一个简单失业保险模型的最优停止与效用

（2.2）注意ex（Xt）=xeut，Varx（Xt）=xe2uteσt-1., （2.3）其中，给定初始值X=X，Exand Varxdenote对X的分布的期望和方差。现在让我们指定失业保险计划。目前就业的个人可以通过在进入点支付固定的一次性保费P>0来加入该计划。如果当前就业结束（例如，在时间瞬间τ），则根据福利表h（s）支付最终工资Xτ的福利比例；也就是说，时间t的支付≥ τ由Xτh（t）给出- τ). 然而，在持续时间τ的失业期结束后，如果找到新工作，则停止支付。为简单起见，我们假设τ和τ都具有指数分布（分别具有参数λ和λ）；正如引言中提到的，这保证了相应的转换具有马尔可夫性质。还假设这些随机时间在统计上独立于过程（Xt）。图2显示了我们的保险模型状态空间中的可能转换，其中符号“0”和“1”分别编码了就业和失业状态，而符号“+”和“-”表示保险是否到位。注意，除了从0–到0+（受基于工资过程（Xt）观测的最优控制）外，l转换以马尔可夫方式发生；也就是说，保持时间呈指数分布（参数λif处于状态0–和0+，或λif处于状态1–和1+）。0+ 1+0– 1–（τ<τ）（Xt）τλλλ（τ≥ τ） λ图例：0（就业）1（失业）+（有保险）–（无保险）图。

2： 失业保险计划可能过渡的示意图。这里，τ和τ是状态0和状态1的（指数）保持时间，参数分别为λ和λ，而τ是进入时间（即从状态0到状态0+），这取决于基于工资过程（Xt）观察的最优控制。个人关于加入该计划的合适时间的决定是基于目前可用的信息。在我们的模型中，过滤（Ft）中编码的信息是通过对工资过程（Xt）的持续观察提供的。因此，选择τ的可接受策略必须适应过滤（Ft）；即，在任何时刻t≥ 0应该可以确定τ是否已经发生，以Ft为单位给出所有信息。在数学术语中，这意味着τ是一个停止时间，对于任何t≥ 0事件{τ>t}属于σ-代数Ft（参见，例如，[44，Ch.1，§3，p.25]）。备注2.1。通常，允许停止时间τ取[0，∞] i包括∞,在这种情况下，等待会一直持续下去，决不会做出加入该计划的决定。在实践中，希望停车时间τ几乎可以确定（a.s.）（即Px（τ<∞) = 1） ，但情况可能并非总是如此（见第4.1节）。2.2. 设定最佳停止问题在导言中作了非正式解释，其中有一个优化进入时间τ选择的范围，其中通过最大化计划的预期财务收益来衡量最佳性。我们的下一个目标是获得合同下预期收益的表达式。首先，以最终工资Xτ为条件，本保险合同下预计收到的未来福利为XτEZτe-rsh（s）ds= βXτ，（2.4），其中r是膨胀率，β：=Z∞λe-λtH（t）dt，H（t）：=中兴通讯-rsh（s）ds。

（2.5）注意，公式（2.4）中的期望值是关于（指数）随机等待时间τ（带参数λ），并且积分内的表达式包括对时间τ处失业开始的折现。示例2.1。收益表h（s）的具体示例如下，h（s）=（h，0≤ s≤ s、 他-δ（s-s） ，s≥ s、 （2.6）其中0<h≤ 1, 0 ≤ s≤ ∞ δ>0。因此，被保险人在一个g种族周期s内获得其最终工资的一定比例（即hXτ），之后福利将随着比率δ呈指数下降。这个例子的动机是法国不断下降的失业补偿制度[25]。指定了计划函数后，所有计算都可以显式完成。具体而言，（2.4）中的常数β由（2.5）计算得出，β=h1.- e-（r+λ）sr+λ+he-（r+λ）sr+λ+δ。在极端情况下，s=0或s=∞, 此表达式简化为β=hλ1.-r+δr+λ+δ, s=0，hλ1.-rr+λ, s=∞.这里，第一个因素具有明确的含义，即每周工资（h）与福利支付平均持续时间（E（τ）=1/λ）的乘积，而第二个因素考虑了利率r和δ的折扣。回到一般情况，如果立即签订合同（以支付保费P为准），则贴现至进场时间t=0的净预期收益由收益函数g（x）：=xe-rτβXτ- P、 （2.7）更具体地说，根据20世纪90年代的法国UI系统（见[25，第8页]），50岁或以上的工人，在过去12个月内有8个月的可保工作，有权享受相当于前8个月应付最终工资57.4%的全额福利，此后每四个月下降15%；然而，总的来说，付款持续时间不超过21个月。

