仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

时间变化法的主要兴趣实际上是在考虑问题2.4.2.2时间变化（J）Cir时。以下结果是本文的第二个主要贡献。它表明时间变化接近x← xθ提供了问题2的解决方案。推论2。设y是参数为Ξ的几乎肯定为正的HAJD。然后，在（11）中定义的模型xθ与Θ← Θ?（t；Ξ）解决问题2。证据因为y是一个HAJD，所以py是一条贴现曲线，可以分析。此外，由于y几乎肯定是正的，所以后者严格地说是递减的。我们根据定理1得出结论。现在让我们考虑JCIR模型，即带有Ξ=（κ，β，0，δ，α，ω）的HAJD。通过选择（α，ω）使αω=0，将CIR视为特例。那么，dyt=κ（β- yt）dt+δ√ytdWt+dJt，y>0，（19），其中κ、β、δ为严格正常数，ω、α为非负常数。最佳时钟Θ？（15）给出了给定严格递减曲线的完美曲线，其中与该模型相关的正向曲线由fy（t）=fJCIR（t）：=fJCIR（t）in（28）：fJCIR（t）=2κβ（etγ）给出- 1） 2γ+（κ+γ）（etγ- 1） +y4γetγ[2γ+（κ+γ）（etγ- 1） ]+2ωα（etγ- 1） 2γ+（κ+γ+2α）（etγ- 1） ，（20）式中γ：=√κ+ 2δ. 时变过程xθt=θ（t）yθtare的动力学由（12）给出，其中dyθt=κ（β- yθt）θ（t）dt+δqθ（t）yθtdBt+dJθt，yθ=y。其中B是Fθ-布朗运动，Jθ是具有跳跃大小平均值α和时间t瞬时到达率ωθ（t）的非均匀复合泊松过程。因此，应用于JCIR（TC-JCIR）的时间变化技术解决了问题2。特别是，与S-JCIR（其关注的参数为正）相比，xθ上的正性约束在每个（严格递减的）市场曲线和每个Ξ上都会自动满足（因此y并不完全等于0）。

然而，我们已经表明，通过考虑PS-JCIR，xИ，+可以确保正性。使用Ξ+而不是Ξ？可以完成这项工作，但代价是有一个进程xД，+也就是说，在很大程度上，是确定性的（即xД，+t位于市场（t）附近的一个小社区）。因此，与相应的PS-JCIR相比，TC-JCIR模型预计具有更高的波动性，至少在一段时间内。下一个定理总结了这一点，这是本文的第三个主要结果。定理2。让Pmarketbe是一条严格递减的贴现曲线，y是一个带有参数Ξ的JCIR++过程，这样完美的函数JCIR++模型xΞ？这是阳性的。然后，由（20）给出的fy（t）=fJCIR（t；Ξ）的ODE（15）允许满足Ξ？（t） =Θ？（t；Ξ）≥ t。此外，相应的完美函数TC-JCIR模型的方差xθ？tsatis fies：1）VXθ？t型≥ VhX^1？ti， t型≥ 0.2）Vxθ？t型≥ Vhx^1？t如果以下其中一项成立：i）y=β+ωακ，ii）f市场常数和y≤ β+ωακ，iii）y>β+ωακ，t<Θ？-1（t），iv）（κβ+ωα）/γ<y<β+ωακ，t>Θ？-1（t），其中t：=κln1+y+2ωα/γy- β - ωα/κ和t：=γln（γ- κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα（κ+γ）（yγ- κβ -ωα) - 2ωα.证据见第7.4节。综上所述，TC-JCIR模型（包括TC-CIR）为问题2：过程xθ？是非负的（与S-JCIR xД相比），几乎可以理解为简单的JCIR差异（与PS-JCIR xД？，+相比），为每个严格递减的贴现曲线（作为JCIR+模型）提供了完美的拟合，并在某种程度上具有更大的差异（与PS-JCIR xД？，+相比）。特别是，从经验上观察到，TC-JCIR的积分方差与无约束（即，波动性大，但波动性高）S-JCIR模型x？的积分方差相似？。

