仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

校准问题包括确定给定模型的（一组）参数Ξ=Ξ？根据某些标准，相应的模型曲线Pmodels（t）=Pmodels（t；Ξ）“最佳拟合”市场曲线。从数学上讲，这是一个优化问题，包括找到一组参数，以最小化模型和市场价值之间的误差函数，Ξ？：=arg minΞkPmodels（·；Ξ）- P市场（·）k，（1）其中kf（·）- g（·）k表示两个函数f，g之间的散度度量。在实践中，通常计算f和g之间在一组最成熟的函数上的均方误差（MSE）：={T，…，Tn}：kf（·）- g（·）k：=nnXi=1f（Ti）- g（Ti）. （2） 当ERPModels（t；Ξ）=Pmarkets（t）时，一个带有参数Ξ的模型可以完美地拟合到地平线t的市场≤ t型≤ T或使用简写符号，Pmodels≡ P市场。2.1设置模型可以是静态的，也可以是动态的。例如，Nelsen-Siegel模型Nelson和Siegel（1987）假设收益率曲线为参数形式，但为静态模型：结果曲线与随机模型动力学生成的收益率曲线不对应。在续集中，我们重点关注连续时间动态模型。我们考虑一个没有套利机会的无摩擦市场，其中交易在时间间隔[0，T]内持续进行，其中T是一个固定的时间范围。通过过滤概率空间对市场的不确定性进行建模(Ohm, G、 G，Q）。在此设置中，G=（Gt，t∈ [0，T]）表示信息流，对应于随机市场变量（风险因素、价格、利率、违约强度、违约事件等）生成的过滤，G：=GT，Q表示风险中性概率度量，称为定价度量。

在续集中，我们将重点关注一类特定的pmodel和Pmarketfunctions：我们假设它们是折扣曲线，这是我们现在定义的一组函数。定义1（贴现曲线）。时间折扣曲线是MPS的任何可微分函数：[s，∞) → R+，t 7→ 满足Ps（s）=1的Ps（t）。在s=0的特殊情况下，时间0贴现曲线P（t）简称为贴现曲线，并注明为P（t），隐含假设t≥ 任何时间-秒折扣曲线都允许从引理1得到一个指数积分。每个time-s贴现曲线Ps都用time-s瞬时远期利率曲线fs表示：Ps（t）=e-Rtsfs（u）du，t≥ s、 此外，如果Ps（t）在（s）上严格递减，∞), 那么对于所有的t>s证明，fs（t）都是严格正的。因为所有t的Ps（t）>0≥ s和Ps（t）相对于t on（s）是不同的，∞), 然后可以将时间s瞬时正向速率函数定义为fs（t）：=-1Ps（t）ddtPs（t）=-所有t>s的ddtln Ps（t）；fs（s）值未确定，但可通过以下方式确定，例如，限制为t↓ s、 此外，如果Psis在上严格递减，∞) 那么，所有t>s的fs（t）>0。贴现曲线在金融中至关重要。正如名称所示，Ps（t）允许计算在时间t支付的现金流的时间s值≥ s、 在无信用风险和信用风险的环境中。作为第二个框架的特例，它们包含生存概率曲线，定义为一减累积分布函数。这将在接下来的两个小节中详细阐述。2.1.1无违约市场中的贴现在本应用程序中，Ps（t）代表以给定货币计价的到期日为t、面值为1的无风险零息债券（ZCB）的时间-秒价格。

特别是，Pmarkets（t）和pmodels（t；Ξ）分别给出了该工具的市场价格和模型价格。事实上，在无套利设置中，在给定到期日支付单一现金流（Payoff）的金融工具的价格由Payoff的风险中性条件预期给出，从支付日（到期日）到估值日以无风险利率贴现。采用短期利率模型，Pmodels（t）对应于随机贴现因子Ds（t）的Q-期望：=e-Rtsrudu，无风险短期利率过程r的负指数，从估价时间s到付款时间t，以定价时间Brigo和Mercurio（2006）的信息为条件：Pmodels（t）=E[1Ds（t）| Gs]=Ehe-RtsruduGsi=：Prs（t）。在这种情况下，我们的目标是找到一个模型x来描述无风险短期利率动态Rth，该模型将足够容易处理，并为任何收益率曲线提供一个完美的拟合，该曲线给出了到期日不断增加的零息银行价格集。2.1.2贴现在可违约市场中，采用与之前相同的框架，在时间t支付一单位货币的零息票债券的时间s价格≥ s取决于发行人在付款日期之前没有违约这一事实，由与之前类似的表达式给出。有必要将无风险支付函数1替换为有风险的，即1{τ>t}，其中随机变量τ表示发行人的违约时间，1是指标函数，如果A为真，则定义为1，否则定义为零。数学上，Pmodels（t）=E{τ>t}Ds（t）Gs公司=:(R)Prs（t）。在这种情况下，“PRS”对应于风险贴现，其中“风险”一词是指发行人不履行其财务义务的可能性。要继续，我们需要对默认事件建模。为此，我们考虑一个简化形式（也称为强度）默认模型。

