实物期权估价中的模型风险

对于风险承受能力的典型值，电力公司生产可靠的ROV，但具有极高风险承受能力的对数或双曲线效用表示可能更合适，前者提供的ROV比后者更大。请注意，这些结果还表明，我们可以使用指数和对数效用值作为其他HARA效用值的上下限，范围为0<λ<1.4.4相对大小项目相对于决策者的初始财富w越大，当前项目价格越高，并且（对于GBM中的固定u和σ），财富的最终变化越大。因此，如果决策者非常厌恶风险，ROV可能会随着项目规模的增加而减少（相对于财富）。然而，如果决策者具有很高的风险承受能力，则可能会出现相反的情况，即相对于初始财富，ROV实际上可能会随着项目规模的增加而增加。我们没有发现之前对这些问题以及答案与投资成本结构的关系进行过调查。最近的研究是Choi、Kwak和Shim（2017），他们认为，对于具有固定投资成本的CRRA公用事业，ROV将随着项目规模相对于初始财富的减少而增加。请注意，CARA公用事业也会受到类似的影响：尽管指数公用事业价值与初始财富无关，如前3.4节所述，但CARA ROV仍取决于期权报酬的波动性，这会随着项目投资规模的增加而增加。在本节中，我们使用我们的模型来量化项目规模的影响，方法是将初始财富划分为100万美元，并假设PI为100万美元、100万美元或1000万美元，将所有其他实物期权特征固定在该值（17）。

我们只描述指数和对数ROV，因为从上一节来看，这些是HARA实用程序的近似上下限。图2：指数和对数效用下的实物期权值作为风险容忍度λ的函数，T=5，t=1/12，k=3，r=~r=5%，u=15%，σ=50%，k=p=0.1美元，1美元，1000万美元，w=100万美元，0.1≤ λ ≤ 100，ROV（百万美元）。两个轴的对数刻度。10-110010110210-910-710-510-310-1101λ选项值α=0 10-110010110210-310-310-210-1100101α=1λ期权值指数（p0=0.1）对数（p0=0.1）RNV（p0=0.1）指数（p0=1）对数（p0=1）RNV（p0=1）指数（p0=10）对数（p0=10）RNV（p0=10）图2显示了0.1和100之间局部风险容忍度λ不同值的ROV，两个轴均以10为基数绘制。我们超出0<λ<1的范围，以检查遥控潜水器的会聚为λ→ ∞, 用于与RNV案例进行比较。我们在左侧描述了α=0（按市场价格投资）的ROV，在右侧描述了α=1（p固定ATM罢工）。最大投资（p=10 w）的值用红线表示，最小投资（p=0.1 w）的值用黑色表示，中等投资（p=w）的值用蓝色表示。在每种情况下均为λ→ ∞, ROV收敛于风险中性投资者获得的值，该值随p增加。在这两个图中，项目投资的相对规模决定了ROVtoλ的敏感性，较大的投资具有对风险容忍度更敏感的ROV。考虑左手图（α=0），其中选项是以市场价格投资（Kt=p-t） 因此，期权价格为零。

鉴于推动市场价格动态的GBM过程的漂移和波动性不受p的影响，所有0<λ<1的决策者都会倾向于较小的投资而不是较大的投资，但随着风险承受能力的增加，较大的投资变得比较小的投资更有吸引力。还要注意的是，参数η，即风险承受能力随财富增长的速度，对ROV的影响要小得多，因为指数和对数值始终彼此接近。随着λ的增加，ROV向风险中性主观值收敛，该值为非零（因为u6=r），并且随着项目规模的增加而增加。相比之下，在右侧图2中，成本k固定为100万美元（即α=1），由虚线水平线标记的RNV为非零。小于ROV收敛为λ的风险中性主观值→ ∞, 只是因为我们在这种情况下选择了u>r；如果我们设置u<r，无论投资规模如何，RNV都会超过图中的渐近值。当我们从可变成本结构转变为固定成本结构时，主要区别在于较大的投资总是排名最高。指数ROV（实线）现在远低于对数ROV（虚线），表明关于η的假设可能很重要，尤其是对于面临固定执行选择权的高风险决策制定者来说，投资高价项目。

