仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

此外，后者本身是Heath-Jarrow-Morton（HJM）模型Heathet al.（1992）的一个特例，该模型包括用dfs（t）=u（s，t）dt+ηe对整个瞬时正演曲线fs（t）进行建模-κ（t-s） dws其中漂移u（s，t）由无套利给出，前提是初始贴现曲线和长期平均值服从关系β（t）=ddtf（t）+κf（t）+η2κ（1-e-2κt）。因此，只要取f（t），任何瞬时远期曲线f市场（因此贴现曲线P市场）都可以用任一模型拟合← f市场（t）作为初始曲线（HJM），对应的长期平均值β（t）（HW），或相关的位移ν（t）（位移Vasicek）。这些模型在从业者中非常流行，主要是因为它们能够复制市场曲线，即解决问题1。引理2。根据（5）定义的x模型，其中y是HAJD解决了问题1，前提是Д（t）← φ?（t；Ξ）：=ddtlnPy（t；Ξ）P市场（t）=F市场（t）- fy（t；Ξ）。（8） 其中，fmarket和fy分别是与PmarketandPy相关的瞬时远期利率函数。证据事实上，因为y是一个HAJD，py是一条贴现曲线，从引理1来看，它接受了远期利率fy的表示。根据假设，Pmarket也是如此。最终，PxΞ（t；Ξ）=Ehe-Rtxudui=e-Rt^1？（u；Ξ）duEhe-Rtyudui=e-RTF市场（u）du=P市场（t）。自fy（t；Ξ）=-ddtln Py（t；Ξ）可以闭合形式计算。值得注意的是，对于给定的模型y，可以为每个参数Ξ获得完美的fit。这表明校准问题（1）是不适定的。实际上，Ξ的选择是完全任意的，因为PxΞ和pmarketc之间的误差可以为任何Ξ设置为零，前提是选择Ξ（t）← φ?（t；Ξ）。特别是，可以采用空过程fory和Д（t）=fmarket（t）。

这一琐碎的选择会导致xД确定性，这很可能不是预期的结果。因此，规避这种不确定性的一种常见做法是：（i）扩展校准工具集，纳入对波动性敏感的产品（如上述资产类别中的利率或信贷选项），或（ii）要求y模型“尽可能最好地”适应市场（以获得？）然后取Д（t；Ξ？）作为移位函数：Pmodel（t）：=PxΞ（t；Ξ？）whereΞ？：=arg minΞkPy（·；Ξ）-P市场（·）k，Д（t）← φ?（t） ：=^1？（t；Ξ？）。（9） 当市场上没有或很少引用“波动敏感”工具时，这种方法尤其重要。因此，这种转变的作用仅仅是补偿市场曲线pmarket与“最佳”参数模型Py（·；Ξ？）生成的曲线之间的剩余差异。在VAS、CIR或JCIR模型上添加一个偏移，分别产生了Hull White、CIR++或JCIR++，Brigo和Mercurio（2006）。备注3。在吸引人的a ffne结构的顶部，移位模型具有很强的可处理性，因为该过程的许多统计特性都是以闭合形式提供的。事实上，如第7.1节所述，时间齐次a fine模型y的第k阶矩my（k，t）：=E[ykt]和矩母函数（MGF）ψy（u，t）：=E[euyt]，以及它们的时间积分Yt：=Rtyudu，my（k，t）和ψy（u，t）的解析方法是已知的。由于移位结构很简单，因此可以很容易地获得xД的相应表达式，即移位模型。例如，牛顿二项式公式给出的xИ和xИ皮重的第k阶矩应用于（yt+Д（t））KandMGF简单地崩溃为ψxД（u，t）=euД（t）ψy（u，t）和ψxД（u，t）=euRtД（s）dsψy（u，t）。3.3处理上面讨论的正约束，确定性移位扩展很好地解决了问题1。

