一个简单失业保险模型的最优停止与效用

两个plo ts上的虚线垂直线表示值κ+162.7108（见（7.16））根据（7.15）分离u+（x）的不同体系。当κ=κ+时，b+=x=346，如图（a）中的虚线水平直线所示；相应的值函数由u+（x）=βx+κ+给出- P、 =1542.7110（见（7.14）），如图（b）中的水平虚线所示。请注意，曲线图（b）中的u+（x）曲线图对于κ几乎呈线性∈ [0，κ+]，因为κ/P比值非常小，0≤ κ/磷≤ κ+/P.=0.01 808；此处的斜率约为yv（x）（q*-1） /P.=0.88448，与κ线性图的斜率1相比≥ κ+.如果x固定，则问题值u+作为κ的函数，由（7.15）中的第一行或第二行根据κ给出∈ [0，κ+]或κ∈ [κ+, ∞), 其中κ+：=P-β（q*-1） xq公司*. （7.16）b+和u+（x）对效用参数κ的依赖性∈ [0，P]如图7所示，而图8显示了命中概率x（τb<∞) 以及可变阈值b上的平均命中时间Ex（τb）≥ 0，以及预期净现值eNPV（x；τb）的对应图。备注7.1。注意，u+（x）是κ的严格递增函数∈ [0，P]，符合提案7.1。特别是，u+（x）与函数u（x）的原始值givenby（4.18）一致，但溢价P被P取代- κ. 这可以解释为个人同意将通过追求最佳停车问题（7.11）而非（2.17）获得的额外满意度转换为更高的溢价，P+=P+κ。这种影响是在预期效用理论下使用风险效用函数的特征【23】（另见下文第6.4节的讨论）。在u>σ的情况下，我们可以考虑简化问题u+（x）=supb，而不是（7.7）≥0κexp{-Ex（τb）}+eNPV（x；τb）.

（7.17）0 200 400 600 800 1000 12000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2保留b（欧元）Px（τb<∞)xb公司*（a） b 7→ Px（τb<∞)u <σ300 350 400 450 5000 500 1500阈值b（欧元）Ex（τb）（欧元）xb*（b） b 7→ Ex（τb）u >σ0 200 400 600 800 1000 12000 500 1000 1500阈值b（欧元）eNPV（x；τb）（欧元）xb*（c） b 7→ eNPV（x；τb）u <σ300 350 400 450 5000 500 1500阈值b（欧元）eNPV（x；τb）（欧元）xb*（d） b 7→ eNPV（x；τb）u >σ图8：命中时间τbversus阈值b泛函的理论图≥ 上排：（a）命中概率Px（τb<∞) （见（4.8））；（b） 平均命中时间ex（τb）（见（4.9））。底行：u<σ（c）或u>σ（d）的预期净现值eNPV（x；τb）（见（4.15））。整个过程中使用的参数值如第5.4节所示：x=346，P=9 000，β=30，u=0.0004，σ=0.04（左）或σ=0.02（右）。每个图上的垂直虚线表示x和最佳阈值b*,分别地具体而言，b*.= 404.741左侧0（参见示例5.1）和b*.= 352.3705位于右侧（参见示例5.2）。替换公式（4.9）和（4.15）后，将其改写为（cf.（7.10））u+（x）=supb形式≥x个κln（b/x）u-σ+（βb- P）xb公司q*. （7.18）同样，可以解决最大化问题（7.18）（至少在数值上）。对于分析解决方案，可以方便地将问题（7.17）修改为fo l l ows，u+（x）=supb≥0κexp-q*u -σEx（τb）+ eNPV（x；τb）.与（7.18）类似，这导致了与（7.12）一致的最大化问题，因此，具有相同的解决方案（7.13）和（7.14）（或者，等效地，（7.15））。7.4. 与预期效用理论的联系上述考虑可以与标准预期效用理论联系起来[23]。在通常情况下，假设个人使用（可能是潜意识）某种效用U（w），作为金融财富w的函数，来评估损失、收益和结果满意度。

