仿射项结构模型：一种具有完全拟合的时变方法

如上所述，参数Ξ← Ξ?使用（9）计算得出的HAJD y最能拟合市场曲线，时钟用于吸收剩余的差异。因此，人们期望时钟与实际时间的偏差不会太大，即θ（t）≈ 1和两个进程的行为相似。特别地，yθ的参数是按θ（t）缩放的y的参数，xθt=θ（t）yθt≈ yθt，至少当pmarket和基本HAJD模型py之间的关系不是太差时；参见（17）。综上所述，我们观察到，当在正性约束下处理CIR+，必须在有效（但低波动性）PS-CIR过程λИ、+或波动（高波动性）S-CIR过程λД之间进行选择。相比之下，TC-CIR模型λθ始终有效（推论2），其方差始终大于PS-CIR对应物（定理2），其方差实际上与S-CIR生成的大水平相当。因此，TC-CIR是CIR+模型的有力挑战者。特别是，正如我们现在基于两个案例研究指出的那样，在处理实际信用风险应用程序时，它的特性特别有趣。0 2 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8tVar（a）y=h0 2 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tVar（b）优化图4：λД、+（PS-CIRΞ=Ξ？、+（左）和Ξ=Ξ？、的集成版本的方差+（右），纯蓝色），λИ（S-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右）、蓝色虚线）和λθ（TC CIRwithΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右），洋红色）。5.3 CDS期权定价我们处理CDS期权（CDSO）的定价。由于CDSO是CDS上的一种期权，westart通过回顾CDS的无套利定价方程。我们注意到估值时间和假设τ>t，因为在违约后为CDS（或CDSO）定价是毫无意义的。

从保护买方的角度来看，1美元名义CDS CDSt（a、b、k）的时间t值从时间Ta开始，到期日为Tb、t≤ Ta<Tb，给定默认LGD=（1）的扩展k和（已知）损失-R） 由条件风险中性预期的保护和溢价的差异得出：CDSt（a、b、k）=E(1 - R） 1{Ta≤τ≤Tb}Prt（τ）| Gt-k E“bXi=a+1{τ≥Ti}αiPrt（Ti）+1{Ti-1.≤τ<Ti}αiτ- Ti公司-1吨- Ti公司-1部分（τ）Gt#带αi日期Ti之间的天数分数-1和Ti，在标准CDS中，约为0.25（季度付款日期）。在简化形式设置中，当默认值由强度为λ的Cox过程的第一次跳跃触发时，可以明确地开发此表达式，这要感谢关键引理：CDSt（a，b，k）=1{τ>t}-(1 - R） ZTbTaPrt（u）上λt（u）du- k Ct（a、b）, （21）其中Ct（a，b）是风险持续时间，即当价差为1:Ct（a，b）：=bXi=a+1αiPrt（Ti）Pλt（Ti）时，在合同有效期内支付的CDS溢价的时间t值-ZTiTi公司-1u- Ti公司-1吨- Ti公司-1αiPrt（u）上λt（u）du。在时间t时，将前向开始CDS设置为0的扩展，称为par扩展，由以下公式给出：{τ>t}st（a，b）：=1{τ>t}-(1 - R） RTbTaPrt（u）上λt（u）风管（a，b）。（22）在t=0时，此类合约上的看涨期权的无套利价格变为SO（a，b，k）=E（CDSTa（a、b、k））+Pr（Ta）= Pr（Ta）Ee-∧Ta（1- R）-bXi=a+1 Ztiti-1gi（u）Pr+λTa（u）du+,其中gi（u）：=（1- R） （R（u）+δTb（u））+kαir（u）Ti-Ti公司-1(1 - （u）- Ti公司-1） ，δs（u）以s为中心的Dirac Delta函数。将基本强度模型（λ）替换为其移位（λИ，λД，+）或时变（λθ）版本，可分别得出P SOД（a，b，k），P SOД，+（a，b，k）和P SOθ（a，b，k）的模型价格。有趣的是，这些模型同样易于处理，因为它们具有类似的表达式，可以用基过程λ或其时间积分∧来表示。