然而，为了解决问题2，首先考虑非负的基本过程y。然而，没有理由认为转移的过程xД将保持非负。例如，以CIR dynamics fory为例，当且仅当minu∈[s，t]Д（u）≥ 从（8）中，移位函数取决于y模型（及其参数Ξ）和市场曲线。备注4。观察优化问题（9）与非负移位函数相矛盾。实际上，通过构造Ξ？，Py（·；Ξ？）通过Pmarket。因此，换档Д（t）← φ?（t；Ξ？）将导致完美的结局，但将纠正消极和积极的错误。换句话说，Д将改变符号。因此，此策略无法为问题2提供有效的解决方案。这将在第5.1节中的一个实例中加以说明。为了满足问题1中提到的非负性约束，需要在最佳参数处对移位施加非负性约束。移位函数负正性约束用符号Д？表示+（t） 强调与不受约束的对手的差异，^1？（t） 。引理3。设y是[0，T]上非负的HAJD，参数为Ξ？由Ξ？，+：=arg minΞkPy（·；Ξ）- P市场（·）k受fy影响（t；Ξ）≤ F市场（t）， 0≤ t型≤ T（10） 然后，xД-模型（5）和Д（t）← φ?,+（t） ：=^1？（t；Ξ？，+）解决了问题2。请注意，Hull-White模型是一个Vasicek模型，其中长期平均参数被时间的非确定性函数替换。证据瞬时正向速率的条件确保换档功能Д+将在[0，T]上为负；从（8）中可以明显看出这一点。因此，由于y被假定为非负的，因此移位过程xД也是非负的。

此外，取Д（s）← φ?（s；Ξ）通过构造为每个Ξ生成一个完美的fit，包括Ξ=Ξ？，+。请注意，始终存在一组参数Ξ，以满足约束。实际上，与确定性情况y相关的所有参数Ξ≡ 0屈服fy（·；Ξ）≡ 很明显，由于假设pmarket严格递减，fmarket（t）严格为正，因此满足了约束条件。该变化仅由市场远期利率（t）给出← φ?,+（t） =F市场（t）。然而，琐碎的过程参数可能不是satosfactory。为了处理问题2，我们需要考虑一个非负基模型y。鉴于我们关注HAJDs，我们考虑CIR和JCIR模型。为了区分这两个移位模型，我们将S-（J）CIR称为（J）CIR过程，用ν（t）移位← φ?（t） =^1？（t；Ξ？）（即，无正性约束，参数Ξ？由（9）给出）和PS-（J）CIR（J）CIR过程随ν（t）移动）← φ?,+（t） =^1？（t；Ξ？，+）（即，在正约束下，参数Ξ？由（10）给出）。尽管PS-（J）CIR同时考虑了完美性约束和非负性约束，但有人可能会认为它不如（J）CIR那么容易处理。事实上，由于瞬时向前的约束，优化问题（10）比（9）更困难，即使可以找到一些参数的有效条件。其次，而且可能更重要的是，这个约束是绑定的，因为它通常会深刻影响最佳参数Ξ？，+。即使最优解不太可能对应于不确定的情况，它通常会产生与具有“小随机性”的速率相关的动力学。第5节将首先通过比较综合S-CIR和PS-CIR流程的差异以及处理金融应用程序时的影响来说明这一点。

（Brigo和Mercurio，2006年，第3.9.3节，第107-109页）讨论了这两点。为了在利率框架中规避这一问题，作者建议放松严格的积极性约束。通过在预期积极性但无法保证积极性的环境中工作，他们获得了一个在隐含波动率水平方面产生更现实结果的过程。这在这样的背景下是完美的，因为利率的正性可能是可取的（在某些情况下），但零绝不是严格的下限（无论是理论上还是实践上）。然而，在对违约强度进行建模时，这是一个更大的问题，因为这类应用程序既需要严格的正性，也需要较大的波动性。在不打破Feller约束的情况下增加CIR++过程的方差可以通过合并复合Poisson跳跃（JCIR++）来实现，但不幸的是，增加跳跃活动，同时保持对给定市场曲线的校准在正性约束下是困难的。实际上，当增加跳跃活动时，隐含移位函数的最小值会下降，因为fJCIR（t）的差异- fCIR（t）为非负，且随着ω，α的增加而增加，ω>0（见附录，第7.1.3节）。这一观察结果与（8）相结合，导致JCIR++的移位函数Д低于相应的CIR++。因此，需要一种替代CIR++和JCIR++的方法，将（i）可跟踪性，（ii）预测特征，（iii）巨大的隐含波动性和（iv）积极性结合起来。4确定性时变扩展为了避免确定性移位扩展在问题2方面的缺点，我们提出了一种不同的方法。

