最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

更重要的是，这里给出的证明表明，variationalcondition适用于更一般的嵌入类，这是一个需要在未来工作中解决的问题。我们首先确定了一些术语（另请参见[6、22、71]）。Let（R+×R）*=（R+×R）\\{（0，0）}是被刺穿的半平面。在根的嵌入之后，右障碍是一个闭集R （R+×R）*靠近右侧；即，（s，x）∈ R和t≥ s暗示（t，x）∈ R、 这种势垒的特征是函数x 7→ r（x）∈ [0, ∞] 追踪其左边界，r（x）=inf{t≥ 0：（t，x）∈ R} ，inf := +∞.类似地，根据Rost的精神，左势垒L是（R+×R）的闭子集*它靠近左边。其特点是函数x 7→ l（x）∈{-1} ∪ [0, ∞) 这里我们现在设置l（x）=sup{t≥ 0：（t，x）∈ 五十} ，sup := -1、请注意，我们使用-1表示左侧安全栅中的间隙。定义6.1。给定tp∈ R+，一个洞穴屏障，带分离tpis a set L∪R此处L [0，tp]×R是左势垒，R [tp，∞) ×R是右屏障。很明显，洞穴屏障∪R由两个函数l表示≤ tp≤ r、 我们用D表示（开放）补码（r+×r）*\\ （L）∪ R） 并将toD称为洞穴屏障的延续区域（或与洞穴一样，如果没有歧义）。设τ=inf{t≥ 0：（t，Bt）/∈ D} 是D的第一个退出时间。这是两个停止时间τl=inf{t中的最小值≥ 0：Bt∈ L}∈ [0，tp]∪ {∞},τr=inf{tp≤ t<τl:Bt∈ R}∈ [tp，∞].xminxmaxtpLL R（a）-1.-2（b）图1：（a）将深色区域添加到左侧屏障L，使其单调。

（b） 备注6.2的示例。类似地，如果ν=定律（Bτ）是洞穴屏障嵌入的量度，则ν=νl+νris分解为与左右屏障吸收的质量相对应的亚粒子；或者更精确地说，νl=定律（Bτl）和νr=定律（Bτr），其约定为：∞在外部墓地州进行估价，法律限制在R。两个不同的洞穴屏障可能具有相同的撞击时间。首先，考虑一个具有相应函数L的左势垒L。如果L上有一个“接收器”（0，∞), 比方说，那么（t，Bt）不能到达边界的那一部分，因为时间坐标总是向前运行（见图1）。如果我们用增加的包络线x 7来代替l→ l（x）开（0，∞) 其递减包络打开(-∞, 0），新屏障具有相同的命中时间。如果L已经等于这个信封，我们称之为单调L。注意，给定L，存在一个包含L的最小单调left势垒。N ex t，考虑一个洞穴势垒，注意（t，Bt）只能触及包含（0，0）的D分量的边界。因此，如果D是，我们说洞穴是连通的。为了简洁起见，我们说如果L是单调的，D是连通的，那么cavebarrier是正则的，并且注意到everycave barrier有一个包含它的最小正则cavebarrier。这一概念之所以重要，是因为以下事实：当且仅当两个规则洞穴相等时，两个规则洞穴的首次撞击时间是a.s.相等的。我们省略了细节，而是参考了[71，p.365]和[6，定理2.4]的证明结尾，以进行类似和详细的讨论。值得注意的是，l的恒定区间对应于νlhas无质量的区间。另一方面，在r=∞. 最后，ν中的原子由L或R边界上的水平部分生成；即l或r的不连续性。备注6.2。

给定分布ν的洞穴嵌入通常是非均匀的，因为任何洞穴都可以在不改变嵌入分布的情况下正则化。然而，与根和喙嵌入相比，洞穴嵌入不是唯一的，即使采用了这种规律。从某种意义上说，之所以会出现这种歧义，是因为给定的ν“片段”可以被左边界或右边界吸收。取ν=（δ）可以得到一个简单的例子-2+ δ-1+δ+δ）/4，因此左右势垒是这些f四个位置的水平尖峰的包络线；参见图1。我们可以在±1处缩短右侧的尖峰，并适当地放大左侧的尖峰，从而改变νlandνr，而不改变嵌入分布ν=νl+νr。接下来，我们转向奖励函数gt=g（t）的最佳Skorokhod嵌入，该函数是确定性的，dep仅在时间变量上结束。更具体地说，我们总结如下。假设6.3。奖励函数Gt=g（t）由有界Lipschitz连续函数g:R给出+→ 时间的R，对于某些tp≥ 0，g在（tp，∞) andg在（0，tp）上严格凸且严格递减，g在（tp）上严格凹且严格递增，∞).我们还定义了(∞) 作为明显的限制。这种奖励功能导致洞穴嵌入如下。提案6.4。假设ν（{0}）=0，且g满足假设6.3。存在一个最佳停止时间τ∈ T（ν）；也就是说，我们有e[g（τ）]=supξ∈R（ν）ξ（g（t））。此外，τ是R（ν）内唯一的优化器，由具有分离tp的规则洞穴屏障的击中时间给出。这个洞穴是所有普通洞穴中独一无二的。最后，对于所有t，P{τ=t}=0∈ [0，tp]。证据[6，定理2.5]中阐述了前两个断言，这本身就是[6，定理1.3]中单调性原则的直接结果。