这导致在（2.6）中选择以下数值：h=0.574，s=8（52/12）。=34.7（wee-ks）和δ=-（3/52）ln（1- 0.15).= 0.0094=0.94%（每周）。在我们的模型中，通过从条件E（τ）=91调整参数rλ，可以考虑21（52/12）=91周的受益期限限制，给出λ0.0110. 更保守的选择是使用尾部概率条件，例如，P（τ>91）=0.10，产生λ=-ln（0.10）/91.=0.0253（带E（τ）。=39.5).其中x=Xis为起始工资，符号Exnow表示τ和xτ的期望值。回想一下，随机时间τ与过程（Xt）无关，并且具有参数λ的先验分布。使用总期望公式（参见，例如，[38，§II.7.4，定义3，第214页和属性g*，第216页]），并替换表达式（2.3），计算（2.7）中的期望值，如下所示：e-rτXτ= 前任e-rτEx（Xτ|τ）= 前任e-rτ（xeuτ）= xZ公司∞e（u-r） tλe-λtdt=λxr+λ- u. （2.8）因此，将（2.8）替换为（2.7）并表示▄r：=r+λ，β：=βλ▄r- u，（2.9）增益函数明确表示为g（x）=βx- P、 （2.10）当然，（2.8）中的计算只有在u<r+λ=~r.（2.11）假设2.1时才有意义。在下文中，我们始终假设条件（2.11）满足。备注2.2。在实际应用中，工资增长率u相当小（但可能为正或负）。不太可能超过通货膨胀率r，但即使超过了，从经济上讲，也很难超过综合通货膨胀率-失业率r=r+λ。因此，条件（2.11）是绝对现实的。为了推广表达式（2.10），考虑延迟进入时间τ>0（默认假设τ<∞).

首先贴现至进入时间τ，当价格P的扣除被激活时，然后再向下贴现至初始时间t=0，y将总收益的预期净现值作为初始工资x的函数，eNPV（x；τ）：=Exe-rτe-r（τ-τ） βXτ- P{τ<τ}, （2.12）此时的期望还包括关于τ的平均值，τ是路径（Xt）的函数。请注意，ExpectationSpecifies下的指标函数规定，进入时间τ必须出现在τ之前，否则将没有增益。备注2。注释（2.12）强调预期净现值取决于特定的进入时间τ。正如导言中直观地解释的那样，优化τ的选择有一个范围，其中最优性是通过最大化eNPV（x；τ）来衡量的。公式（2.12）表明决策时间τ有一个固定（随机）到期日τ（使用金融期权的术语）。然而，（2.12）InvolvesAveraging中关于τ的预期。此外，利用τ的指数分布，表达式（2.12）可以在没有任何到期日的情况下重写（即，作为永久期权）。引理2.1。由公式（2.12）确定的预期净现值可以用公式PV（x；τ）=Ex表示e-rτg（Xτ）{τ<∞}, （2.13）其中，函数g（·）在（2.7）中定义，且▄r=r+λ（见（2.9））。证据由于τ的分布是独立的，因此剩余时间|τ：=τ-条件为{τ<τ}的τ再次呈指数分布（参数λ相同），且与τ无关。因此，τ上的条件（仅限于事件{τ<∞}) 并使用[38，§II.7，属性G*，p]之前的TotalExpection公式a s。

21.6]），结合过程（Xt）的（强）马尔可夫性质，我们从（2.12）eNPV（x；τ）=Ex前任e-rτ（e-r（τ-τ） βXτ-P）{τ>τ}τ= 前任e-rτEx（e）-r▄τβXτ+▄τ- P）τ· 前任{τ>τ}τ= 前任e-rτEXτ（e）-r▄τβeX▄τ- P）· 二甲苯τ> τ |τ, （2.14）其中ext：=Xτ+t（t≥ 0）是从ateX=Xτ开始的转移工资过程。替代PXτ> τ |τ= e-λτ和回忆符号（2.7），公式（2.1 4）减少到（2.13）。最后，在没有损失的情况下，我们可以通过定义事件{τ=∞}. 该定义与单位的限额一致。实际上，请注意使用（2.2）和（2.8）thate-rtg（Xt）=e-rtβx e（u-σ/2）t+σBt-P= βx扩展-t型r- u+σ+σt-10吨- 体育-rt.（2.15），由于条件（2.11），r- u +σ>σ> 0. 此外，根据布朗运动的（强）大数定律f（参见，例如，[9，练习6.4，第265页]或[39，Ch.III，§3b，p.246]），limt→∞t型-1Bt=0（P-a.s.）。因此，（2.15）的极限为t→ ∞ 为零（Px-a.s.）。因此，事件{τ=∞} 对期望值（2.13）没有贡献，因此，替换（2.8），我们得到pV（x；τ）=Exe-rτg（Xτ）. （2.16）总结，确定最佳进入时间τ=τ*, 在最大化预期净现值的意义上，eNPV（x；τ）作为策略τ的函数（见（2.16）），被简化为解决以下最优停止问题，v（x）=supτExe-rτg（Xτ）, （2.17）式中，函数g（x）由（2.10）给出，且上确界取所有容许停止时间τ（即，适应过滤（Ft））。（2.17）中的上确界v（x）称为最优停车问题的值函数。2.3. 考虑到死亡率，第2.1节中列出的简单失业保险模型可以很容易地扩展到包括死亡率。以下为[31，pp。

