一个简单失业保险模型的最优停止与效用

此外，容量σ可以通过使用样本路径Yt的合适二次函数来估计最后，了解福利计划表（应通过保险单的条款和条件提供），原则上可以计算或至少测试β值。总之，需要在对样本路径（Xt）进行在线观察的同时执行某些估计程序。在接下来的两小节中提供了更多的细节（大部分都是标准的）。5.2. 估算漂移和vo纬度注：短a：=u-σ. 根据几何布朗运动模型（2.2），我们有：=ln Xt=ln x+σBt+at，Y=ln x。假设在时间间隔t上观察到过程Xt∈ [0，T]在离散时间网格上ti=iT/n（i=0，…，n），并考虑连续增量szi：=Yti-Yti公司-1=σ（Bti-Bti公司-1） +a（ti-ti公司-1） （i=1，…，n）。（5.1）注意，（5.1）中布朗运动的增量是相互独立的，具有零均值和方差的正态分布-ti公司-1=分别为吨/吨。因此，（Zi）是一个具有正态边际分布的独立随机样本，Zi~ NaTn，σTn（i=1，…，n）。然后，通过样本均值和样本方差来估计参数是标准的，^an：=nT·'Z=Z+····+ZnT=YT-YT，（5.2）^σn：=nT·n- 1nXi=1（Zi-\'\'Z）。

（5.3）这些估计量是无偏的，E（^an）=a=u-σ、 E（σn）=σ，均方误差Var（σan）=σT，Var（σn）=2σn- 1、反过来，参数u由^un=^an+^σn估计，平均值E（^un）=E（^an）+E（^σn）=a+σ=u，均方误差Var（^un）=Var（^an）+Var（^σn）=σT+σ2（n- 1） （由于估计量和σn的独立性）。注意，估计量^anin（5.2）仅使用最后的观测值YT；特别是，其均方误差对网格大小不敏感ti=T/n，且仅随着观测视界T的增加趋于零→ ∞. 这使得漂移参数的估计变得困难，因为需要在y上进行很长时间的观测才能达到可接受的精度（参见，例如，【10，示例2.1，第3页】）。例如，让u=0.004，σ=0.02（每周），然后a=0.0038；如果T=25（周），则a的95%置信区间由^a±1.96σ给出/√T=^a±0。所以误差幅度是a本身值的两倍。要将其降低到0.5a，需要T≈ 425（周），这意味着收敛缓慢。相反，估计量σnin（5.3）的均方误差趋于零，为n→ ∞,具有固定的。因此，可以使参数σ的估计渐近精确。第5.4节末尾将给出一个数值示例，说明使用模拟数据估算u和σ。第6.3.5.3节末尾简要讨论了基于敏感性分析的u的实际选择。

从最优停车问题通解中停车时间τb的缺陷看假设检验*可能是有限的，即Px（τb*= ∞) > 0（当a=u时发生-σ<0，见第4.1节），在我们的模型中，合理的务实决策方法可能基于检验无效假设H:a≥ 0与备选值h:a<0（在某种直观上可接受的显著水平，例如α=0.05）。也就是说，只要Hremains成立，就一直等待hi-tting timeτb*但一旦被拒绝，就有理由终止等待并立即购买保单。相应的测试规定如下。同样，假设进程Ytisobserved在离散时间网格ti=iT/n上，并设置Zi=Yti- Yti公司-1（i=1，…，n）。设z（α）为标准正态分布N（0，1）的上α分位数，即1- Φ（z（α））=α，其中Φ（x）=√2πRx-∞e-u/2du。然后空次命题H:a≥ 当Z+···+Zn时，0将在显著的α级被拒绝≤ infa公司≥0naT- z（α）σ√到，也就是说，YT- Y≤ -z（α）σ√T（5.4）在I类错误概率不超过α的所有试验中，该试验的效力最强，即P（拒绝H | Htrue）≤ α.正态检验（5.4）假设v变量σ已知。如前所述，如果过程Ytis是连续可观察的（即，如果网格（ti）可以不确定），则这不会带来真正的限制。如果情况并非如此（例如，因为工资过程只能每周观察一次），那么测试（5.4）将替换为t测试，YT- Y≤ -田纳西州-1(α) ^σ√T，其中^σ是样本方差（见（5.3）），tn-1（α）是具有n的t分布的上α分位数- 1自由度。在实践中，随着观测视界T的增加，假设检验按顺序（例如每周）进行。

