最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

145–152]或[6，第3节]，进一步了解道路空间及其过滤的背景。我们用维纳测度W来装备C（R+），使得B是一个具有初始分布B的标准布朗运动~ δ. 在下文中，概率概念通常指维纳测度和规范过滤，除非给出不同的上下文。所有度量空间都配备了它们的Borelσ场，（in）过程的等式要理解到消失（意味着例外集的投影为W-null）和（in）随机变量的等式几乎是确定的意义。考虑具有有限二阶矩的R上的中心分布ν（但关于有限一阶矩的概括，请参见附录a）。设T为所有a.s.有限F-停止时间的集合，T（ν）为所有τ的子集∈ t使E[τ]<∞ 和Bτ~ ν. 集合T（ν）是非空的；若干经典嵌入τ∈ T（ν）可以在[71]中找到。关于停止时间的最优Skorokhodembedding问题isST（G）=supτ∈T（ν）E[Gτ]。这里和下面，当被积函数不可测时，使用外积分。最优Skorokhod嵌入问题通常与随机停止时间有关，定义如下。定义2.1。如果几乎所有ω和ω7的ξω（R+）=1，则分解ξ（dω，dt）=W（dω）ξω（dt）的C（R+）×R+上的概率测度ξ是随机停止时间→ ξω（[0，t]）对于所有t是Ft可测量的≥ 0.我们用R表示随机停车时间集。我们强调，我们的随机停车时间定义为停车时间。我们可以用规范的方式将T嵌入R中：τ映射到随机停止时间ξτ，核ξτω：=Δτ（ω）。嵌入后的图像用RT表示；我们将其元素称为非随机stoppin g次。

我们注意到R和Kantorovichtransports与RTA和Monge transports之间的类比。定义2.2。集合R（ν）由所有随机停止时间ξ组成∈ R使得ξ（t）<∞ 和ξo B-1= ν. 我们为非随机停止时间的子集写RT（ν）。这里，t是由t（ω，t）=t给出的投影，这两个条件对应于有限的一阶矩和边缘约束ν。特别是，如果ξ=ξτ表示停止时间，则ξ（t）=E[τ]和ξoB-1是Bτ定律。最优Skorokhod嵌入问题由s（G）=supξ给出∈R（ν）ξ（G），其中ξ（G）：=RG dξ。更简单地说，我们也将其称为pri马尔问题。这是一个明显的问题，文献中以前没有讨论过，给出了一个一般条件，在这个条件下，最优korokhod嵌入问题的两个公式具有相同的值。我们提供的答案是：当奖励函数G有足够的正则路径时。定理2.3。设G:C（R+）×R+→ [0, ∞) 博雷尔和适应，一个傻瓜→ Gt（ω）对于所有ω都是低s emi连续的∈ C（R+）。然后再补充ξ∈R（ν）ξ（G）=supτ∈T（ν）E[Gτ]。证据将在下一节中说明；这是下面定理3.1的结果，对后者的证明也将有助于理解G的正则性在何处以及如何发挥作用。定理2.3应与无约束最优停止的结果进行对比，其中停止时间上的值函数和随机停止时间对于一般可测量的奖励函数是一致的；参见示例【43，定理2.1】。特别是，下面（众所周知）的例子表明，G的下半连续性是定理2.3中的一个重要假设：由边际ν给出的非标准约束显著改变了问题的性质，第3节将对此进行更详细的讨论。示例2.4。