一般而言，给定当前财富w和一些随机未来损失Y，预期损失（v i a效用U（·））可表示为EU（w-Y）. 个人倾向于支付保费P并购买保单，只要无保险的预期效用不超过U（w-P），EU（w- Y）≤ U（w-P）。（7.19）余额条件U（w- Y）= U（w- P）（7.20）确定客户准备支付的最大保费P（事实上，在这一点上，无论是否购买保险都没有区别）。在U（w）的基线情况下≡ w、 条件（7.19）和（7.20）在顶部减少≤ Pmax=E（Y）。（7.21）然而，选择不同的效用函数可能会改变这一阈值。例如，如果随机损失Y具有指数分布，参数θ=0.001，那么根据（7.21），我们得到Pmax=E（Y）=1/θ=1000。相反，将效用函数设为U（w）=1-经验值-θw. 这里，如果财富为正，效用在0到1之间，但如果财富为负，效用会变得越来越负；也就是说，对负财富的重视程度很高，这可能是风险厌恶型个人的特征。在这种情况下，很容易检查Pmax=2 ln 2θ=1386.2 94>1000。因此，个人很乐意支付比以前更多的费用，以保护自己免受重大损失的风险。也就是说，额外的满意度可以转化为额外的溢价。在我们的例子中，如果要在时间t=0时立即输入UI，那么该决策的值将是eNPV（x；0）=βx- P（见（2.8）和（2.16））。

显然，为了使其非负，保费P必须满足条件P≤ Pmax=βx。对于恒量，在第5.4节中的数值示例设置中，我们得到Pmax=30×346=10 380，而设置的溢价为P=9 000。类似地，如果在停车时间τ作出决定，则以wag eXτ为条件，应支付的最大保费将由Pmax=βXτ给出。因此，最大值随当前工资一起上升或下降。然而，在我们的设置中，入口时间不是预先决定的，而是受基于observationsover（Xt）的停止规则的约束。因此，对于任何溢价P，最优停车问题的值函数v（x）（x>0）始终为正，无论溢价P有多高（见公式（2.26））。显然，这是通过选择阈值b来实现的*足够高，这保证了在（罕见的）命中事件中，此策略的平均值将为正值。从预期效用理论的标准来看，这可能并不令人满意；然而，这并不矛盾，因为在其标准版本中，该理论不允许选择停止。按照第6.2节和第6.3节的精神，在增益函数中添加效用项有助于修正这种情况（见备注7.1），但最大可承受的前提仍然不确定。对这一悖论的解释在于一个简单的事实，即迄今为止所考虑的最优停止问题中的增益函数不包括任何损失。解释此类损失的一种简单方法是将消费纳入模型。也就是说，假设消费率c为常数；例如，中兴通讯给出了一段时间间隔[0，t]内的消费净现值-rsc ds=c（1- e-rt）r。很自然地，我们会假设工资Xt足以为消费提供资金，因此Ex（Xt）=xeut≥ c代表所有t≥ 0（见（2.3））。

反过来，要使其保持不变，必须假设X=X≥ c和u≥ 因此，我们只需考虑失业期间的消费[τ，τ+τ]，其中工资由UI福利代替。该消费的预期净现值由γ给出：=Ee-rτZτe-rsc ds= Ee-rτ·Ec（1- e-rτ）r=λc（r+λ）（r+*λ） ，使用τ和τ及其指数分布的独立性（分别使用参数λ和λ）。因此，我们的基本最优停止问题（2.1 7）被修改为v（x）=supτExe-rτg（Xτ）-γ,其解与之前的解相同（参见第2.5节），但具有新的值函数v（x）=v（x）- γ、 即（cf.（2.25）），v（x）=（（βb*-P）xb公司*q*-γ、 x个∈ [0，b*],βx- P- γ、 x个∈ [b]*, ∞).现在，不等式v（x）≥ 对于P到yieldP，0可以很容易地求解≤ P最大值：=βb*- γb*x个q*, x个∈ [0，b*],βx- γ、 x个∈ [b]*, ∞).（7.22）请注意，Pmaxin（7.22）是γ的递减函数，但是x的递增函数。因此，正如可以预见的那样，最大有效保费随着消费的增加而降低，但随着工资的增加而升高。备注7.2。当然，消耗也可以纳入涉及公用事业的最佳停止模型（见第6.2节和第6.3节），但我们省略了技术细节。8、结论性意见在本文中，我们在一个风格化的UI模型中建立并解决了一个最优停止问题。该模型及其解通过说明个人寻求保险的最优策略的方法非常有用。通过在模型中包含消费，我们还演示了如何计算公平保费，这使得我们的UI模型也可以从保险公司的角度使用。由于一些简化的假设，特别是失业时间τ的指数分布和恒定的通货膨胀率，相应的最优停止问题的显式闭合形式解决方案是可能的。