一般来说，风险中性决策者将更高的级别归因于更大的投资；规避风险的决策者也倾向于参考更大的固定罢工投资；但是，当一项投资处于市场价格时，即使是价值风险厌恶程度很低的投资者，规模较小的投资的排名也会更高。5价格过程动态中的模型风险Slade（2001）介绍了一个包含三个状态变量（价格、成本和储量）的模型，发现为这些过程选择的动态模型对ROV有很大影响。特别是，与非平稳过程相关的期权值系统地大于可比较的平稳值。此外，假设价格/成本过程的GBM大大高估了相对于均值回复情况的期权价值。然而，除了两个显著的例外（下文将详细讨论），所有研究实物期权对价格过程假设敏感性的实物期权文献都采用了风险中性范式。第5.1节探讨了GBM价格过程的参数如何影响ROV。这一问题在之前的许多论文中都进行了分析，尽管是在一个特定的实际应用中，在这个应用中还做出了其他基本假设，通常是RNV。因此，我们在本研究的背景下，基于HARA实用程序，得出了更一般的结果。接下来，在第5.2节中，我们考虑了当决策者的观点被“繁荣-萧条”过程（3）捕获时，投资项目的选项，在这个过程中，长期的积极价格势头可能会随之而来崩溃。在此背景下，以前没有分析过模型风险问题。最后，在第5.3节中，我们分析了相信均值回复价格过程的决策者的实物期权（4）。

之前有一些关于这一扩展的文献，如下所述，但我们能找到的所有论文都是基于RNV的。5.1根据项目的成本结构和决策者的风险偏好，风险敏感性风险可能随波动性而降低或增加。之前的许多工作，基于对基础价格过程、成本和估价措施的各种不同假设，发现ROV随着决策者的增加而增加，对u和σ具有主观价值，但如果决策者缺乏对其观点的信心，这些可能是高度不确定的。事实上，虽然决策者可能会失去耐心等待，从而导致期权薪酬预期效用的贴现率增加，但更可能的是，她对自己的观点高度不确定，并随后调整了u和σ的主观值。在这种情况下，重要的是检查遥控潜水器对项目预期收益和风险的敏感性。波动。只有少数论文质疑这一结果，认为这种关系在某些情况下可以逆转。例如，Alvarez和Stenbacka（2004）假设固定成本和凹效用，并认为当期权的预期收益率随时间呈凸函数时，波动率的增加会降低等待期权的价值。Choi、Kwak和Shim（2017）假设GBM成本和CRRA公用设施，并证明当贴现率足够低时，ROV可以随波动性降低。在本节中，我们使用我们的一般框架来捕捉随σ增加ROV的下降或增加，从而证明ROVto波动的敏感性在很大程度上取决于模型假设。图3：λ=0.2的指数和对数效用下的期权值，作为投资者对预期回报u和波动率σ的客观观点的函数。

ROV价值（单位：百万美元），p=100万美元，w=1000万美元，r=5%，T=5，t=1/12，k=3.5%10%15%20%25%10%20%30%40%50%00.511.5uα=1σ期权值5%10%15%20%25%10%20%30%40%50%00.511.5uα=0σ期权值指数对数图3描述了作为GBM市场价格过程漂移和波动的函数进行投资的实物期权值，其他参数如图例所示。当α=0（左图）时，由于决策者的风险规避，期权价值总是随着不确定性的增加而减少。对于高不确定性（σ大于约30%），指数效用值为零：投资机会毫无价值，因为价格永远不会下跌到足以使投资产生效益的程度（决策者认为）。相比之下，当预期回报率大于10%左右时，对数效用总是为正值，但随着波动性的增加，决策者更可能推迟投资。实际上，选项值在每u处σ单调递减，在每u处随u单调递增。

然而，支持这种关系的近期文献包括：Franklin Jr（2015）、Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）、Bockman、Fleten、Juliussen、Langhammer和Revdal（2008）以及Alvarez和Stenbacka（2004）——这些文献假设了GBM价格过程；Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018年）以及Mu▄noz、Contreras、Caama▄no和Correia（2011年）——这些论文设定了均值回复价格过程；关于成本，当这些成本固定时，RNV期权价格当然会随着波动性而增加，但更一般地说，Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）、Franklin Jr（2015）、Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）以及Alvarez和Stenbacka（2004）以确定的投资成本假设，而Mu noz、Contreras、Caama no和Correia（2011）和Bokman、Fleten，Juliussen、Langhammer和Revdal（2008）将投资成本设定为随机的；对于Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018年）、Franklin Jr（2015年）、Bockman、Fleten、Juliussen、Langhammer和Revdal（2008年）以及此处引用的大多数其他论文，在风险中性措施下对期权进行了估值——例外情况包括Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011年），他们采用了HARA效用，Alvarez和Stenbacka（2004年）考虑了凹型效用和Munoz，Contreras、Caamano和Correia（2011）采用了带有风险调整贴现率的实物计量。固定罢工方案（即α=1）的ROV波动敏感性差异很大。例如，当u较低时，对数ROV可以随着σ的增加而减小。当u=r时，对数随σ单调增加，如RNV情况。期权价值对u和σ的敏感性也随着风险承受能力的增加而降低。对于α=0和指数效用的情况，我们给出了一个简单的数值例子。假设u=20%。

