仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

因此，至少在（非常常见的）积极约束下，当需要较大的波动水平时，这种方法被证明是转换方法的竞争对手。7附录7.1一些同质跳转差异的性质设y为定义3中引入的F适应跳转差异，Yt：=Rtyudu其集成版本。我们表示vx（t）=vx（t；Ξ）：=V[xt]随机过程x在时间t参数化的方差。没有明确提及，下面给出的所有未经验证的结果都可以在例如Brigo和Mercurio（2006）中找到。引理中给出了新的结果，以供进一步参考。7.1.1 Vasicek模型Vasicek模型对应于特殊的HAJD情况（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ, η, 0, 0, 0).（3）中的Ay，ByFunction由：Ays（t；Ξ）给出=β -η2κ（Bys（t；Ξ）+s- t）-η4κBys（t；Ξ），Bys（t；Ξ）=κ1.- e-κ（t-s）.与该模型相关的正向曲线被证明为befVASs（t）：=（1- e-κ（t-s） ）κβ- η/2κ+η2κe-κ（t-s） （1）- e-κ（t-s） ）+字节-κ（t-s） 。（24）此外，y和y在任何时候都是正态分布的，其中e[yt]=y-κt+βκBy（t；Ξ），E[Yt]=yBy（t；Ξ）+β（t- By（t；Ξ）），vy（t）=η2κ1.- e-2κt,vY（t）=ηκt+1- e-2κt2κ- 2By（t；Ξ）.引理5。设y为Vasicek过程，y为其时间积分。函数vy（t）和vy（t）相对于t.Proof是递增的。对于vy（t），这是显而易见的，对于vy（t），一些操作会导致dTvy（t）=ηκ(1 - e-κt）≥ 0 .7.1.2 CIR模型CIR模型对应于特殊的HAJD情况（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ, 0, δ, 0, 0).式（3）中的Ay，ByFunction由：Ays（t；Ξ）=2κβδln2γexp{（κ+γ）（t- s） /2）}2γ+（κ+γ）（exp{（t- s） γ}- 1） ，Bys（t；Ξ）=2（exp{（t- s） γ}- 1） 2γ+（κ+γ）（exp{（t- s） γ}- 1).式中γ：=√κ+ 2δ.

与该模型相关的正向曲线由Brigo andMercurio（2006）fCIRs（t）：=2κβ（e（t-s） γ- 1） 2γ+（κ+γ）（e（t-s） γ- 1） +yt4γe（t-s） γ[2γ+（κ+γ）（e（t-s） γ- 1)]. （25）可以明确计算CIR过程的重要特征（参见Dufresne（2001））。例如，y作为非中心卡方分布。y和y的两个一阶动量分别为byE[yt]=ye-κt+β1.- e-κt,E【yt】=ye-2κt+δ2κ+ βh2y年e-κt- e-2κt+ β1.- e-κti、 E【Yt】=tβ+（y- β)κ(1 - e-κt），E【Yt】=y- βκ+ δyκ-5β2κ+ tβ2yκ-2βκ+δκ+ tβ+e-κt“-2.y- βκ+2βδκ+t-2yβκ+2βκ-2yδκ+2βδκ#+ e-2κt“y- βκ-yδκ+βδ2κ#。与Vasicek模型相比，CIR的方差并不总是随时间单调递增；这取决于参数。然而，综合CIR的方差正在增加。这些性质将在下一个引理中得到证明，并将成为定理2证明的中心。引理6。设y为CIR过程，y为其时间积分。那么，vy（t）=Δκy（e-κt- e-2κt）+β2κ（1- e-κt）, （26）vY（t）=Δκ2β - 2κt（y- β) - （y）- β/2）e-κte-κt+tκβ+（y- 5β/2). （27）如果β≥ y、 否则，它将首次增加到时间t？，然后在（t？）上减小？，∞). 相反，vY（t）总是在增加。证据上述前两个时刻的方差计算非常简单。CIR方差的导数由ddtvy（t）=yδ给出(-e-κt+2e-2κt）+βδe-κt（1- e-κt）=δe-κt（β- y）- δe-2κt（β- 2年）。此表达式在正半直线att上有根=κln1年以上- β仅当y>β时。否则，vy（t）总是在t中增加。