后者指出，如果τ∈ T（ν）是最优的，然后（B·∧τ, τ) ∈ ΓW-a.s.用于aBorel setΓ S S满意G∩ (Γ<× Γ) = , （6.1）其中< S定义为<={（f′，t′）∈ 对于某些（f，t），在[0，t′]上，S:t′<t且f′=f∈ 减少/增加可替换为：+所有0的g（s）<g′（t）≤ s<tp<t，SG是所谓的stop-go对的集合；参见[6，定义1.4]。在当前设置中，由于g的凸性和单调性，SG={（（f，t），（f′，t′）∈ S×S：f（t）=f′（t′），t′<t≤ tpor tp≤ t<t′}。（6.2）（在[6]中，对g有进一步的假设，但在证明中未使用这些假设。）[6，定理2.5]还指出，每个最优ξ∈ R（ν）是洞穴的到达时间，这意味着τ的唯一性，类似于[60]。事实上，如果τ和τ是优化器，我们可以通过以1/2的概率独立选取τ或τ来定义随机停止时间τ′。但τ′是最优的，因此τ′是非随机的，因此τ=τa.s。洞穴的唯一性是成立的，因为如上所述，规则洞穴与其命中时间一一对应。对于t<tp，P{τ=t}=0，因为左势垒不能使τ中的原子上升。要知道P{τ=tp}=0，考虑一个可测集Γ 带P{（B）的S·∧τ, τ) ∈ Γ}=1，并假设P{τ=tp}>0。tp>0和Γ必须包含路径f，路径f在tp处为s，且满足：=f（tp）∈ （xmin，xmax）。因此，l（x）<tp，我们有（t′，x）∈ 对于所有l（x）<t′<tp。因此，存在一条停止路径（f′，t′）∈ Γ<与f′（t′）=x和t′<tp，但随后（f，tp）和（f′，t′）形成了一个停-走-对（6.2），现在（6.1）产生了一个矛盾。前面的命题为如何描述对应于最优屏障的函数SL，r留下了空白。直观地说，嵌入ν的波的非唯一性源于这样一个事实，即给定的一段ν可以在两个屏障中的任何一个被吸收。

然而，将质量从一个转移到另一个会改变报酬E[g（τ）]，这是变量表征的基础。考虑在点x处g的最佳洞穴∈ R其中两个屏障都吸收质量，或者更精确地说，x∈ 支持νl∩ s uppνr。直观地说，围绕x局部变形l和r对应于将质量从一个边界转移到另一个边界，如果洞穴是最优的，则与此变化相关的导数应该消失。当然我们不能吸收负质量，所以如果x∈ suppνl\\suppνor反之亦然，只能进行单边变化。因此，下面定理6.5中的精确陈述将包括每个支承的不等式条件，仅在交点上等于等式。似乎很难为acave的所有变体找到一个易于处理的参数化，以保持嵌入分布。相反，我们应该利用双重问题；形式推导如下所示。为简单起见，请考虑案例x∈ 支持νl∩ suppνrand回想一下，对偶问题允许一个解（M，ψ）。由于g是马尔可夫的（时间和状态的函数），我们可以预期鞅M也可以选择为马尔可夫形式M=M（t，Bt）。此外，对偶解满足Mτ+ψ（Bτ）=g（τ），其中τ是D的退出时间，大致转化为M（t，x）=g（t）-ψ（x）表示t∈ {l（x），r（x）}。假设边界平滑，形式上生成的衍生品tm（t，x）=t的g′（t）∈ {l（x），r（x）}。因为M是鞅，所以M是热方程的解，所以M是鞅商标。对费曼-科航公式的厌恶现在产生了tm（t，x）=Et，x【g′（τ）】，对于l（x）≤ t型≤ r（x）。因此，差异（r（x））- g（l（x））=m（r（x），x）+ψ（x）- m（长（x），x）- ψ（x）=m（r（x），x）- m（l（x），x）可以表示为rr（x）l（x）tm（t，x）dt=Rr（x）l（x）Et，x【g′（τ）】dt。