39 9–401]，假设打算购买失业保险的个人可能死亡（例如，在从零开始的随机时间τ），与就业相关事件无关，并受到恒定的重要性λ的影响。也就是说，考虑到t，个体在当前年龄t时仍然活着≥ 0，剩余寿命τ- t是一个独立的随机变量，其参数λ，P（τ）呈指数分布- t>s |τ>t）=e-λs（s≥ 0).对第2.2节失业保险模型的必要修改是通过调整预期未来福利的公式开始的（见（2.4））。假设死亡不会在失去j ob的时间τ之前发生（即τ>τ，因此τ：=τ- τ与参数λ呈负相关分布），福利支付在τ停止∧ τ（即，当找到新工作或死亡时，以先发生者为准）。由于τ和τ是独立的，并且都具有指数分布，因此随机变量τ∧ ∧τ与参数λ+λ呈指数分布。因此，（2.5）中的常数β现在写为β=Z∞（λ+λ）e-（λ+λ）tH（t）dt。接下来，我们需要考虑服役期间死亡的影响，即如果τ≤ τ. 具体而言，可以合理地假设雇主在这种情况下支付的总额与最终工资成比例，例如a+Xτ。然后，将失业后或失业前发生的死亡情况分开，很容易看出收益函数的定义（2.7）（即贴现至保单进入时间的净预期收益）采用以下公式g（x）=Exe-rτβXτ{τ<τ}+ 前任e-rτa+Xτ{τ≤τ}-P、 （2.18）（2.18）中的第一个期望值是使用τ上的条件和总期望公式（参见（2.8）），Exe-rτXτ{τ<τ}= 前任e-rτExXτ{τ<τ}τ= 前任e-rτEx（Xτ|τ）·Px（τ>τ|τ）= 前任e-rτxeuτe-λτ= xZ公司∞e（u-r-λ） tλe-λtdt=λxr+λ+λ- u，（2.19），其中在第二行中，我们使用了Xτ和给定τ的条件独立性。

类似地，通过调节τ，（2.18）中的第二个期望值表示为asExe-rτXτ{τ≤τ}= 前任XτExe-rτ{τ≥τ}τ= 前任XτZ∞τe-rtλe-λtdt=λr+λExXτe-（r+λ）τ. （2.20）再次调节τ，最后的期望值计算如下，ExXτe-（r+λ）τ= 前任e-（r+λ）τEx（Xτ|τ）= 前任e-（r+λ）τxeuτ= xZ公司∞e-（r+λ-u）tλe-λtdt=λxr+λ+λ- u. （2.21）最后，将表达式（2.19）、（2.20）和（2.21）代入定义（2.18），我们得到明确的yg（x）=λxr+λ+λ- uβ+λa+r+λ- P、 该表达式的形式与（2.10）相同，但参数r和β的定义如下（参见（2.9）），r：=r+λ+λ，β：=λ- uβ+λa+r+λ.此外，假设2.1的不平等性（2.11）也相应更新。根据此重新参数化，导致最优停车问题（2.17）的所有后续计算保持不变。为清晰起见，并避免不必要的技术细节分散读者的注意力，在本文的其余部分，我们坚持模型的原始版本（即，无死亡率，λ=0）；然而，参见第6.4节末尾的讨论，说明了死亡率的重要调节作用，有助于避免低失业率λ下模型的不一致性。2.4. 值函数的先验性质下一个引理表明最优停止问题（2.17）是适定的。引理2。2、值函数x 7→ 最优停止问题（2.17）的v（x）具有以下性质：（i）v（0）=0，此外，v（x）≥ 0表示所有x≥ 0;（ii）v（x）<∞ 对于所有x≥ 0.证明。（i） i f x=0，则由于（2.2），Xt≡ 0（P-a.s.），停止问题（2.17）被简化为v（0）=supτE(-体育-rτ），其具有明显的解τ=∞ （P-a.s.），相应的最大值V（0）=0。

