一个简单失业保险模型的最优停止与效用

这里的问题是，输出值（例如，最佳阈值B）是多少*值v）将在一个背景参数的小v变化下发生变化。在线性近似中，变化因子由相应的偏导数给出。如前几节所述，我们讨论了工资漂移u（在设定值ueu=0.0004附近）和失业率λ（在λ=0.01附近）的敏感性。其他模型参数如第5.4节所述固定，即r=0.0004，P=9 000，β=30，a和x=346。至于波动率参数σ，如例5.1所示，它被设置为σ=0.04，或如例5.2所示，它被设置为σ=0.02。b的必要偏导数*可使用第6.1节推导的公式计算andv；结果见表1（a）。表1：函数b数值结果的灵敏度检查*和例5.1和5中的v。2： （a）参数导数；（b） 背景参数变化1%时的增量。（a） 导数导数示例5.1示例5.2db*/du-16 037.5 7 -13 962.43dv/du842 062.30 993 991.20db*/dλ-6 323.813 -3161.906dv/dλ-46 485.530 -8 76 8.435（b）增量（欧元）增量示例5.1示例5.2b*(u) -0.06415-0.05585v（u）3.36825 3.97597b*(λ) -0.63238-0.31619v（λ）-四点六四八五五-0.87684表1（a）中的数值可能很大，但它们应该由参数的小背景值设置，u=0.0004，λ=0.01。如果我们把它们增加一小部分，比如说1%，那么绝对增量就是u = 0.0004/100 = 4 ·10-6.λ= 0.01/100 = 10-因此，使用表1（a），我们获得了目标函数b的相应近似增量*和v（见表1（b）），看起来更美味。

一个有趣的观察结果是，当波动率σ达到2倍bigger时，v值对失业率λ变化的反应大约强5倍（从示例5.2中的σ=0.02到示例5.1中的σ=0.04）；相比之下，随着工资漂移的增加，v的变化不太明显。这突出了失业率的主要意义，这当然是很自然的。考虑到根据第5.2节中提到的数据估算u的难度，关于wag e漂移u的敏感性分析也很有用。表1（b）中的结果表明，选择u时的合理小误差对确定最佳阈值b的影响很小*和值v；例如，高估Git 1%将减少b*仅增加0.01欧元，而v值将增加约0.60欧元。因此，如果个人工资率的价值适度膨胀，则会对加入保险计划的时机及其预期收益持略为乐观的观点。另一方面，风险厌恶型个人可能会采取更保守的观点，倾向于低估自己的工资漂移u，这将提高阈值b*导致等待时间更长。然而，对于保险公司来说，尝试并避免低估潜在客户的工资漂移可能是合理的，以减少超额支付福利的风险。6.4。经济解释最优阈值b的单调衰减*随着失业率的增加，λ（参见（6.5）和图4（b））具有明显的经济吸引力：失业率越高，意味着失去工作的风险越高，这就需要更低的目标阈值b*为了加快加入保险计划。B单调性的经济学原理*作为u的函数（参见（6.3）和图。

4（a））是不同的-更大的工资漂移u使SIT更有可能在失业时达到更高的最终工资Xτ，因此降低阈值b*为较早的条目添加激励。作为工资漂移u的函数，v值的单调增长（见（6.9）、（6.10）和图5（a））也是有意义的——事实上，当工资漂移u越大，在失业时，有更多的可能性达到更高的最终工资Xτ，这增加了预期收益β（见（2.9）），因此，v值=保险单的v（X）。如图5（b）中的曲线图所示，值函数v=v（x）响应于变化的失业率λ的行为更有趣。在u<r的情况下，可以满意地看到v值v，在λ的极限内消失↓ 0时，随着λ开始增长，从而反映出保险单对不断增加的失业风险的有效性。另一方面，这可能会给保险公司带来越来越大的风险，保险公司将不得不为越来越多的索赔提供资金。但随着失业率λ越来越大，v值应该保持有界，因此必须收敛到λ的极限→ ∞, giv en by v*= βx- 如果x>P/β（见（6.13））或v*= 0否则（见（6.2 2））。具体而言，图5（b）显示，对于u的特定范围，值v在λ处达到最大值。然而，这些图表还显示，如果ukeepsincresing，那么价值图可能具有更复杂的非单对nic行为，这在经济上更难解释。另一方面，如图5（b）所示，在u的情况下≥ r当λ接近其范围的左边缘时，我们的模型产生了反直觉的v值增加，很难相信该值会随着失业风险的下降而增加。