这种方法的优点是，生成的存储时间与概率1（即Px-a.s.）是有限的；实际上，它是最佳停止时间τb之间的最小值*（这是在空次命题H:a下的有限Px-a.s.）≥ 0）和第一次拒绝H（如果H为假，则为最终Px-a.s.）。5.4. 数字示例为具体起见，我们使用欧元作为货币单位。首先，常数β的值被选择为β=30，该值封装了有关福利计划的信息以及找到新工作的比率λ（见（2.5））。因此，在保单有效期内（以及预计失业开始时）应付的总预期收益等于30周工资；也就是说，如果最终工资为400欧元（每周），那么将收到的总工资为400.00×30=12000欧元。00（欧元）。此外，我们设定λ=0.01，r=0.0004。这意味着，预计工作时间为1/λ=100（周），即约1年11个月，而年通货膨胀率为（365/7）·0.0004- 1 = 0.0210761 7 ≈ 2.11%，这很现实。接下来，我们需要指定保费P和工资过程Xt的参数，首先，选择初始值x=Xasx=346.00（欧元）。这是由法国劳动法推动的，根据该法，当前的最低工资率设定为每小时9.88欧元[42]，每周工作35小时[11，16]，即9.88×35=345.80欧元（每周）。至于保险费，其设定值为P=9 000.00（欧元），这相当于大约26个最低每周wag（即大约半年的收入）。为简单起见，我们也选择u=r=0.00 04，（5.5），以便工资增长率与通货膨胀率相同（实际上，可能略低）。然后从（2.9）中，使用（5.5），我们得到β=λβИr- u= β = 30.对于波动率σ，我们将说明两种相反的情况，u<σ和u>σ。示例5。1、设置σ=0.04，然后设置u-σ= -0.0004 < 0.

从（2.24）开始，我们计算*= 3.864208，则（3.13）yieldsb*= 404.7410=404.74（欧元）。使用（4.8）计算命中概率asPx（τb*< ∞) = 0.9245906.最后，使用（3.14），我们得到该合同的价值，v（346）=1714.2780=1714.2 8（欧元）。示例5.2。现在，设置σ=0.0 2，然后设置u-σ= 0.0002 > 0. 此外，使用（2.24）计算q*= 6.728416和（3.13）b*= 352.3705=352.37（欧元）。因此，使用（4.9），预计命中时间为beE（τb*) = 91.22197 = 91 .2（周）。最后，根据公式（2.25），本合同的价值计算为asv（346）=1389.6190=1389.6 2（欧元）。在图3所示的过程XT的模拟中，漂移a=u-σ为公式（5.2）估计值，为^a.=0.0005994。根据公式（5.3）（在每周时间网格上）估计方差σ得出^σ0.0003723，而真实值为σ=0.0004。因此，参数u通过^u进行估计0.0007855; 回想一下，真实值为u=0.0004.6。参数c依赖性在本节中，我们的目的是探讨Ourinsure pro bl em解决方案的参数依赖性，即最佳阈值b的参数依赖性*由（2.23）给出，值函数v=v（x）由（2.25）给出。特别是，有助于分析不同的渐近区域以及适当的偏导数（符号），以确定小扰动下的方向变化，并理解其经济意义。这是敏感性分析和所谓的比较静力学的关键要素【30，第七节】。接下来，我们将讨论两个最重要的外部参数——工资漂移u和失业率λ。约束条件（2.11）意味着参数u和λ的范围规定如下：，-∞ < u<r=r+λ，0∨ (u - r） <λ<∞.备注6.1。

接下来的两个技术小节是基本的，但相当乏味，希望快速掌握结果的读者可能只需查看图中的图。4和5.6.1。单调性由于二次方程（3.11），公式（2.23）可以方便地重写为B*=P（σq*+ r）βλ。（6.1）首先，fixλ并考虑函数u7→ b*. 对方程（3.11）进行微分，然后再次使用（3.11）去除u，我们得到q*u= -q*σ（2q*- 1) + u= -q*σq*+ r<0。（6.2）因此，使用（6.1）和（6.2），db*du=b*u+b*q*·q*u= -P（σq*)βλ（σq*+ r）<0，（6.3），因此，b*是u的递减函数（见图4（a））。同样，方程式（3.11）得出q*λ=σ（2q*-1） +u=q*σq*+ r+λ>0。（6.4）从（6.1）和（6.4）中，经过一些重新排列，我们得到了Db*dλ=b*λ+b*q*·q*λ= -P（σq*+ r） βλ+P（σq*)βλ（σq*+ r+λ）=-P（σq*+ r） （σq*+ r） +λrβλ（σq*+ r+λ）<0，（6.5），因此函数λ7→ b*正在减少（见图4（b））。现在让我们来看看值函数v=v（x）。首先，将v视为u的函数，从而保持λ固定。使用表达式（2.2 3），我们可以重写公式（2.25）的第一行（即x≤ b*) asv=Pq*- 1.xb公司*q*. （6.6）差异（6.6），我们得到vq*= -P（q*- 1)xb公司*q*1+（q*-1） ln公司b*x个< 0, (6.7)vb*= -P q*（q）*- 1） b类*xb公司*q*< 0。（6.8）因此，根据不等式（6.2）、（6.4）、（6.7）和（6.8），dvdu=vu+vq*·q*u+vb*·数据库*du>0。(6.9)-0.002 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004300 320 340 360 380 400 440工资漂移u最佳阈值b*（欧元）rxIIIIIIIVVI：λ=0.007II：λ=0.01III：λ=0.015IV：λ=0.025V：λ=0.055（a）u7→ b*0.00 0.01 0.02 0.03 0.04300 320 340 360 380 400 420 440失业率λ0最佳阈值b*（欧元）xP/βVIVIIIIIIII：u=-0.001II：u=0.0004（=r）III：u=0.002IV：u=0。005V：u=0.012（b）λ7→ b*无花果

