最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

因此，当且仅当J是ν原子时，J的边界点包含在J中。我们确定紧致区间0的递增序列（Kn）∈ 千牛 其并集为J且letTn=inf{t≥ 0：Bt∈ Kn}是边界的第一次击中时间千牛。回想一下，概率概念是关于正则空间C（R+）理解的，可以嵌入C（R+）×R中。我们定义了一个（不一定可测量）函数G:S→ [0, ∞] 并介绍以下内容。定义4.1。设D（G）是所有对（M，ψ）的集合，其中Borelfunctionψ：J→ R∪{∞} 在L（ν）中，M是一个（连续的）局部（W，F）鞅，M=0，使得M+ψ（B）≥ G开启∪n【0，Tn】（直至消失）和M·∧tn对于所有n都有下界。对偶问题isI（G）=inf（M，ψ）∈D（G）ν（ψ）。M的连续性是指其路径是a.s.连续的。我们记得，布朗局部鞅总是承认连续的版本，并隐含地假设所有局部鞅在下面的内容中都是连续的。我们还注意到∪n【0，Tn】=R+×Ohm 如果J=R，则在第7节中，如果M被限制为真鞅或ψ被限制为连续函数，则对偶问题I（G）的值可以改变。由于松弛素定义4.1是新颖的，我们详细介绍了一些技术观察结果。以下结果不取决于Kn的选择。当ν在两个端点上都有原子的有界支撑时，我们可以简单地取Kn=J表示所有n。备注4.2。设置T=lim Tn=inf{T≥ 0：Bt∈ J} ，我们有∪如果J闭合且∪n【0，Tn】=【0，T）如果J是开放的，但通常为任一夹杂物【0，T】 ∪n【0，Tn】 [0，T]可以是严格的，如果∪在定义4.1中，n【0，Tn】替换为【0，T】。但是，可以替换∪n【0，Tn】乘以【0，T】，不改变I（G）的值，因为给定（M，ψ）∈ D（G）我们可以通过设置ψ=∞ 在…上J\\J不影响ν（ψ）。

（尽管如此，我们还是发现写作并不令人困惑∪n【0，Tn】无处不在。）备注4.3。假设G是Borel可测的；i、 例如，G可以看作是一个可选的过程。然后不等式M+ψ（B）≥ G开启∪n[0，Tn]toevancence等价于几乎确定的不等式Mτ+ψ（Bτ）≥ 所有停车时间τ和τ的Gτ≤ tn对于某些n.这来自于光学横截面定理；参见[29，定理IV.84，第137页]。备注4.4。利用Fatou引理，M的下有界性·∧tn表示所有停车时间σ≤ τ ≤ Tn，随机变量Mσ，Mτ是可积的，并且满足可选的抽样性质E[Mτ| Fσ]≤ Mσ。引理4.5。Let（M，ψ）∈ D（G）。（i） 我们有W{τ≤ Tn}→ 1和m+ψ（B）≥ G on[0，τ]表示所有τ∈ T（ν）。（ii）我们有M+ψ（B）≥ Gξ-a.s.适用于所有ξ∈ R（ν）。证据（i） Letτ∈ T（ν）；特别是，E[τ]<∞. 自B起·∧τ是一个统一可积鞅，Bτ在J上有支撑，我们有W{τ≤ Tn}→ 1因此[0，τ] ∪n【0，Tn】。特别是M+ψ（B）≥ G在【0，τ】上，直到变光。（ii）考虑扩展空间'C（R+）上与ξ相关的停止时间ρ；参见引理3.10。作为“W”o （\'B，ρ）-1=ξ，我们可以通过将（i）的参数应用于ρ和'B引理4.6来推导定理。Let（M，ψ）∈ D（0）并写入ψ**对于J.Then（M，ψ）上的凸包络**) ∈ D（0）；i、 e.，M+ψ**（B）≥ 0开∪n【0，Tn】，（4.1），尤其是ψ**(0) ≥ 0.证明。我们首先观察到x∈ J、 ψ**（x） =infba+bψ（x- a） +aa+bψ（x+b）：a，b∈ R+，[x- a、 x+b] J其中，如果a=b=0，则总和被理解为ψ（x）。假设（4.1）失败，则根据可选截面定理，存在n≥ 1和停止时间σ≤ t使w{Mσ+ψ**（Bσ）<0}>0。根据上述ψ公式**（x） 还有一个可测量的选择论证，它得出的结论是≥ n和Fσ-可测随机变量a，b≥ 0带[Bσ- a、 Bσ+B] Km因此WMσ+ba+bψ（bσ- a） +aa+bψ（bσ+b）<0> 0

