最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

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英文标题：
《Fine Properties of the Optimal Skorokhod Embedding Problem》
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作者：
Mathias Beiglb\\\"ock, Marcel Nutz, Florian Stebegg
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study the problem of stopping a Brownian motion at a given distribution $\\nu$ while optimizing a reward function that depends on the (possibly randomized) stopping time and the Brownian motion. Our first result establishes that the set $\\mathcal{T}(\\nu)$ of stopping times embedding $\\nu$ is weakly dense in the set $\\mathcal{R}(\\nu)$ of randomized embeddings. In particular, the optimal Skorokhod embedding problem over $\\mathcal{T}(\\nu)$ has the same value as the relaxed one over $\\mathcal{R}(\\nu)$ when the reward function is semicontinuous, which parallels a fundamental result about Monge maps and Kantorovich couplings in optimal transport. A second part studies the dual optimization in the sense of linear programming. While existence of a dual solution failed in previous formulations, we introduce a relaxation of the dual problem that exploits a novel compactness property and yields existence of solutions as well as absence of a duality gap, even for irregular reward functions. This leads to a monotonicity principle which complements the key theorem of Beiglb\\\"ock, Cox and Huesmann [Optimal transport and Skorokhod embedding, Invent. Math., 208:327-400, 2017]. We show that these results can be applied to characterize the geometry of optimal embeddings through a variational condition.
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中文摘要：
我们研究了在给定分布$\\nu$下停止布朗运动，同时优化依赖于（可能随机的）停止时间和布朗运动的奖励函数的问题。我们的第一个结果确定，在随机嵌入集$\\mathcal{R}（\\nu）$中，停止时间嵌入集$\\mathcal{T}（\\nu）$是弱稠密的。特别地，当奖励函数为半连续时，$\\数学{T}（\\nu）$上的最优Skorokhod嵌入问题与$\\数学{R}（\\nu）$上的松弛问题具有相同的值，这与最优传输中Monge映射和Kantorovich耦合的基本结果相似。第二部分研究线性规划意义下的对偶优化问题。虽然对偶解的存在性在以前的公式中失败了，但我们引入了对偶问题的松弛，该问题利用了一个新的紧性性质，并产生了解的存在性以及对偶间隙的存在性，即使对于不规则的奖励函数也是如此。这导致了一个单调性原理，该原理补充了Beiglb“ock、Cox和Huesmann的关键定理【最优传输和Skorokhod嵌入，发明数学，208:327-4002017】。我们表明，这些结果可以通过变分条件来表征最优嵌入的几何特征。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：skor Optimization Mathematical Quantitative distribution

最优SkorokhodEmbedding问题的精细性质*Mathias Beiglb"ock+Marcel NutzFlorian Stebegg§2020年4月15日摘要我们研究在给定分布ν下停止布朗运动的问题，同时优化取决于（可能随机的）停止时间和布朗运动的奖励函数。我们的第一个结果表明，停止时间嵌入ν的集合T（ν）在随机嵌入的集合R（ν）中是弱稠密的。特别是，当奖励函数为半连续时，T（ν）上的最优Skorokhod嵌入问题与R（ν）上的松弛嵌入问题具有相同的值，这与最优传输中Monge-mapsand-Ka-ntorovich耦合的一个基本结果平行。第二部分研究线性规划意义下的对偶优化问题。虽然在以前的公式中对偶解的存在性是失败的，但我们引入了对偶问题的松弛，这拓展了一个新的紧性性质，并产生了解的存在性以及对偶映射的不存在性，即使对于不规则的奖励函数也是如此。这导致了一个单调性原则，它补充了Beiglb"ock、Coxand Huesmann的关键定理【最优传输和Skorokhod嵌入，发明数学，208:327–4002017】。我们证明了这些结果可以通过一个变分条件来刻画最优嵌入的几何性质。Skorokhod包埋；随机停止时间；DualityAMS 2010学科分类60G4 0；60G44；90C08*作者感谢两位匿名推荐人的详细评论。+维也纳大学数学系，mathias。beiglboeck@univie.ac.at.Research由FWF拨款Y-782支持哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.阿尔弗雷德·P·斯隆奖学金和国家科学基金会资助的研究资助了DMS-1512900和DMS-1812661。

