实物期权估价中的模型风险

在本节中，我们首先研究当决策者具有指数效用且市场价格遵循给定的GBM（1）时，ROV如何依赖于假设（i）和（ii）。然后，我们通过确定风险容忍度λ并观察我们关于λ随财富增长率（指数情况下为零）的假设如何影响ROV来研究（iii）。然后，对于房地产（iv），我们采用指数和对数效用进行说明，说明ROV如何随项目收入相对于初始财富的大小而变化。第5节讨论了ROV对预期回报和波动性的敏感性调查，以及ROV在GBM以外的市场价格过程中的行为。请注意，投资者的风险承受能力及其对财富的敏感性可以使用Keeney和Reiffa（1993）介绍的技术来确定。相对风险承受能力表示为财富的百分比，而不是美元。因此，如果λ=0.4，决策者愿意以大约相等的概率进行赌博，赢得40%或损失20%的财富，但如果x>0.4，她不会赌赢x%或输x%/2的概率（大约）为50:50。从现在起，我们设定r=r。在前一节中，重要的是在所有通用性方面指定模型，但基于使用不同借贷利率的风险建模是一个不太重要的问题，因此留待未来研究。为此，本文附带的可下载代码允许您设置▄r 6=r.4.1投资成本。文献中提出了各种投资成本假设。在某些应用中，例如，当购买了石油开采许可证，并且决定石油的市场价格是否足以保证勘探时，固定罢工或预先确定的成本假设可能有效。

然而，在许多情况下，投资成本与市场价格挂钩。关于投资成本的假设不仅对实物期权的价值及其最佳行使策略有着至关重要的影响，而且对其对输入参数变化的敏感性也有着至关重要的影响。正如Slade（2001）所指出的，大多数论文都没有质疑成本假设对结论的影响，忽略了成本假设引入的潜在模型风险。她证明了在固定成本假设和随机成本假设下建模的实物期权价值有很大的不同。同样，GBM中的恒定漂移假设不允许建模者分析成本下降/上升趋势的影响。显然，如果GBM漂移减小，从而使未来的预期成本降低，期权价值应该增加。Fontes（2008）分析了GBM可变成本假设对ROV的影响，并得出结论，更合适的可变成本处理方法是均值回复。固定成本（其中α=1 in（7））可被视为美式看涨期权的行使，该价值来自看涨期权薪酬的预期效用，对于该效用，行使上方的最终财富分布的上半部分至关重要。相反的极端（α=0）集中在当前价格p以下的终端财富分布的较低部分，其中投资成本最低。尽管在GBM假设（1）下，整个谱中的对数收益率相似，但财富的变化是绝对值，且分布的上部大于下部。因此，与按市价投资的假设相比，按货币固定行使的假设产生了更大的实际期权价值。我们通过购买一个没有相关现金流的项目来说明这些房地产。

假设该项目的当前市场价格为100万美元，投资者认为这将根据表1中规定的u和σ（1）进行演变。无风险借贷利率均为5%。投资期限为T=5年，投资者具有指数效用，风险承受能力λ，初始财富为100万美元。Asλ→ ∞ 我们有一个线性效用，为风险中性决策者提供选项值，并进一步设置u=r给出RNV解决方案。每年做一次决定，所以我们t=k=1。使用（2）我们得到m=0.03，u=1.259，d=0.844和π=0.5。投资成本采用一般形式（7），K=100万美元。我们设定g（x）=x，并将投资成本按市场价格（α=0）与固定时间0成本（α=1）以及固定和可变成本（α=0.5）进行比较。我们还考虑了g（x）=x/2作为市场价格的一部分（在这种情况下为一半）的可变成本，如果α>0，则加上固定成本，并设置g（x）=√x表示可变成本，该成本与市场价格呈非线性增长，因此价格与成本并非完全相关。

当g（x）时=√X可变成本小于（大于）当前市场价格p-tif p-t> 100万美元（p-t<100万美元）。其中包括：Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011年）以及Alvarez和Stenbacka（2004年）使用固定投资成本；Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）、Dahlgren和Leung（2015）和Franklin Jr（2015）采用了确定性成本；Choi、Kwak和Shim（2017年）以及Munoz、Contreras、Caamano和Correia（2011年）具有随机投资成本；Fontes（2008）假设了固定成本和随机成本的混合。然而，该物业仅在GBM市场价格观点下有效，不同价格过程下的反例见第5.2节。表1：与风险中性值（线性效用，即λ=∞, u=r）。此处T=5年，t=k=1，k=p=100万美元，r=5%。

