最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

我们的目标是构造一对（M，ψ）∈ D（G）使得Mτ+ψ（Bτ）=G（τ）和E[Mτ]≤ D定义的出口时间τ为0；这将通过推论5.6暗示τ的最优性。为便于标注，leth（t，x）=Et，x[+g（τ）]，Γ（x）=g（l（x））- g（r（x））+Zr（x）l（x）h（s，x）ds。作为第一步，我们考虑函数h（t，x）=g（r（x））-Zr（x）th（s，x）ds+Γ（x）+并表示g（t）≤ H（t，x）表示t≥ 0，x∈ J、 （6.5）g（l（x））=H（l（x），x）表示x∈ 对于x，suppνl，（6.6）g（r（x））=H（r（x），x）∈ 补充意见（6.7）实际上，（6.5）直接来自定义。对于t≥ t我们得到g′（t）在减小，henceg（t）=g（r（x））-Zr（x）t+g（s）ds≤ g（r（x））-Zr（x）th（s，x）ds+Γ（x）+=H（t，x），而对于0≤ t<t我们有+g（s）≤ +g（u）表示t≤ s≤ u和henceg（t）=g（l（x））+Ztl（x）+g（s）ds≤ g（l（x））+Ztl（x）h（s，x）ds≤ H（t，x）。此外，定理6.5中的假设表明Γ（x）≥ x为0∈suppνlandΓ（x）≤ x为0∈ suppνr。这得到（6.6）和（6.7）。其余的证明包括证明H（t，Bt）=Mt+ψ（Bt）（在[0，τ]上）和H（t，Bt）≤ M=0的局部鞅M在[0，T]上的Mt+ψ（Bt），M=0的局部鞅M在函数ψ下有界∈ L（ν）。一旦实现，（6.5）–（6.7）表明（M，ψ）∈ D（G）具有所需的特性。为了得到分解，我们考虑函数m（t，x）：=g（r（x））-Rr（x）th（s，x）ds。如【22】所示，可以证明‘m（t，Bt）是一个次马氏体[0，τ】，并得出结论，在[0，τ]上有一个独特的递增可预测过程a，使得‘m（t，Bt）- Atis是[0，τ]上的鞅。可以进一步证明A与[0，τ]上的连续加性泛函一致，使得'm（t，Bt）- Atis在[0，T]和超鞅上定义良好。因此，使用加法泛函的表示结果，可以写出=z（Bt）- z（B）-Rtz′型-（Bs）dbs对于凸函数z，得出'm（t，Bt）-z（Bt）仍然是[0，τ]上的鞅和[0，T]上的超鞅。

我们可以选择z，这样z≥ z（0）=？m（0，0）。设置ψ（x）=z（x）+Γ（x）+，使h（t，x）=m（t，x）- z（x）+ψ（x）。此外，设M是上鞅M（t，Bt）的鞅部分-z（Bt）。为了证明（M，ψ）确实是一个对偶元素，我们证明了'M和zare有界。然后，z（x）+Γ（x）+有界（正如我们假设的Γ有界一样），m（t，x）- z（x），因此M，从下面开始。实际上，m的有界性来自于恒等式m（t，x）=g（r（x））-Ztpth（s，x）1s<tpds-Zr（x）tph（s，x）1s>tds。前两项是平凡有界的。在最后一学期中，观察到在积分域上，我们有0≤ h（s，x）≤ +g（s），表示有界。接下来，假设z是无界的，那么我们必须有z（xmin）=+∞ 或z（xmax）=+∞ 因为z是凸的，并且从下面有界。请注意，Bτ=xminand Bτ=xmax，具有正概率，但e[(R)m（τ，Bτ）-z（Bτ）]=m（0，0）-z（0）=0，由鞅性质决定。因此，必须以z为基础，证明是完整的。7反例在本节中，我们证明放松对偶域中的正则性对于实现一般报酬函数的完整对偶理论是必要的。还表明，如果没有可积性条件，单调性原理将失效。7.1 MWe的局部鞅性质构造了一个例子，表明使用局部鞅M而不是像以前工作中那样使用真鞅是至关重要的。更准确地说，我们构造了一个连续的奖励函数G，使得对于一类广泛的边值ν，任何对偶优化器（M，ψ）∈ D（G）不具有真鞅性质；事实上，对于所有t>0的情况，E[Mt]>0。设ν为中心分布，相当于R上的Lebesguemeasurement，满足ν（f）<∞, 式中，f（x）=exp（x）。

