一个简单失业保险模型的最优停止与效用

特别是，如果u≤ 0和x<b*然后，根据（2.28），t*= ∞ 从（2.27）我们得到v（x）=0；实际上，函数t 7→ xeut不增加，因此它永远不会达到所需的阈值b*> x、 相反，如果x≥ b*然后乘以（2.28）t*= 0（对于任何u）和（2.27）容易产生v（x）=βx- P解决最优停止问题最优停止问题（2.17）涉及两项任务：（i）评估值函数v（x），和（ii）确定最大化器τ=τ*. 一种标准的方法是尝试猜测解决方案，然后验证它是否正确。3.1. 猜测解决方案让我们更仔细地观察我们试图识别的值函数v（x）的本质。通过在（2.17）中选取τ=0，可以得出较低的估计值V（x）≥ g（x）。（3.1）很明显，如果v（x）>g（x），那么我们还没有达到可用的最大收益，所以我们应该继续等待。另一方面，如果v（x）=g（x），那么已经达到最大值，我们应该停止。这推动了两个区域的定义，C（延续）和S（停止），C：={x≥ 0:v（x）>g（x）}，S：={x≥ 0：v（x）≤ g（x）}。由于进程Xt的马尔可夫特性，相同的参数可以传播到任意时间t≥ 0，前提是尚未停止。即，如果Xt=x′（和τ≥ t） 然后用新的（剩余）停止时间τ′=τ更新问题（2.17）- 用x′代替初始值x。因此，很自然地，我们会期望最优策略规定，只要当前工资值Xt属于C区（即v（Xt）>g（Xt）），就会继续，但当NXT第一次进入S区（即v（Xt））时就会停止≤ g（Xt））。也就是说，最佳停止时间应由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt∈ S} =inf{t≥ 0:v（Xt）≤ g（Xt）}∈ [0, ∞].

（3.2）为了阐明停止集S的合理结构，回顾一下（参见引理2.2（i）的证明）停止问题（2.17）的零值是通过简单地使用策略τ来实现的≡ ∞, 也就是说，永远不要加入这个计划。因此，如果初始工资X=xis很小（例如，这样的that g（X）=βX- P<0）那么，为了获得积极的回报，我们应该等待足够高的工资Xt。这表明，对于平面{（t，x）：t上的某个集合，停止规则（3.2）减少到第一次击中时间≥ 0，x≥ 0}.此外，注意到定义（3.2）是时间同质的，因为它在时间t的过程中不会发生变化，我们还假设了最简单的情况，即区域C和S由常数阈值y=b确定*> 0，C=[0，b*), S=[b*, ∞). （3.3）换句话说，推测的撞击边界不依赖于时间。因此，我们得到了hittingtimes子类上的约化最优停止问题，u（x）=supb≥0Exe-rτbg（Xτb）. （3.4）该结论符合一般最优停车理论【35，§II.2.2】。特别是，公式（3.2）专门用于τb*= inf{t≥ 0:Xt≥ b*} = inf{t≥ 0:u（Xt）≤ g（Xt）}∈ [0, ∞]. （3.5）我们的第一项任务是确定（3.4）中的值函数u（x）和相应的最大化b=b*通过求解相应的自由边界问题（第3.2节）。在那之后，我们必须证明这个解在停车时间的一般类别中是最优的，也就是说，对于所有x，u（x）=v（x）≥ 0（第3.3节）。3.2. 自由基问题根据最优停止的一般理论（参见，例如，[35，Ch.IV]），在连续区域C=[0，b）（参见（3.3））（3.4）中的值函数u（x）必须与Xt生成的基础过程ext协调。