当α=1（第3列）时，期权走向为K；当α=0.5时，各节第1行规定的功能g的期权行使形式为（7）。u=10%克（x）-x√x x/2σ=20%α1 0.5 0 0.5 0 0.5 0λ0.1值47387 29349 0 36260 32222 115185 390296年/州3/uu 4/uu-4/uu 4/uu 4/uu 4/u 4/0.5值199103 117936 43008 166906 129091 323672 561529年/州2/uu 4/uu 4/u 2/ddValue 261839 1572214249 218048 170077 393401 641249年/州3/uu 3/uud 0 4/uu 4/uu 2/ud 0∞值363789 283179 283179 306855 283179 533179 783179年/状态2/uu 0 1/u 0 0 RNV值160122 80030 0 124891 89661 270281 499604年/状态3/uu 4/uu 4/uu 4/uu 4/u=15%g（x）-x√x x/2σ=50%α1 0.5 0 0.5 0 0.5 0λ0.1值37277 5374 0 34229 6454 36865 148551年/州3/uuu 4/uuu-4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/0.5值151743 36014 3023 125942 82806 181581 341763年/州3/uuuu 4/uu 3/ddd 4/uuu 4/ddd值254963 112602 17221766 166120 312741 461455年份/州4/UU4/UU2/dd 4/UU4/UU4/uu 2/dd∞值823324 608935 608935 720471 624340 879799 1108935年/状态3/uuu 0 2/uu 1/u 1/u 0RNV值376412 186519 0 306003 235593 359591 485545年/状态3/uuu 4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/表1比较了λ=0.1、0.5和1的不同决策者在每个成本假设下的ROV，ROV与风险中性决策者的线性效用相对应（λ=∞u=r）。在期权价值下，我们报告了最优行使策略，以年和任何市场状态表示，这是有条件的。例如，如果市场价格在时间0和1之间下移，则1/d表示在时间1进行投资；如果市场价格在时间0和1之间上移，则4/uu表示在时间4进行投资；如果市场价格在时间0和1之间上移，则4/uu表示在时间1和2之间进行投资，而不考虑以后的市场价格变动。

0时的投资没有市场状态，4/- 表示在第4年投资，不考虑价格状态，并且从不简单标记投资-.正如亨德森（2007）所述，期权价值随着λ的增加而增加，因为决策者的风险承受能力越强，投资所需的风险溢价越低。Asλ→ ∞ 该值收敛于风险中性（线性效用）值，该值大于标准RNV期权价格，因为在这种情况下，u>r。很明显，风险规避ROV可以远小于RNV下的ROV，尤其是在风险承受能力较低时，或者远大于RNV下的ROV，尤其是在风险承受能力较高时。事实上，当α=0且g（x）=x时，即投资成本为市场价格，RNV价格始终为零：线性效用的CE是终端财富的预期值，由于贴现价格在风险中性度量下始终是鞅，CE=w；所以，以市场价格投资的机会的RNV价格总是为零。相反，在这种情况下，厌恶风险的决策者会在期权上放置正值，除非λ=0.1，此时她会选择不以任何市场价格进行投资。成本结构也会影响执行策略。如亨德森（2007）所示，对于有限λ，最佳投资时间永远不会比风险中性决策者短。此外，当α=0且g（x）=x时，最优投资绝不以价格上涨为条件，尽管它可能以价格下跌为条件。当α=0且g（x）=kx时，当0<k<1时，投资也以价格下跌而非上涨为条件，但“从不投资”是不可能的，因为最后一个周期的薪酬是x- kx>0，因此最优策略总是在期权的最后一个周期或之前进行投资。但当g（x）时=√x上期薪酬x-√只有当x>1时，即价格上涨后，x>0，最优投资取决于上涨。

虽然我们只显示k=0.5的结果，但对于其他k，类似的结论也适用于0<k<1的情况。当α=0.5或1时，存在固定成本成分，且只有当价格上涨时，现金看涨期权的支付效果才为正。因此，在表1中，任何关于最优行使的条件都是价格上涨。最后，RNV方法通常（但并非总是）给出的最佳投资时间晚于风险中性决策者的最佳投资时间。4.2锻炼机会我们发现之前没有研究过引入不频繁锻炼机会的影响。无论时间是离散的还是连续的，实物期权模型以前总是假设在时间0做出的决策在某个时间t的最优投资≥ 0始终可以在t时实现。在本节中，我们将通过在树中指定特殊节点的子集作为进行投资的唯一机会，展示我们的通用框架如何对该功能进行建模。当投资时机更加灵活时，ROV不应降低。如果决策从未因包含更多或更少的决策节点而改变，则选项值将保持不变。否则，ROV会随着更多决策的允许而增加。拥有较少的锻炼机会节点会对投资机会造成更多限制，因此项目对任何决策者的吸引力都会降低。表2中的结果量化了这种影响。我们再次考虑投资一个没有相关现金流且当前市价为100万美元的项目。决策者具有指数效用，实物期权的特征是表中图例中给出的参数值。