设ν有一个质量为a的原子∈ （0，1）在原点，设G为有界上半连续函数G（ω，s）=1{0}（s）。然后再补充ξ∈R（ν）ξ（G）=a>0=supτ∈T（ν）E[Gτ]。实际上，任何τ∈ 满足度W{τ=0}∈ {0，1}根据Blumenthal 0-1law。因此，任何τ∈ T（ν）必须是严格正的a.s.，这意味着e[Gτ]=0。另一方面，我们可以找到ξ∈ R（ν），其中ξ（{0}）=a，任何此类ξ都达到上确界。3固定边缘随机停止时间的近似本节的主要目的是关于C（R+）×R+（通常由该空间上的连续有界函数诱导）上的弱拓扑的密度结果。我们记得RT（ν）是T（ν）在R中的嵌入。定理3.1。设ν为R上具有有限秒矩的中心概率。然后RT（ν） 对于弱收敛拓扑，R（ν）是稠密的。同样，这应该与关于（凸组合）停止时间收敛于随机时间的经典结果进行比较，如[5，27，34，37]。通常，这种近似可能不符合边际ν给出的约束。事实上，与无约束设置相反，R（ν）的极值点不一定包含在RT（ν）中（反例可从[6，示例6.19]中推断）。定理2.3的证明。当G有界时，该主张是定理3.1和[55，推论2.9和命题2.11]弱收敛特征的直接结果。（文献[55]的主要观点是，由于我们处理的测度都具有相同的第一个边缘W，弱收敛意味着在有界测试函数下收敛，这些测试函数在t中连续，但仅在ω中可测。）一般G的结果现在遵循单调近似。我们对定理3.1的证明（见本节剩余部分）是有建设性的，并给出了原点奇点（如示例2.4）为什么是障碍的直接见解。

作为预测的一部分，一个结果是，对于不依赖于路径初始段的随机停止时间ξ和奖励函数G（在某种意义上是精确的），期望ξ（G）可以通过停止时间τ精确复制∈ T（ν），无需任何近似值（参见下文第3.9条）。3.1定理3.1的证明我们的首要目标是形式化并证明任何ξ∈ R（ν）可以通过随机停止时间来近似，这些时间不会在时间0之后立即停止。任何维的欧几里德范数。定义3。设η>0且τη=inf{t：|（t，ωt）|≥ η}. 我们说，如果ξω（[τη（ω）），则随机停止时间ξ的下界η>0，且远离0，∞)) = 几乎所有ω为1∈ C（R+）。所有这些ξ的集合表示为Rη。我们还设置R+=∪η> 0Rη；任何ξ∈ R+称为以0为界。最后，Rη（ν）：=Rη∩ R（ν）和R+（ν）：=R+∩R（ν）。下限这个术语很方便，但有点滥用：直觉上，ξ∈ 上述Rη表示ξ发生在时间τη之后（但时间τη并非通常意义上的远离零）。更多的符号将很有用。定义3.3。设ω，ω′∈ C（R+），t∈ R+，τ∈ T和ξ∈ R、 （i）在时间t粘合的ω和ω′的路径为（ω⊕tω′（s）：=ω（s∧ t） +ω′（s）- t型∨ 0），s≥ 0。（ii）时间t后ω的路径为ωt7→（s） ：=ω（t+s）- ω（t），s≥ 0。（iii）随机停止时间ξ移动τ，表示τ⊕ξ、 由其内核（τ）定义⊕ξ） ω（[0，t]）：=1τ（ω）<tξωτ（ω）7→（[0，t- τ（ω）]），t≥ （iii）中的定义可以理解为应用于（τ，Bτ）处开始的布朗运动的随机停止时间ξ。例如，如果τ=确定性，ξ=ξσ对应于非随机停止时间σ>0，则τ⊕ξ对应于停止时间（t⊕σ） （ω）=t+σ（ωt7→).引理3.4。