（4.2）设τ=inft型≥ σ：Bt- Bσ/∈ (-a、 （b）注意τ≤ 商标。可选抽样（参见备注4.4）意味着mσ+ba+bψ（bσ- a） +aa+bψ（bσ+b）≥ E[Mτ+ψ（Bτ）| Fσ]。但（M，ψ）∈ D（0）表示Mτ+ψ（Bτ）≥ 0，现在出现了与（4.2）的矛盾。特别是ψ**(0) ≥ 因此，凸函数ψ**从下方以线性函数为界，从上方以ψ为界，因此ψ**∈ L（ν）。下面将重复使用以下规范化。备注4.7。Let（M，ψ）∈ D（G）和c∈ R、 定义M′=M+cB，ψ′（x）=ψ（x）- cx。然后（M′，ψ′）∈ D（G）因为M′＋ψ′（B）=M＋ψ（B），而B是[0，Tn]上B=0的有界鞅。将其与（左）导数c一起使用：=-ψ**（0）并回顾ψ**(0) ≥ 0通过引理4.6，我们可以看到任何（M，ψ）∈ D（G）可以归一化，使得ψ**≥ 0，因此也是ψ≥ 接下来，我们建立了“弱”对偶的关键不等式，尤其是我们对对偶域的定义足够严格，尽管存在松弛。引理4.8。Let（M，ψ）∈ D（0）。（i） 我们有E[Mτ]≤ 0表示所有τ∈ T（ν）。（ii）我们有ξ（M）≤ 0 f或全部ξ∈ R（ν）。证据（i） 我们证明了关于任何停止时间τ的索赔，使得B·∧τ是一致可积的，E[ψ（Bτ）]<∞ 和[0，τ] ∪n【0，Tn】；尤其是，满足τ∈ T（ν）。事实上，通过备注4.7，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设ψ≥ 0，然后0≤ ψ**≤ ψ. 自ψ起**isconvex和ψ**（Bτ）是可积的，因此ψ**（B）·∧τ） 是一个非负均匀可积子鞅，因此属于（D）类。另一方面，引理4.6产生M≥ -ψ**（B） 在[0，τ]上，我们得出结论，M-·∧τisof类（D）。Fatou引理（在一致可积下界的版本中）现在意味着E[Mτ]≤ 0.（ii）Letξ∈ R（ν），设ρ为扩展空间‘C（R+）上与ξ相关的停止时间；参见引理3.10。

然后ξ∈ R（ν）意味着ρisan将ν嵌入到'B中，且（i）的参数应用于'C（R+）上，得到ξ（M）=E'W[M（'B）ρ]≤ 定义4.1是为了暗示以下密切性属性而定制的；在下一节中，它将用于推导不存在对偶间隙的情况，并立即暗示存在对偶优化器。提案4.9。考虑Gk，G:S→ [0, ∞] 和（Mk，ψk）∈ D（Gk）叉≥ 1、假设Gk→ G逐点和supkν（ψk）<∞. 然后存在（M，ψ）∈ D（G）使得ν（ψ）≤ lim infν（ψk）。证据设c=supν（ψk）。通过传递到一个子序列，我们可以假设limν（ψk）存在。通过注释4.7，我们可以规范化ψksuch，即ψ**k≥ 0.Asψk≥ ψ**k≥ 0，Komlos引理（见[28，引理A1.1]及其后续注释）允许我们找到凸组合φkof（ψk，ψk+1，…）收敛于ν-a.s.Letψ：=lim supφ，注意0≤ ν（ψ）=ν（lim infφn）≤ limν（φk）=limν（ψk）通过Fatou引理。用相应的凸组合替换mk后，我们可以假设φk=ψk。我们有0≤ ν(ψ**k）≤ ν（ψk）≤ c、 正如在[12，命题5.5]的证明中，这意味着ψ的Lipschitz常数有一个统一的（k）界**kon J的每个紧子集，因此是一致界0≤ ψ**k≤ cnon Kn，独立于k，引理4.6，它遵循thatMk≥ -ψ**k（B）≥ -cnon【0，Tn】。这保证了（Mk）在合适的意义上允许极限超鞅Z。更准确地说，[26，定理2.7]和对角参数表明，在采用适当的凸组合Nkof（Mk，Mk+1，…）后，存在一个可选过程Z，它是一个强大的超鞅（被定义为完全精确，[26]假设过滤的通常条件）。