4： 图表说明了最佳阈值（2.23）的参数依赖关系：（a）工资漂移u<r，（b）失业率λ>0∨(u - r） ，分别用于λ和u的选定值。示例5.2中整个区域使用的其他模型参数值：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02。两个图中的虚线水平线表示初始工资x=346。（a）中的垂直虚线表示u=r。（b）中较低的水平虚线表示渐近线P/β=300（见（6.19））。如果x≥ b*, 然后从（2.25）的第二行，我们很容易得到dvdu=βλx（~r- u)> 0. （6.10）因此，在所有情况下，dv/du>0，这意味着函数u7→ v增大（见图5（a））。最后，fixu并考虑函数λ7→ v、 如果x≥ b*那么v由（2.25）的第二行给出，即v=βλxλ+r- u-P、 （6.11）特别是，如果u=r，则（6.11）降低至v≡ v*:= βx- P从（6.11）可以看出，dvdλ=βx（r- u）（λ+r- u)< 0，u>r，=0，u=r，>0，u<r。由于函数λ7的单调性→ b*（见（6.5）），v由（6.11）给出，长度为λ≥ λ*, 对于某些临界值λ*≡ λ*(u) ≤ ∞. 如下所示（见（6.19）），即limλ→∞b*= P/β，soλ*< ∞ i f，只有x>P/β。很明显，λ*由条件b确定*= x（见（2.23））以及方程式（3.11）。在特殊情况下，u=r（假设x>P/β），可以求解这些方程以得到λ*=Pβxσβxβx- P+r. (6.12)-0.002 0.000 0.001 0.002 0.003 0.0040 1000 2000 3000 4000工资漂移u值函数v（x）（欧元）（a）u7→ v（x）v*RIIIIIVVI：λ=0.005II：λ=0.01III：λ=0.016IV：λ=0.025V：λ=0.0550.000 0.005 0.010 0.015 0.0200 1000 2000 3000 4000失业率λ0值函数v（x）（欧元）（b）λ7→ v（x）v*λ*IIIIIII VVVII：u=0.0006II：u=0.0004（=r）III：u=0.0003IV：u=0。00022V：u=0.0001VI：u=- 0.0001图。

5： 说明价值函数（2.25）参数依赖关系的图表：（a）工资漂移u<r，（b）失业率λ>0∨(u - r） ，分别针对λ和u的选定v值。示例5.2中使用的其他模型参数值为：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=346。两个图中的虚线水平线对应于值v*:= βx- P=1380。（a）中的虚线垂直线表示u=r；在这种情况下，如图（b）中的曲线ii所示，v（x）≡ v*对于所有λ≥ λ*.= 0.012420（见（6.12））。这就是为什么图（a）中曲线iii、iv和v在u=r时的所有相交。特别是，在示例5.2中，该g为λ*.= 0.012420. 根据上述考虑，如果x>P/β，则（见（6.11））limλ→∞v=v*= βx- P、 （6.13）在x的情况下≤ b*, 我们使用公式（6.6）。与（6.9）类似，dvdλ=vλ+vq*·q*λ+vb*·数据库*dλ。（6.14）将表达式（6.2）、（6.4）、（6.7）和（6.8）替换为（6.14），取消内禀因子并调用公式（6.1），条件dv/dλ<0减少为σq*+ rσq*+ r+ λr<q*- 1+lnb*x个σq*+ r+λ. （6.15）可以证明，如果u≥ r则不等式（6.15）适用于所有λ<λ*, 但u<r的分析变得困难。数值图（见图5（b））表明，在后一种情况下，函数λ7→ v可以是非单数的ni c，导数e dv/dλ可能在多达两点处消失，前提是r- ε<u<r，ε>0足够小。更具体地说，图5（b）中的曲线图说明了x>P/β的情况，以及常见的渐近线（6.13）。对于x≤ P/β，曲线图看起来相似（此处未显示），但具有limλ→∞v=0（见下文（6.22）），因此导数dv/dλ最多可在一点内消失。6.2. 极限值让我们调查功能b*和v在限值（i）u内→ -∞ 或u↑ r和（ii）λ→ ∞ 或λ↓ 0（u<r），λ↓ u -r（u≥ r） 。