MN感谢Alex Cox和JohannesRuf分别就第6节和第7.1节进行了有益的讨论。§哥伦比亚大学，佛罗里达州圣统计学系。stebegg@columbia.edu .1简介给定一个中心且适当可积的概率分布ν和aBrownian运动B，Skorokhod嵌入问题【79】包括找到嵌入ν的停止时间τ；也就是说，Bτ具有分布ν。存在许多解，我们用T（ν）表示所有这些τ的集合。示例包括经典的根嵌入[77]和Rost嵌入[78]；有关各种解决方案的调查，请参见[71]。最优Skorokhod嵌入问题是最大化（或最小化）τ上的期望E[Gτ]∈ T（ν），其中gt=G（Bs）s≤t、 t）是适应的功能。例如，根嵌入使E[τ]最小，Rost嵌入使其最大；参见[78]。与最佳Skorokhod嵌入相关的一些早期工作有【16、47、53、61】。最近，出现了与概率、分析和金融领域众多问题的联系，以及诸如多边际c as e[7、24、42]等扩展，并导致了大量活动；我们参考[48]了解更多参考文献的调查。文献[6]提出的一个观点是沿着最优运输理论的路线来研究Skorokhod嵌入：最优停车时间类似于Monge对维纳测度和ν之间的最优运输问题的解决方案。嵌入问题的更一般公式允许随机停止时间；这可以解释为使用扩大过滤或允许外部随机化（见定义2.1）。相应的集合表示为R（ν），并给出了最优Skorokhod嵌入问题的松弛公式。

继续类比，随机停车时间对应于康托洛维奇意义上的运输。我们参考[4、74、75、83、84]了解最佳运输的背景。在关于最优Skorokhod嵌入问题的现有文献中，已经发现了一些特定奖励函数G的最优嵌入；e、 g.，[23、47、50、51、52]。在这些例子中，最优嵌入通常是唯一的，并且属于停止时间的T（ν）类，即使事先允许随机停止时间。另一方面，结果考虑到最优Skorokhod嵌入问题的一般结构，如[6，41，42]，使用具有随机停止时间的公式。因此，一个显而易见但尚未解决的问题是如何弥合这一差距：何时可以通过停车时间实现随机停车时间上的最大值？更一般地说，随机停止时间是否可以用适当意义上的停止时间来近似？与经典最优运输理论的类比是显而易见的。虽然坎托洛维奇松弛对发展该理论至关重要，但大多数特殊兴趣的例子都会导致Monge意义上的运输图。例如，Brenier定理指出，如果第一个边际测度是绝对连续的（或者更一般地说，是正则的[62]），则二次成本（或者改变符号后的回报）的最优运输由凸函数的梯度给出。当第一个边缘是无原子的时，在[3]中显示，Monge运输形成了Kantorovich耦合的稠密s子集，Monge和Kantorovich运输问题的值符合有界连续奖励函数。这个结果在[73]中推广到无界连续函数；有关相关密度特性的调查，请参见[59]。在本文的第一部分中，我们为最优Skorokhod嵌入问题提供了可比较的结果。

在定理2.3中，我们证明了当报酬泛函G在时间上是下半连续的时，T（ν）和R（ν）上的最优嵌入问题具有相同的值。当G不是下半连续时，该断言可能失败（例2.4），该失败突出了与无规则条件下的随机停止时间的类近似结果的对比【5、27、34、37】：固定嵌入目标ν给出的约束与经典结果和技术不兼容。在定理3.1中，我们建立了更一般的结果，即T（ν） 对于弱收敛，R（ν）是稠密的。我们的证明是有建设性的，并深入了解了当Gis不规则时第一个结果可能失败的原因。简而言之，我们的想法是使用布朗路径的一个短初始段作为问题其余部分的随机化工具。事实上，我们证明了对于随机停止时间ξ∈ R（ν）和不依赖于路径初始段的回归函数G（在某种意义上要精确），在ξ处停止的G的期望值可以通过停止时间τ精确计算∈ T（ν），无需任何近似（参见命题3.9）。这些想法在文学作品中似乎很新颖。R（ν）上的最优Skorokhod嵌入问题是一个带约束的线性规划问题，因此具有对偶规划问题。形式上，对偶问题的域是所有对（M，ψ）的集合，其中M是M=0且ψ：R的鞅→ R是Mt+ψ（Bt）这样的函数≥ Gtfor t公司≥ 然后，对偶问题包括在所有这类对（M，ψ）上最小化ν（ψ）：=Rψdν。更具体地说，[6]使用满足二次增长条件的鞅M，相对于连续且满足增长条件的带函数ψ，或者[42]使用类似的函数ψ和超鞅M。