因此，当需要积极约束时，TC-JCIR避免了JCIR++模型的缺点。唯一需要支付的价格是，时钟不是封闭式的，但需要（简单的）数字版本。该模型的特性，即完美拟合和高方差特征，将在下一节中对信贷风险建模的各种应用进行说明。5信贷风险模型的应用我们考虑第2.1.2节所述的简化形式违约模型，使用CIR基础模型y（即（19）和J≡ 0). 默认强度λ建模为CIR++（λ← λДt：=yt+Д（t））或使用TC-CIR（λ← λθt：=θ（t）yΘ（t））。请注意，根据对（Pmarket，Ξ），CIR++进程可能具有负值。服用Ξ时会出现这种情况← Ξ?使用MSE方法（9）给出，除非（10）中有明确的约束，否则会导致← Ξ?,+. 请记住，当λ表示强度过程时，S-CIR模型（λД）实际上是错误的，因为观察到负强度的概率为非零，而pλД（t）不能解释为与Cox模型相关的生存概率。然而，我们将该模型的结果作为基准，因为正如导言中所解释的，这是一种非常标准的方法。我们将CIR++（S-CIR和PS-CIR）与TC-CIR在与参考实体为福特股份有限公司的真实案例相关的几个方面进行了比较。我们还讨论了相关的TC-JCIR案例。我们首先分析了这两种模型的完美特征，以及λ的非负性。然后比较积分过程∧的方差。然后，我们分析他们在两种不同应用中的行为，即各种信用违约掉期期权的定价（也称为。

以福特为参考实体的CDS期权或CDSO），或福特为交易对手的典型FRA和IRS风险的信用估值调整（CVA）。它很好地承认，像CDS或CDSO这样的“纯信贷工具”在现实条件下对利率的随机性非常不敏感。Brigo and Alfonsi（2005）和Brigo and Cousot（2006）对CIR基础模型进行了明确讨论。因此，我们考虑一个确定的短速率过程，它由符号ru=r（u）强调。在这种情况下，只需得到Prs（t）=Ds（t）=e-Rtsr（u）du。在续集中，我们首先说明了S-CIR、PS-CIR和TC-CIR的完美特性，当默认模型根据福特股份有限公司的生存概率曲线进行校准时。然后，我们使用该模型对CDSO进行定价，并计算CVA图。5.1 CDS期限结构的完美fit我们考虑了福特公司的CDS期限结构，并表明考虑一组参数Ξ，存在产生完美fit的Ξ和Θ。在续集中，我们在移位和时钟函数上删除了星形上标。因此，Ξ？对应于对给定的Pmarketcurve无约束优化的CIR参数，并且Д和Θ表示对应的最佳移位和时钟函数。在非负性约束下找到的相应参数为Ξ？+，^1+和Θ+。信用违约掉期（CDS）是一种金融工具，被称为保护买方和保护卖方的双方使用，用于将保护买方在第三方（称为参考实体）发生特定违约事件时将承担的金融损失转移给保护卖方。通常，我们将τ设置为后者的默认时间。在时间t签订的违约掉期中，从时间t开始，到期日为Tb，保护买方在一组付款日期Ta支付息票（价差）k。

，tb只要引用实体不是默认的。如果TAB和Tb之间发生违约，保护卖方同意向保护买方支付一笔LGD。在适用的情况下，保护买方将根据违约前最后一个付款日期以来累计的价差进行最终付款。有关该产品力学的更多详细信息，请参阅Brigo and Alfonsi（2005）和Brigo and El Bachir（2010）。鉴于利率对图表的影响很小，且我们的主要目标是讨论违约模型的影响，我们在下面的数值应用中考虑了零风险无利率。有关实际市场惯例的更多详细信息，我们请感兴趣的读者参阅Markit（2004），CDS期限结构由一组与各种到期日的CDS相关的面值息差组成。到期日为Ti的CDS合同的时间-t票面价差st（Ti）定义为合同价差k，该合同价差将CDS合同的价值设定为时间t时的0。票面价差于2018年11月12日从彭博社获取，如下表所示。到期日（年）1 3 5 7 10利差（bps）18.3 136.6 191.9 267.6 280.6表1:2018年11月12日福特股份有限公司的CDS利差期限结构。资料来源：彭博社。在这种情况下，市场曲线Pmarketto fitted是风险中性生存概率曲线，定义为G（t）：=Q（τ>t），与给定参考实体（此处为福特公司）的默认时间τ相关。它可以通过反转相应金融工具的无套利定价公式从CDS报价中提取。实际上，一个人只有几个校准方程，比如n，由市场报价的数量给出（这里，n=5）。因此，在没有进一步假设的情况下，无法估计完整（即有限维）市场曲线G。