此外，正如（6.24）中计算的，对于u>r，v的相应限值是有限的！但也许最显著的例子出现在临界情况下u=r，根据（6.21），正式设置λ=0，我们将得到阈值b*是有限的（与u>r的情况不同，见（6.21）），因此工资过程（Xt）永远达不到它；因此，我们从未购买过保险单（可以理解的是，没有失去工作的风险），尽管如此，它的价值在这个限度内是正的（见（6.13））。对这一悖论的解释在于，对于小λ>0，如何执行最佳停止：这里，阈值b*很高，只有很小的概率可以达到；在此之前，我们保持闲置，但如果达到阈值，则预期收益相当大，这对预期净现值的贡献足以将其保持在λ限值内的正值↓ 0（见（6.23））。因此，上述模型中的人工制品是由于没有对等待时间施加任何约束造成的。如第2.3节所述，这可以通过引入死亡率来纠正；特别是，这种正则化应该在λ的下边缘恢复v的零极限。包括公用设施考虑7.1。永久美式看涨期权我们的模型（及其解决方案）类似于（永久）美式看涨期权的最优停止问题（见[39，Ch.VIII，§2a]中的详细讨论）。更具体地说，看涨期权持有人可以在任何时候行使购买资产（例如，一单位股票）的权利，购买价格为预先确定的执行价格K，其中决策基于对股票价格随机过程（St）的观察，假设遵循几何布朗运动模型。

“永续”一词用于表示没有到期日，因此购买权会无限延伸。最佳时刻τ=τ*购买时，考虑到一个纯粹的财务目标，即最大化利润Sτ-K、 是以下最优停止问题的解，V（x）=supτExe-rτ（Sτ-K）+, （7.1）如果STI是一个几何布朗运动，参数u<r，σ>0，则在与（St）相关的过滤的所有停止时间τada上取上限。正交易（·）+对应于期权持有人无法以高于当前现货价格St的价格K购买的约束条件。众所周知（7.1）的解决方案（参见[39，Ch.VIII，§2a]）由命中时间τ给出*= τb*, 使用最佳阈值B*=Kq公司*q*-1，其中q*由公式（2.24）给出，但用r代替∧r=r+λ。相应的值函数由v（x）给出=（b）*-K）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],x个- K，x∈ [b]*, ∞).观察到我们的最优停止问题（2.17）可以重写为asv（x）=βsupτExe-rτ（Xτ-K）,~K：=P/β，（7.2），这使得它看起来非常类似于永久美式看涨期权问题（7.1）。然而，有几个重要的区别。

首先，与美国看涨期权问题（7.1）中的收益函数不同，（7.2）中没有应用截断，因为在这种情况下，财务收益不是唯一的优先事项，因此个人准备容忍βXτ的负v值- P（尽管在最优策略下，va值函数v（x）总是非负的，见引理2.2（i）和公式（2.25））。此外，如备注4.1和第5.3节所述，命中时间τb*可能具有正概率（即，当u<σ），这在保险上下文中可能被视为不切实际，但在行使美式看涨期权时被认为是可以接受的。这一简单的观察有助于实现问题（7.1）和（7.2）之间的基本概念差异。我们直接建立的问题（7.1）和（7.2）的等价性并非巧合：已知[41，命题3.1，p.18 5]，在m ild a假设中，基因的解为最优stoppin g问题v（x）=supτEx（e-rτg（Xτ））不随g（·）的正截断而变化。两个问题；事实上，保险最佳止损不仅关注财务收益，还将最终优先考虑获得保险范围本身。因此，UI模型中最优停止问题的非现实公式应该包含一定的效用，它规定了个人对满意度的加权偏好，例如，不耐烦等待太久才加入UI方案。7.2. 带效用的启发式最优停止模型在这里，我们给出了一些关于在最优分析中可能包含效用的非正式想法。