我们请读者参阅Duffee和Singleton（1999）和Lando（2004），以了解这类模型的广泛阐述。在此框架中，默认时间τ：=τ（λ）定义为过程的通过时间∧：=（t，t∈ [0，T]）定义为∧T：=单位平均指数随机变量E上方的Rtλsds，与其他过程无关。过程λ是一个强度，也就是说，它是正的，因此∧几乎肯定是递增的。在此模型中，默认事件{τ≤ t} 建模为{∧t≥ E} 生存概率由Q（τ>t）=Q（λt<E）=Q给出U<e-∧t= Ee-∧t,其中U：=e-Eis是均匀分布在[0，1]上的随机变量。在许多情况下，可以证明函数“Prs（t）”是时间-秒贴现曲线。为了证明这一点，我们首先定义了一个子过滤F，使得除具有τ的过程（即具有e或U的过程，独立于FT）外，所有过程都是F自适应的。然后，我们确定第二次过滤H=（Ht，t∈ [0，T]），默认过程生成的过滤Ht=σ（1{τ<u}，u<T）。最终，通过逐渐增大F（H:G=F）来恢复总过滤G∨H、 因此，τ是G-停止时间，而不是F-停止时间。在这种情况下，可以在提供无风险ZCB的时间-s价格的表达式中用Fs替换gss:Prs（t）=E[Ds（t）| Gs]=E[Ds（t）| Fs∨ Hs]=E[Ds（t）| Fs]。随机微积分的一个中心结果是所谓的关键引理。这个基本理论允许我们把X1{τ>t}的Gs条件期望写成Xe的Fs条件期望-Rtsλudu，对于每个可积和Ft可测的随机变量X，重新标度为1{τ>s}。它最初是由Dellacherie和Meyer Dellacherie和Meyer（1980）提出的，尽管Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski Bieleckian和Rutkowski（2002）提出了它在金融应用中的用途（参见，例如，Bielecki et al。

（2011）关于信用风险的众多例子，Brigo和Vrins（2018）关于交易对手信用风险的具体应用）。将关键引理应用于收益率以上的风险ZCB公式，X← e-Rtsrudu，(R)Prs（t）=1{τ>s}Ehe-RtsλuduDs（t）Fsi=1{τ>s}Ehe-Rts（λu+ru）duFsi=：1{τ>s}Pλ+rs（t）。最终，在特殊情况下≡ 0，因此“Prs（t）”塌陷为“Prs（t）=E{τ>t}| Gs= Q（τ>t | Gs）=1{τ>s}Pλs（t）。因此，在事件{τ>s}上，\'Prs（t）=Pλs（t）符合与τ相关的生存概率函数，条件是Gs。在这一特定背景下，我们对模型x感兴趣，该模型能够描述强度过程λ的动力学，该过程足够容易处理，并提供从公司债券或信用违约掉期（CDS）等可违约工具的价格中提取的任何有效生存概率曲线的完美拟合。备注1。请注意，与速率相反，当x表示强度过程λ时，非负性是一个正式要求，而速率可以（其中一些速率目前可以）取负值。以“负强度”为特征的默认模型在理论上是错误的，并且是有问题的。事实上，将事件{τ>t}建模为{∧t<E}会产生一个生存指标过程1{τ>t}，该过程可能会上下跳跃，即参考实体可能会“复活”。当然，可以考虑使用第一个通过时间替换默认事件，从而将默认时间定义重新定义为τ：=inf{t≥ 0：∧t≥ E} 。然而，由于在这种情况下，Q（τ>t）不再与Q（λt<E）=Ehe一致，因此失去了生存概率的可分析性-Rtλudui=Pλ（t）。