此外，考虑τ=∞ （Px-a.s.）它很容易遵循m（2.17）thatv（x）≥ 0表示所有x≥ 0.（ii）回顾u<r（见假设2.1），观察过程e-rtXtis ASUPERMATINGALE；确实，对于0≤ s≤ t我们有，使用（2.2）和（2.3），例如e-rtXt | Fs= e-rtXsEeσ（Bt-Bs）+（u-σ） （t-s）= e-rtXseu（t-s）≤ e-rsXs（Px-a.s.）。特别是Ex（e-rtXt）≤ Ex（X）=X。因此，根据Doob的非负右连续超鞅的光学采样定理（参见，例如，[44，定理8.18，pp.14 0–141]），对于任何停止时间τ，我们有Ex（e-rτXτ）≤ Ex（X）=X，因此（2.17）中的上确界是有限的。2.5. 工资过程的最优停止规则（Xt），考虑a阈值b的命中时间τbof∈ R、 定义为τb：=inf{t≥ 0:Xt≥ b}∈ [0, ∞].（像往常一样，我们制定了一项公约 = ∞.) 很明显，τbis是一个停止时间，即{τ≤ t}∈ Ftfor所有t≥ 由于进程XT具有a.s-连续采样路径，因此在事件{τb<∞} 我们有Xτb=b（Px-a.s.）。正如我们将要展示的，最优停止问题（2.17）的最优策略是等待随机过程X达到某个阈值b*（见图3）。更准确地说，（2.1 7）的解由以下停止规则τ提供*=（τb*如果x∈ [0，b*],如果x，则为0∈ [b]*, ∞).（2.22）也就是说，如果x≥ b*然后必须立即停止并购买保单，否则等待到达时间τb*≥ 出现0，然后购买策略。（当然，当x=b时，这两条规则包括在内*.) 然而，如果发生τb*= ∞, 然后，根据上述规则，必须独立等待，因此永远不要购买保单。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450时间t（周）工资Xt（欧元）b*τ*0 50 100 150 200 2505.7 5.8 5.9 6.0 6.1时间t（周）Yt=ln XtFig。

3： 根据几何布朗运动模型（2.2），模拟工资过程Xt（左）和Yt=ln Xt（右），X=346（欧元），参数u=0.0004，σ=0.02（参见示例5.2）。左图上的da shed水平线表示最佳阈值b*.= 352.37（欧元）首次在τ获得*= 54（周）。右图上的虚线显示了对数转换数据的估计漂移（见第5.2节）。临界阈值b的特定值*由B提供*=P q*β（q*-1） ，（2.23），其中*=σ-u -σ+qu -σ+ 2rσ. （2.24）使用条件（2.11）可以直接检查q*> 1（另见第3.2节）。最后，相应的值函数（2.17）指定为asv（x）=（（βb*- P）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],βx- P、 x个∈ [b]*, ∞).（2.25）等效地，替换表达式（2.23），公式（2.25）显式重写为asv（x）=Pq*- 1.β（q*- 1） xP q*q*, 0≤ x个≤P q*β（q*- 1） ，βx- P、 x个≥P q*β（q*- 1).（2.26）尤其是函数x 7→ v（x）对于x严格递增≥ 0，v（0）=0（参见引理2.2）。这些结果将在第3.2.6节中得到证实。确定性情况对于方向，考虑简单的基线情况σ=0是有用的，其中随机过程Xt（见（2.2））退化为确定性函数Xt=xeut（t≥ 0).因此，任何停止时间τ都是非随机的，比如τ=t，最优停止问题（2.17）被简化为v（x）=supt≥0e-rt（βxeut- P）. （2.27）问题（2.27）很容易解决，最大化器t*给定byt*= inf公司t型≥ 0:xeut≥ b*∈ [0, ∞], （2.28）其中b*=P▄rβ（▄r-u），u>0，Pβ，u≤ 0。（2.29）表达式（2.29）与通式（2.2 3）一致，注意，在极限σ↓ 0时，数量（2.24）减少为（cf.（2.11））q*=ru>1，u>0，∞, u ≤ 使用此约定，很容易检查值函数（2.27）是否由通式（2.25）给出。