（7.1）我们注意到J=R，因此∪定义4.1中的n【0，Tn】=C（R+）×R+。奖励函数的一个重要组成部分是过程lt:=经验英国电信- 2Zt（3Bs+4Bs）ds, t型≥ 0（7.2），也可以写成随机指数Lt=EtR·4BSDB.我们感谢约翰内斯·鲁夫向我们展示了严格局部鞅的这个非常简单的例子。引理7.1（J.Ruf）。随机指数Lt=EtR·4BSDB对于所有t>0，是E[Lt]<1的正局部鞅。特别地，对于任何t，L不是[0，t]上的m artingale∈ (0, ∞).我们将证明推迟到本小节末尾。作为Payoff函数，我们选择G=1- L+f（B）；注意，G是S上的一个连续函数。此外，从（7.1）和（7.2）直接得出f（Bt）≥ Lt和G≥ 1、同L≥ 0和F∈ L（ν），一个特别简单的对偶元素是（M，ψ）：=（0，1+f）∈ D（G）；因此，D（G）6= 和I（G）≤ 1+ν（f）<∞, 因此，我们在第4节和第5节中的主要结果的条件都是满足的。这个对偶元素特征是真鞅；然而，这并不是最优的。提案7.2。（i） （M，ψ）：=（1- 五十、 f）∈ 对于对偶问题I（G），D（G）是最优的。此外，任何ξ∈ R（ν）对于S（G）是最优的。（ii）If（M，ψ）∈ D（G）是I（G）的任何优化器，然后E[Mt]>0表示所有t>0，因此M不能是鞅。证据（i） Letτ∈ T（ν）和（M，ψ）：=（1- 五十、 f）∈ D（G）。很明显，M+ψ（B）=Gξ-a.s.，和ξ（M）≥ 0，因为L是L=0的非负上鞅。现在的说法来自推论5.6。（ii）Let（M，ψ）∈ D（G）。我们首先证明存在c∈ R使得ψ（x）+cx≥ f（x），x∈ R、 （7.3）事实上，让a，b≥ 0和σ=inf{t≥ 0：Bt/∈ (-a、 b）}。注意局部鞅L·∧σ是有界的，因此是一致可积鞅。另一方面，作为σ≤ tn对于足够大的n，M·∧σ必须在（定义4.1）以下有界，因此为上鞅。