更准确地说，由于最优停止问题（3.4）中的折扣指数因子，通过独立终止（或折扣）以比率r从XT中获得ProcessExt（见[35，§§5.4，6.3]）。因此，如果b是可测量的阈值，τbis是相应的命中时间，那么对于任何x≥ 0以下条件必须保持，例如e-r（τb∧t） u（Xτb∧t）= u（x）（t≥ 0). （3.6）注意，由随机微分方程（2.1）确定的几何布朗运动Xt是一个微分过程，其中最小生成元：=uxddx+σxddx（x>0）。（3.7）然后，killed processExt的生成器由（见[35，§6.3，p.1 27]）L=L给出- rI，（3.8），其中I是标识运算符。然后，可将协调性条件（3.6）简化为微分方程Lu=0，即Lu- ru=0（见（3.8））。在集合C=[0，b]的边界x=b上，由于停止规则（3.5），我们有u（b）=g（b）。此外，根据光滑fit原理（见[35，§9.1]），我们还必须满足条件u′（b）=g′（b）。最后，考虑到等式v（0）=0（见引理2.2（i）），我们在0处添加Dirichlet边界条件，u（0+）=limx↓0u（x）=0。因此，我们得到以下自由边界问题，Lu（x）- ru（x）=0，x∈ （0，b），u（b）=g（b），u′（b）=g′（b），u（0+）=0，（3.9），其中b>0和u（x）都未知。替换（2.10）和（3.7），问题（3.9）被明确重写为uxu′（x）+σxu′（x）- ~ru（x）=0，x∈ （0，b），u（b）=βb- P、 u′（b）=β，u（0+）=0。（3.10）让我们寻找（3.10）的解，其形式为u（x）=xq（x>0），具有合适的参数q∈ R、 然后（3.10）中的微分方程得出σq（q- 1） +uq- r=0。（3.11）该二次方程有两个不同的根，q1,2=σ-u -σ±qu -σ+ 2rσ,其中q<0<q=q*（见（2.24））。还要注意，由于条件（2.11），（3.1 1）的左手侧在q=1时为负值，因此q>1。

因此，微分方程（3.10）的一般解由u（x）=Axq+B xq，x给出∈ （0，b），（3.12）具有任意常数A和b。但由于q<0，条件u（0+）=0意味着b=0。因此，（3.12）减少到u（x）=Axq≡ Axq公司*（0<x<b）。此外，（3.10）中的边界条件屈服（Abq*= βb- P、 Aq公司*bq公司*-1=β，由此我们可以得出=βb- Pbq公司*, b=P q*β（q*- 1). （3.13）因此，（3.10）所需的解由u（x）给出=（βb- P）xb公司q*, x个∈ [0，b]，βx- P、 x个∈ [b，∞)（3.14）其中（3.13）和q中定义了阈值b*> 1是方程（3.11）的正根，由公式（2.24）明确给出。3.3. 验证找到的溶液使用（3.13）和（3.14），很容易看出u（x）=g（x），x∈ [b，∞),u（x）>g（x），x∈ [0，b），（3.15）符合第3.1节中概述的启发式（见（3.3））。但是，没有必要检查（3.14）中定义的函数u（x）是否解决了简化的最优停止问题（3.4），因为我们可以直接证明u（x）提供了原始最优停止问题（2.17）的解决方案，即u（x）=v（x）对于所有x≥ 0、备注3.1。由于根据公式（3.14）u（0）=0，根据引理2.2（i），v（0）=0，因此在接下来的内容中，必须假设x>0。上述权利要求的证明（通常称为验证定理）由两部分组成。（i） 让我们首先显示u（x）≥ v（x）（x>0）。如果地图x 7→ u（x）是一个C函数（即，具有连续的二阶导数），然后经典的It^o公式（参见，例如，【34，定理4.1.2，第44页】）应用于e-由于（2.1）和（3.7），rtu（Xt）将产生e-rtu（Xt）=u（x）+中兴通讯-卢比Lu（Xs）- ru（Xs）ds+Mt（Px-a.s.），（3.16），其中Mt：=中兴通讯-rsu′（Xs）σXsdBs（t≥ 0). （3.17）然而，对于（3.14）给出的函数u（x），其C-平滑度在点x=b处分解，其中仅为C。