例如，我们可以将其结果应用于W-增强过滤法，然后将本段末尾的内容传递给Fat：局部鞅M必须是连续的，并且是可预测的，但我们可以选择Mby的F-可预测版本（直至消失）[30，附录I.7，第399页]。在【30，附录I】中，【0，Tn】中的所有n和nkτ→ Zτ在任何停止时间τ的概率中，使得τ≤ 对于某些n，我们可以假设nk=Mk。当Z=0时，过程Z允许Mertens分解Z=M-A其中A是非减量的，M是局部鞅，A=M=0；参见[30，附录I.20，第414页]。还需要证明（M，ψ）∈ D（G）。集合H=lim su pk（Mk+ψk（B））；那么H是可选的，H≥ G开启∪n【0，Tn】至消失。因此，它是如何（M，ψ）的∈ D（H）。实际上，我们有mτ≥ Zτ≥ -Cn和Mτ+ψ（Bτ）≥ Zτ+ψ（Bτ）≥ 所有τ的Hτ≤ 由于H是可选的，我们得出结论（M，ψ）∈ D（H）使用备注4.3。将命题4.9应用于一个常数序列，我们推断，对偶存在性适用于一般的奖励函数，这与对偶问题的先前公式【6，42】相反，在对偶问题中，存在性甚至可能不适用于更正则的奖励函数。推论4.10。让G:S→ [0, ∞]. 如果I（G）<∞, 存在一个双优化器（M，ψ）∈ D（G）。5对偶在本节中，我们将命题4.9的贴近度结果与容量理论和关于最优Skorokhod嵌入的事实相结合，以确定不存在对偶缺口。我们首先陈述弱对偶性。引理5.1。让G:S→ [0, ∞]. 然后S（G）≤ I（G）。证据我们需要证明ν（ψ）≥ ξ（G）（M，ψ）∈ D（G）和ξ∈ R（ν）。实际上，通过引理4.5，我们得到了M+ψ（B）≥ Gξ-a.s.根据ξ提出期望并回顾ξ（M）≤ 通过引理4.8得到0，则该要求后面是（外部）积分的单调性。接下来，我们陈述了半连续函数的对偶结果。

以下是[6，定理1.2]和[42，定理2.4]的结果，它们的对偶域是我们的子集。为了方便读者，我们提供了一个proof的草图。提案5.2。让G:S→ R有界且上半连续。然后S（G）=I（G）。证明草图。不等式S（G）≤ 引理5.1表示I（G）成立。Wesketch为[42]后面的反向不等式提供了一个论证（详情请参阅后面的）。关键思想是将约束ν二元化并使用thevenchel–Moreau定理。事实上，设V为具有有限第一时刻的所有中心概率测度ν的集合，配备1-Wasserstein度量。一个验证是，如果νn→ V和ξn中的ν∈ R（νn），则存在ξ∈ R（ν），是子序列（ξnk）的弱极限。Letν∈ 设S（ν）=S（G，ν）为相应的原问题。取ξn∈ R（νn）是原始问题S（νn）的（1/n）优化器；i、 e.，ξn（G）≥ supξ′∈R（νn）ξ′（G）- 1/n，则S（ν）≥ ξ（G）≥ lim su p S（νn）。简而言之，ν7→ S（ν）在V上是上半连续的，很明显它也是凹的和有限值的。空间V可以看作是有符号测度和ν7的hausdorff局部凸向量空间V的闭凸子空间→ S（ν）可以通过赋值扩展到V-∞ 在V之外。拓扑对偶是V*= C、 连续函数空间ψ：R→ 线性增长的R。Fenchel–Moreau定理表明S（ν）与其双共轭相等，S（ν）=S**（ν） =infψ∈Csupν′级∈VS（ν′）- ν′(ψ)+ ν(ψ). （5.1）让我们计算ψ∈ Cand f关注内部优化，supν′∈VS（ν′）- ν′（ψ）=s upν′∈Vsupξ∈R（ν′）ξ（G- ψ（B））。查看函数Y：=G- ψ（B）作为最优停止问题的奖励函数，可以检查v（ψ）：=supν′∈Vsupξ∈R（ν′）ξ（Y）=supξ∈Rξ（Y）=supτ∈TE[Yτ]只是相关标准最优停止问题的值函数。