经过一些操作后，可以写出积分CIR方差对时间的导数，即ddtvy（t）=Δκ2年-κt（e-κt- (1 - κt））+β（1- （2κt+e-κt）e-κt）.因为e-x个≥ 1.- x代表所有x≥ 0和y，κ是正常数，第一项对于所有t≥ 另一方面，β>0，检查1就足够了-g（κt）≥ 0表示所有t≥ 0，g（x）：=（2x+e-x） e类-x、 显然，g（0）=1，g（x）=2e-x（1- x个- e-x）≤ 0表示所有x≥ 0。因此，1- g（κt）≥ 0表示所有t≥ 0.7.1.3 JCIR模型通过调整相应CIR的特性，即使用相同的初始值和扩散参数，可以获得JCIR的特性。我们注意到前者是z，后者是y，对于它们的集成版本（分别是z和y）也是如此。因此，如果CIR（y，y）的参数集为Ξ=（κ，β，δ，0，0，y），则相应JCIR（z，z）的参数集为Ξ=（κ，β，δ，α，ω，z），其中z=yandα，ω≥ 与折扣曲线相关的函数由AZS（t；Ξ）=Ays（t；Ξ）+αωδ/2给出- κα - αln2γeγ+κ+2α（t-s） 2γ+（κ+γ+2α）（e（t-s） γ- 1） ，Bzs（t；Ξ）=Bys（t；Ξ）。从上述函数可以很容易地看出，与该模型相关的正向曲线读数为Fjcirs（t）：=fCIRs（t）+2ωα（e（t-s） γ- 1） 2γ+（κ+γ+2α）（e（t-s） γ- 1） ，（28），其中fCIRs（t）在（25）中给出。对于每个有效参数，fJCIRs（t）≥ 所有t的fCIRs（t）≥ s、 关于这些时刻，我们有以下结果。引理7。设y（resp.y）是一个CIR（resp.integrated CIR），z（resp.z）是一个JCIR（resp.integrated JCIR），具有相同的初值、相同的微分参数，但跳跃由（ω，α）控制。那么，E[zt]=E[yt]+ωακ（1- e-κt），E[Zt]=E[Yt]+ωακκt- (1 - e-κt）.vz（t）=vy（t）+ωα“δ1.- e-κtκ+ α1 - e-2κtκ#，vZ（t）=vY（t）+αωκ1.- e-κtκξ(3 - e-κt）- 4δ+ 2δte-κt+t2ακ + δ,式中ξ：=δ/2- ακ.

函数vz（t）相对于t增加，除非y>β+ωα/κ，在这种情况下，它首先增加到时间t，然后在（t，∞). 此外，vz（t）≥ vy（t），vZ（t）≥ vY（t）和vZ（t）总是在增加。证据应用伊藤引理，我们可以通过zt=ze求解JCIR SDE（19）-κt+β（1- e-κt）+δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs+中兴通讯-κ（t-s） dJs，（29）并找到管理综合JCIR流程的SDE zt=tβ+（z- β)κ(1 - e-κt）+δZtZse-κ（s-u）√zudWuds+中兴通讯-κ（s-u） dJuds。（30）从（29）中，我们可以写出[zt]=ze-κt+β（1- e-κt）+E中兴通讯-κ（t-s） DJ= E[yt]+ωα中兴通讯-κ（t-s） ds=E[yt]+ωακ（1- e-κt）。使用Ito等距，vz（t）=E[（zt- E[zt]]=E“δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs+中兴通讯-κ（t-s） DJ- ωα中兴通讯-κ（t-s） ds公司#= E“δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs公司#+ E“中兴通讯-κ（t-s） （dJs- ωαds）#= vy（t）+Δωακ中兴通讯-2κ（t-s） （1）- e-κs）ds+2ωα中兴通讯-2κ（t-s） ds=vy（t）+ωα“δ1.- e-κtκ+ α1 - e-2κtκ#。使用适用于（30）的类似程序，结合Fubini定理，可以得出积分JCIR的预期和方差：E[Zt]=tβ+（z- β)κ(1 - e-κt）+E中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司= E【Yt】+EZtZtse公司-κudueκsdJs= E[Yt]+ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds=E【Yt】+ωακκt- (1 - e-κt）andvZ（t）=E[（Zt- E[Zt]]=E“δZtZse-κ（s-u）√zudWuds+中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司- E中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司#= E“ΔκZt（1- e-κ（t-s） （）√zsdWs+κZt（1- e-κ（t-s） ）dJs-ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds#= E“ΔκZt（1- e-κ（t-s） （）√zsdWs公司#+ E“κZt（1- e-κ（t-s） ）（dJs- ωαds）#= vY（t）+ΔωακZt（1- e-κ（t-s） ）（1- e-κs）ds+2ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds=vY（t）+αωκ1.- e-κtκ(δ/2 - ακ)(3 - e-κt）- 4δ+ 2δte-κt+t2ακ + δ.请注意，可以使用另一个程序获得上述结果，即通过推导一次或两次（zt，zt）的特征函数ψt（u，v）=E[euzt+vZt]，可以从等式中恢复。（A.1）Duffee和G^arleanu（2001年）。然而，这个过程要重得多。请注意，此公式中存在拼写错误。正确的表达式可以在等式中找到。