这种双重问题已经在许多例子中被用来帮助确定特定的最优Korokhod嵌入；e、 g.，[22、23、25、44、47、50、51]。此外，在[6]（另见[41]）中，它在推导一般单调性原则方面起着至关重要的作用，该原则描述了代表最佳Skorokhod嵌入时间的障碍。虽然在这些特例中发现了对偶解，但在[6]中观察到对偶问题通常没有解；也就是说，没有达到最小值。我们参考调查[48]以获取更多参考。本文的第二部分介绍了对偶问题的一种新的松弛方法，并证明了其解的存在性以及对偶间隙的存在性。这两个结果都是在G没有连续性条件的情况下得到的，因此平行于Kellerer定理[58]在非最佳传输中的普遍性，并改进了在没有对偶gapin的情况下的结果[6，42]。我们的设置中没有以前存在的结果。我们可以提到[39]在不同的双重问题中实现PDE方法。这里，奖励G由指数衰减的连续、有限维Allagrangian积分给出，边缘在紧支撑下是绝对连续的。值得注意的是，[39]允许多维布朗运动。即使G是连续且有界的，我们的主要问题是鞅分量缺乏紧性。广义地说，对于给定的极小化序列（Mn，ψn），函数ψnma可能有较大的正值，因此不等式Mnt+ψn（Bt）≥ -公斤-k∞不会立即导致Mn的下限。另一方面，在没有下界的情况下，连续时间（超）鞅的s等式的极限可能不是超鞅。

我们放松的一个关键特征是处理在集合上具有一致下界的局部鞅，其中布朗运动有界且有界远离ν支撑的极值。事实证明，在这样的集合上，我们可以获得足够的紧性，同时保留对偶的“弱”一面。不那么令人惊讶的是，我们的函数ψ仅在L（ν）中，而不是连续的。我们提供了一个反例，表明如果我们的对偶结果是反（超）鞅或连续函数，那么我们关于对偶的正结果可能会失败；参见第7节。文献[12]（另见文献[11]）中给出了单周期鞅最优运输问题的类似对偶结果。上述主要压实度问题不会在该设置中出现；基本上，鞅的极限在离散时间条件下仍然是鞅。我们证明的一个软部分与[12]有重叠，即使用能力理论将连续奖励泛函推广到可测量奖励泛函。鞅最优运输是指运输被约束为鞅的运输问题。最初是出于金融应用中的模型不确定性[47]，围绕这一主题出现了丰富的文献；s曲线见[48、71、82]，离散时间模型见[1、8、15、9、18、19、31、35、38、40、54、67、69、70、85]，连续时间见[14、20、23、32、33、36、44、45、46、49、56、66、68、80、10、81]。其中许多工作利用了与Skorokhod嵌入问题的联系。特别地，最优Skorokhod嵌入问题可以通过时间变化与两个边缘之间的连续时间鞅传输相关。虽然对于后一个运输问题，具有双重存在性的双性理论一直是难以捉摸的，但由于紧性问题是相似的，本文中的论点预计会导致这样的结果。