本着与转变相同的精神，我们的目标是通过调整时间同质模型y来找到一个模型X，这将受益于一组理想的属性。4.1模型设置通过使用可能不同于日历时钟的特定（但确定性）时钟改变HAJD y来获得x模型。时钟是一种时间变化函数，可以区分身份，但具有特定属性。定义4（时钟）。时钟是一种应用程序：R+→ R+，t 7→ Θ（t）是一个接地的、递增的和可区分的。换句话说，时钟是形式为Θ（t）：=Ztθ（u）du的任何函数，其中θ（u）>0， u≥ 0 .显然，Θ（t）=t是日历时钟，形式为Θ（t）=kt，k>0的任何函数都会获得一个时钟，对应于日历时间的恒定重缩放。通过增加扩散参数δ来增加CIR++过程的波动性只是打破了Feller的条件（2κβ≥ δ） 并导致一个强度过程，在给定的时间间隔内几乎肯定等于零。与（5）类似，我们将我们的模型定义为x=xθ，从基本过程y的以下变换中获得：xθt：=θ（t）yΘ（t）。（11） xθ的动力学由Ito积规则给出。确定过程yθ：=yΘ（t），t∈ [0，T],一个getsdxθt=yθtdθ（t）+θ（t）dyθt，（12），其中yθ的动力学在下面的引理中给出。引理4。设Θ为时钟，考虑具有动力学（6）的基本模型y。然后，yθ的动力学采用形式dyθt=uΘ（t），yθtθ（t）dt+σΘ（t），yθtpθ（t）dBt+dJθt，yθ=y（13），其中B是Fθ-布朗运动，Fθ：=（FΘ（t），t∈ [0，T]）和Jθ一个具有跳跃大小平均值α和时间T强度ωθ（T）的非齐次复合泊松过程。证据

根据定义，我们有yθt：=yΘ（t）=y+ZΘ（t）u（u，yu）du+ZΘ（t）σ（u，yu）dWu+ZΘ（t）dJu。因此，ZΘ（t）u（u，yu）du=ZtuΘ（u），yΘ（u）θ（u）du=ZtuΘ（u），yθuθ（u）du，and zΘ（t）σ（u，yu）dWu=ZtσΘ（u），yΘ（u）dWΘ（u）=ZtσΘ（u），yθupθ（u）dBu。实际上，Θ是一个时钟，因此θ>0，进程Wθ：=（WΘ（t），t∈ [0，T]）是一个具有二次变化hWθ，Wθit=Θ（T）的局部鞅。Jeanblanc等人（2009年）的过程B：=（Bt，t∈ [0，T]）定义为：Ztpθ（u）dWΘ（u）（14）是布朗运动。区分yθt等于（13）。关于compoundedPoisson过程，请注意dJt=ζntdnand dJθt=dJΘ（t）=ζNΘ（t）dNΘ（t）。过程Nθ定义为Nθt：=NΘ（t）是一个具有瞬时强度ωθ（t）的泊松过程。因此，Jθ的动力学由Jθ=0和ζNθtdNθt给出，因此Jθ是一个具有跳跃大小平均值α和时间t瞬时跳跃到达率ωθ（t）的复合泊松过程。这种模式看起来很有吸引力，原因有几个。首先，正如移位扩展一样，它是对基本模型的一种决定性调整，因此当latteris（例如，HAJD）出现时，它预计是可处理的。第二，因为xθ是在时间Θ（t）采样的过程y的正重缩放，因此xθ的范围与y的范围相关联。特别是，如果y的范围是R，对于Vasicekmodel，则xθ的范围也是R。然而，如果y在（J）CIR情况下是非负的，那么sois xθ。因此，这解决了与问题2相关的移位方法的缺点。最终，时钟速率θ的时间依赖性特征有望为xθ相对于齐次模型y的校准特性提供额外的灵活性。在这方面存在两个主要问题。首先，我们需要澄清模型提供完美时钟的情况。其次，如果可以实现完美时钟，我们需要提供一个有效的程序来计算得到的“最佳时钟”？。