（B.9）杜菲和G^arleanu论文的草稿，可在作者的网页上下载。JCIR方差的导数由ddtvz（t）=yδ给出(-e-κt+2e-2κt）+βδe-κt（1- e-κt）+Δωακe-κt（1- e-κt）+2ωαe-2κt=δe-κt（β- y+ωα/κ）- δe-2κt（β- 2y+ωα/κ- 2ωα/δ) .此表达式在正半行att上有根：=κln1+y+2ωα/δy- β - ωα/κ（31）仅当y>β+ωα/κ时。否则，vy（t）总是在t中增加。从直觉上看，JCIR的方差不能小于CIR的方差，对于集成版本也是如此。然而，由于均值回复效应，这一点需要确认。很明显，vz（t）- vy（t）≥ 与vZ（t）相关的术语- vY（t）从零开始（因为显然vZ（0）=vY（0）=0）。这种差异正在增加：滴滴涕（vZ（t）- vY（t））=Δωακ1.- （2κt+e-κt）e-κt+2ωακ1.- e-κt≥ 0 .事实上，第二项明显为正，第一项的形式为Δωακ（1- g（κt）），其中函数g（x）=（2x+e-x） e类-xis显示为x以1为界≥ 在Lemma 6的证明中为0。这表明vZ（t）≥ vY（t）。因为vY（t）（来自引理6）和vZ（t）-vY（t）在增加；vZ（t）本身在增加。7.2一些特殊情况下，Px+yi是折扣曲线。首先，当Px，py是独立的，x，y是独立的，Px+ys=pxspy，两条时间s折扣曲线的乘积就是它自己的时间s折扣曲线时，观察到Px+yi是折扣曲线。下一个引理提供了y上Pyto在一般情况下是一条光滑曲线的充分条件。引理8。让T成为固定的时间范围。那么，无论y是正的还是负的，Py都是一条贴现曲线∈[0，T]ytis可积。证据我们从引理开始，给出交换期望和导数运算符的充分条件，如Pag\'es（2018）。引理9。

设I是R的非平凡区间，B（I）I和ψ的Borel集：I×Ohm →R，（x，ω）7→ ψ（x，ω）be a B（I） G-可测函数。如果函数ψ满足：（i）对于每个x∈ 一、 随机变量ψ（x，ω）∈ 五十、 （ii）ψx（x，ω）：=ψ（x，ω）所有x的xexists∈ I a.s.，（iii）存在Z∈ 每x一次∈ 一、 |ψx（x，ω）|≤ Z（ω）a.s。然后定义函数ψ（x）：=E[ψ（x，ω）]，并在每个x处可微分∈ I，导数ψ（x）dx=E[ψx（x，ω）]。现在我们继续证明引理8。让我们来确定≤ T因此ddte公司-Rtyudu公司= |yte-Rtyudu |≤ 年初至今≤ 支持∈[0，T]YT全部T∈ [0，T]。注意到supt∈[0，T]ytis可积，可以使用引理9和ψ（T，w）←e-Rtyu（w）段和Z（ω）← SyT：=支持∈[0，T]yt，证明导数和期望运算符之间交换的合理性：ddtPy（T）=ddtEhe-Rtyudui=Eddte公司-Rtyudu公司= -埃赫特-Rtyudui，其中右侧以Z的期望为界，Z是可积的。证据到此结束。为了使关于y的运行上确界的可积性的假设在实践中有用，它需要是“可检查的”。因此，我们需要给出更简单的有效条件（例如，基于y的SDE的系数），以保证SyT：=supt∈[0，T]| yt |满意度E[SyT]<∞.引理10。设W为布朗运动，J为具有常数跳跃强度ω的复合泊松过程，跳跃大小与平均值α呈指数分布，y解dyt=u（t，yt）dt+σ（t，yt）dWt+djt，其中y为正，E[RT |u（t，yt）| dt]<∞ 和E【RTσ（t，yt）dt】<∞. 然后，E[| SyT |]=E[SyT]<∞ 其中SyT：=支持∈[0，T]| yt |。证据SDE的解为y=y+Ztu（s，ys）ds |{z}At+Ztσ（s，ys）dWs |{z}Mt+Jt=> |yt |≤ |在|+| Mt |+Jt处，显示为≤ 支持∈[0，T]| At |{z}SAT+supt∈[0，T]| Mt |{z}SMT+支持∈[0，T]Jt{z}SJT。我们在续集中展示了SAT、SMT和SJTare是可积的。