通常的市场惯例是考虑国际掉期和衍生品协会（ISDA）的CDS模型，即JP Morgan模型，Markit（2004），该模型提供了适用于DSS的实际无套利定价公式的略微简化版本。在这种方法中，曲线G通过正风险率函数h进行参数化，与瞬时远期利率市场G（t）：=e的作用类似-Rth（s）ds，其中h本身由n个常数h，h，…，参数化，HN从展区中引导，与到期日T、T、…、，Tn.让我们关注地平线T=Tn。根据市场惯例，假设h在到期日之间是分段常数，即，假设参数形式：h（T）=nXi=1{Ti-1.≤t<Ti}hi-1，其中T=0，h=s1-带LGD的RW：=1- R、 R=40%假设企业和hi的回收率为正常数。即使标准较低，也可以首选其他规范，如按比例线性参数化：h（t）=nXi=1{Ti-1.≤t<Ti}你好- 你好-1吨- Ti公司-1（t- Ti公司-1） +你好-1..Markit（2009年3月13日）。图1和图2的面板（a）分别考虑了这两种不同的危险率函数规格。这些框架产生类似（但略有不同）的市场曲线G（t）（面板上的绿色曲线（d））。对于其中的每一个，我们首先计算“最佳”基础CIR模型y。根据市场实践，我们采用Ξ← Ξ?将（1）与Pmodel一起使用← Py考虑（2）为误差函数，T为可用的液体CDS到期日集。在每种情况下，我们考虑与最佳移位（由（9）给出）或最佳时钟（由（16）给出）相关的两个调整强度模型。后者分别显示在面板（b）和（c）上。模型曲线PλД（S-CIR）和Pλθ（TC-CIR）以洋红色显示在面板（d）上；它们彼此同意，并由于完美的fit而崩溃为G（t）。

请注意，危险率函数的参数化并不重要：存活概率曲线G、Py和Pλ在这两种情况下都非常相似。类似地，图1的两个面板（c）和2.0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08th（t）（a）分段恒定危险率（h）0 2 4 6 8 10中的时钟函数Θ看起来非常相似-0.01 0.00 0.01 0.02tД（t）（b）最佳换档（Д=Д？）0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10tΘ（t）（c）最佳时钟（Θ=Θ？）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（d） 生存概率（Py，G=PλД=Pλθ）图1：用调整后的CIR模型拟合福特股份有限公司CDS期限结构。生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段恒定风险率函数h（t）进行参数化，面板（a）。基本模型是一个CIR，参数为Ξ=Ξ？whereΞ？=（κ，β，η，δ，α，ω）=（0.0555，0.3018，0，0.2939，0，0）由（9）得到，y=h。移位函数Д（t）← φ?（t，Ξ？）如面板（b）所示。面板（c）给出时钟Θ（t）← Θ?（t；Ξ？）。最终，面板（d）得出了市场给出的生存概率曲线（G（t），绿色），或与各种强度模型λ的Q（τ（λ）>t相关的生存概率曲线：最佳基础模型λ← y（导致Q（τ（y）>t）=Py（t，Ξ？），蓝色虚线），λ← λИ（S-CIR）和λ← λθ（TC-CIR模型）。通过构造Θ和Θ，最后两条曲线相交（洋红），并与G（t）一致。0 2 4 6 8 100.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07次（t）（a）分段线性危险率（h）0 2 4 6 8 10-0.020-0.015-0.010-0.005 0.000tД（t）（b）最佳换档（Д=Д？）0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10tΘ（t）（c）最佳时钟（Θ=Θ？）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（d） 生存概率（Py，G=PλД=Pλθ）图2：用调整后的CIR拟合福特股份有限公司CDS期限结构。