所要付出的代价是，与轮班延期相比，时变模式并不完全灵活。实际上，从给定的模型y开始，xθ模型只能生成折扣曲线的特定形状。因此，我们更依赖于基础模型y的初始选择。幸运的是，结果表明，对于一系列广泛的市场曲线，包括问题2中考虑的所有递减贴现曲线，可以实现完美的拟合。这显然是最重要的情况，因为（i）它对应于转换方法无法提供令人信服的解决方案的情况，以及（ii）这可能是实践中最常见的情况，因为它包括具有非负利率（或更一般地，具有非负瞬时远期利率）的贴现曲线，以及所有连续生存概率曲线的集合。此外，即使时钟的数学表达式Θ？在封闭形式下不可用，其数值计算结果很容易。这使我们得出了本文的第一个基本结果。定理1。让Pmarketbe为折扣曲线，y为模型，使py为折扣曲线。定义xθ模型，如（11）所示。那么，Pxθ≡ PmarketprovidedΘ← Θ?在哪里？满足一阶ODEθ？（t） ：=滴滴涕？（t） =fmarket（t）fy（Θ？（t）），（15）与fmarket，fy对应的瞬时正向曲线。此外，如果Pmarketand Pyare严格递减，则（15）的解存在，是一个时钟，由Θ给出？（t） ：=QyP市场（t）, （16） 式中，Qy是基本模型贴现曲线Py的倒数。当不可能混淆时，避免显式引用模型参数Ξ，以简化旋转。证据见第7.3节。观察最佳时钟Θ？实际上取决于y型参数Ξ。就像换班一样，我们真的有？（t） =Θ？（t；Ξ）。虽然可以使用其他框架，但我们设置了Ξ=Ξ？如（9）所示。

与移位法中的函数Д类似，锁定的目的是吸收Py（·；Ξ？）之间的剩余误差和P市场。4.2时变齐次微分在移位延拓中，时变模型xθ的可处理性水平与基本模型y相似。实际上，第k阶矩是mxθ（k，t）=θ（t）kmy（k，Θ（t）），矩母函数是ψxθ（u，t）=euθ（t）ψy（u，Θ（t）），而xθt的矩母函数是ψxθ（u，t）=eu（t）ψy（u，Θ（t））。因此，通过将HAJD过程视为基模型y，可以得到一个可处理的模型xθ。我们通过分析可以通过考虑Vasicek过程和JCIR过程来解决的两个校准问题来说明我们的方法。从引理4可以清楚地看出，在y是HAJD的特殊情况下，xθ是非均匀跳跃扩散（AJD）的缩放版本，除非θ（t）是一个正常数，在这种情况下它仍然是HAJD。要看到这一点，假设y的动力学服从（4）。从引理4，yθ由dyθt控制=a（Θ（t））+b（Θ（t））yθtθ（t）dt+qc（Θ（t））+d（Θ（t））yθtθ（t）dBt+dJθt.（17）有趣的是，yθ仍然是AJD。在续集中，我们将重点讨论基本模型y是HAJD的特殊情况，即采用具有常数参数（a（t）、b（t）、c（t）、d（t）、α、ω（t））=（κβ，-κ, η, δ, α, ω).

为了简化符号，我们使用向量Ξ=（κ，β，η，δ，α，ω）指定模型参数。4.2.1时间变化的VasicekOur时间变化方法可以很容易地用于解决问题1，在最常见的情况下，如果正向曲线为正，则正向曲线为任意曲线（单调、驼峰等）。由于对过程xθ的范围没有限制，让我们假设基本过程的Vasicek动力学参数为Ξ=（κ，β，η，0，0）：dyt=κ（β- yt）dt+ηdWt，y∈ R与该模型相关的正向曲线由fy（t）=fVAS（t）：=fVAS（t）in（24）：fVAS（t）=（1）给出- e-κt）κβ- η/2κ+η2κe-κt（1- e-κt）+ye-κt.（18）因此可用于选择合适的Vasicek模型。下一个推论为生成递减贴现曲线提供了指导，这与最常见的正瞬时远期相关。推论1。让Pmarketbe成为一条严格递减的市场曲线。然后，对于每个参数满足y的Vasicek模型≥ 0和2κβ>η，存在时钟Θ？这样Pxθ≡P市场。证据因为y是一个Vasicek过程，所以Py是一条贴现曲线。此外，条件y≥ 0和2κβ>η保证正向曲线（18）严格为正，因此Py严格降低。根据定理1，时钟Θ？存在，由（15）给出，Fy在（18）中给出。注意，时间变化的Vasicek模型xθtare的动力学由（12）给出，其中dyθt=κ（β- yθt）θ（t）dt+ηpθ（t）dBt，yθ=y，表明yθ仍然是高斯过程。完美拟合严格递减折扣曲线（对过程没有进一步的约束）是问题1的特例，也可以使用shift方法（5）通过取x← xх，其中y是具有任意参数Ξ和Д（t）的Vasicek← φ?（t；Ξ）=F市场（t）-fVAS（t）。