电力二元正态分布标准的定价公式

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英文标题：
《Pricing Formulae of Power Binary and Normal Distribution Standard
  Options and Applications》
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作者：
Hyong-Chol O, Dae-Sung Choe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper the Buchen\'s pricing formulae of (higher order) asset and bond binary options are incorporated into the pricing formula of power binary options and a pricing formula of \"the normal distribution standard options\" with the maturity payoff related to a power function and the density function of normal distribution is derived. And as their applications, pricing formulae of savings plans that provide a choice of indexing and discrete geometric average Asian options are derived and the fact that the price of discrete geometric average Asian option converges to the price of continuous geometric average Asian option when the largest distance between neighboring monitoring times goes to zero is proved.
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中文摘要：
本文将（高阶）资产和债券二元期权的Buchen定价公式纳入幂二元期权的定价公式中，导出了到期收益与幂函数和正态分布密度函数相关的“正态分布标准期权”的定价公式。作为应用，推导了提供指数和离散几何平均亚式期权选择的储蓄计划的定价公式，证明了当相邻监测时间之间的最大距离为零时，离散几何平均亚式期权的价格收敛于连续几何平均亚式期权的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_Formulae_of_Power_Binary_and_Normal_Distribution_Standard_Options_and_Ap.pdf (266.91 KB)

2022-6-14 06:51:52 上传

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关键词：二元正态分布 正态分布 distribution Applications Quantitative

幂二元和正态分布的定价公式标准期权及其应用肖哲O，Dae Sung Choe1,2金日成大学数学系，平壤，D P R Ke mail:hc。o@ryongnamsan.edu.kpAbstractIn本文将（高阶）资产和债券二元期权的Buchen定价公式纳入幂二元期权的定价公式，导出了到期收益与幂函数和正态分布密度函数相关的“正态分布标准期权”的定价公式。作为应用，推导了提供指数化和离散几何平均亚式期权选择的储蓄计划的定价公式，证明了当相邻监测时间之间的最大距离为零时，离散几何平均亚式期权的价格收敛于连续几何平均亚式期权的价格。幂二元期权；正态分布标准选项；提供投资选择的储蓄计划；离散几何平均亚洲期权2010数学科目分类35C15，91G801简介期权定价问题是金融数学中的主要问题之一。将复杂的外来因素或公司债券表示为二元投资组合的研究方法是解决金融实际问题的一种广泛使用的方法【2、3、5、7、8、10–15】。本文给出了正态分布的幂函数或累积分布函数作为到期支付函数的Black-Scholes偏微分方程的解表示，并利用它们研究了提供指数和离散几何平均亚式期权选择的储蓄计划。

本文介绍了二进制期权方法及其应用。Rubinstein和Reiner（1991）[7]提出了用二元期权表示复杂期权收益的基本思想，他们在那里考虑了二元期权与二元期权的关系。Ingersoll（2000）[5]通过用事件驱动的二进制文件表示复杂的派生来扩展这个想法。当且仅当事件ε发生时，事件ε驱动的二元期权支付一单位标的资产，否则不支付任何费用。Buchen（2004）介绍了一阶和二阶资产和债券二元期权的概念，并使用期望法为其提供了定价公式。然后将其应用于一些双到期奇异期权的定价，包括复合期权、选择期权、一次可扩展期权、一次喊叫期权、一次分红美式看涨期权和部分障碍期权。Skippe r（2009）[15]介绍了多期、多资产M-二进制的一般概念，其中包含了Buchen[2]的资产和债券二进制，并通过期望法提供了定价公式。他们指出，M-Binary投资组合可用于静态地再现许多欧洲外来因素，并将其结果应用于定价一个简单的执行股票期权（ESO）模型，该模型已在实践中用于评估公司薪酬待遇。2 Hyong chol O和Dae sung ChoeIn【8】，作者将Buchen的一阶和二阶资产和债券二元期权的概念扩展为高阶二元期权的概念，推导了PDE方法的定价公式，并用它得到了百慕大期权、多时可扩展期权等多到期奇异期权的定价。在[11]和[14]中，作者使用高阶二元期权方法得到了包括离散息票债券在内的信用风险公司债券的一些定价公式。

在[12]中，作者将高阶二元期权扩展到具有时间相关系数的情况，并利用它研究了离散息票债券。一些银行有一项储蓄账户服务，该服务具有利率选择项目，其持有人有权从国内和国外利率中选择一种，并[1]使用预期法计算提供指数选择的此类储蓄计划的价格。在[9]中，作者研究了这些储蓄计划的价格，这些计划使用PDE方法提供了一种选择。在此类储蓄计划中，到期支付的外币价格与基础资产价格的倒数有关【9】。几何平均亚式期权是一种研究得很好的期权。在[6]中，他们使用偏微分方程方法研究了连续计量平均亚式期权，并提供了定价公式、看跌期权平价、二叉树模型和特征线上的显式差异方案。在[3]中，他们用期望和偏微分方程方法研究了零股息率几何平均亚式期权的连续模型，并用期望方法给出了离散几何平均亚式期权的定价公式。他们表明，当监控时间间隔为零时，离散几何平均亚式期权的价格收敛于相应的连续几何平均亚式期权的价格。

