仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

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英文标题：
《Affine term structure models : a time-changed approach with perfect fit
  to market curves》
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作者：
Cheikh Mbaye and Fr\\\'ed\\\'eric Vrins
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We address the so-called calibration problem which consists of fitting in a tractable way a given model to a specified term structure like, e.g., yield or default probability curves. Time-homogeneous jump-diffusions like Vasicek or Cox-Ingersoll-Ross (possibly coupled with compounded Poisson jumps, JCIR), are tractable processes but have limited flexibility; they fail to replicate actual market curves. The deterministic shift extension of the latter (Hull-White or JCIR++) is a simple but yet efficient solution that is widely used by both academics and practitioners. However, the shift approach is often not appropriate when positivity is required, which is a common constraint when dealing with credit spreads or default intensities. In this paper, we tackle this problem by adopting a time change approach. On the top of providing an elegant solution to the calibration problem under positivity constraint, our model features additional interesting properties in terms of implied volatilities. It is compared to the shift extension on various credit risk applications such as credit default swap, credit default swaption and credit valuation adjustment under wrong-way risk. The time change approach is able to generate much larger volatility and covariance effects under the positivity constraint. Our model offers an appealing alternative to the shift in such cases.
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中文摘要：
我们解决所谓的校准问题，该问题包括以可处理的方式将给定模型拟合到指定的期限结构，如收益率或违约概率曲线。时间均匀跳跃扩散，如Vasicek或Cox-Ingersoll-Ross（可能与复合泊松跳跃，JCIR耦合），是可处理的过程，但灵活性有限；它们无法复制实际的市场曲线。后者的确定性移位扩展（Hull-White或JCIR++）是一种简单但有效的解决方案，被学者和实践者广泛使用。然而，当需要积极性时，转移方法通常不合适，这是处理信用利差或违约强度时的常见约束。在本文中，我们通过采用时间变化方法来解决这个问题。除了为正性约束下的校准问题提供一个优雅的解决方案外，我们的模型还具有隐含波动率方面的其他有趣特性。将其与各种信用风险应用（如信用违约掉期、信用违约掉期期权和错误方式风险下的信用估值调整）的转移扩展进行了比较。在正性约束下，时变方法能够产生更大的波动性和协方差效应。在这种情况下，我们的模型为这种转变提供了一种有吸引力的替代方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Affine_term_structure_models_:_a_time-changed_approach_with_perfect_fit_to_marke.pdf (790.99 KB)

2022-6-14 06:53:46 上传

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关键词：结构模型 Mathematical Quantitative Practitioner volatilities

一个有效的期限结构模型：具有完美市场曲线的时变方法*Louvain Finance Center（LFIN），加州大学Louvain分校，BelgiumAbstractWe解决所谓的校准问题，包括以可处理的方式将给定模型拟合到特定的期限结构，如收益率、预付款或违约概率曲线。时间同质跳跃差异，如Vasicek或Cox Ingersoll-Ross（可能与复合泊松跳跃、JCIR、a.k.a.SRJD耦合），是可处理的过程，但灵活性有限；它们无法复制实际的市场曲线。后者的确定性移位张力，即Hull White或JCIR++（又称SSRJD），是一种简单但有效的解决方案，被学者和实践者广泛使用。然而，当需要积极性时，转移策略可能并不合适，这是处理信用利差或违约强度时的常见约束。在本文中，我们通过采用一种时变方法来解决这个问题，从而得到TC-JCIR模型。在为正约束下的校准问题提供一个优雅的解决方案的基础上，我们的模型在方差方面具有传统的有趣特性。将其与各种信用风险应用（如信用违约掉期、信用违约掉期期权和错误方式风险下的信用估值调整）的转移扩展进行了比较。在正约束条件下，TC-JCIR模型能够产生比JCIR++更大的隐含波动率和协方差效应，因此在这种情况下，它为移位扩展提供了一种有吸引力的替代方案。关键词：模型校准、信用风险、随机强度、跳跃差异、期限结构模型、时间变化技术*《罗马之音》34，B-1348 Louvain la Neuve，比利时。电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.

Cheikh Mbaye的研究由比利时国家银行和FSR拨款资助。本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映比利时国家银行的观点。F.Vrins的工作得到了科学基金会F.S.R.-FNRS的支持，授予J.0037.18.1简介模型校准是金融Brigo和Mercurio（2006）许多领域的标准问题；Joshi（2003）；Veronesi（2010）。它包括调整模型，使其在给定时间“最佳匹配”市场报价。例如，金融市场提供了一组与流动性工具相关的价格，这些工具在市场上公开交易。除了风险管理（套期保值）之外，这里模型的主要目的是充当“插值/外推”工具，即获取给定时间t内市场未以透明方式披露价格的产品价值。这可能是因为要定价的产品是“异国情调”（即太“特殊”，它不在平台上公开报价，只在双边基础上），或者因为其现金流时间表与目前公开交易的att产品不一致（这种情况通常发生在“标准”产品之后）在开始时，可能有到期的时间或之后不再是“标准”的资金水平）。从数学上讲，模型校准只是一个优化问题。从一组特定金融产品（称为“校准仪器”）的一组市场报价（称为“市场价格”）开始，模型校准包括计算模型参数，以便根据一些误差函数，模型生成的价格（称为“模型价格”）最符合市场价格。模型校准在财务方面至关重要；这与套利机会密切相关。