这将在未来的工作中进行调查。我们关于对偶性的结果允许我们在[12]的精神中，在G上的可积条件下推导出一个单调性原理。即，存在一个表征所有最优嵌入的通用支撑：ξ∈ R（ν）等时当且仅当ξ（Γ）=1。这补充了文献[6]中的单调性原理，该原理给出了支撑上的几何条件，这是最优性所必需的，但不是有效的。相比之下，我们的结果产生了一个必要且有效的条件。然而，通过将Γ构造为一个集合，其中AdualOptimizer等于奖励函数（我们在第6节中举例说明了如何利用它来获得更具体的几何陈述），支撑的几何结构以较弱的形式描述。如何统一这些结果是未来研究的一个有趣的问题，尽管目前的概念和知识似乎无法给出答案。值得注意的是，可积条件对于任何单调性原理的成立都是至关重要的；实际上，我们提供了一个令人惊讶的例子，表明对于一般G，嵌入的最优性不能用支持来表征。这与经典最优运输中的循环单调性【84】以及【12】的结果形成了对比，后者表明运输的最优性可以通过其几何特征来表征，具有极大的普遍性。在第6节中，我们说明了我们关于对偶存在性的结果对于描述具体情况下最优Skorokhod嵌入的几何结构非常有用。也就是说，我们专门研究一类特殊的凸凹向函数Gt=g（t），这类函数产生的嵌入可以表示为（t，x）-平面中由左和右边界组成的集的命中时间。

[6]中介绍了这类具有双重边界的“洞穴”嵌入，统一了根和冠的边界。与toRoot和Rost的相反，这些屏障不是由ν单独决定的，而是取决于函数g的细节，并且[6]中的参数不会导致最佳屏障的非特征化。我们通过一个变分条件提供了这样的特征，这在很大程度上受到了研究不同类别奖励函数的[22]的启发。该条件与自由边界问题的光滑性原则有关，因此最优性的有效性以验证参数的形式出现也就不足为奇了。在[22]中，必要性的证明是通过在单独的论文[21]中进行的离散化进行的一次令人印象深刻的旅行。利用我们关于对偶存在性的结果，我们可以提供更直接的证明。首先，我们证明了当奖励函数是马尔可夫函数（即时间和当前状态的确定函数）时，抽象鞅Min对偶可以被两个变量的函数代替。然后，我们可以应用相对频繁的概率参数来推导变分特征。重要的是，我们的证明揭示了类似的条件应该扩展到更一般的嵌入类，并且还表明可以通过二次最大化得到停止边界的正则性结果。这些方面将在单独的工作中进行调查。本文的其余部分组织如下。第2节详细介绍了最优Skorokhod嵌入问题，并说明了正则奖励函数的随机和非随机停止时间公式的等价性。第3节给出了证明，其中更一般地说明了随机停止时间如何可以近似为非随机停止时间。

第4节介绍了松弛对偶问题并给出了解的存在性。第5节证明了不存在对偶间隙，其中我们还陈述了单调性原则。在第6节中，我们讨论了洞穴嵌入，并利用我们的抽象结果描述了最佳屏障。第7节收集了关于对偶问题公式和单调性原理的反例。为了说明的简洁性，我们在整篇文章中对ν使用了一个二阶矩条件。附录A解释了如何在没有太大影响的情况下，用一个确定的时机来取代这一点。2原始问题集C（I）是连续实值函数集ω=（ωt）t∈iω=0，对于任何间隔0∈ 我 R、 我们用S表示S顶连续路径的空间；也就是说，对（ω，t）与t∈ R+和ω∈ C（[0，t]）。Theset S是由metricd（（f，S），（g，t））=| t诱导的拓扑下的波兰空间- s |∨ supu公司≥0 | fu∧s-顾∧t |。我们注意到，any（ω，t）∈ C（R+）×R+投射到S的一个元素（ω|[0，t]，t）。相反，我们可以将S嵌入到C（R+）×R+，比如以恒定的方式继续任何停止的路径。有时会隐式使用此标识。我们定义了一个奖励函数G:S→ [0, ∞]. 任何这样的G都可以被视为正则空间C（R+）上的“适应”过程（在Galmarino检验的意义上），因为Gt（ω）：=G（ω，t）仅依赖于ω|[0，t]。如果G是可测量的，则当C（R+）上的可选过程配备（原始）标准过滤F=（Ft）t时，可将其识别为C（R+）上的可选过程≥0由坐标映射过程B生成；i、 e.，Ft=σ（Bs，s≤ t） 其中Bt（ω）=ωtfor（ω，t）∈ C（R+）×R+。相反，任何自适应（可选）过程都会在S上产生一个函数（Borel函数）。我们记得，关于F，任何可测量的自适应过程都已经是可选的（甚至是可预测的），请参阅[29，No.IV.94–103，pp。