x≥ 当0表示信用价差时，0约束也是一个自然要求。2.2完美问题方程（1）表明，校准问题包括确定给定模型的参数，以将市场曲线和模型曲线之间的差异降至最低，直至时间范围。然而，很明显，模型类的选择也将产生重大影响。实际上，根据所选的模型，误差函数的最小值可以是大的、小的甚至是零，在这种情况下，可以获得完美的fit。受第2.1节所述财务问题的启发，我们考虑了以下与完美IT约束直接相关的问题（在给定的时间范围t内，即在续集中隐含的问题）。第一种方法不会对要考虑的过程x施加任何约束。问题1。找到一个可处理的过程x满足pxs（t）：=Ehe-RtsxuduFsi=t的Ps（t）∈ [0，T]和每个给定的贴现曲线Ps。根据手头的应用程序，可能需要对x施加额外的约束。正如风险贴现示例所示，非负性是一个关键因素。这导致我们考虑第二个（受约束的）问题。问题2。找到一个可处理的正过程x（即，使得Q（xt≥ 对于所有t，0）=1且Q（xt>0）>0∈ [0，T]）满足pxs（T）：=Ehe-RtsxuduFsi=t的Ps（t）∈ [0，T]和每一个严格递减的贴现曲线Ps。在这两个问题中，可处理性指的是模型校准（1）——即参数空间上的优化功能——在计算上并不太繁琐。解决这个优化问题通常需要多次迭代，因此需要对目标函数进行多次评估。

这表明，该模型的一个非常理想的特征是允许Pmodelor的闭合形式表达式，至少后者可以在不依赖耗时的数值方法（如蒙特卡罗模拟）的情况下进行计算。为了解决这两个问题，我们考虑最容易处理的模型族，即一个过程和更具体的时间齐次过程。事实上，对于一个单因素模型y：=（yt，t∈ [0，T]），许多表达式在分析上可用，对于其集成版本Y：=（Yt，T∈ [0，T]），Yt：=Rtyudu。尤其是Pys（t）：=Ehe-Rtsyudu公司fsi仅仅是Yt的条件矩母函数- Ys，t≥ s、 3.1有效流程和有效跳跃差异正如导言中所述，ATSM模型在金融中被广泛使用，因为它们提供了一个吸引人的建模框架：它们很稀少，经验证据表明它们对市场动态的描述相对较好。菲利波维奇（2005）对A ffine模型进行了如下描述。定义2（一个完整的流程）。一个有效过程是任何过程y满足pys（t）：=Ehe-Rtsyudu公司Fsi=eAys（t；Ξ）-Bys（t；Ξ）ys=：Pys（t；Ξ）（3），其中Ξ是控制y和Ays的（一组）参数，Bys是满足Ays（s；Ξ）=Bys（s；Ξ）=0的可微分函数。如果A、B函数已知，分析形式（3）将极大地促进校准程序，例如（1）当考虑的PModel函数采用（3）中的条件期望形式时，如无风险和风险贴现应用程序所示。这解释了为什么这样的模型在期限结构建模中如此流行。对于这些过程，函数Pysis因此为每个s定义得很好，为正，满足s=1。

因此，在定义1的意义上，这是一条时间折扣曲线，因为它在（s，∞). 例如，当r和λ分别是a ffne过程时，上述两个示例中的prs和Pλ是时间-s贴现曲线。众所周知（参见Brigo和Mercurio（2006）和Duffee和Kan（1996）），具有漂移和扩散系数的每一次扩散都是一个过程，其规律足以使溶液存在。类似地，具有此类漂移和方差系数以及独立复合泊松跳跃（即，根据泊松过程呈指数分布的跳跃）的每个跳跃差异也是一个函数。定义3（A ffine jump Diffusions，AJD）。如果随机过程y的动力学形式为dyt=（A（t）+b（t）yt）dt+pc（t）+d（t）ytdWt+dJt（4），其中W是F-布朗运动，J是独立于W的F-适应复合泊松过程，根据Jt定义：=PNtj=1ζi，其中N是具有瞬时跳变率ω（t）的泊松过程，则称为有效跳变≥ 0和ζi是i.i.d.指数分布的随机变量，平均值为α≥ 在参数（a、b、c、d、α、ω）恒定的特殊情况下，y表示时间齐次，或简单齐次，或HAJD。如上所述，当a、B以封闭形式已知时，a ffine模型在我们的上下文中特别相关。哈杰德就是这样。三种重要的同质情况是Ornstein-Uhlenbeck、平方根扩散和平方根跳跃扩散。第一个模型，即广为人知的Vasicek（VAS）模型，对应于（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ、 η，0，0，0）和y∈ R、 第二个模型是CoxIngersoll-Ross和（CIR），与（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ、 0，δ，0，0），y，β>0。