但u（x）在（0，b）上是严格凸的（即u′（x）>0），在（b）上是线性的，∞), 我们可以用单侧二阶导数，比如u′（b）来定义x=b时的作用Lu（x-) = P q*b-2.（3.18）在这种情况下，It^o公式hol ds的推广，称为It^o–Meyerformula（见[39，Ch.VIII，？a，p.757]），确保表示（3.16）仍然有效。回想一下，通过构造（见（3.9）中的微分方程），我们得到了lu（x）- ru（x）=0，x∈ （0，b）。（3.19）此外，使用（3.18）很容易检查等式（3.19）是否也扩展了tox=b。另一方面，根据条件（2.11）a和bin（3.13）的定义，对于x>b，我们得到lu（x）- ru（x）=uβx- r（βx- P）=βx（u- r）+rP<βb（u- r）+▄rP=P（uq*- r）q*- 1<0，（3.20），因为，由于方程式（3.11）和不等式q*> 1，uq*- r=-σq*（q）*-1) < 0.因此，结合（3.19）和（3.20），我们得到Lu（x）- ru（x）≤ 0（x>0）。（3.21）将不等式（3.21）代入公式（3.16），我们得出结论，对于任何x>0且所有t≥ 0，u（x）+Mt≥ e-rtu（Xt）（Px-a.s.）。（3.22）根据公式（3.17），（Mt）是一个连续的局部鞅（参见，例如，[39，Ch.II，§1c，p.10 1]）。设（τn）是有界停止时间的局部化序列，因此τn↑ ∞ （Px-a.s.）和停止的过程（Mτn∧t） 是鞅，对于each n∈ N、 现在，设τ为（Xt）的任意停止时间。从（3.22）我们得到u（x）+Mτn∧τ≥ e-r（τn∧τ） u（Xτn∧τ)≥ e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ） （Px-a.s.），（3.23）使用该u（x）≥ g（x）表示所有x≥ 0（见（3.15））。在不等式（3.23）的两边都取期望值，givesu（x）≥ 前任e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ), （3.24）由于Doob的可选抽样定理（参见，例如，[44，定理8.10，p.131]），Ex[Mτn∧τ] =Ex[米]=0。根据Fato u引理（参见，例如，[38，§II.6，定理2（a），第187页]），从（3.24）开始，它遵循u（x）≥ 前任lim信息→∞e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ)= 前任e-rτg（Xτ）.

（3.25）最后，取（3.25）所有停车时间τ的上确界，我们得到u（x）≥ supτExe-rτg（Xτ）= v（x）（x>0），如权利要求所述。（ii）现在让我们证明相反的不等式，u（x）≤ v（x）（x>0）。根据（3.1）和（3.15），我们很容易得到u（x）=g（x）≤ v（x）代表x∈ [b+∞). 下一步，fix∈ （0，b），并考虑用τn替换t的表示法（3.16）∧ τb，其中（τn）是之前（Mt）停止时间的局部序列。然后，根据恒等式（3.19）（如前所述，对于x=b也是如此），可以得出u（x）+Mτn∧τ=e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）（Px-a.s.）。（3.26）与abov e类似，取等式（3.26）两侧的期望值，并再次将Doob的可选抽样定理应用于鞅（Mτn∧t） ，我们得到u（x）=Exe-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）. （3.27）注意，对于0<x<b，我们有0≤ u（x）≤ u（b）和0≤ Xτn∧τb≤ b（Px-a.s.），hence0≤ e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）≤ u（b）（Px-a.s.）。使用τn↑ ∞, 注意，Px-a.s.，limn→∞e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）=e-rτbu（Xτb）{τb<∞}+ 画→∞e-rτnu（Xτn）{τb=∞}= e-rτbu（b）{τb<∞}, （3.28）因为事件{τ<∞}, 而0≤ u（Xτn）≤ 事件{τ=∞}. 因此，让n→ ∞ 在（3.27）中，利用支配收敛定理（参见，例如，[38，§II.6，定理3，p.187]），我们根据（3.28），得到u（x）=Exe-rτbu（b）{τb<∞}= 前任e-rτbg（b）{τb<∞}= 前任e-rτbg（Xτb）{τb<∞}≤ v（x），根据（2.17）。也就是说，我们已经证明了u（x）≤ v（x）表示所有0<x<b，视需要而定。因此，验证定理的证明是完整的。4、约化问题的初等解4.1。击中时间的分布根据公式（2.2），将过程XT的击中问题归结为漂移布朗运动的击中问题，τb：=inf{t≥ 0：Xt=b}≡ inf{t≥ 0:Bt+￠ut=￠b}，（4.1），其中￠u=u-σσ，~b=σlnbx。（4.2）假设x≤ b、 因此▄b≥ 0