对于0<η<1，定义ρ′η（ω）：=inf{t：|ωt |=η}，ρη（ω）：=inf{t≥ ρ′η（ω）：|ωt |∈ {0,√η}}.几乎所有ω∈ C（R+），w有（i）ρη（ω）→ 0为η→ 0，（ii）d（（ωρη（ω）7→, t） ，（ω，t））→ 0为η→ 0，对于所有t≥ 0.证明。我们证明了（i），（ii）保持所有路径ω的集合i∈ C（R+）最初不是常数；i、 e.，ω|[0，ε]6≡ 0表示所有ε>0。请注意，W（I）=1。（i） 如果ω∈ C（R+）使得ρη（ω）不收敛于0，我们可以发现ε>0和序列ηn→ 0，使得ρηn（ω）≥ 对于所有n.尤其是，这意味着SUP≤|ω（s）|≤√η为所有n，因此ω|[0，ε]≡ 0; 也就是ω/∈ 一、 （ii）固定ω∈ I和t>0。设η>0足够小，以便ρη（ω）<并考虑一些0<s<t≤ ρη（ω）我们显然有ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤ supu公司≤2ρη（ω）3 |ω（u）|。而对于ρη（ω）<s≤ 我们有|ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤√η+sups≤t |ω（ρη（ω）+s）- ω（s）|。结合这两个不等式，我们得到≤t |ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤ supu公司≤2ρη（ω）3 |ω（u）|+√η+s ups≤t |ω（ρη（ω）+s）- ω（s）|。由于ω在紧致区间上是一致连续的，当ρη（ω）为→ 0，后者由（i）保持为η→ 0、备注3。5.如果G∈ Cb（C（R+）×R+）和ξ∈ R、 那么ξ（G）=ξ（G（B·∧t、 根据ξ的适应性性质∈ R、 因此，自适应函数G的子集也会导致弱收敛R，而自适应函数G又可以与Cb（S）识别。现在我们可以证明任何ξ∈ R（ν）可以用f从0开始的嵌入来近似，除非在平凡的情况下ν=δ，断言显然失败。提案3.6。设ν6=δ。那么R+（ν）在R（ν）中是弱稠密的。证据当ν6=δ时，其势函数x 7→ uν（x）：=R | x-y |ν（dy）satis uν（0）>0，然后通过uν的连续性，我们甚至有miny∈[-√η,√η] uν（y）≥√η对于η>0足够小。这表明μη：=（δ-√η+ δ√η) ≤cν其中≤C表示凸序。

因此，当η>0足够小时，我们可以通过停止时间χη和E[χη]<∞. （相关背景见【71】。）给定ξ∈ R（ν），设ρη如引理3.4所示，并定义一系列随机停止时间ξη∈ R通过其崩解，ξηω：=1{ω（ρη（ω））=0}（ρη⊕ξ)ω+ 1{|ω(ρη(ω))|=√η}(ρη⊕ χη)ω.那么我们有ξη∈ Rη（ν）通过构造。接下来，我们展示ξη→ ξ弱asη→ 设G:C（R+）×R+→ R是有界的、连续的和自适应的，然后ξ（G）=ZC（R）+ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω）=ZC（R）+”ZC（R）+ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω′）。利用布朗增量的平稳性和独立性，我们可以类似地将期望ξη（G）写成ZC（R）+”ω′（ρη（ω′））=0ZC（R）+ZR+G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）ξω（ds）W（dω）+1ω′（ρη（ω′）6=0ZC（R+）×R+G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）χη（dω，ds）#W（dω′）。因此，|ξ（G）- ξη（G）|≤ZC（R+）ZC（R+）ZR+| G（ω，s）- G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）|×ξω（ds）W（dω）#W（dω′）+2kGk∞W{ω′：ω′（ρη（ω′））6=0}。我们注意到W{ω′：ω′（ρη（ω′））6=0}=√η → 0作为Martingale属性的结果。另一方面，引理3.4得出ρη（ω′）→ 0表示所有ω′超理想零集，对于这样的ω′，引理的第二部分和G的连续性意味着| G（ω，s）- G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）|→ 0表示所有ω。通过有界收敛，我们得出|ξη（G）-ξ（G）|→ η为0→ 需要时为0。为了简洁起见，让我们为C（R+）×R+上的有界连续函数集编写cb。接下来，我们引入测试函数的子集，这些测试函数独立于路径的初始段，或者更准确地说，它们的值取决于时间τη之前的路径ω，仅通过当时的水平ωτη（ω）。定义3.7。给定η>0，我们为所有G的s集写Cηb∈ Cb的性质是，如果ω，ω′∈ C（R+）满足τη（ω）=τη（ω′）=：tandω|[t，∞)= ω′|[t，∞), 然后G（ω，t）=G（ω′，t），对于所有t≥ 0