分析还强烈依赖于工资过程（Xt）的最简单模型，即具有常数漂移u和波动率σ的几何布朗运动。让我们指出几个使UI模型更真实的方向。首先，UI保险的定义可以被受益计划的有限到期期限（类似于具有有限水平的美式看涨期权）所取代，这将导致更难的（时间相关的）最优停止问题（参见[35，§25.2]）。此外，τ的指数分布假设需要在实际失业数据的基础上进行检验。然而，请注意，设定τ的不同分布将使预期净现值eNPV（x；τ）的表达式（2.13）无效，因此将改变最优停止问题（2.17）中的增益函数，使其更难解决。模型的参数也可能需要具有时间依赖性，从而导致模型明显复杂化。另一方面，在失业期间被动等待新工作的隐含假设可能不现实，或者至少不可取，因为人们希望个人更积极地寻找工作。因此，将我们的UI模型与求职模型相结合可能很有趣，如[4]。在这种情况下，将效用术语纳入最佳设置是一种新颖的做法，并说明了在效用考虑的驱动下，个人行为的重大变化。特别是，最优停止问题（7.6）的值是偏好系数κ的递增函数（见命题7.1）。这个结果在直觉上很有吸引力，asit符合效用函数的通常影响（在预期效用理论下），允许人们将额外的满意度转化为额外的溢价。我们在第6.3节（见图7）中对次优解的分析证实了这一点。

最后，更详细地研究最优停车问题（7.6）是很有意思的。确认TsJ。S、 A.得到利兹大学利兹周年研究奖学金（LARS）的支持。两位作者都从与Tiziano De Angelis的许多有益讨论中受益匪浅，Tiziano De Angelis也为本研究的设计做出了贡献。J、 S.A.是格拉·特弗托·埃琳娜·伊索格利奥，请发表有益的评论。我们感谢三位匿名评论者提供的有用反馈。特别是，评审员#1提出了我们的保险模型的扩展，将死亡率恒力纳入其中，并指出了文献[31]中的经典论文；评审员#2评论了最佳停止中的正截断，并由[41]提请我们注意；评审员基于敏感性分析和经济解释。参考文献【1】Acemoglu，D.和Shimer，R.《失业保险带来的生产力收益》。《欧洲经济评论》，44（2000），1195-1224。（内政部：10.1016/S0014-2921（0 0）00035-0）[2]贝尔y，M.N.最佳失业保险的一些方面。《公共经济学杂志》，第10期（1978），379-402页。（doi:10.1016/0047-2727（78）90053-1）[3]Borch，K.应用于保险理论的效用概念。《ASTI N公报》，1（1961），245–2 55。（doi:10.1017/S051503610009685）[4]Boshuizen，F.A.和Gouweleeuw，J.M.连续时间求职模型：一般更新过程。统计通信。随机模型，11（1995），349–369。（doi:10.1080/15326349508807349，MR1323959）[5]Chen，X.，Li，X.和Yi，F.在有限时间范围内具有非平稳效用的最优停止投资。《工业与管理优化杂志》，15（2019），81–96。（内政部：1 0.3934/即墨，2018033）[6]Choi，K.J.和Shim，G.非效用、最优退休和投资组合选择。《数学金融》，16（2006），443–467。

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