例如，删除Ξforshort，∧ДTa=∧Ta+ZTaД（u）du，∧θTa=∧Θ（Ta），和PλДTa（u）=PλTa（u）eRuTaД（s）ds=eATa（u）-BTA（u）λTa+RuTaД（s）ds，PλθTa（u）=PλΘ（Ta）（u）=eAΘ（Ta）（u）-BΘ（Ta）（u）λΘ（Ta）。回想一下，当λ是（J）CIR过程时，这些表达式具有闭合形式。这种期权几乎没有流动性。然后，经常根据模型产生较大“隐含波动率”的能力进行比较。事实上，经验证据表明，这是CDS期权报价的一个典型特征。因此，我们比较了模型的“黑色波动率”：需要插入“Black-Scholes”类型的模型来复制模型价格的波动率。附录第7.5节回顾了P SO的黑色模型。因此，与模型价格P SOmodel（a，b，k）相关的黑色波动率是满足P SOmodel（a，b，k）=P SOBlack（a，b，k，’σ）的波动率‘∑）。回想一下，在所有情况下，强度过程λ都是根据市场进行校准的，即Pλ（t）=G（t）。换言之，例如，为基本强度过程λ选择一个CIR过程，该过程与具有（Д+）或不具有（Д）正性约束的正确移位相结合，或最终使用正确的时钟频率θ，所有三个模型都具有相同的生存概率曲线（PλД（t）=PλД，+（t）=Pλθ（t）=g（t））。因此，所有这些模型都同意面值价差：s（a，b）=（1- R） RTbTaPr（u）h（u）G（u）duC（a，b）。我们比较了S-CIR、PS-CIR和TC-CIR。TC-CIR中的基本HAJD过程y与S-CIR中的过程y相同。从表3可以看出，S-CIR特征意味着巨大的波动性。然而，回想一下，它允许负强度，因此是不适当的。PS-CIR模型无法产生与前面讨论一致的大波动水平。

TC-CIR介于两者之间：它排除了负强度，同时保持了大幅波动水平。人们可能会担心TC-CIR的隐含波动率相对较小。这可以通过两种方式解决。首先，可以使用参数Ξ。然而，Feller约束通常需要保持不变，这限制了流程的波动性。另一种方法是将JCIR模型视为HAJD。事实上，当需要较大的波动性时，通常会考虑JCIRis。然而，如第3.3节所述，通过增加跳跃活动增加波动性，同时保持对agiven市场曲线G的校准，强化了积极性问题。幸运的是，我们在TC-JCIR中没有这个问题。可以在不影响TC-JCIR积极性的情况下大幅增加跳跃活动。因此，当需要一个积极但波动性高的过程时，TC-JCIR似乎非常合适。表4使用与Brigo和Mercurio（2006）中给出的相同跳线参数对此进行了说明。对于扩散部分，我们保持与之前相同的参数Ξ，并在复合泊松过程J中使用跳跃率（ω）和跳跃大小（α）。在每种情况下，选择时钟Ξ时，模型都能完美地拟合福特的ssurvival概率曲线。有趣的是，（正）TC-JCIR模型的隐含波动率水平可能比PS-CIR大得多。

S-JCIR的结果也比PS-CIR大，但由于负强度问题严重，因此未显示结果。TaTbCIR++TC-CIRλДλД，+λθ1 3 67.12%1.03%43.68%1 5 45.10%1.25%26.92%1 7 27.72%1.64%16.86%1 10 21.52%1.65%12.86%3 5 61.30%0.85%57.16%3 7 34.88%1.15%36.33%3 10 27.65%1.08%27.17%5 7 34.81%1.16%42.60%5 10 30.96%0.93%31.19%7 10 45.37%0.63%38.93%BCTATIR++TC-CIRλИλД，+λθ1 3 65.21%9.48%44.00%1 5 42.35%5.88%26.56%1 7 25.30%4.87%16.30%1 10 19.37%2.94%12.27%3 5 63.87%8.02%58.67%3 7 35.20%4.50%36.10%3 10 27.02%3.44%26.62%5 7 35.77%4.59%43.32%5 10 30.35%3.70%30.61%7 10 10 45.05%5.16%39.40%表3：黑色挥发性对于CIR++模型（s-CIR和PS-CIR）和y=h（左）和使用蒙特卡罗模拟优化（右）（500K路径，时间步长为0.01）。在所有考虑的情况下，没有移位的CIR++模型是无效的，因为inf{λИt，t∈ [0，Ta]}<0。在两个有效的强度模型（λИ，+和λθt）中，后者表现出更高的隐含波动率。TaTbTC JCIR（ω，α）（0，0）（0.1，0.1）（0.15，0.15）1 3 43.68%79.04%100.17%1 5 26.92%48.07%69.69%1 7 16.86%30.43%44.00%1 10 12.86%23.33%33.75%3 5 57.16%65.50%82.60%3 7 36.33%42.85%53.17%3 10 27%33.17%41.36%5 7 42.60%49.13%60.11%5 10 31.19%37.34%45.78%71038.93%40.59%46.02%表4:TC-JCIRmodel隐含的现货（k=s（a，b））CDS期权的黑色波动率（跳跃到达率ω和跳跃大小α）使用蒙特卡罗模拟（10条路径，时间步长为0.01）和参数集Ξ=Ξ？但对于各种跳跃参数（α，ω）。5.4信贷估值调整中的错误方式风险影响危机后监管的一个主要问题是，将对信贷风险下估值的一些信贷调整考虑在内，对融资的资本要求进行建模。