特别地，v=v（ψ）是相关Snellenvelope Z的初始值；i、 e.，最小超鞅支配Y。我们把它的doob–Meyer分解写成Z=v+M-其中M是局部鞅，A是递增的，A=M=0。然后V+M≥ Y或等效v+M+ψ（B）≥ G、 由于ψ具有线性增长且G有界，因此v+M+ψ（B）≥ G意味着M·∧对于所有n，tn的下界。因此，（M，(R)ψ）∈ D（G）对于函数？ψ：=v+ψ。因为这适用于所有ψ∈ C、 （5.1）得出S（ν）=S**（ν） =infψ∈Cv（ψ）+ν（ψ）≥ inf（(R)ψ，M）∈D（G）ν（(R)ψ）=I（G），根据需要。利用命题4.9中的封闭性，我们可以利用容量理论将对偶性推广到可测函数。让[0，∞]Sbe所有功能集G:S→ [0, ∞], 设USA+为上半解析函数的子格，U为有界上半连续函数的子格；请注意，U相对于可数单位是稳定的。A映射C：[0，∞]S→ [0, ∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为U-容量，∞]在U引理5.3上连续向下砂。映射S：[0，∞]S→ [0, ∞] 是U型容量。证据Asξ（t）=所有ξ的Rxdν∈ R（ν），集R（ν）是S上概率测度的非空紧空间；例如参见【6，定理3.14】。这意味着相关的次线性映射G 7→ supξ∈R（ν）ξ（G）≡ S（G）是一个容量。事实上，通过交换twosuprema，向上的连续性是即时的。让Gn∈ U减小到G∈ U、 然后是ξn∈ R（ν）ξn（Gn）≥ S（Gn）-1/n.传递到子序列后，ξn→ ξ对某些ξ不利∈ R（ν）。然后S（G）=limmξ（Gm），对于每个m，我们有ξ（Gm）≥ lim supnξn（Gm）≥ S（Gm）；因此S（G）≥ lim supmS（总经理）。反之则是单调的。引理5.4。映射I：[0，∞]S→ [0, ∞] 是U型容量。证据

当命题5.2中I=S时，引理5.3已经表明I在U上是连续向下的∈ [0, ∞]Sbe使GNI逐点增加到G；我们需要证明I（Gn）→ I（G）。很明显，我很单调；特别是，I（G）≥ lim sup I（Gn）和I（Gn）→ I（G）如果supnI（Gn）=∞.如果集合{G，则称函数G为上半解析函数≥ c} 对allc进行分析∈ R、 其中，S的子集称为解析子集，如果它是Borel映射下Polishspace的Borel子集的图像。任何Borel函数都是上半解析函数，任何u上半解析函数都是普适可测函数。参见，例如，【13，第7章】了解背景。因此，我们只需要显示I（G）≤ 在supnI（Gn）<∞. 事实上，根据I（Gn）的定义，存在（Mn，ψn）∈ 带ν（ψn）的D（Gn）≤ I（Gn）+1/n。命题4.9然后得出（M，ψ）∈ 带ν（ψ）的D（G）≤ lim inf【I（Gn）+1/n】，表示I（G）≤ lim inf I（Gn）。我们现在可以证明主要的对偶结果。（回想一下，推论4.10中已经说明了双重成就，但没有可测量性假设。）定理5.5。让G:S→ [0, ∞] 是上半解析的。那么就有了无度间隙：S（G）=I（G）∈ [0, ∞].证据根据引理5.3，Choquet的电容性定理（例如参见[58，命题2.11]）表明s（G）=sup{s（G′）：G′∈ U、 G′≤ G} ，G∈ 美国+。根据引理5.4，类比适用于I，因此，Uby命题5.2上的S=I这一事实已经暗示了USA+上的S=I。我们推导出原始优化器和对偶优化器的以下特征。推论5.6。让G:S→ [0, ∞] be上半解析和S（G）<∞.给定（M，ψ）∈ D（G）和ξ∈ R（ν），以下是等效的：（i）（M，ψ）对于i（G）是最优的，ξ对于S（G）是最优的，（ii）M+ψ（B）=Gξ-a.S.，ξ（M）=0，（iii）M+ψ（B）=Gξ-a.S.和ξ（M）≥ 0.证明。