在实践中，只有能够产生“简单工具”市场价格的模型（无论是以完美的方式，还是至少达到买卖价差）在为其他工具定价时才足够可信。例如，可以使用随机波动率模型（如Heston）以半分析的方式对奇异衍生品（如障碍期权）进行定价，Carr和Madan（1999）；赫斯顿（1993）。赫斯顿模型的参数将通过对波动率表面的“校准”来获得，即对一组液体（“普通”）期权进行校准，如欧洲各种行权和到期日的看涨期权和看跌期权。这背后的理由是，在无套利、完整的市场结构中，可以通过计算建立自我融资对冲策略的成本来获得期权的价格。该成本取决于套期工具的现行价格。如果模型未能正确定价后者，则不可能正确定价期权。在这项工作中，我们重点关注其他资产类别中出现的财务校准问题：利率和信贷Brigo and Mercurio（2006）；杜菲和辛格尔顿（2003年）。当指定利率模型为衍生工具定价时，比如伦敦银行同业拆借利率3M指数，需要确保该模型生成的贴现曲线与从伦敦银行同业拆借利率3M指数化产品的市场报价中提取的贴现曲线一致。在这种情况下，校准工具可以是远期利率协议（FRA）、利率掉期（IRS）以及普通的上限/下限或期权。类似地，针对交易对手风险调整衍生工具的价值（这是一个被称为信用估值调整或CVA的问题）通常涉及一个随机模型，以表示与之进行交易的交易对手的违约。

缔约方的违约概率可以从一组校准工具中提取，这些工具的价格由交易方的违约可能性决定，例如信用违约掉期（CDS）公司债券。在这种情况下，必须以这样的方式“校准”违约模型，即随机模型生成的违约概率曲线与相应工具价格隐含的曲线一致（参见Gregory（2010）和Stein and Pong（2011），了解CVA的总体概述，以及Brigo et al.（2014）讨论存在抵押协议的双边CVA）。校准约束引发了实际问题。事实上，行业中实际使用的模型必须具有与实时定价兼容的可跟踪性，但如上所述，必须足够灵活，以匹配校准仪器传递的信息。由于期限结构模型（ATSM）的分析可处理性，它已被广泛应用于固定收益记录中。参见，例如，Duffeeet al.（2003）和Duffeeandkan（1996），了解这类过程的优秀回顾和数学分析。在实践中，同质跳跃扩散（HAJD）模型非常流行。Vasicek（Ornstein-Uhlenbeck）模型Vasicek（1977）是一种短期利率模型，在工业界和学术界都得到了广泛应用。这是一个假设高斯动力学的时间齐次a f ne扩散模型。如果需要排除负利率，则可以首选CIR（Cox-Ingersoll-Ross，也称为平方根差异，SRD）Cox等人（1985）等正动力学，可能具有独立的复合泊松跳跃（JCIR或SRJD）。然而，这两种模型（即使在多因素设置中）都不可能实现完美的效果：HAJD的灵活性有限，通常无法生成给定的贴现曲线。

处理信用衍生品时也会出现同样的问题：通常无法确保使用HAJD dynamics建模的违约强度过程将生成与相应曲线一致的故障概率曲线，该曲线由市场通过校准仪器外部给出。可以遵循几种途径来处理此问题。第一种是忽视灵活性的缺乏。然而，在实践中，使用无法为市场带来完美效果的模型往往是不可接受的。事实上，如上所述，这些模型用于评估衍生品头寸，与市场的不匹配可能会在公司或金融机构账簿的估值中引入巨大的偏差。另一种可能性是显著增加模型的复杂性。在实践中，这通常是为了避免计算、识别或过度匹配问题。权衡包括以适合市场的方式扩展“简单模型”。事实上，几位作者表明，通过以确定性方式移动HAJD模型，可以获得极大的灵活性。例如，Dybvig（1997）表明，利率期限结构可以通过向Ho和Lee（1986）或Vasicek过程添加确定性转移来复制。后来，Brigo和Merccurio（2001）将这一想法扩展到更广泛的模型类别，从而为校准问题提供了一个简单但非常简单的解决方案。与其考虑HAJD，不如简单地用确定性函数Д对其进行调整：结果过程将具有所需的灵活性。当以这种方式转换时，Vasicek、CIR和JCIR模型分别对应于HullWhite、CIR++或JCIR++（又称SSRJD）模型Brigo和Mercurio（2006）。

