实物期权估价中的模型风险

我们的投资成本可能具有预定和/或随机成分。行权机会是离散的，使用二项价格树建模，决策节点对应于行权的可能性，每k个步骤放置一个决策节点，直到确定决策范围T。决策的结果（在时间0时作出）在某个有限的投资期限T>T进行估值。此外，决策者的特征是她的初始财富，w代表其所有资产的当前净值，以及反映其风险承受能力λ的HARA效用函数U（w），以及该函数如何随财富变化。3.1市场价格和现金流所有未来市场价格和现金流均以时间0表示，按照决策者的借款利率r进行贴现。因此，投资者以利率r借入资金进行投资，而不是从其初始财富中筹集资金，因为其初始财富不可用于投资本项目。我们假设R是一个恒定的无风险利率。首先，我们允许项目的市场价格遵循GBM，因为我们不将这些期限等同于投资的到期日，即项目的现金流可能会持续，因此市场价格不受现金流贴现预期值的限制。该比率取决于财务人员感知的项目商业风险，而不是决策者感知的风险。

这也可能取决于决策者的信用评级，但这种假设在实物期权文献中并不常见。为了避免额外的复杂性，我们不认为项目可以从财富中融资，即使如果财富是流动的，并且r大于财富回报率，这是合理的，通常情况下，因此贴现的远期市场价格P为：dptpt=（u- r） dt+σdWt，对于0<t≤ T、 （1）其中u和σ是决策者与PTA和Wtis Aviener过程相关的主观漂移和波动性。那么pt有一个对数正态分布，pt~ 日志N(u - r） t，σt.可以方便地使用（1）的二叉树离散化，其中价格可以通过因子u和d向上或向下移动，因此pt+1=概率为π的ptu，否则pt+1=ptd。偶然审查了至少十一种不同的GBM二项式参数（2008年）。Smith（2005年）、Brand▄ao和Dyer（2005年）、Brand▄ao、Dyer和Hahn（2005年、2008年）、Smit和Ankum（1993年）以及其他人采用了Cox、Ross和Rubinstein（1979年）的“CRR”参数化。然而，Jarrow和Rudd（1982）的参数化，这是期权交易者常用的，对于低水平的波动性和树中只有几个步骤时更稳定。因此，我们设定=u - r- 0.5σt、 u=em+σ√t、 d=em-σ√tandπ=0.5。（2） 其次，我们采用了（1）的修正，通过区域依赖过程表示“繁荣-萧条”情景，该过程在一个持续的时期内呈上升趋势，波动率较低，在另一个持续的时期呈下降趋势，波动率较高。因此我们设置：dptpt=(u- r） dt+σdWt，对于0<t≤ T、 （u- r） dt+σdWt，对于T<T≤ T、 （3）最后，我们考虑决策者认为市场价格将意味着在相对较短的时间范围内恢复的情况。

为了说明这一点，我们假设预期回报在价格上涨后减少，但在价格下跌后增加，如在Ornstein-Uhlenbeck过程中：d ln pt=-ψlnpt'pdt+σdWt（4），其中ψ表示长期价格水平p的平均回归率。继Nelson和Ramaswamy（1990）（NR）之后，我们对离散化的奥尔斯坦-乌伦贝克过程采用以下二叉树参数化：u=eσ√t、 d=u-1（5a）πs（t）=1，0.5+νs（t）√t/2σ>10.5+νs（t）√t/2σ，0≤ 0.5+νs（t）√t/2σ≤ 10，0.5+νs（t）√t/2σ<0（5b），其中νs（t）=-ψlnps（t）u'p（5c）是对数价格过程的局部漂移，因此价格过程具有局部漂移：us（t）=-ψlnps（t）u'p+ 0.5σ+r.（5d）注意，当ψ=0时，有一个0.5的常数跃迁概率，NR参数化等于m=0的参数化（2）。现金流可能取决于项目的市场价格（例如，医药销售收入或物业租金）。为了捕捉这一特征，我们让s（t）表示时间t的市场状态，即从时间0到时间t的市场价格路径，写为一个U和d的字符串，带有t元素，例如s（3）=uud。让CFs（t）表示时间t时s（t）状态的现金流。关于现金流作为股息，我们将不包括时间t之前和时间t的所有现金流的价格称为“除息”价格，表示p-s（t）。在现金流CFs（t）时，市场价格遵循从p-s（t）至p+s（t）=p-s（t）+CFs（t）。如果投资者在时间t投资项目，则不会收到CFs（t），但如果投资者在时间t投资项目，则会收到CFs（t）。分割收益率定义为δs（t）=p+s（t）- p-s（t）p+s（t）。（6） 我们假设股息收益率具有确定性和时间依赖性，但不依赖于状态，使用简单旋转δt。

