、Battiston，S.、Riccaboni，M.、Gabbi，G.、Pammolli，F.和Caldarelli，G。。

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