定理5.5表明ξ（ψ（B））=ν（ψ）≥ I（G）=S（G）≥ ξ（G）。给定（iii），我们有ξ（ψ（B））≤ ξ（G），因此上述必须相等；也就是说，（i）保持不变。给出（i），这些都是等式，然后（ii）在回顾M+ψ（B）之后≥ Gξ-a.s.和ξ（M）≤ 0; 参见引理4.5和引理4.8。从（ii）到（iii）的含义微不足道。备注5.7。我们的主要对偶结果中G的下界可以放宽到以下条件：存在ψ∈ L（ν）和一个局部鞅，对于所有n，该鞅在[0，Tn]上有界，这样g≥ -M- ψ（B）。实际上，所述结果可以应用于G′：=G+M+ψ（B）≥ 0为了推导G的相应断言。接下来，我们按照[12，推论7.8]的精神提供了一个单调性原则，该原则在G上的可积条件下提供了表征所有嵌入的普遍支持Γ。如引言所述，这补充了文献[6]中的单调性原则，该原则给出了支持度上的年龄计量条件，这对优化是必要的，但并不有效。以下条件是必要且有效的。然而，通过（5.2）中合适的双重优化器的构造，Γ的几何结构仅以较弱的形式描述。我们将在第6节中举例说明如何利用这种描述。对于该语句，请注意∈ R定义为C（R+）×R+上的一个度量，它自然会在S上产生一个度量：forΓ∈ B（S），设ξ（Γ）=ξ{（ω，t）∈ C（R+）×R+：（ω|[0，t]，t）∈ Γ}.推论5.8。让G:S→ [0, ∞] 为Borel，属于（D）类。存在Borel s etΓ S使得随机停止时间ξ∈ R（ν）对于S（G）是最优的当且仅当R（ν）集中于Γ；i、 e.，ξ（Γ）=1。证据因为G是（D）类的，所以存在一个（D）类鞅N，使得G≤ N参见[30，附录I.24，第419页]。特别是ξ（G）≤ ξ（N）=所有ξ∈ R（ν），表示S（G）<∞.

Let（M′，ψ）∈ D（G）是推论4.10所保证的对偶优化器，归一化为ψ≥ 定义=M′[0，τ]+N1[τ，∞)其中τ=inf{t≥ 0：M′t=Nt}。然后（M，ψ）∈ D（G）又是一个对偶优化器，由于M+属于类（D），Fatou引理（在其具有一致可积界的版本中）产生ξ（M）≥ 0表示任何ξ∈ R、 设Γ：={M+ψ（B）=G} S、 （5.2）那么推论5.6中（i）和（iii）的等价性表明ξ∈ R（ν）等时当且仅当ξ（Γ）=1。在上述证明中，利用G的可积性推断存在对偶优化器（M，ψ），使得ξ（M）=0表示所有ξ∈ R（ν）。我们将在第7.3节中看到，当G不属于（D）类时，即使在（G）<∞. 更令人惊讶的是，推论5.8甚至单调性原则的本质都可能失败：在这种情况下，最优嵌入的最优性不能通过其支持来描述。6最优洞穴嵌入在这一节中，我们考虑了文献[6]中介绍的一个最优Skorokhod嵌入问题，其中（唯一）最优嵌入是洞穴形状的aset的命中时间；也就是说，它由一个左屏障和一个右屏障组成。通常有很多这样的洞穴嵌入了给定的分布ν，这就引出了如何描述最佳分布的问题。我们在这里的主要目的是举例说明我们关于对偶存在性的结果如何有助于给出变分特征。这种描述本身与考克斯和金斯利在【22】中为不同类别的报酬函数提供的描述相似。然而，由于双重存在，我们在这里的论点比Cox和Kinsley的论点更为直接。Cox和Kinsley提出了一种离散化方法[21]，目的是将线性规划问题简化为有限维问题，并通过冗长而微妙的限制论点获得其结果。