那么，现金流取决于时间和状态。3.2投资和撤资的成本和收益关于成本的假设是实物期权价值的关键决定因素。例如，如果成本是随机的，并且与鞅贴现项目价格完全相关，那么RNV价格将为零，但风险厌恶型投资者仍然可以对此类决策机会给予正价值。我们应考虑可能与市场价格相关的固定、确定性或随机投资成本，因为这与许多实际情况有关（例如购买土地用于开发或投资于药物研究）。因此，时间t的投资成本，按时间0计算，为：Kt=αK+（1- α） g（p-t） ，0≤ α ≤ 1，（7）其中K是时间0项中的常数，g:R→ R是一个将投资成本与市场价格联系起来的实值函数。此功能控制项目成本和市场价格之间的相关性。例如，当g是线性的且在增加时，成本与价格是完全相关的。当α=1时，我们有一个带有预定走向K的标准实物期权，例如可能用于石油勘探决策的期权。当α=0时，只有一个可变成本，这是一个确定性函数。另一种假设是，她只有在投资时才能在时间t收到现金流。subscript s（t）表示携带下标t的随机变量的特定实现，例如p+uu和p-uU当t=3时，实现Pt的左右极限。从现在起，我们只在需要指定市场状态时使用下标s（t），否则我们将使用下标t简化表示法。

此外，假设在时间t，p剥离时未收到现金流-这是一个从右到右的极限，而不是从左到右的极限。如果现金流不依赖于国家，那么股息收益率必须依赖于国家。由于市场价格是自相关的，因此现金流的状态依赖性在它们中产生了自相关。因此，如Smith和Nau（1995）和Smith和McCardle（1998）所述，确定未来现金流的可加分离多元效用可能会有问题。市场价格p的-t、 这可能用于房地产、研发或mergerand收购选项。0<α<1的中间情况具有固定和可变成分的投资成本。我们假设初始财富具有恒定的无风险贷款利率r，支付的任何未再投资的现金流也是如此。支付给项目的任何现金（如开发成本）均按照借款利率r进行融资。在时间t时，投资决策者的财务收益（行动I）是任何已支付且未再投资的现金流加上项目的终端市场价格之和。因此，T时决策者的财富，按时间0计算，在T时投资后，T=e（~r-r） Tw+TXs=t+1e（▄r-r） （T-s） CFs+p-T- 千吨级。（8） 一些项目不支付现金流，或者支付的任何现金流都会重新投资于该项目。在时间t投资的财务收益，以时间0表示，就是从时间t开始的项目的累计股息价格ept。如果在时间t作出投资决定，则0≤ t型≤ T，然后是ept，T=pt，但ept的演变，对于T<s≤ t与PSE不同，因为ept将从t开始逐渐累积所有未来现金流。在这种情况下，当决策者选择在时间T投资其财富时，时间T为0，T=e（~r-r） Tw+ept，T- 千吨级。