如前所述，在u<σ的情况下，临界阈值d b*小于1，因此，如果严格遵守最优停止规则，则个人可能永远不会加入保险计划。这当然是不可取的，因为个人在某个时间点（希望是在失业之前）优先考虑投保。考虑这些额外要求的一个简单方法是将最佳停车问题（2.17）扩展如下：v+（x）=supτκPx（τ<∞) + eNPV（x；τ）= supτExκ{τ<∞}+ e-rτg（Xτ）, （7.3）当上确界再次被接管时，所有与过程（Xt）相适应的停止时间τ，以及系数κ≥ 0是一个预先确定的权重，代表个人对这两个贡献术语的个人态度（偏好）。如果Px（τ<∞) = 1然后将（7.3）中的倒数减少到一个常数（κ），从而产生之前的纯最优停止问题；然而，如果Px（τ<∞ ) < 1然后，第一项提高了不太可能确定的候选试验终止时间τ的回报率。问题（7.3）可以用更标准的形式重写，方法是拉出预期下的公共贴现因子v+（x）=supτExe-~rτG（τ，Xτ）, （7.4）带g（t，x）：=κert+g（x），（t，x）∈ [0, ∞] × [0, ∞).

（7.5）不幸的是，最优停止问题（7.4）不像以前那样适用于精确解，因为增益函数（7.5）也取决于时间变量（见[35，Ch.IV]）。在这种情况下，问题（7.4）可以再次简化为合适的（但更复杂的）自由边界问题，但碰撞边界（在（t，x）平面上的某一集合）不再是直线。更一般地，我们的最优停止问题可以通过用表达式e替换指示符（7.3）来修正-ρτ（ρ>0），v+（x）=supτExκe-ρτ+e-rτg（Xτ）, （7.6）保留了逐步惩罚较大τ值的倾向，包括τ=∞.这里，增益函数（7.5）的形式为g（t，x）=κe（~r-ρ） t+g（x）。特别是，通过选择ρ=~r，问题（7.6）转化为v+=supτExe-rτ（βXτ+κ- P）,这是与（2.17）相同的问题，但将保费P替换为P- κ.修正标准最优停车问题（2.17）的另一种更为激进的方法来自以下观察结果，即即使τ<∞ （Px-a.s.），等待τ发生可能需要很长时间-例如，如果Ex（τ）=∞. 换言之，考虑τ的期望值是合理的，从而导致组合最优停止问题v+（x）=supτκPx（τ<∞) + κexp{-Ex（τ）}+eNPV（x；τ）. （7.7）如果Px（τ<∞) < 1则Ex（τ）=∞ 将问题（7.7）简化为（7.3），其中f Px（τ<∞ ) = 1那么，实际上，只有（7.7）中保留了预期的术语。然而，公式（7.7）的一个缺点是它不能以形式（7.4）表示。试图修改这一点将使我们回到版本（7.6）。有趣的是，看看值函数如何依赖于偏好参数κ。下一个特性是显而易见的。提案7.1。对于每个x>0，最优停止问题（7.6）的值函数v+（x）是κ的严格递增函数。