特别是，E[Lσ]=1和E[Mσ]≤ 0，因此Mσ+ψ（Bσ）≥ Gσ=1- Lσ+f（Bσ）表示[ψ（Bσ）]≥ E[f（Bσ）]。由于a，b是任意的，这产生了引理4.6的证明，即凸壳满足（ψ- f）**(0) ≥ 0、取c=-(ψ - f）**（0），我们有（(R)ψ- f）**≥ 0表示ψ（x）=ψ（x）+cx，如下所示。根据（7.3）和备注4.7，我们可以假设ψ≥ f如果（M，ψ）是等时的，那么ν（ψ）=I（G）=ν（f）乘以（I），那么ψ=fν-a.s，因此是Lebesgue-a.e，但现在是M+ψ（B）≥ 1.-L+f（B）表示Mt≥ 1.-LtW-a.s.，尤其是E【Mt】≥ 1.- E[Lt]对于所有t>0，因此E[Mt]>0由Emma 7.1决定。引理7.1的证明。（i） 我们首先提供一个辅助结果。设W是在具有测度Q的过滤概率空间上的布朗运动。然后，对于所有T，DedXT=4Xtdt+dWt，X=0有一个唯一的强解X，直到其爆炸时间τ，且Q{τ<T}>0∈ (0, ∞). 事实上，X的存在性和唯一性来自于系数的局部Lipschitz连续性（参见，例如，[76，练习2.10，第383页]）。X的标度函数是p（X）=Rxe-2ydy，速度测量值为m（dx）=2e2xdx。Thusv（x）：=Zx（p（x）- p（y））m（dy）=ZxZxye2（y-z） dz dyand，尤其是v(∞) := 林克斯→∞v（x）由z给出∞Z∞e2（y-（y+u））du dy=Z∞Z∞e-2（u+4uy+6uy-4uy）du dy.与高斯积分的比较表明，该量是有限的。v（x）=v对称视图(-x） ，v也适用(-∞). 因此，Feller的测试表明，两个边界±∞ 是具有正概率的X时间的极限点；事实上，爆炸时间τ甚至满足τ<∞ 【57，提案5.5.32，第350页】的Q-a.s。使用X的同质性，这已经意味着所有T的Q{τ<T}>0∈ (0, ∞); 参见，例如，【17，定理1.1】，了解一个优雅的论点。（ii）我们现在可以证明引理。作为连续局部鞅的指数，很明显L是局部鞅且严格正，因此是上鞅。

让T∈ (0, ∞) 假设E[LT]=1，或者等价地，L是[0，T]上的鞅。然后我们可以在FTvia上引入等价概率Q，dQ/dW=LTandGirsanov定理表明过程Wt：=Bt- 4RtBsds是[0，T]上的QBrownian运动。此外，在Q下，B满足dBt=4Btdt+dWtandB=0。如（i）所示，这意味着对于B的爆炸时间τ，Q{τ<T}>0，这与Wis下的布朗运动B是非爆炸性的相矛盾。7.2ψ的正则性下例表明，如果要求对偶域D（G）中的函数ψ连续，则可能出现对偶间隙。奖励G=1Q（t）之前曾在[42]中使用，以说明当奖励函数在时间上不规则时，它们的对偶结果可能会失败。在我们的框架中，对偶性适用于定理5.5。尽管如此，详细说明优化器是有指导意义的，因为这突出了我们定义的机制。示例7.3。设G=1Q（t），ν=（δ-1+ δ)/2.（i） 我们有S（G）=i（G）=0，原始优化器由stoppingtimeτ=inf{t给出≥ 0：| Bt |=1}，双优化器由M给出≡ 0和ψ=1(-1,1).要看到这一点，让τ，M，ψ如上所述，并注意J=[-1, 1]. 我们选择kn=J，因此T：=Tn=τ表示所有n。我们声称ψ（B）≥ G在[0，T]上直到消失。实际上，ψ（B）=1在[0，T]上，因此{ψ（B）<G}包含在T的图中，当然也包含在{G=1}中∈ Q} =0，因此为[T]∩ {G=1}={T∈ Q} ×R+在消失之前可忽略不计。因此，（M，ψ）∈ D（G）。考虑到ν（ψ）=0和E[Gτ]=0，（M，ψ）和τ的最优性现在遵循推论5.6。（ii）如果对偶域被限制为连续函数ψ，则会出现对偶映射：连续ψ上的对偶问题的值为1而不是0。的确，让（M，ψ）∈ D（G）使得ψ是连续的。