这将得出证据的结论，因为它将导致toE[| SyT |]=E[SyT]≤ E【SAT】+E【SMT】+E【SJT】<∞ .假设E[RT |u（s，ys）| ds]<∞. 然后，SAT=supt∈[0，T]| y+Ztu（s，ys）ds |≤ |y |+支持∈[0，T]Zt |u（s，ys）| ds≤ |y |+ZT |u（s，ys）| ds。表明E[| SAT |]=E[SAT]≤ |y |+E[RT |u（s，ys）| ds]<∞.另一方面，M是鞅，因此| M |是子鞅：E[| Mt | Fs]≥ |E[Mt | Fs]|=| Ms |。然后我们可以应用Doob不等式，E[SMT]=E[supt∈[0，T]| Mt |]≤ee公司- 1.1+E[| | MT | log+| MT | |].使用-e≤ x日志x≤ xfor x≥ 0，| x log+x |=x log+x≤ |x对数x |≤ 最大值（e-1，x）：E[| MT | log+| MT |]≤ E[最大值（E-1，MT）]=E[E-1{MT≤e-1} +MT{MT>e-1}]≤ e-1+E【MT】。因此，E【SMT】≤ee公司- 1.1+e-1+E【MT】.使用Ito等距，E【MT】=EhRTσ（t，yt）dti，根据假设，其有界。同样，通过将Doob不等式应用于鞅（Jt），可以证明E[SJT]是有限的- ωαt），t≤ T实际上，Jt=| Jt- ωαt+ωαt |≤ |Jt公司- ωαt |+ωαt，t型≤ 这意味着≤ E[支持∈[0，T]| Jt- ωαt |]+ωαt≤ee公司- 1.1+e-1+E[（JT- ωαT）]+ ωαT=ee- 1.1+e-1+2ωαT+ ωαT<∞ .当x，y为HAJD时，可以检查Px+y是一条贴现曲线，可能是由相关的布朗运动驱动的。事实上，它们满足引理10.7.3定理1证明的假设，首先，对于每个θ和每个t，一个getsZtxθudu=Ztθ（u）yθ（u）du=ZΘ（t）yudu。因此，它们负指数的期望值也一致：Pxθ（t）=Py（Θ（t））。特定时钟频率θ？由校准方程给出，因此满足所有t，p市场（t）=Pxθ？（t） =Py（Θ？（t））。（32）在瞬时远期利率方面扭转这一平衡yieldsZtfmarket（u）du=ZΘ？（t） 财政年度（u）du。公式（15）只是后者的不同形式。一般来说，尚不清楚该ODE何时允许解决方案。然而，一个简单的例子是Py是一条严格递减的贴现曲线。

在这种情况下，Pyadmitsan确实在正半直线上反转，注意到Qy。应用Qyto（32）收益率Θ？=Qy（P市场（t））。此外，递减函数的逆函数是递减的，两个递减函数的组合本身也是递增的。因此，如果Pmarketis减少，Θ？（t） 持续且严格地增加。此外，Θ？（0）=QyP市场（0）= Qy（1）=0。因此，Θ？存在，isa时钟。7.4定理2的证明从推论2可知，对于任何（非平凡）（J）具有参数Ξ的CIR过程y，存在时钟Ξ？（t） =Θ？（t；Ξ）在TC-JCIR xθ生成的曲线px之间产生一个完美的fit？t： =θ？（t） 是吗？（t） 。对于JCIR++，xх？也是如此？t、 这意味着：PxД？（t；Ξ）=p市场（t）=Pxθ？（t；Ξ），或等效地，e-Rt^1？（u） duPy（t；Ξ）=p市场（t）=Py（Ξ？（t）；Ξ) .因为y是JCIR，所以它可以在任何时间t任意接近0，因此校准约束等于强制φ？（t）≥ 0（或相当于fJCIR（t））≤ F市场（t））t型≥ 这意味着Py（Θ？（t）；Ξ) ≤ Py（t；Ξ）。因为Py（.；Ξ）是一个递减函数，所以最后一个不等式等价于Ξ？（t）≥ t、 为了证明1），我们从vY（t）（引理7）的增量开始。因此，vY（Θ？（t））≥ vY（t）自Θ起？（t）≥ t、 从（28）中，经过一些计算，我们得到ddtfJCIR（t）=4γetγκβ(γ - κ+（κ+γ）etγ）+yγ（γ- κ - （κ+γ）etγ）+ωα（2γ+（κ+γ）（etγ- 1))[2γ+（κ+γ）（etγ- 1） ]=4γetγ(γ - κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα+ 4γe2tγ(γ + κ)(κβ -yγ+ωα）+2ωα[2γ+（κ+γ）（etγ- 1)].从这个表达式可以看出，如果y<β+ωα/κandyγ，则fJCIRis严格增加≤ κβ + ωα. 如果y≥ β + ωα/κ.