击打时间（4.1）的Lapl-ace变换的显式表达式是众所周知的（参见，例如，[9，练习6.2 9和6.31，第268页]或[12，命题3.3.5，第61页]）。提案4.1。对于x≤ b和任意θ>0，设置Φx，b（θ）：=Ex（e-θτb）≡ 前任e-θτb{τb<∞}. （4.3）那么Φx，b（θ）=expn-bp￠u+2θ- ~uo、 θ>0，（4.4），其中（4.2）中定义了u和b。替换表达式（4.2），公式（4.4）重写为Φx，b（θ）=xb公司q（θ），θ>0，（4.5），其中q（θ）由（cf.（2.24））q（θ）=σ给出-u -σ+qu -σ+ 2θσ. （4.6）通常，可以直接从拉普拉斯变换（4.3）中提取一些关于命中时间τb分布的明确信息。首先，通过单调收敛定理（参见，例如，【38，§II.6，定理1（a），p.186】我们得到了limθ↓0Φx，b（θ）=Ex（{τb<∞}) = Px（τb<∞).因此，从（4.6）中注意到Q（0）=0如果u-σ≥ 0,1 -2uσifu-σ<0，（4.7）我们得到px（τb<∞) =xb公司q（0）=1, u -σ≥ 0,xb公司1.-2u/σ, u -σ< 0.（4.8）备注4.1。结果（4.8）表明，临界阈值b=b*, 正如停止规则所要求的，当工资增长率足够大时，几乎可以肯定，u≥σ.因此，“危险”情况是当u<σ时，因此仅依赖最佳停止配方可能不可行。这一观察结果可以作为将保险背景下的最优问题与效用概念联系起来的想法的萌芽（参见下文第7.1节的讨论）。通过拉普拉斯变换Φx，b（θ），我们还可以得到u情况下的平均命中时间Ex（τb）≥σ、 其中τb<∞ （Px-a.s.）。也就是说，再次使用mo notone收敛定理，我们得到limθ↓0Φx，b（θ）θ= -limθ↓0Exτbe-θτb= -Ex（τb）。因此，在θ=0时区分公式（4.5），并从（4.6）中注意到q（0）=0（参见（4.7））和q′（0）=∞, u =σ,u -σ、 u>σ，我们得到ex（τb）=-自然对数xb公司xb公司q（0）q′（0）=∞, u=σ，ln（b/x）u-σ, u >σ.(4.9)4.2.

替代推导推导推导公式（4.8）和（4.9）的替代（更直接）方法基于马尔可夫过程的一般理论，通过解决适当的边界值问题（参见，例如，[34，§9]）。即命中概率π（x）：=Px（τb<∞) 作为x>0的函数，满足Dirichlet问题[34，§9.2]（Lπ（x）=0（0<x<b），π（b）=1）。（4.10）（4.10）中的微分方程读数为σxπ′（x）+uxπ′（x）=0（0<x<b），很容易求解得出π（x）=cx1-2u/σ+c。如果1- 2u/σ<0（即u-σ> 0）然后c=0（因为π（x）有界），由于边界条件π（b）=1，因此c=1和π（x）≡ 1.类似的论证表明π（x）≡ 1在案例1中-2u/σ= 0. 最后，i f 1-2u/σ>0然后，注意到π（0）=0，我们得出结论，c=0，并且由于边界条件，c=b-1+2u/σ.从而证明了公式（4.8）。同样，平均命中时间m（x）：=Ex（τb）（带u-σ> 0）满足泊松问题[34，§9.3]（Lm（x）=-1（0<x<b），m（b）=0。（4.11）通常，为了解决问题（4.11），通过在ε>0时添加辅助Neumann（反射）条件，可以方便地用双边边界问题来近似它，Lmε（x）=-1（ε<x<b），mε（b）=0，m′ε（ε）=0，（4.12），然后将mε（x）的极限取为ε↓ 该程序将产生自limε以来的校正溶液m（x）↓0Px（τε<∞) = Px（τ<∞) = 0（对于任何x>0）。非齐次微分方程σxm′ε（x）+uxm′ε（x）=-1（ε<x<b）可以用m（x）=cln x的形式求出，其中c=-1/(u -σ). 因此，（4.12）的通解可以表示为asmε（x）=-ln xu-σ+cx1-2u/σ+c.（4.13）现在，使用（4.12）中的边界条件，可以直接检查limε↓0c=0，limε↓0c=ln bu-σ.因此，从（4.13）我们得到m（x）=limε↓0mε（x）=ln（b/x）u-σ、 检索结果（4.9）。备注4.2。