我们声称存在c∈ R使得ψ（x）≥ 1+cx f或所有x∈ [-1, 1]; 特别是，这意味着ν（ψ）≥ 设σ<T为停止时间，设σ′n=inf{T≥ σ：t∈ 2.-nN}是通常的并矢近似σ′n↓ σ，设σn=σ′n∧T那么我们有mσn+ψ（Bσn）≥ Gσn=1，因为σn是{σn<T}上的有理值。As W{σn<T}→ ψ和M的连续性得到Mσ+ψ（Bσ）≥ 1，因此E[ψ（Bσ）]≥ 1、由于这一点尤其适用于任何集合的命中时间σ{-a、 b}其中-1 < -一≤ 0≤ b<1，则ψ**(0) ≥ 0，其中ψ**convexhull是否打开(-1, 1). 设c=-ψ**（0），然后再次使用ψ（x）之后的连续性≥ 所有x的1+cx∈ [-1，1]，如权利要求所述。7.3单调性原则在这一部分中，我们证明了推论5.8的单调性原则在没有可积条件的情况下是不成立的。事实上，我们有以下几点。提案7.4。存在一个Borel函数G:S→ [0, ∞), 所有力矩有限且S（G）<∞, 和随机停止时间ξ，ξ∈ R（ν）等价于S上的测度，例如ξ对于S（G）是最优的，而ξ对于f或S（G）不是最优的。对于任何Borel集Γ，ξ（Γ）=1等于ξ（Γ）=1 S、 它遵循ξ的最优性∈ R（ν）不能由其支持度来确定。我们从一些将用于施工的初步结果开始。回想一下ξ∈ R定义为C（R+）×R+上的度量，并通过ξ（Γ）：=ξ{（ω，t）诱导B（S）上的度量∈ C（R+）×R+：（ω|[0，t]，t）∈ Γ}; 事实上，ξ完全以后者为特征。A产品度量值WλonC（R+）×R+以相同的方式诱导S上的度量。在下面的内容中，我们设置f（x）=exp（x），并用L表示严格的局部鞅定义（7.2）。引理7.5。存在^ξint∈ R使得^ξint（f（B））+^ξint（t）<∞ 和^ξint>> W λ在S上，其中λ是Lebesgue测度。证据

对于n≥ 1我们定义τn=inf{t：| Bt |≥ n} andSn={（ω，t）∈ S：sups≤t |ωs |<n}={（ω，t）∈ S:t<τn（ω）}。我们首先构造ξn∈ R使得ξn【0，τn】=1和ξn>> W λ在Sn上。（7.4）考虑适应的、增加的过程和确定的因素：=1- e-tt<τn；它严格地增加和微分到τ，然后跳到值1。因此，核ξnω（dt）=dAnt（ω）=e-tt<τn（ω）dt+e-τn（ω）Δτn（ω）（dt）通过满足（7.4）的ξn=W（dω）ξnω（dt）定义随机停止时间。显然（7.4）意味着ξn（f（B））≤ exp（n）和ξn（t）≤ E[τn]=n≤exp（n）。让（an）n≥（0，1）中的一个序列≥1an=1和PN≥1anexp（n）<∞. 我们定义ξ：=Pn≥1anξn；然后ξ∈ 满足ξn（f（B））<∞ 和ξn（t）<∞. 由于每个停止的路径都是有界的，因此∪n≥1Sn=S，因此（7.4）表示ξ>> W λ根据需要在S上。引理7.6。设σ=inf{t:t+Bt=1}。存在一个与Bσ无关的Fσ-可测伯努利随机变量X。证据定义σ′=inf{t:t+Bt=1/2}。那么Bσ′是Fσ-可测的，并且其条件分布给定Bσ是无原子的。特别是，如果Bσ=x，则存在条件中值m（x）；也就是P[Bσ′≥ m（x）| Bσ=x]=1/2。按构造，X：=1Bσ′≥m（Bσ）具有伯努利分布且与Bσ无关。引理7.7。我们有ξ（L）≤ 1表示所有ξ∈ R、 如果ξ用ν（f）<∞, 那么ξ（L）=1。证据由于L是L=1的正局部鞅，我们有ξ（L）≤ 1通过法图引理。假设ξ∈ R（ν），其中ν（f）<∞ 并重新调用0≤ 书信电报≤ f（Bt）。由于f是凸的，f（Bt）是一个正s次鞅，直到ξ，因此属于（D）类，其中我们可以使用ξ表示为放大过滤中的非随机停止时间（参见引理3.10），以应用随机分析的标准结果。这意味着L是（D）类的阿马丁格尔，直到ξ，尤其是ξ（L）=1。提案证明7.4。