标识G（r（x））- g（l（x））=Zr（x）l（x）Et，x[g′（τ）]dt不再指对偶解。如上所述，如果x不支持两个度量值νl，νr，则需要将该等式减弱为不等式。在下文中，我们假设ν是一个中心分布，具有有限的秒矩，且ν（{0}）=0。该保护的一些技术方面取决于ν在其支持的端点是否有原子。我们关注的是ν在两个端点上有原子的情况：ν集中在一个紧凑的区间J=[xmin，xmax]，其中ν（xmin）>0，ν（xmax）>0。值得注意的是，考虑到ν的这些性质，讨论中的规则洞穴在两个端点满足l（x）=tp=r（x），l和r的必要跳跃意味着D沿{x=xmin}和{x=xmax}方向；可以说，地板和天花板的地板部分包含tp。当Dis为有界高度时，它可以是无界的，因为r（x）=∞ 是一个可能的值。在下面的结果中，我们使用右导数+g、 但左导数的相同holds。定理6.5。设D是一个分为tpembeddingν和letl的正则洞穴，r是界定D的函数。然后τ=inf{t≥ 0：（t，Bt）/∈ D} 如果一个D仅当Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（r（x））- g（l（x））表示x∈ suppνl，Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≤ g（r（x））- g（l（x））表示x∈ suppνr，其中Et，x[+g（τ）]：=E[+g（τt，x）]对于τt，x：=inf{s≥ t：（s，x+Bs）-t）/∈ D} 。我们使用第4节中的对偶问题设置，tn=T：=inf{T≥ 0：Bt∈ J} ，n≥ 1、由于在此设置中，我们对双鞅M beyondtime T不感兴趣，因此我们稍微重新定义了D（G），即M仅定义为T。

显然，这并不影响之前的结果，因为人们可以以一种恒定的方式将M扩展到T之外，以检索前一种意义上的对偶元素。接下来，我们考虑最优洞D，并重点讨论变分条件的必要性。证明的第一步是构造f函数（t，x）。重要的是，我们通过一个最优停止问题来表示m，该问题将用于推导商标。我们为J的内部写I；也就是说，I=（xmin，xmax）。提案6.6。存在一个对偶优化器（M，ψ）∈ D（G），对于普适可测函数m:R+×J，Mt=m（t，Bt）【0，τ】→ R∪{-∞} 这是C∞此外，m可以被视为具有报酬g（t）的最优停止问题的值函数- ψ（x）。证据Let（￠M，ψ）∈ D（G）是任何双重优化器；参见推论4.10。根据标记4.7，我们可以假设ψ≥ 设TT={σ∈ T：σ≤ T}并考虑最优停止问题supσ∈TTE[Gψσ]，Gψt：=Gψ（t，Bt），Gψ（t，x）：=G（t）- ψ（x）。（6.3）下面，ul可以将其视为梅尔滕意义上的马尔可夫最优停止问题（我们通过这个证明使用完成的布朗过滤）。事实上，设置Yt=（t，Bt），我们可以将过程Y定义为吸收R+×R中R+×I的补码的过程Y。然后（6.3）相当于右连续马尔可夫过程的有限期最优停止问题。接下来，我们证明了我们可以从下面截断Gψ，而不改变（6.3）的值。由于g是有界的，我们可以假设g≥ 我们有g（t）- ψ（x）≥ -ψ（x）和supσ的值∈TTE公司[-ψ（Bσ）]，初始条件Bt=x∈ I由给出-ψ**（x） ，其中ψ**≥ 0是区间J上的凸hullofψ。因此，最优停止问题的值supσ∈TTE[\'Gψσ]，\'Gψt：=\'Gψ（t，Bt），\'Gψ（t，x）：=（G（t）-ψ（x））∨(-ψ**（x） ）（6.4）与（6.3）相同。

我们有ν（ψ）**) ≤ ν(ψ) < ∞ 根据D（G）的定义和ν的假定形式，这意味着ψ**在致密层段J的端点处是有限的；即ψ**是一个有界函数，而gψ（t，x）从下面有界。因此，（6.4）中的奖励函数“Gψ”属于（D）类，是可选的（但不一定是右连续的），将我们置于[63，64，34]的设置中。考虑（6.4）中的斯奈尔包络，如[63，定理T4]或[34]中所述；也就是说，S是满足S的最小强上鞅≥[0，T]上的Gψ，and具有S=E[S]=supτ的性质∈TTE[(R)Gψτ]。（我们在引用的参考文献中使用符号Sas；不应与停止路径的空间混淆。）注意到'Gψ是有界的，因此·∧有界。As（￠M，ψ）∈ D（G），局部鞅M是另一个满足M的超鞅≥ Gψ≥\'Gψ，所以≤最小值M，尤其是S≤M=0。另一方面，设τ为初选限制器。ThenS公司≥ E[(R)Gψτ]≥ E[Gτ- ψ（Bτ）]=E[Gτ]- ν（ψ）=0自τ起∈ t不存在二元性缺口；参见定理5.5。因此，S=0，τ是（6.4）和（6.3）的最佳停止时间。特别地，S是[0，τ]上的阿马丁格尔。强超鞅S具有M ertens分解=M- 这里M是局部鞅，M·∧Tis为（D）类，A为可预测的增长过程，M=A=0；参见[30，附录I.20，第414页]。我们观察到（M，ψ）∈ D（G）是一个双重优化器。事实上，斯内尔包络的定义特性表明≥ St公司≥ 燃气轮机- 自Mt以来，[0，T]上的ψ（Bt）和m在[0，T]上的b下一致有界≥ St公司≥ -ψ**（Bt）如上所述。最后，最优性仅取决于ψ。最优停止问题（6.4）是一个马尔可夫形式，如[34，64]所述。