因此，市场价格的二叉树中有60个月步骤，我们在反向归纳算法（13）中每隔k个步骤放置决策节点，最后的执行机会为T=T- kt、 例如，如果k=12，则节点每年仅出现一次，并且最后一次练习时，这些观察结果与表1中选择的参数不一致。质量相似的属性证明了其他实物期权参数，这可以通过更改可下载代码的参数来验证。树是嵌套的，即当数量减少时，不会插入新的决策节点，这一点很重要，因为通过这种方式，减少节点的数量可以捕获对决策机会施加额外约束的效果。表2：行使机会频率对实物期权价值的影响。w=p=100万美元，T=5年，t=1/12，t=t- kt、 r=5%，u=15%，σ=50%。指数效用，不同λ和k。α=0：按市场价格投资λ0.2 0.4 0.6 0.8 1∞k12 109.5 1132 3712 8197 14480 6451676 142.2 1344 4309 9212 16089 6451673 163.9 1471 4618 9803 17022 6451671 176.9 1553 4828 10185 17624 645167α=1：现值为100万美元的固定走向λ0.2 0.4 0.6 0.8 1∞k12 49385 115086 174731 223201 263614 8814196 71365 144638 204078 252243 292632 9083333 86062 157289 214375 263019 303834 9193221 93115 166450 225568 273619 313888 926058第四年抓住机会。因此，四个决策树是嵌套的，k的值是12、6、3和1，表示每年一次、每6个月一次、每3个月一次和每1个月一次的决策评估。对于风险承受能力λ不同的决策者，表2报告了两种极端成本情况的结果：上半部分显示了以市场价格投资的期权价值，下半部分显示了以固定成本K=100万美元投资的期权价值。

在这两种情况下，当树中出现更多决策节点时，即当k减小时，选项值增加。4.3风险承受能力风险厌恶决策者的风险承受能力总是随着风险承受能力的增加而增加，但它们可以大于或小于RNV期权价格，这取决于决策者的风险承受能力及其对投资的预期回报。最近的两篇论文研究了风险容忍度变化对实物期权价值的影响。Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）采用了一种单因素设置，其中投资成本完全由风险现金流组成，因此投资的边际成本将随着风险规避而增加。假设一个GBM项目的价值为具有HARA效用的决策者提供了持续的投资机会，作者表明，随着风险规避情绪的增加，等待投资的边际收益相对减少的幅度大于成本。因此，PAY-o FF的边际效用增加，从而增加了推迟投资的动机，并且ROV随着风险规避的增加而降低。使用CRRA实用程序，但在双因素GBM设置中，Choi、Kwak和Shim（2017）证实了这一结果。他们引入了一个模型，其中决策者的风险态度取决于她对期权薪酬预期效用的主观贴现率，较低的贴现率与更多的风险规避行为相关。随着投资者风险承受能力的提高，ROV也会随之提高，而ROV越晚，投资的最佳时机也会随之提高。本节将上述结果归纳到哈拉公用事业公司案例中，询问关于财富风险承受能力变化率的假设如何影响ROV。为此，我们假设局部相对风险容限系数在时间0时为λ，并且随着财富的增加而线性增加，η。

为了将HARA公用设施ROV与指数公用设施ROV进行比较，指数公用设施ROV具有恒定的风险容限λ，我们设定w=100万美元。因此，λw=λ，即在做出决策时，所有公用事业公司的绝对风险承受能力是相同的。图1考虑了（a）以市场价格投资和（b）以等于当前市场价格的固定时间0成本投资的选项。我们假设当前市场价格为p=100万美元，其他实物期权特征为：T=5年，K=100万美元，g（x）=x，t=1/12，k=3，r=5%，u=15%，σ=50%。（17） 图1：指数、对数、幂和双曲线效用下的投资期权价值与风险承受能力的比较。为清晰起见，垂直标度上的实物期权值已乘以1000。参数如（17）所示。0.2 0.4 0.6 0.8 105101520253035λ期权值α=0指数双曲线幂对数0.2 0.4 0.6 0.8 10100200300400500α=1λ期权值每个图中的线将指数、对数、双曲线和电力效用ROV描述为λ的函数，其中0<λ≤ 1、对于风险承受能力的典型值（0<λ<1），指数效用值和对数效用值分别提供ROV下限和上限，从其他HARA效用中得出的ROV介于这些上限之间。在风险承受能力非常高的情况下，即λ>1，双曲线效用值仍然介于指数和对数之间，但功率效用值超过了对数值，并且随着λ进一步增加，功率值可能会变得非常大，因为风险承受能力随着财富的增加而迅速增加。由于（16）中的边界，HARA实用程序并不总是表现良好，这与指数实用程序不同。但我们已经证明，当决策者的风险承受能力随着财富的增加而增加时，指数效用值太低，这是一个比CARA更现实的假设。