首先，使用方程式（3.11）观察thatlimu→-∞q*= ∞, limu↑rq*= 1、（6.16）和q*- 1.~r- uσ+~r（u↑ r）。（6.17）类似地，limλ→∞q*= ∞; 另一方面，如果u<r，则limλ↓0季度*= q*|λ=0>1，而如果u≥ r然后Q*- 1.~λ-(u - r） σ+u（λ↓ u - r） 。（6.18）因此，从（6.1）和（6.16）可以很容易地得出*→ ∞ (u → -∞) andb*→P（σ+~r）βλ（u↑ r）。此外，使用该q*→ ∞ (λ→ ∞), 从（2.23）我们得到*→Pβ（λ→ ∞). （6.19）在相反极限下，如果u>r，则根据（6.1）和（6.18），b*→P（σ+u）β（u- r） （λ↓ u -r） ，（6.20），而ifu≤ r然后limλ↓0b*= ∞; 特别是，对于u=rb*~P（σ+r）βλ（λ↓ 0). （6.21）对于值函数v=v（x），从公式（6.6）中，我们使用（6.16）和（6.17）得到limu→-∞v=0，limu↑rv=∞.此外，根据（6.13），如果x>P/β，则v→ v*= βx- P为λ→ ∞.在相反的情况下，由于b的单调性*（见（6.5））和我们的极限（6.19）b*> P/β≥ x、 所以使用公式（6.6）并回顾q*→ ∞, we getv公司≤Pq*- 1.→ 0 (λ→ ∞). （6.22）现在，当λ接近其范围的下边缘时，考虑v的极限。如果u<r，则（6.6）表示limλ↓0v=0，自b起*→ ∞ 和q*→ q*|λ=0> 1. 如果u=r，则使用（6.18）和（6.21）（u=r），我们得到V~ βxλq*-1=βx exp（q）*-1） lnλ→ βx（λ↓ 0). （6.23）最后，如果u>r，则根据（6.18）和（6.20），从（6.6）可以很容易地得出v~βx（u- r） λ- (u - r）→ ∞ (λ↓ u - r） 。(6.24)0.000 0.010 0.020 0.030-0.002 0.000 0.002 0.004 0.006失业率λ0工资漂移u（a）b等值线*IIIIIII VI:b*= 330II：b*= 340III：b*= 355IV：b*= 3850.000 0.010 0.020 0.030-0.0005 0.0005 0.0015失业率λ0工资漂移u（b）v=v（x）rλ的等值线*ViviIIIIIII:v=1510II:v=1380III:v=1250IV:v=1100V:v=900图。6： （λ，u）平面上最优停止问题解的等值线（水平曲线）：（a）b*（λ，u）=常数（最佳阈值（2.2 3））；（b） v（λ，u）=常数（值函数（2.25））。

整个过程中使用的其他参数的v值如例5.2所示：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=34 6。两个图中的斜虚线表示边界u=λ+r（见（2.11））。在图（b）中，水平虚线表示u=r，垂直虚线表示λ*.= 0.012420（见图5（b））。6.3. 比较静力学和敏感性分析比较静力学的目标是了解外生参数的不同值如何影响目标函数。例如，考虑最佳阈值b*作为失业率λ和工资漂移u的函数。而不是筛选其中一个参数，然后绘制b*根据剩余参数（如图4（a）和4（b）所示），绘制一系列比较静力学图非常有用，这些图显示了函数不同值（水平）的等值线（或水平曲线），即b*（λ，u）=常数（见图6（a））。如图所示。4（a）和4（b），函数λ=λ（u）（由水平条件隐式确定）的图表现为单调递减图。数值函数的类似图如图6（b）所示；对于足够大的v，曲线图变得非常单调。如果λ固定，则v值随u增长，与（6.9）和（6.10）一致。类似地，如果u>r固定，则v随λ减小，收敛到极限v*= βx- P为λ→ ∞ （见（6.13）），由图5（b）中的曲线II表示。如果v>v*然后，λ（和公共u）有两个不同的值，产生相同的值v，而对于v，则小于但足够接近v*, 此类根的数量可能会增加到三个（见第6.4节的讨论）。让我们也评论一下第5.4节中给出的数值例子的敏感性。