交易对手信用风险定义为场外交易对手在合同到期前违约的风险。后者可以被视为给缔约方的一种选择，并可以通过调整OTC衍生品在风险中性的情况下定价，从而导致CVA。后者只不过是由于与OTC投资组合相关的未付款导致的预期损失。在风险中性规范中，假设τ>0，CVA的当前（t=0）值表示为：CVA=E(1 - R） V+τ{τ≤T}式中，V代表贴现风险（即，由随机贴现因子D重新标定的风险过程）。关键引理的直接应用（在这里有效的一些技术条件下）yieldsCVA=E(1 - R） ZTV+uλue-∧udu. （23）移位模型和时变模型的CVA，CVAД和CVAθ，对应于上述表达式，分别用（λД，λД）和（λθ，λθ）替换（λ，λ）。本节旨在说明可通过eithermodels获得的CVA图的数量级。特别是，我们的目标不是代表特定的风险敞口。相反，我们通过考虑两种典型动力学来简化分析：dVt=νdWVt，dVt=γ（T- t）-VtT公司- t型dt+νdWVt。其中WVis是F-布朗运动。第一个SDE是鞅的SDE，可以描述远期合约在现金流日期之前贴现价格的演变。第二个SDE对应于带漂移的布朗桥，并模拟了支付连续股息的资产折扣价格的动力学。这两个模型之前曾被inVrins（2017）和Brigo and Vrins（2018）用于以图解方式描述FRA和IRS的暴露。

对实际曝光量的校准给出了参数的指示值。一般来说，没有理由假设驱动默认强度（W）的布朗运动与驱动曝光（WV）的布朗运动无关：这取决于手头的问题。通常，我们考虑通过引入布朗驱动因素之间的相关性而获得的错误方向风险（WWR）效应的一般情况。对于CIR+，我们假设dWtdWVt=ρdt，而对于TC-CIR，我们采用Mbaye和Vrins（2018）中设计的同步程序，以便在时间改变强度过程后保持相关性。在特殊情况下，如果交易对手的违约时间独立于贴现风险敞口（即ρ=0，即无错向风险），可以从（23）独立CVA公式中推断出CVA⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+ud和Ee-∧u= (1 - R） ZTfλ（u）EV+uPλ（u）du。回想一下，无论所选择的模型是什么，都假设它被校准为生存概率曲线G，从CDS价格中提取。这将导致Pλ（u）=G（t），并产生最佳移位和时钟功能，即在S-CIR和PS-CIR情况下的Θ或Θ+以及在TC-CIR情况下的Θ。在这种情况下，CVA⊥不依赖于默认模型：CVA⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+udG（u）=（1- R） ZTh（u）EV+uG（u）du。然而，独立情况ρ=0是不现实的，可能导致对CVA Kim和Leung（2016）的严重高估或低估；Brigo和Vrins（2018）；Breton和Marzouk（2018年）。在WWR下，CVA依赖于模型。图5显示了三种不同模型的CVA相对于ρ的演变：λИ（CIR++无约束，纯蓝色），λД，+（CIR++有约束，虚线蓝色）和λθ（TC-CIR，虚线洋红），所有这些都按照福特的生存概率曲线G进行了校准。在无WWR的情况下，CVA等于独立CVA（青色）：它是FL，无模型，可以使用简单的积分进行计算。