我们设置C+b：=∪η> 0Cηb。选择此定义时，应确保单调性cηb η的Cη′b≤ η′（3.1）保持不变。特别地，C+bis是Cηbasη的增长极限→ 引理3.8。C+b诱导的R（ν）上的弱拓扑与通常的弱拓扑一致。证据让G∈ Cb；那么Gk（ω，t）：=G（ωτ1/k（ω）7→, t） 定义属于C1/kb的函数 C+b。我们有d（（ωτ1/k（ω）7→, t） ，（ω，t））→ 0类似于inLemma 3.4和as（Gk）一致有界，这意味着ξ（Gk）→ ξ（G）表示所有ξ∈ R（ν）。因此，C+B分离R（ν）的点；i、 e.诱导的弱顶理论T+是Hausdor ff。因为R（ν）在通常的弱拓扑T中是紧的（例如参见[6，定理3.14]）和T+ 这已经暗示了结果。事实上，从T到T+的单位映射是连续的，并且将紧映射到紧，因此是同胚。一个关键的见解是G∈ C+b，在适当远离零的随机停止时间下的期望由非随机停止时间（精确）复制。特别是，当G∈ cb可归因于路径的初始部分。提案3.9。设η>0和ξ∈ Rη（ν）。然后存在一个非随机停止时间e′ξ∈ Rη（ν），使得所有G的|ξ（G）=ξ（G）∈ 在陈述证明之前，让我们展示如何结合上述结果得出定理3.1。定理3.1的证明。ν=δ的情况微不足道；我们认为ν6=δ。固定ξ∈ R（ν），然后通过命题3.6，我们可以找到ξn∈ R1/n（ν），使得ξn→ ξ. N例如，我们使用命题3.9来查找相应的非随机停止时间ξN∈ R1/n（ν）。让G∈ C+b，然后G∈ Cηb对于某些η>0和所有n≥ 通过（3.1）我们得到了ξn（G）=ξn（G）。

特别地，引理3.8暗示（(R)ξn）和（ξn）具有相同的弱极限；也就是说，ξn→ ξ.3.2命题3.9证明的基本思想是将路径的初始段用作随机化装置，因为我们只使用G∈ Cηb不影响G的评估。我们首先陈述了两个辅助结果。设λ为[0，1]上的勒贝格测度。我们认为产品空间“C（R+）：=C（R+）×[0，1]配备有产品σ-字段“F=F”B（[0，1]），产品度量值W=Wλ和产品过滤F。让B为t 7定义的过程→\'Bt（ω，u）=ωtfor（ω，u）∈(R)C（R+）；注意，B是W下的布朗运动。下面的内容是众所周知的（例如参见[6，定理3.8]的证明和随后的引理）。引理3.10。Letξ∈ R具有崩解ξ=W（dω）ξω（ds）。存在F-停止时间ρ，使得ρ（ω，u）=inf{t≥ 0：ξω（[0，t]）≥ u} 对于a.e.（ω，u）∈\'C（R+）（3.2）和\'Wo （\'B，ρ）-1= ξ; 也就是说，对于每个G，E'W[G（'B，ρ）]=ξ（G）∈ Cb。第二个辅助结果与“内部”随机化装置有关，该装置将代替递减引理中的外部随机化（[0，1]，λ）。这有点复杂，因为随机化需要在B级τη（ω）上有条件地实现-实际上，G∈ Cηbis与路径在时间τη（ω）时如何达到该水平无关，但当然与水平本身无关。固定η≥ 我们注意到，在时间τη满足h（ω）时，路径ω的水平h（ω）：=Bτη（ω）∈ (-√η,√η). 此外，τη（ω）=pη- h（ω）仅通过h=h（ω）依赖于ω。给定h∈ R、 我们引入setCh：={ω∈ C（R+）：τη（ω）<∞, Bτη（ω）=h}；我们认为Chas是一组初始路径段（因为不会使用τη之后的路径）。给定f∈ Chandω∈ C（R+），我们设定F⊕ ω：=f⊕为简洁起见，τη（f）ω。