（9） 请注意，如果▄r=r，则也选择=t+1e（▄r-r） （T-s） CFs+p-T=~pt，Tin（8）。类似地，如果决策者在时间0时已经拥有项目，并选择在时间t时剥离（行动），则其财富在时间t时的时间0价值t=e（~r-r） Tw+t-1Xs=1e（￠r-r） （T-s） CFs+p+t- p、 （10）请注意，这里减去了pis，因为我们假设投资者已借入资金投资该项目。或者，如果没有现金流，或进行了再投资，ewSt，T=e（~r-r） Tw+ep0，t- p、 （11）最后，时间t的延期决定产生的财富wDt取决于她以后是否投资（或投资）。因此，必须使用下一节中所述的反向归纳法计算。3.3最优决策和实物期权价值通过U:R表示决策者的效用函数→ R、 与任何决策问题一样，我们应将投资产生的结果的预期效用与基本情况替代方案的效用进行比较，在这种情况下，基本情况替代方案是什么都不做（因此，最终财富仍然处于赢时0条件）。为简洁起见，我们仅描述了投资决策的后向归纳步骤，但对于资产剥离决策，这一步骤类似。也就是说，对于撤资决策，我们将重新投资产生的结果的预期效用与撤资备选方案的效用进行比较。在时间t投资的期权具有时间0效用值UIt，t=U智慧，T, 但由于wIt是随机的，所以我们使用预期效用hui（T），Ti=EhUwIs（t），ti、 作为点估计。然后，给定时间t的特定决策节点，例如当市场处于状态（t）时，潜在投资者选择投资当且仅当指数（t），指数>指数（t），指数，我们设定美国（t），t= maxnEhUIs（t）、Ti、EhUDs（t）、Tio。

（12） 由于在作出投资决定后没有进一步的决定，因此可以使用从s（t）州获得的最终财富价值及其相关概率的效用，直接对EhUIs（t）进行评估。然而，EhUDs（t）并不确定在时间t+1的决策节点上投资还是延期是最优的。因此，每个决策节点的预期效用必须通过Backardinduction计算。首先，我们评估树中最后一个决策节点的（12），即optionexpires所在的时间T。只有投资者在每个节点推迟到此时，这些节点才可用。我们将每个最终决策节点与最大值（12）关联，并选择相应的最优动作I或D。现在选择倒数第二个决策节点；假设是在时间T-kt、 如果我们使用组合二叉树来模拟市场价格的演化，它在同一时刻有2个后续决策节点。各市场状态s（T- kt） 具有关联的决策节点。其每一个成功节点都处于市场状态*（T）可从s（T）国获得- kt） ，并具有关联概率πs*（T）由状态转移概率0.5确定，假设我们采用参数化（2）。使用与每个可达到的后继节点相关联的预期效用及其相关概率，我们计算在时间t延迟决策的预期效用- kt、 更一般地，假设决策节点以固定的时间间隔出现，则后向引导步骤为：EhUDs（t-kt） ，Ti=Xs*（t） πs*（t） E类我们*（t） ，t, t=kt、 2公里t、 ，T- kt、 t.（13）在每个决策节点上，我们计算（13），并将节点与最优动作及其对应的最大期望效用相关联。我们重复反向归纳，直到我们在时间0处获得与节点关联的单一预期效用值。

最后，期权价值是确定的。重组假设简化了反向归纳步骤中预期效用的计算。然而，我们不需要二叉树进行重组，这样决策节点的数量就可以随着树的前进而增加。请注意，如果现金流是由时间变化而非状态变化的股息收益率决定的，则状态价格树将重新组合。所以如果树重组，这些概率是0.5k，k0.5k，k/（2！（k-2)!)0.5k。。。。，k0.5k，JR参数化下的0.5k（2）。如果采用CRR参数化，则重组树的转移概率将是更一般的二项概率。该预期效用的当量（CE），减去基本情况备选方案产生的财富，即w，其中CE（w）=U-1（E[U（w）]）对于任何单调递增效用U。当项目无论其未来市场价格如何都不会有吸引力时，最小值0适用。3.4风险偏好在第2节中回顾的以往关于实物期权决策分析的研究中，采用了eitherrisk中性或指数效用函数，可以用公式（w）=-λexp-wλ, （14） 其中，w表示决策者的最终（时间T）财富，用时间0表示，λ>0表示其风险承受能力，γ=λ-1是她的风险厌恶。请注意，w是一个随机变量，取值由决策者对市场价格演变的（主观）观点以及她在时间T之前做出的决定决定决定。根据（14），我们有CE（w）=-λ对数-E[U（w）]λ. （15） 经常使用此函数，因为它具有特殊的属性，使其具有特殊的可拆分性（参见Davis、Kabanov、Lipster和Stoyanov，2006年，第6章）。指数函数（14）是唯一具有独立于决策者初始财富w.2的CE的效用。