让G≥ 0是由gt=1t>σ，X=0+Lt确定的付款-σ（Bσ7→)1t>σ，X=1其中σ=inf{t:t+Bt=1}，随机变量X如引理7.6所示，用定义3.3表示，Lt-σ（Bσ7→) = 经验值（英国电信- Bσ）- 2Ztσ（3）（Bs- Bσ）+4（Bs- Bσ））ds.设ξint=σ⊕^ξintbe通过σ将^ξ移到引理7.5中得到的随机停止时间（参见定义3.3）；也就是说，如果ξint=W（dω）ξintω（ds），那么ξint=W（dω）ξintω（ds），其中ξintω[0，t]=1σ（ω）<tξintω·-ωσ（ω）[0，t- σ(ω)].利用引理7.7，我们得到ξint（G）=ξint（L）=1。接下来，设^ξexp为指数随机时间，由其核^ξexpω（ds）=e定义-sds。当引理7.1表示t>0时，E[Lt]<1时，我们有^ξexp（L）=R∞e-tE[Lt]dt<1。此外，^ξexp显然等同于Wλ在S上，因此^ξexp<<^ξint。相反，如果我们设置^ξavg=（^ξexp+^ξint）/2，那么^ξavgis等于^ξinton S，我们也有^ξavg（L）<1。定义ξ平均值=σ⊕^ξavg.那么ξavgandξintalready的性质接近所需的性质，但它们尚未嵌入相同的分布。为此，我们使用X随机混合两个停止时间。实际上，我们通过它们的核ξω：=ξavgωX（ω）=0+ξintωX（ω）=1，ξω：=ξavgωX（ω）=1+ξintωX（ω）=0来确定随机停止时间ξ和ξ。然后ξ（G）=ξ平均值（1）+ξint（L）=1，而ξ（G）=ξ平均值（L）+ξint（1）<1。通过构造，ξ和ξ在S上是等价的，并且嵌入了相同的分布ν。^ξ的可积性性质扩展了^ξintentail，即ν具有所有矩（甚至一些指数矩），且ξ（t）=ξ（t）<∞.附录：有限一阶矩的扩展在本文正文中，我们假设嵌入测度ν具有有限的二阶矩，但通过使用众所周知的事实，结果可以扩展到有限一阶矩的情况，代价是稍微复杂一些的定义。

关键的观察结果是，在二阶矩条件下，E[τ]<∞ 对于τ∈ T（ν）相当于τ是最小的（或一致可积的），并且在第一个动量情况下仍然可以使用最小值。对于随机停止时间，最简单的定义是通过在更大的过滤中引用其停止时间表示来获得的。在本节的其余部分中，ν是R上的中心分布，具有有限的一阶矩。定义A.1。设τ为有限停止时间，使得Bτ~ ν. 如果不存在较小的嵌入，则称τ为极小值；也就是说，如果σ是另一个停止时间，那么Bσ~ ν和σ≤ τa.s.，然后τ=σa.s。我们用T（ν）表示所有这些τ的集合。设ξ为随机停止时间，使得ξoB-1=ν，并让ρ为相关的F-停止时间；参见引理3.10。那么ξ被称为min imalifρ在上述意义上是最小的。我们用R（ν）表示所有这类ξ的集合。我们现在可以说明宣布的延期。备注A.2。第3–5节中的结果在最初的情况下仍然有效。证据修改如下。（i） 在引理3.8的证明中，我们使用了R（ν）是弱紧的。这在目前的情况下仍然适用；参见【6，第7.1节】。（ii）当且仅当B·∧τ是一致可积的；参见[65，定理3]。因此，在引理4.5和4.8的证明中，我们可以直接将B·∧τ是一致可积的，而不是从E[τ]<∞. （iii）命题5.2仍然成立，例如，根据【6，定理7.2和示例7.2.1】。（iii）引理5.3的证明再次使用了R（ν）是弱紧的；参见（i）。其他证明没有直接使用ν具有有限的秒矩。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制理论的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233–251，2016年。[2] C.D.Aliprantis和K.C。

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