这个技巧实际上非常强大：它免费解决了校准问题，因为模型的动力学仍然有效。此外，位移函数在分析上是已知的，是基础HAJD参数和模型拟拟合的市场曲线的函数。然而，这种方法克服了一个重要的限制。由于转移，转移过程的范围没有理由与基础HAJD过程的范围一致。例如，用确定性函数移动正进程可能会导致进程出现负值。这完全取决于校准仪器传递的信息与参考HAJD参数之间的不匹配。一般来说，没有理由相信隐含的移位函数会保留HAJD模型的范围。这在许多情况下是有问题的，尤其是不信任风险建模：例如，负违约强度没有任何意义。为了解决这个问题，可以考虑在校准步骤中的转移上添加一个非负性约束。但是，正如我们将要展示的那样，这极大地限制了基础HAJD的参数，因此嵌入到模型中的随机性。这就解释了为什么实践者经常不考虑这种解决方案：从理论上讲，即使需要积极性，转换方法（没有积极性约束）仍然是标准方法。似乎在缺乏有效替代方案的情况下，人们实际上更倾向于依赖一个提供完美拟合的模型，即使后者有助于避免理论上的不一致。在本文中，我们介绍了一种确定性移位的替代方法。

使用同样简单但本质上不同的技术，我们调整HAJD，以便在不影响模型的可跟踪性的情况下，在不引入前述不一致的情况下，实现完美的市场曲线。更具体地说，我们改变时间，而不是改变一个HAJD。1965年，Dambis（1965）首次研究了时间变化技术；Dubins和Schwartz（1965年）。第一次申请融资可追溯到2000年初。Geman et al.使用Dl'evy流程并将新的时间尺度解释为业务时间，与Calendar time Geman et al.（2001）形成对比。然后将其应用于随机波动率模型Carret al.（2003）。多亏了次级L’evy模型，作者引入了杠杆效应以及长期倾斜。Swishchuk（2016）的评论中可以找到许多其他时间变化技术的财务应用。最近，门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）利用随机时变过程在正过程中引入了双边跳跃。结果模型的分析可处理性在一定程度上得到了保留。该模型最近已应用于交易对手信用风险Mbaye和Vrins（2018年）。在这项工作中，我们以另一种方式利用时间变化的思想来解决一个完全不同的问题。我们的目的是对HAJDs进行时间更改，以获得具有所需校准灵活性的模型，而不影响可跟踪性并保持原始过程的范围。直觉是，通过以适当的速率降低或加快潜在HAJD的时间，可以获得一个能够拟合大多数贴现曲线的模型，实际上可以拟合每个违约概率曲线。此外，使用简单的数值方法（即简单函数或普通微分方程的反演）很容易找到时间变化函数。

最终，与相应的有效（即非负）移位HAJD相比，我们的时变HAJD被证明具有更大的隐含波动性。为了说明我们的方法的威力，我们提供了两个来自信贷的应用：CDS期权的定价和衍生工具价格的计算在风险敞口信贷依赖（错误方式风险，WWR）下交易对手风险的计算。在任何情况下，所有考虑的违约模型都完全符合从参考实体CDS相关市场报价中提取的风险中性违约概率曲线。所获得的结果说明了隐含波动率大的特点：与在非负性约束下在相同概率曲线上校准的移位方法相比，它们能够产生更大的期权价格。最后，请注意，虽然我们在对信用敏感工具进行定价时重点关注简化模型的示例，但我们的方法在金融和保险的许多领域对其他模型都有潜在的用途。正在进行的研究表明，它可以应用于其他默认模型，包括固定价值（结构）模型Merton（1974），也可以应用于线性（多项式）模型Filipovic et al.（2017）。也可以考虑其他模型，如Jeanblanc和Vrins（2018）或Cr'epey等人（2012）。在应用方面，建议的方法可用于人寿保险，将死亡率校准到死亡率表中。我们的时间变化过程也可用于模拟抵押贷款支持证券（MBS）的提前还款率。由于利率和提前还款率之间的负关系，这些产品自然表现出负凸性：当利率下降时，户主倾向于为贷款融资。

这需要随机提前还款（即正）利率，该利率与利率负相关，并且可以校准哪些参数，以便与PSA度量中给出的平均值一致，PSA度量是MBS证券附带的指标，表征了MBS Veronesi（2010）中的提前还款速度。最终，所提出的方法可以应用于许多其他应用，包括器件或材料随时间性能退化的建模，根据一些质量标准给出了平均优异性能演变。本文的组织结构如下。第2节介绍了校准问题，并讨论了两种具体情况（现金流贴现和概率曲线）。然后，我们在第3节中讨论了时间齐次跳变差的移位版本如何影响每一条计数曲线。我们特别关注结果过程需要满足正性约束的情况。然后，我们在第4节中介绍了我们的替代模型，专门针对本案例，重点介绍了最常见的HAJD，即Vasicek和JCIR（推广CIR）模型。最后，我们在第5节中比较了我们的模型与Shift方法在三个不同的信贷风险定价问题上的表现：CDS曲线校准、CDS期权定价和错误方向风险下的信贷估值调整定价。2校准问题考虑给定的时间-市场曲线p市场（t），t≥ s