生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段线性风险率函数h（t）进行参数化，面板（a）。基本模型y为CIR，参数为Ξ=Ξ？whereΞ？=（κ，β，η，δ，α，ω）=（0.0620，0.2729，0，0.2926，0，0）由式（9）得出，y=h。移位函数Д（t）← φ?（t，Ξ？）如面板（b）所示。面板（c）给出时钟Θ（t）← Θ?（t；Ξ？）。最终，面板（d）得出了市场给出的生存概率曲线（G（t），绿色），或与各种强度模型λ的Q（τ（λ）>t相关的生存概率曲线：最佳基础模型λ← y（导致Q（τ（y）>t）=Py（t，Ξ？），蓝色虚线），λ← λИ（S-CIR）和λ← λθ（TC-CIR模型）。通过构造Θ和Θ，最后两条曲线相交（洋红），并与G（t）一致。表2给出了本文其余部分数值示例中使用的参数。κβδy？0.0555 0.3018 0.2939 hΞ+0.2118 0.0030 0.0006 hΞ？0.0624 0.2975 0.3343 0.0000Ξ?,+3.8252.10-019.6881.10-031.5195.10-013.2093.10-10表2：使用福特分段恒定危险率的校准参数。参数Ξ？和Ξ+对应于具有和不具有正性约束的CIR模型y的参数，其中Yi被外部设置为分段风险率函数的第一级，h=0.0030。其他参数，Ξ？和Ξ？，+，对应于类似的情况，但Yi是进入优化过程的参数。在所有情况下，我们取α=ω=0。请注意，在图1和图2中，移位函数Д可以取负值。这意味着偏移方法S-CIR产生负的默认强度λИ，并且通过这种方式校准后，会受到影响。特别是，我们不能将λД解释为与Cox过程相关的默认强度。这与TC-CIR方法相反，因为如果SOI为y，λθ是一个正过程。

为了在CIR++框架中解决这个问题，需要依赖PS-CIR。我们注意到相应的过程y+和λД，+。如图3所示，福特公司的例子表明，这个过程非常严格：它会导致曲线Py以非常低的速率下降。特别是，PλД，+的形状基本上是由位移引起的，而不是由基本模型y引起的。这是有问题的：它基本上等于说h≈ Д，即PS-CIR过程λД，+本质上是确定性的。这将对生成的默认模型造成很大限制，并将在其余小节中进一步讨论。0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（a） 生存概率（Py+，G=Pλν，+）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（t）●●●●●●（b） 生存概率（Py+，G=PλИ，+）0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08tД（t）（c）移位函数（Д=Д？，+）0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06tД（t）（d）移位函数（Д=Д？，+）图3：使用λД？、拟合福特股份有限公司CDS期限结构+（PS-CIR）。面板（a）和（c）对应于y+=H，其中面板（b）和（d）对应于y+是优化参数之一的情况。生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段常数风险率函数h（t）进行参数化。参数Ξ+在约束条件下计算← φ?（t；Ξ？，+）≥ 0 . 基本模型y+是一个CIR，参数为Ξ=Ξ+（左）和Ξ=Ξ+（右）。5.2方差分析可以对各种综合过程的方差进行有趣的观察。如后两节所示，在考虑金融应用时，它们将产生重要影响，其中∧在控制波动性和协方差效应方面起着核心作用。首先，观察具有最佳参数Ξ？与带参数Ξ？，+的综合CIR相比，预计具有更大的方差。

由于移位约束，后一种情况下的贴现曲线py比前一种情况下的贴现曲线py要大得多，也就是说，一般情况下（t；Ξ？，+）≥ Py（t；Ξ？）。这可以从图3的面板（a）和（b）中观察到。使用Ξ？，+时，Pmarket=G的形状的实质部分来自确定性转移。这相当于限制了过程的随机性。毫不奇怪，这将影响集成过程Y的方差。事实上，由于CIR过程的贴现曲线带有参数Ξ+通常使用参数Ξ？，我们直觉地期望CIR的方差与参数Ξ？大于带有参数Ξ？，+的CIR的值，由于下限为零。换言之，即使似乎很难提供正式的证明，人们通常也会直觉地认为以下结论成立：v∧Д（t）=vY（t；Ξ？）≥ vY（t；Ξ？，+）=v∧？，+（t）。图4中的情况确实如此：v∧Д（点蓝色）占主导地位，v∧Д，+（纯蓝色）。其次，观察到对于给定的基本过程y，积分TC-CIR的方差始终大于积分PS-CIR的方差。实际上，当在正约束条件下工作时（即，当y由Ξ？，+驱动时），我们必然有Ξ+（t）：=Κ（t；Ξ？，+）≥ t、 与定理2不一致。因为对于任何参数，Y的方差是时间的递增函数（附录中的引理6，第7.1.2节），对于Ξ← Ξ?,+特别地，v∧θ，+（t）=vY（Θ+（t）；Ξ?,+) ≥ vY（t；Ξ？，+）=v∧？，+（t）。第三，我们从图4中观察到，至少在本例中，TC CIRusingΞ？与S-CIR的方差相当：v∧θ（t）≈ vY（t；Ξ？）=v∧Д（t）。S-CIR的方差预计将接近相应C-CIR模型的方差，这一事实可以直观地理解如下。