最终，JCIR是CIR的扩展，与参数（a（t）、b（t）、c（t）、d（t）、α、ω（t））=（κβ、，-κ, 0, δ, α, ω). 在所有模型中，平均逆转κ的速度都假设为正。当初始值是参数的一部分时，我们注意参数setΞ。与高斯模型VAS相比，CIR和JCIR模型是非负的。我们在附录（第7.1节）中回顾（并推导）这些过程的一些性质，以供进一步参考。观察两个a ffne进程x，y的和，一般来说，不是a ffne进程。因此，不清楚风险贴现曲线Pλ+RSI是否为时间-s贴现曲线，即使在简单的情况下，r、λ均为有效过程。附录（第7.2节）讨论了一些特殊情况。在续集中，我们考虑了一个特定的定价时间，比如s=0而不失去一般性，为了简洁起见，我们去掉了观察时间下标。像VAS、CIR和JCIR这样的HAJD模型似乎适合解决问题1和2。不幸的是，除了在非常特殊的情况下，它们不允许对给定的贴现曲线P进行完美拟合。实际上，对于这种类型的过程x，通常不可能找到（或）这样的Pmodel：=Px（·；Ξ）≡ P，甚至达到有限的地平线T。3.2确定性转移延伸起点是要注意，同质模型的有限容量是由其刚性参数形式造成的。因此，一个有趣的途径是考虑一系列被定义为基本HAJD模型y的时间依赖变换的模型，这样模型的可伸缩性就不会受到影响。在本节中，我们回顾一般的确定性移位扩展方法。后者已在开创性论文Brigo和Merccurio（2001）中引入，以便准确地解决校准问题，如问题1。

在该模型中，x：=xД被定义为一个HAJD（y），该HAJD（y）使用确定性函数Д：xДt：=yt+Д（t）以时间相关的方式移动。（5） 有趣的是，Pmodel（t）：=PxД（t；Ξ），其中xД保持不变（虽然不再均匀），因此在校准方面可以分析，因为：PxД（t；Ξ）=eAxД（t；Ξ）-BxΞ（t；Ξ）x with axΞ（t；Ξ）=Ay（t；Ξ）-ZtΞ（u）du+By（t；Ξ）Ξ（0），BxΞ（t；Ξ）=By（t；Ξ）。很明显，xД的动力学很容易从y的动力学中获得。事实上，假设y=u（t，yt）dt+σ（t，yt）dWt+dJt，（6）xД的动力学读取，当Д是可区分的，asdxДt=dyt+Д（t）dt=（u（t，xДt-Д（t））+Д（t））dt+σ（t，xДt-Д（t））dWt+dJt，xД=y+Д（0）。可以证明，在y是HAJD的特定情况下，x仍然是AJD，即使不再均匀，除非（t）是常数。例如，如果y的动力学服从（4），则xД由相同类型的动力学控制，因为xДt=（aД（t）+b（t）xДt）dt+qcД（t）+d（t）xДtdWt+dJt。（7） 式中，aД（t）：=a（t）+Д（t）- b（t）Д（t）和cД（t）：=c（t）- d（t）Д（t）。正如Brigoand Merccurio（2001）所指出的，无论基础模型y、参数Ξ和贴现曲线pMarket如何，都始终存在一个移位函数Д（t）=Д？（t；Ξ）在xΞ模型和市场之间提供了完美的配合。下一个引理对此进行了总结。备注2。移位方法可能看起来很可疑：将确定性函数添加到astochastic过程中可以说是一种在一定程度上艺术化的方法，以确定模型在校准方面的局限性。然而，从（7）中可以清楚地看到，以确定性方式移动模型实际上意味着要考虑非均匀模型。例如，Vasicek模型（a（t），b（t），c（t），d（t））=（0，-κ、 η，0）随Д（t）移动←Rtβ（s）e-κ（t-s） ds产生一个HAJD，其中（a（t），b（t），c（t），d（t））=（κβ（t），-κ、 η，0），称为Hull White（HW）模型Hull and White（1990）。