否则，即，如果y<β+ωα/κandyγ>κβ+ωα，则导数的根att：=γln（γ- κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα（κ+γ）（yγ- κβ -ωα) - 2ωα.i、 例如，fJCIRis首先增加，然后减少。约束？（t）≥ 0表示所有t，简单地表示fmarket（t）≥ fJCIR（t）和soθ？（t）≥fJCIR（t）fJCIR（Θ？（t））。观察条件y=β+ωα/κ对应于vy（t）增加而fJCIR（t）减少的情况，因此（i）成立。如果fmarketi是常数，我们就有fmarket（t）≥ fJCIR（t），这意味着fmarket（t）≥fJCIR（Θ？（t））。显然，如果fmarket（t）是常数或fJCIRis递减，那么θ？（t）≥ 1、如果vy（t）增加，则vy（Θ？（t））≥ vy（t）自Θ起？（t）≥ t、 根据V[xθ？t]：=θ？（t） vy（Θ？（t））和vy（t）（引理7）、（ii）、（iii）和（iv）的变化如下。特别是，取ωα=0，我们恢复了对应于TC-CIR模型的CIR情况。7.5 PSO的Black模型在这种情况下，Black-Scholes模型的工作原理如下。我们首先注意到，forwardstart CD可以根据交易会和约定的溢价之间的差异来编写。事实上，前者相当于保护腿。在（21）中插入（22）yieldsCDSt（a，b，k）=1{τ>t}（st（a，b）- k） Ct（a，b）。付款人默认掉期选项为SO（a、b、k）=E（sTa（a、b）- k） +CTa（a、b）D（Ta）= C（a，b）E（a，b）（sTa（a、b）- k）+（33）式中，E（a，b）代表与数字C（a，b）相关的等效度量Q（a，b）下的期望值。有趣的是，从（22）中可以清楚地看出，par价差s（a，b）是[0，Ta]上的Q（a，b）鞅。因此，CDSO的Black-Scholes模型自然地假设了par分布的Q（a，b）鞅动力学dst（a，b）=σst（a，b）dWst，t≤ 其中wsa是Q（a，b）-布朗运动。最后，通过设置r，标准Black-Scholes公式给出（33）中的期望值← 0

因此，PSO的Black-Scholes价格由p-SOBlack（a，b，k，’σ）=C（a，b）[s（a，b）Φ（d）给出- kΦ（d）]，其中d=lns（a，b）k+’σTa’’σ√Ta，d=d- (R)σpta和Φ是标准正态随机变量的分布函数。参考ST。Bielecki和M.Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。斯普林格金融公司。斯普林格，2002年。T、 Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。技术报告，大阪大学金融与保险研究中心，大阪（日本），2011年。M、 Breton和O.Marzouk。评估具有早期行使特征的衍生工具的交易对手风险。《经济动力与控制杂志》，88:1-12018。D、 Brigo和A.Alfonsi。利用SSRDstochastic强度和利率模型进行信用违约掉期校准和期权定价。《金融与随机》，9:29–42，2005年。D、 Brigo和L.Cousot。CDS选项定价的SSRD模型和市场模型之间的比较。《国际理论与应用金融杂志》，9（3），2006年。D、 Brigo和N.El Bachir。SSRJD随机强度模型中违约互换期权定价的精确公式。数学金融，20（3）：365–3822010。D、 Brigo和F.Merccurio。对分析可处理和时间齐次短期利率模型的确定性移位扩展。《金融与随机》，5:369–3882001。D、 Brigo和F.Mercurio。利率模型-理论与实践。Springer，2006年。D、 Brigo和F.Vrins。理清错路风险：通过改变衡量标准和漂移调整对CVA定价。《欧洲运筹学杂志》，269:254–264，2018年。D、 Brigo、A.Capponi和A.Pallavicini。无套利双边交易对手风险评估在抵押和信用违约掉期应用下。《数学金融》，24（1）：125–146，2014年。P、 卡尔和D.马丹。使用快速傅立叶变换进行期权估值。