离散几何平均亚式期权的收益与标的资产价格的n次方根有关。本文的目的是研究期权的定价模型，从PDean的角度来看，其最终支付效果与标的资产价格的幂相关，并将其应用于一些金融合同的定价问题。首先，我们使用偏微分方程法，找到所谓的“二元幂期权”的定价公式，其到期收益为基础资产价格的幂。我们的公式包括（高阶）资产和债券二元期权的[2,8]公式。我们将其应用于计算提供索引工具的储蓄计划的价格。然后，我们推导了终值为幂函数和正态分布函数乘积的BlackScholes偏微分方程终值问题的解表示，并利用它得到了离散几何平均亚式期权的定价公式。证明了当相邻监测时间间隔为零时，离散几何平均亚式期权的价格收敛于连续几何平均亚式期权的价格。从偏微分方程的观点来看，非常有趣的是，Black-Scholes偏微分方程初值问题连接问题的解在多个时间间隔上的极限成为另一个偏微分方程初值问题的解。这表明，利用问题的背景，复杂微分方程的求解问题可以简化为简单微分方程的求解问题。本文的主要内容如下。

在第2节中，我们提供了一个欧式期权（幂二元期权和正态分布普通期权）的定价公式，该期权的定价与基础资产价格的幂和幂二元和正态分布标准定价公式的密度函数有关。。。3采用部分微分方程法计算正态分布。在第3节中，我们应用第2节的结果来提供储蓄计划的定价公式，该公式提供了指数和离散几何平均亚洲期权的选择，我们描述了离散几何平均亚洲期权价格的趋同结果，即当迁移监测时间间隔变为零时。第四节给出了高阶幂二元期权的价格公式。2幂二元和正态分布标准期权的定价公式定义1，r、q、σ分别为利率、股息率和标的资产的波动率。考虑以下Black-Scholese方程的终值问题。五、t+σx五、x+（r- q） x个五、x个- rV=0，（0<t<t，x>0）（1）V（x，t）=xα（2）根据[8]的介词1，该方程的解如下所示：V（x，t）=e-r（T-t） σp2π（t- t） Z∞ze公司-2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ（T-t）zαdz（3）该V（x，t）被称为“标准幂期权”或“标准α幂期权”，到期付款为xα。

我们将标准α幂期权的价格表示为Mα（x，t）。标准电力期权的定价公式如下所示。定理2.1α-幂标准期权的价格，给出了Black-Scholes方程（1）、（2）的解asMα（x，t）=eu（t-t） xα（4）这里u（r，q，σ，α）=（α- 1） r- αq+σ（α- α） （5）使用转换的证明=lnxz公司+r- q-σ+ ασ（T- t）σp（T- t）-1然后将等式（3）更改为以下等式。V（x，t）=eu（t-t） xα√2πZ∞-∞e-ydy=eu（T-t） xα。（Q.E.D）4 Hyong chol O和Dae sung ChoeDe定义2基于标准α-幂选项的二元合约称为“α-幂二元期权”。i、 幂二元期权的价格是（1）满足终值条件v（x，t）=xα·1（sx>sξ）（6）这里s（+或-）被称为上下二元期权的“符号指示器”，我们将α-幂期权的价格表示为（Mα）sξ（x，t）。自（Mα）+ξ（x，T）+（Mα）-ξ（x，T）=Mα（x，T）我们在α幂标准期权价格与相应的上α幂二元期权和下α幂二元期权之间有如下对称关系。（Mα）+ξ（x，t）+（Mα）-ξ（x，t）=Mα（x，t）（7）定理2.2α-幂二元期权（解（1），（5））的价格如下所示。（Mα）sξ（x，t）=eu（t-t） xαN（sd）（8）Hered=d（xξ，r，q，σ，α，t- t）=lnxξ+r- q-σ+ ασ（T- t）(σ√T- t）-1（9）N（d）=√2πZd-∞e-根据[8]的介词1，我们有（Mα）sξ（x，t）=e-r（T-t） σp2π（t- t） Z∞ze2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ（T-t）zα1（sz>sξ）dz让我们使用变量变换=lnxz公司+r- q+σ+ασ（T- t）（σp（T- t））-1Thenln z=ln x+r- q-σ+ ασ（T- t）- y（σp（T）- 考虑1（sz>sξ）=1（s ln z>s lnξ）=1（sy<sd），那么我们有（Mα）+ξ（x，t）=eu（t-t） xα√2πZ+∞-∞e--y1（sy<sd）dy=幂二元和正态分布标准的定价公式。。。