我们还用给定Bτη=h的B的条件律表示。也就是说，Whis是一个随机核(-√η,√η） ×C（R+），使得w[A | Bτη=h]=Wh（A）=Wh（A∩ Ch）对于h∈ (-√η,√η） 和A∈ B（C（R+）。特别是，W（A）=ZRWh（A）u（dh），u：=定律（Bτη）。引理3.11。所有h的测量都是无原子的∈ (-√η,√η).证据考虑图Φ：C（R+）→ C（R+）由Φ（ω）=ωτη（ω）7给出→.利用布朗增量的平稳性和独立性，推导出了布朗增量的前推公式o Φ-1是维纳测度，尤其是无原子测度。作为一个序列，Whis是无原子的，因为如果wh有一个原子，那么任何向前推也会有一个原子。引理3.12。设（Py（dz））为随机核（Y，Y）×（Z，B（Z））→ [0，1]其中Z是抛光空间，（Y，Y）是可测量空间。如果Pyis atomlessfor all y∈ Y，存在一个联合可测图（Y，z）7→ φy（z）∈ [0，1]这样Pyo φ-1y=λ表示所有y∈ Y证据回想一下，任意两个基数不可数的Polish空间与Borel空间同胚；参见[72，定理2.12，第14页]。由于无原子测度只能存在于不可数空间上，我们推导出存在Borel同胚Φ：（Z，B（Z））→ （[0，1]，B（[0，1]））。考虑因素Qy=Pyo Φ-1.然后（Qy）是无原子概率测度；i、 e.，他们的IRC。d、 f.\'s Fy（x）：=Qy((-∞, x] ）在x中是连续的。通过构造，它们在y中也是可测量的。特别是，作为Caratheodory函数，它们在（x，y）中是可联合测量的；参见[2，引理4.51，第153页]。最后，重新调用，如果F是连续分布的随机变量X的c.d.F，则F（X）~ λ. 因此，φy=Fyo Φ满足Lemma的要求。结合前面的两个引理，我们得到以下结果。推论3.13。存在一个联合Borel可测量的mapC（R+）×(-√η,√η) → [0，1]，（ω，h）7→ φh（ω）使得Whoφ-1h=每个h的λ。我们现在可以提供命题的证明。提案证明3.9。

设ξ=W（dω）ξω（ds）是给定随机停止时间ξ的分解∈ Rη（ν）和定义ξ=W（dω）ξω（ds）到ξf⊕ω： =ZCh（f）ξg⊕ωWh（f）（dg），f，ω∈ C（R+）。清晰的ξf⊕ω仅通过h（f）依赖于f。我们在下面显示了\'ξ∈Rη（ν）和'ξ（G）=ξ（G）（对于所有G）∈ Cηb。承认这一时刻的f，它可以构造一个非随机停止时间，其规律与ξ相同。根据引理3.10，我们可以关联一个停止时间（ω，u）7→ 概率空间（C（R+）×[0，1]上的ρ（ω，u），W λ） 对于ξ，我们可以选择ρ的厌恶，使得ρ（f⊕ω、 u）仅通过h（f）取决于f。最后，让φhbe如引理3.13中所示，然后通过构造，τ（ω）：=ρ（ω，φh（ω）（ω））是C（R+）上的一个映射时间，使得Wo（B，τ）-1=(R)Wo（\'B，ρ）-1=ξ. 因此，其嵌入ξτ∈ RTI是所需的非随机停止时间。仍需验证“ξ”∈ Rη（ν）和'ξ（G）=ξ（G）（对于所有G）∈ Cηb.Let f∈ Chandω∈ C（R+）；然后是ξf⊕ω被调整并集中于[τη（f），∞)) 自ξg起⊕ω对所有g都具有这些性质∈ Ch（回想一下，τη在Ch上是常数）。这就产生了ξ∈ Rη。接下来，让G∈ Cηb。然后‘ξ（G）等于toZC（R+）ZR+G（ω，s）’ξω（ds）W（dω）=ZRZC（R+）ZChZR+G（f⊕ω、 s）’ξf⊕ω（ds）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZRZC（R+）ZChZChZR+G（f⊕ ω、 s）ξg⊕ω（ds）Wh（dg）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZRZC（R+）ZChZChZR+G（G⊕ ω、 s）ξg⊕ω（ds）Wh（dg）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZC（R+）ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω）=ξ（G）。这也意味着ξ（t）=ξ（t）<∞, 自t起∧ n∈ Cηb对于所有n∈ N、 最后，为了证明ξ和ξ嵌入了相同的分布ν，我们证明了φ的ξ（φ（B））=ξ（φ（B））∈ Cb（R）。实际上，考虑G：=φ（Bt∨τη) ∈ Cηb（回想一下，适应性不是必需的）。既然我们已经知道ξ，’ξ∈ Rη，我们有ξ（φ（B））=ξ（G）=？ξ（G）=？ξ（φ（B）），证明是完整的。4对偶问题我们首先介绍对偶问题的领域。为此，重新定义ν是R上的中心分布，具有有限的二阶矩和letJ R是ν（J）=1的最小凸集。