在WWR下，使用蒙特卡罗模拟（100K路径，时间步长为0.01）和自适应控制变量计算CVA。TC-CIR和S-CIR模型表现出最大的WWR效应，因此似乎适合处理高WWR应用。回想一下，这里只有TC-CIR有效，因为S-CIR为负强度提供了空间。然而，PS-CIR几乎等于独立CVA。这可以从以下事实中理解：WWR本质上是V和e之间的协方差效应-Λ. 因此，具有∧大方差的模型在任何（非零）固定相关水平ρ下表现出更大的WWR效应。最终，TC-CIR提供了一个平衡的权衡：一方面，作为PS-CIR，它排除了S-CIR模型固有的负强度问题。但另一方面，它在一定程度上保留了S-CIR模型的方差，因此与PS-CIR相比，其方差要大得多。有关CVA计算中应用的自适应控制变量的实现，请参见Mbaye和Vrins（2018）。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014ρCVA（a）dVt=νdWVt，y=h-1-0.5 0.0 0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014ρCVA（b）dVt=νdWVt，优化-1-0.5 0.0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008ρCVA（c）dVt=γ（T- t）-VtT公司-t型dt+νdWVt，y=h-1-0.5 0.0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008ρCVA（d）dVt=γ（T- t）-VtT公司-t型dt+νdWVt，Yooptimized图5：风险敞口信用相关性ρ对y=h（左）或Yooptimized（右）的典型5Y远期（顶部）和掉期风险敞口（底部）CVA水平的影响，ν=8%，γ=0.1%。曲线对应不同的强度模型：λИ，+（PS-CIR=Ξ？，+（左）和Ξ=Ξ+（右），蓝色虚线），λИ（S-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右）、纯蓝色）和λθ（TC-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右），点洋红）。

无错路风险的情况对应于FL（青色）线。6结论校准问题包括确定模型x的参数，以完美拟合给定的市场曲线。完美fit是定价环境中的一个重要特征，它与无套利机会相关，并修正交易头寸的估值。这需要两个重要特性：模型x必须（i）足够灵活（能够生成各种形状）和（ii）足够容易处理（便于参数的优化过程）。在这方面，Vasicek、CIR或JCIR等时间同质模型是非常好的候选模型，并广泛用于利率和信用风险建模。然而，就其本身而言，它们只有几个常数，因此缺乏校准灵活性。确定性转移张力提供了一个吸引人的解决方案。它包括从一个可跟踪的基本模型y开始，该模型以确定性的方式通过一个函数Д移动。由此产生的过程xt=yt+Д（t）变得完全灵活。事实上，任何折扣或生存概率曲线都可以通过这种模型生成。此外，它的可处理性水平与y非常相似，因为Д是确定性的。最终，对于每一条市场曲线，转变是什么？这就形成了闭合形式的完美曲线，作为y参数和市场曲线的函数。然而，当模型x需要满足一些范围约束时，这种方法就不那么有吸引力了。其中，在建模利率（取决于手头的经济类型）、死亡率、提前还款率或违约强度时，非负性至关重要。确实，在确定性转移方法中，从非负基过程y开始，不足以保证x将是x，而不需要对ν施加额外的约束。

此外，由于下限为零，当增加过程波动性时，这种约束变得越来越严重。显然，排除了考虑“负波动”的模型。然而，令人惊讶的是，当涉及到“负强度”时，这似乎并不适用。然而，bothare同样感到震惊。我们认为原因有两个：第一，负强度不会直接产生数值问题（与经常出现在平方根中的波动性相比），因此这个问题不太“明显”，第二，缺乏合理的替代方案。可以通过在Д上包含非负性约束来处理正性约束。然而，这再次引发了两个问题。首先，参数优化问题变得更加困难，其次，结果过程x的方差比没有约束的方差小得多，这与经验证据相矛盾。因此，人们往往倾向于忽视“消极内容”问题，优先考虑随机性和完美性。在本文中，我们开发了这样一种替代方案。它只是由改变时间的正均质性跳跃差异组成。该模型保持易处理的正时钟，通过简单的反转找到最佳时钟，与shift方法相比，该模型具有更大的隐含波动性。此外，对于一大类贴现曲线，包括所有递减贴现曲线，都可以实现完美的fit。该模型的特点已在从信贷风险中选取的专题示例中进行了说明，但也可以考虑其他应用。