将相同的方法应用于带生成器的终止进程ext▄L=L-rI（见（3.8））提供了（3.14）给出的值函数u（x）的简洁解释。也就是说，将（3.4）中的期望值（即eNPV（x；τb））改写为▄Exg（eXτb）, 式中▄Ex表示对终止过程（eXt）的期望，并注意，对于b≥ 0，Exg（eXτb）=（g（b）~Px（τb<∞), x个∈ [0，b]，g（x），x∈ [b，∞).反过来，命中概率▄π（x）：=▄Px（τb<∞) 可以通过求解相应的Dirichlet问题（参见（4.10）），（▄L▄π（x）=0（0<x<b），▄π（b）=1轻松找到。实际上，根据第3.2节中的计算，很容易得到|π（x）=（x/b）q*.4.3. 直接最大化利用前几节的结果，我们可以很容易地得出最优停车问题（2.17），至少在命中时间τ=τb（见（3.4）），u（x）=supb的子类中≥0eNPV（x；τb）=supb≥0Exe-rτb（βXτb- P）. （4.14）观察如果x≥ b然后τb=0，Xτb=X（Px-a.s.），因此eNPV（X；τb）≡ βx-P对于所有b∈ [0，x]。现在让我们b∈ [x，∞). 如前所述，关于{τb<∞} 我们有xτb=b（Px-a.s.），因此，根据（2.17）和（4.5），eNPV（x；τb）=（βb- P）Exe-rτb= （βb- P）xb公司q*（b）≥ x） ，（4.15），其中q*= q（θ）|θ=~r（参见（2.24）和（4.6））。很容易找到函数的最大值（4.15）。事实上(/b） eNPV（x；τb）≥ 0，相当于βb-q*-q*（βb- P）b-q*-1.≥ 0，保留所有b∈ [0，b*], 其中b*=P q*β（q*- 1） ，（4.16），这是与之前相同的最佳阈值（参见（2.2.3））。因此，b上的NPV（x；τb）的上确界≥ x在b=b时达到*如果x≤ b*如果x，则在b=x时≥ b*.然后计算相应的值函数u（x）a s（cf.（2.25））u（x）=（（βb*- P）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],βx- P、 x个∈ [b]*, ∞).（4.17）最后，将（4.16）代入（4.17），我们明确地得到（参见。

（2.26））u（x）=Pq*- 1.β（q*-1） xP q*q*, 0≤ x个≤P q*β（q*-1） ，βx- P、 x个≥P q*β（q*-1).(4.18)5. 统计问题和数字说明5.1。从实际角度指定模型参数，为了执行停止规则（2.22），相关独立个体需要能够计算临界阈值b*如（2.23）所示，需要了解β（如（2.9）所述），因此需要了解参数R、λ、u和β（见（2.5））；此外，评估数量q*在（2.24）中定义，需要估计u-σ和σ本身。具体而言：o失业率λ可从公开的平均工作时间数据中提取，理论上由E（τ）=1/λ得出同样，通货膨胀率r也属于公共领域要指定增长率u，一种简单的方法就是将u=r设置为“跟踪”规则的一种变体。然而，在某种程度上，个人的工资增长率u可能是由工作合同规定的，例如，每年不得超过通货膨胀率r 1%以上（适用于公务员），或者相反，每年不得低于r减0.5%（在私营部门更为现实）。实际上，这意味着实际增长率u保持在最低的预定水平上更一般地说，工资增长率u可以通过观察wageprocess Xt来估计。这可以通过首先对Yt=ln xt进行回归分析并估计回归线斜率u来实现-σ（见（2.2））。