风险规避的Arrow-Pratt系数是恒定的，如-U（w）/U（w）=γ。因此，指数效用（14）代表具有恒定绝对风险厌恶（CARA）的决策者，（14）中的λ是绝对风险容忍度。指数效用的CE是独立风险的加性。当xt~NID（u，σ）和WT=x+…+xTthen CE（wT）=uT- (2λ)-1σT。不幸的是，属性1和2非常有限。一个主要的批评是，当初始财富发生变化时，CARA决策者将分配给风险投资的美元金额保持不变；事实上，决策者的财富对其期权估值没有影响。属性3意味着，当现金流为正态且独立分布（NID）时，决策者在t时现金流总和的风险溢价为（2λ）-1σt，因此它以（2λ）的速率随时间变化-1σ.这可用于推导通常适用于DCF模型的风险调整术语，并在Copeland、Koller和Murrin（1990）的畅销书中给出。经济分析通常基于跨时期消费框架，例如Smith and Nau（1995）和Smith and McCardle（1998）中的instanceas。这里，决策标记有一个多变量效用，由连续独立未来上的时间齐次指数效用之和给出。换句话说，在w上加一个常数只会导致a ffne转换，而该转换不会改变效用的形式。这也称为“delta”属性。这意味着无论w表示损益还是净财富，我们都会获得相同的期权价值和相同的临时决策。设置uexp[ra]=u- (2λ)-1σ给出-ra=对数[1- (2λu)-1σ]，所以ra≈ (2λu)-1σ.现金流。这些特殊的假设是必要的，因为只有这样CE加性才是过独立的随机变量，ROV是通过CE上的反向归纳获得的。

但在金融领域，所有公用事业都以最终财富为基础，并将未来价值折现为时间0，这是一个标准，亨德森（2007）、苗和王（2007）、格拉塞利（2011）以及此后的许多其他公司都是如此。这种贴现是我们方法的一个基本要素，因为它允许在相对于任何HARA效用的预期效用上定义反向归纳步骤，而HARA效用只是终端财富的一个单变量函数。需要注意的是，在此框架中使用指数偏好过度独立现金流将在树中的每个节点上产生相同的决策（投资或延期），因为任何时候面临的不确定性只是初始不确定性的缩放版本。因此，为了超越限制和平凡的指数效用解，我们应该假设决策者被赋予了一个HARA效用，即使这是以分析可处理性为代价的，它可以写成：U（w）=-(1 - η)-1[1+ηλw（w- w） ]1-η-1，对于w>（1- η-1λ）w.（16），其中λ表示当地相对风险承受能力，其以η的速率随财富线性增加。在这里，绝对和相对风险厌恶都会随着财富的增加而增加，这取决于η的值。我们考虑四种特殊情况：当η→ 0我们收敛到指数效用；η=1对应位移对数效用；η=0.5表示双曲线效用；η=λ表示功率效用。4 GBM投资实物期权价值下的模型风险以及备选方案的排名受到大量变量的影响：（i）投资的固定/可变成本结构；（ii）锻炼机会的安排；（iii）投资者的风险承受能力及其对财富的敏感性；（iv）项目相对于初始财富的规模；（v）决策者对市场价格演变的看法。