问题（7.7）也是如此。证据我们使用符号v+（x；κ）表示值函数对参数κ的依赖性。对于κ<κ和任何停止时间τ6≡ ∞, 我们有κe-ρτ+e-rτg（Xτ）< 前任κe-ρτ+e-rτg（Xτ）≤ v+（x；κ）。（7.8）假设τ*是κ=κ的最优停止问题（7.6）的最大化子。然后，根据（7.8），v+（x；κ）=Exκe-ρτ*+ e-rτ*g（Xτ*)< v+（x；κ），即v+（x；κ）<v+（x；κ）a s索赔。类似的论点也适用于这个问题（7.7）。7.3. 次优解决方案如前所述，第6.2节所述的最优停车问题很难完全通用地解决。为了对可加性类型项的质量影响有所了解，我们可以将注意力限制在命中时间τb子类中的解决方案上。尽管此类解决方案仅为次优，但其优点是，可以使用所有明确可用的成分来解决减少的问题（见第4.1节）。例如，原始pro bl em（7.3）替换为U+（x）=supb≥0κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）. （7.9）与第4.3节类似，我们只需将（7.9）中的函数最大化为b≥ x、 确实，如果b≤ x然后τb=0（Px-a.s.），根据（2.7）和（2.16），supb≤x个κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）= κ+eNPV（x；0）=κ+βx- P、 何处SUSPB≥x个κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）≥κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）b=x=κ+βx- P、 假设u-σ<0（否则Px（τb<∞) = 1，从而导致相同的临时停止问题）。然后，根据（4.8），概率Px（τb<∞)成为b的严格递减函数∈ [x，∞), 因此，（7.9）中的最大值是通过不同的策略实现的，具有较低的最佳阈值b+。

更准确地说，根据公式（4.8）和（4.15），问题（7.9）被明确重写为asu+（x）=supb≥x个κxb公司1.-2u/σ+（βb- P）xb公司q*, （7.10）其中q*> 1在（2.24）中定义。与b不同的是，很容易检查问题（7.10）的最大值是否由b+=min（b）给出≥ x： aκbx公司q*-a+（q*- 1） βb≥ P q*),其中a：=1- 2u/σ<1<q*.以下（略微艺术化）版本的实用程序保留了（7.9）的精神，但可以进行精确分析：u+（x）=supb≥0κPx（τb<∞)q*/(1-2u/σ）+eNPV（x；τb）. （7.11）事实上，使用与之前相同的替换（4.8）和（4.15），（7.11）减少到（cf.（7.10））u+（x）=supb≥xh（βb+κ- P）xb公司q*i、 （7.12）与（4.14）的问题相同，但P替换为P-κ（参见（4.15））。因此，从（4.16）中，我们立即得到最大化b+=（P- κ） q*β（q*-1） =b*-κq*β（q*-1)≤ b*. （7.13）这是κ的严格递减（线性）函数；特别是，b+=b*如果κ=0和b+=0，如果κ=P。相应的值函数由（cf.（4.17））u+（x）=（（βb++κ）给出- P）xb+q*, x个∈ [0，b+]，βx+κ- P、 x个∈ [b+，∞),（7.14）或更明确地（参见（4.18））u+（x）=P- κq*- 1.β（q*- 1） x（P- κ） q*q*, 0≤ x个≤（P- κ） q*β（q*- 1） ，βx+κ- P、 x个≥（P- κ） q*β（q*- 1).（7.15）0 100 200 300 400 335 340 345 350重量κ（欧元）阈值b（欧元）κ+x（a）κ7→ b+0 100 200 300 400 1400 1500 1600 1700 1800Weightκ（euro）值函数u（x）（euro）κ+u+（x）|κ=κ+（b）κ7→ u+（x）图7：在简化的最优停止问题（7.11）中，函数对偏好权重κ的依赖性：（a）最优阈值b+（见（7.13））；（b） 值函数u+（x）（见（7.15））。所用参数的数值如例5.2所示：r=u=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=346。特别是，如果κ=0，则b+与b一致*.= 352.3705 a和u+（x）与v（x）重合。=1389.6190.