更准确地说，[34，定理3.4]或[64，定理3]表明，斯内尔包络由St=v（t，Bt）给出，其中v是一个普遍可测函数，是超过|gψ的最小超中值函数（见下文[64，定理1]），并且v与马尔可夫意义下的最优停止问题的值函数一致。由于S是鞅[0，τ]，我们在[0，τ]上有M=S=v（t，B），因此M：=v满足M（t，Bt）=Mton[0，τ]。D上m的光滑性来自于von D的鞅性质，这是由最优停止问题所隐含的。实际上，对于（t，x）∈ D、 考虑（t，x）周围的开放矩形R，其闭包包含在D中。然后v | Ris光滑，因为它是具有光滑核的卷积，即v（t，x）是v的卷积|R当Bis开始于（t，x）时，出口分布为（t，B）。我们可以观察到，前面的参数扩展到具有空间依赖性的更一般的函数g（t，x）。以下结果连接tm和+g无需经历如上图所示的复杂光滑条件。相反，它通过最佳停车利用了m的表示，这在障碍物不光滑的情况下是至关重要的（对于一般ν）。引理6.7。让x∈ 一、 那么tm（t，x）=Et，x[+g（τ）]=Et，x[-g（τ）]，对于l（x）<t<r（x）。证据让x∈ I和l（x）<t<t<r（x）。根据命题6.6的pro，m（t，x）是从（t，x）开始的停止问题的值函数，D的第一次退出时间τ是最优的。将初始条件（t，x）的停止时间τ定义为区域的第一次退出时间：=D+{（t-t、 0）}；也就是说，区域D向右平移t-t、 然后Et，x[ψ（Bτ）]=Et，x[ψ（Bτ）]和hencem（t，x）- m（t，x）≥ Et，x【g（τ）】- ψ（Bτ）]- Et，x【g（τ）】- ψ（Bτ）]=Et，x[g（τ）]- Et，x[g（τ）]=Et，x[g（τ+t- t） ]- Et，x[g（τ）]=Et，x[g（τ+h）- g（τ）]，其中h=| t- t |。

类似地，使用t<t得到m（t，x）- m（t- h、 x）≤Et，x【g（τ）】- g（τ- h） 】。回想一下，m是可区分的。除以h并取h↓ 0，主导收敛，然后收益tm（t，x）≤ Et，x[-g（τ）]≤ Et，x[+g（τ）]≤ tm（t，x），其中中间不等式成立，因为-g级≤ +g；查阅假设6.3。该声明如下。我们注意到Et，x[-g（τ）]=Et，x[+g（τ）]也可以直接从τ的性质得出；参见提案6.4。定理6.5的证明，必要性。设D为最优。对于x∈ {xmin，xmax}结果是平凡的，因为l（x）=r（x）。给定l、r和g的性质，那么就需要知道Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（r（x））- 对于νl-a.e.x，g（l（x））为∈ 一、 Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≤ g（r（x））- νr-a.e.x的g（l（x））值∈ 一、 让x∈ I和l（x）≤ l≤ r≤ r（x）带r<∞. 根据引理6.7和微积分基本定理，ZrlEt，x[+g（τ）]dt=Zrltm（t，x）dt=m（r，x）- m（长，x）。通过m的构造，我们得到了m（t，x）≥ g（t，x）- ψ（x）在D上，当fort=l（x）时，该不等式适用于νl-a.e.x，对于t=r（x），它适用于νr-a.e.x。针对第一种情况，我们得到了νl-a.e.thatZrnl（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（rn）- 序列rn的g（l（x））↑ r（x），并且在回顾了g在[0]上是连续的之后，该权利要求如下，∞] 和Et，x[+g（τ）]≥ t为0≥ tp。νr-a.e.不等式如下所示。定理6.5的证明，效率。我们只提供论点的概要；细节类似于[22，定理4.1]的证明。假设s型不等式适用于l，r。