5再次使用变量转换y′=sy，dy′=sdy，我们得到i=eu（T-t） xα√2πsZ+s∞-s∞e--y′1（y′<sd）dy′=eu（T-t） xα√2πZsd-∞e--y′dy′==eu（T-t） xαN（sd）（QED）备注1：考虑到期支付函数的二进制条件具有更一般形式的情况。i、 eV（x，t）=xα·1（sxβ>sξ）（10）我们有1（sxβ>sξ）=1（s·sgn（β）x>s·sgn（β）ξβ）=1（tx>tζ），所以如果我们t=s·sgn（β），ζ=ξβ，（1），（10）的解被给出为（Mα）tζ（x，t）。备注2：当α=0时，α幂二元期权为现金二元期权，当α=1时，为资产二元期权。定理m（2.2）将[2，3，6]的Firstorder二进制选项的结果作为特例包括在内。

正如第3节所示，通过使用α-幂二元期权，我们可以表示金融合同的价格，而这些合同不能用现金或集合二元期权来表示。定义3（1）的解，其有效期为V（X，T）=XβnδXiK，τ，τ′，α(11)δXiK，τ，τ′，α=lnXiK公司+r- q-σ+ αστ（σpτ′）-1被称为“电力正态分布价格标准选项”。表示τ=T- t、 定理2.3（1）、（11）的解如下V（X，τ；τ，τ′）=Xβeu（β）τN（d）（12），其中=lnXiK公司+r- q-σ+iβτ+ατiτ+τσ（iτ+τ）（σpiτ+τ′）-1== δXiK，iτ+τ，iτ+τ′，iβτ+ατiτ+τ（13） 和u（β）=（β- 1） r- βq+σ（β- β） 可由（5）6 Hyong chol O和Dae sung ChoeProof从[8]的属性1得出，（1），（11）的解表示为：V（X，τ，τ，τ′）==e-rτσ√2πτZ+∞zβz√2πZδ（ziK，τ，τ′，α）-∞e-ydy公司e-2στlnXz+（r-q-σ)τdz=I（14），此处δ（ziK，τ，τ′，α）=lnziK+（r- q-σ+ ασ)τ（σpτ′）-1In（14）取变量变换：y=ypτ′pτ′+iτ+ilnXz+（r- q-σ+ βσ)τ（σpτ′+iτ）-1（15）年=lnXz+（r- q-σ+ βσ)τ那么我们有（y，y）（y，z）=zσ√τpτ′pτ′+iτ和z>0<=> y<+∞ andy<δ（ziK，τ，τ′，α）<=><=> y<σpτ′+iτlnXiK+（r- q-σ） （τ+iτ）+（ατ+iβτ）σ== δlnXiK，τ+iτ，τ′+iτ，ατ+iβτ+iτ= 在（14）的被积函数的最后一个指数函数的指数中，我们考虑了xpβlnXz=Xβzβe-rτ·e（rβ-qβ+σ（β-β） ）τy=pτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′那么我们可以将方程（14）改写为：I=Xβeu（βτ）2πpτ′+Iτpτ′Zd-∞Z+∞-∞e√τ′+iτ√τ′y-易√τ√τ′+ydydy（16）幂二元正态分布标准定价公式。。。7In（16）指数ispτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′！+y=pτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′！+伊辛斯√τ′+iτ√τ′R+∞-∞e√τ′+iτ√τ′y-易√τ√τ′!dy公司=√2π，我们可以将方程（16）重写如下：I=Xβeu（β）ττ√2πZd-∞e-ydy=Xβeu（β）τN（d）。

（QED）3申请3.1储蓄计划提供指数选择在储蓄计划中，持有人有权选择国内利率和国外利率。因此，该储蓄合同是一种利率交换期权[1，9]。设Rd表示国内（无风险）利率，Rf表示国外（无风险）利率，X（t）本币/外币兑换率，Y（t）=X（t）-1： 外币/本币汇率。假设1）储蓄计划的投资金额为1（国内）货币单位，rd、Rf均为常数。2） 到期付款如下：Vf=Vd·X-1（T）=最大erdTX-1（0）erfT（外币单位）3）汇率满足Garman Kohlhage n[4]模型：dX（t）X（t）=λ·dt+σdW（t）。4） 期权的国外价格由确定性函数Vf=Vf（X，t）给出。在假设1）-4）下，Vf=Vf（X，t），提供指数选择的储蓄计划的国外价格函数是PDE初始值问题的解决方案Vft+XVfX个+σ+rd- 射频十、Vf十、- rfVf=0（17）Vf（X，t）=最大{erdTX-1（T），X-1（0）erfT}。（18） 事实上，根据It公式和假设4），dX（t）= (-uX-1（t）+σX-1（t））dt- σX-1（t）dW（t）8 Hyong chol O和Dae sung ChoeBy-对冲，构建投资组合∏∏=Vf（X，t）-  · 十、-1（该投资组合包括一张期权， 本币单位及其价格以外币计算。）我们选择 所以d∏=rfdt。