如果λ=0.2，当σ=40%时，期权价值为1148美元，当σ=20%时，期权价值为241868美元（几乎大211倍）。当λ=0.8时，当σ=40%时，期权价值为167716美元；但现在当σ=20%时，它只会增加大约4倍，达到713812美元。类似地，fixingσ=20%，但现在将u从20%减少到10%，λ=0.2的值从241867美元变为109美元（2210倍），而λ=0.8的值从713812美元变为113959美元（仅约6倍）。因此，在风险承受能力较低的情况下，期权价值对u和σ的敏感性要高得多。对数和其他HARA实用程序也存在类似但不太明显的影响，可以通过可下载的代码进行验证。5.2动量任何市场都会经历繁荣和衰退，或周期性崩溃的泡沫。举几个例子：支撑相关采矿项目的黄金价格最近在2016年达到了apeak，自那时以来一直在下降；加密货币比特币（cryptocurrencyBitcoin）价格的飙升，导致基于初始货币发行（ICOs）的项目价值在过去几年中长期上涨和下跌；自第二次世界大战以来，房地产市场经历了数次繁荣与萧条。很明显，当投资期限还有很多年时，决策者可能希望在其关于预期回报的观点中考虑长期的上涨和/或下跌趋势市场。为便于说明，请考虑一个10年期内的简单繁荣-萧条情景：预期回报率为负，前n年为u<0，其余10年为正，u>0-n年。根据对房地产值的观察得出近似参数值，我们设置u=-10%，σ=50%和u=10%，σ=30%。我们假设每个季度都会做出决策在价格演变树中，t=0.25，setr=5%。

表3中给出的ROV适用于具有指数效用的决策者，风险承受能力在0.2到1之间变化，衰退被认为持续n=0、2、4、6、8或10年。当n=0或n=10时，我们有一个标准的GBM价格过程，因此对于任何给定的λ，表上部的项目，采用市场价格投资选项（α=0）的ROV低于表下部采用固定罢工选项（α=1）的项目的ROV。然而，对于中间值n，按市价投资期权的价值通常高于固定罢工期权。随着n的增加，这种排序变得更加明显，因为当α=0时，投资成本随着n的增加而减少，如果投资后价格上涨，收益将大于，根据Vanguard REIT交换交易基金（VQN）2005年1月至2006年12月的月度数据计算得出的平均年化回报率为21%，波动率为15%。然而，从2007年1月到2009年12月，房地产市场崩盘，VQN的平均年化回报率为-13%，波动率为58%。但从2010年1月到2011年6月，其平均年化回报率为22%，波动率为24%。为简洁起见，未提供剥离期权或不同公用事业下投资期权的结果，但可根据要求提供。定性结论相似。表3：市场价格随时间变化漂移的影响，第一年的下降趋势价格随后是剩余10年的上升趋势价格- n年。具有不同风险容忍度水平的指数效用，λ=∞ 对应于风险中性（线性效用）值。粗体的实物期权值是给定λ的最大值。

p=100万美元，w=100万美元，T=10，t=0.25，k=1，t=t- t、 r=5%，u=-10%，u=10%，σ=50%，σ=20%。α=0 2 4 6 8 10λ0.2 866 382918 727922 438482 174637 00.8 211457 1230035 2297909 1148695 370354 01.0 266752 1349295 2552434 1300724 406567 0∞ 648173 2234361 4777950 5308672 1045800 0α=n 0 2 4 6 8 10λ0.2 164721 391060 552578 194371 51040 50220.8 392866 961279 1704007 692529 159663 149431.0 432280 1064416 1938157 821733 186257 17191∞ 740493 1989551 4339659 4860376 841706 50787固定成本选项。无论成本结构如何，在本例中，首选投资是繁荣和萧条期大致相等的投资。5.3均值回归一些早期研究分析了基于项目价值过程中均值回归的投资实物期权，但与Slade（2001）一样，这些论文假设风险可以完全对冲，因此EmployernV:Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）考虑了一个具有确定性成本的离散时间模型，其中基础商品价格是均值回归；Jaimungal、de Souza和Zubelli（2013）在一个具有均值回复项目价值和投资成本的双因素连续时间序列中表明，投资阈值取决于项目价值和成本之间的比率。在风险中性的世界中，众所周知，期权价值将随着均值反转变得更强而降低；从某种意义上说，增加均值回归的速度类似于减少波动性。当我们对风险厌恶的投资者进行效用评估时，也是这样吗？我们可以使用我们的模型来回答这个问题，通过研究风险规避决策者对价格均值反转的信念如何影响她的ROV。为此，我们假设项目价格遵循OU流程（4），即“p=p”。