现代遗产托丁：集合年金产品的创新

本节的证明见附录A.4。定义o一个正随机变量A，尾部分布p[A>t]=S（t）（1- 对数S（t）），（11），其中生存函数S（t）=P[τ>t]=exp(-t的Rtλ（s）ds）≥ 0.oτ的指数矩- t以τ>t为条件，即Mτ（p，t）=e[ep（τ-t） τ>t]S（t），其中表示集合D的零一指示函数 Ohm.o 函数κA，τ：R→ RκA，τ（p）=MA（p）Mτ（p，0）- MA（p），（12），其中MA（p）：=E【epA】是A的指数矩母函数。接下来，我们给出了在对数效用下的最优策略。证据见附录。tontine结构中的最优策略是退休人员投资固定比例ω*（t） =w*=u - 风险股票中养老金储蓄的rσ（13），该比例仅取决于市场参数。避免了风险股票的卖空，即由于u>r的假设，该比例永远不会为负。然而，r，u，σ的合理值可以导致风险股票的投资组合超过100%。如果禁止借入无风险债券，那么在这些情况下，最优投资策略是100%投资风险股票，最优消费和tontine分配不变。在对数效用下，养老金储蓄的最优消费率为确定性利率C*（t） =ρ1- (1 - bρ）Mτ(-ρ、 t），（14）时间t≥ 0，这仅取决于退休人员的特征，即他们的遗赠动机相对于自身消费的强度，他们的时间偏好率ρ和他们的死亡函数力（通过函数Mτ(-ρ、 t））。指出了最优消费率的以下界限和限制特征。最佳消费比例c*满足不等式min（ρ，1/b）≤ c*≤ 最大值（ρ，1/b），其中约定1/0=∞ 用于b=0。

特别是，如果ρ=1/b，则ρ=c*= 1/b是恒定的。此外，如果限制↑∞λ（t）=λ(∞) < ∞, 然后是c*（t）→ (ρ + λ(∞))/（1+bλ(∞)). 同样，如果限制↑∞λ（t）=λ(∞) > 0，然后是c*（t）→ (ρ/λ(∞) + 1)/(1/λ(∞) + b） 。分配恒定比例α是最优的*=1.- bρ1+bρκA，τ(-ρ） （15）将退休人员的养老金储蓄存入tontine账户。这个最佳比例仅取决于退休人员的特征。一般来说，α*≤ 1成立，这是因为AHA的尾巴比τ重。然而，存在b和ρ的值，使得α*为负。确保最优α的非负性*, 上面的表达式意味着我们必须选择ρ<1/b。否则，养老金储蓄分配给tontine的最佳比例是α*= 如果没有遗赠动机，即b=0，则所有财产都分配给tontine账户α*= 1、遵循上述最优策略产生的养老金总储蓄过程为x*（t） =xexpr+u - rσt+Zt（α*λ（u）- c*（u） ）du+u- rσW（t）,这是一个几何布朗运动。6.1. 显式结果在对数效用下在本节中，我们研究托尼账户中的最佳常数比例如何随遗赠动机的强度而变化。我们计算了在不同的遗赠动机强度下，随着退休人员年龄的增长，最优消费率是如何变化的。我们发现，随着遗赠动机的增强，对在线账户的投资减少。此外，最优消费率作为养老金储蓄账户总价值的一部分，随着退休人员的年龄增长而增加。对于市场参数r=0.05、u=0.085和σ=0.2，对数效用下的最佳投资策略（由等式13给出）是将87.5%的养老金储蓄投资于风险股票，其余部分始终投资于无风险债券。

随着遗赠动机的增强，我们计算退休人员应向tontine账户分配多少（图B.2.8）。由于没有遗赠动机（b=0），退休人员将其所有财富分配给托丁人，即托丁人是纯托丁人的成员。一旦存在遗赠动机（b>0），托尼账户中的百分比就会下降，在b=5时达到50%。然而，从图B.2.8中线条的曲率可以看出，摔倒率随着遗赠动机的增强而降低。利用对数效用函数，我们可以计算每个年龄段的最佳消费率，即剩余养老金储蓄的消费率。它是由等式（14）给出的确定率。我们在不同年龄段（退休人员65岁至0岁）评估其遗赠动机的不同强度（图B.2.9）。最高消费率出现在遗赠动机较低的情况下（b=1）。退休人员有更多的动机去消费他们的财富，而不是把财富留给他们的财产。随着遗赠动机的增强，退休人员为了把钱留给他们的遗产而减少了消费。然而，随着退休人员年龄的增长，消费率随着遗赠动机的强度而不同。65岁时，各种遗赠动机的消费率接近7%（b∈ {1, 2, . . . , 7}). 90岁时，遗赠动机相对强烈（b=7）的比例为8%，而遗赠动机相对较弱（b=1）的比例为18%。重要的是要注意，随着时间的推移，养老金储蓄可能会贬值，因为退休人员会通过消费耗尽他们的资金。结论：我们推出了一种新的诽谤产品，称为现代遗赠托汀，它使退休人员有机会获得终身收入，并将遗赠留给他们的遗产。

每个退休人员的养老金储蓄分为两个账户，一个叫做托丁账户，另一个叫做遗赠账户。tontine账户是更广泛的tontine池的一部分，这对退休人员来说意味着两件事。一个是tontine账户吸引了长寿积分，这是tontine池中死亡释放的资金份额。只要退休人员还活着，这些长寿积分在最坏的情况下是零——相当于没有人在tontine池中死亡——否则它们是绝对积极的。tontine账户的第二个含义是，退休人员的tontineaccount价值在其死亡后会损失到该退休人员的遗产中。这是生前获得长寿积分所付出的代价。tontine账户和遗赠账户由于投资回报而以相同的速度增长，由于消费而以相同的速度收缩。然而，只有tontine账户获得长寿积分。因此，它的增长速度将超过遗产账户。该产品的一个关键特征是账户价值不断重新平衡，以保持其在固定比率下的相对价值。重新平衡的结果是，一些长寿积分有效地从tontine账户转移到了遗赠账户。将长寿积分转入遗赠账户价值意味着，尽管其价值可能会在几年内下降（取决于获得的投资回报和消费率），但最终其价值开始上升。这是由于随着退休人员年龄的增长，LongevityCredit的规模不断增加，其本身与退休人员的死亡率及其账户总价值的乘积成正比。现代遗产托丁机制基于托丁机制，该机制在精算上是公平的，超出了时间段。

这对于重新平衡这两个账户以及直接将长寿积分从tontine账户转移到遗赠账户至关重要。长寿积分是给予退休人员的“积极”奖励，因为退休人员在短时间内冒着巨大的账户价值风险而没有死亡。退休人员在短时间内死亡后，tontine账户的损失是“负”回报。在精算公平机制中，考虑到退休人员在每个短期内存活或死亡的事件以及每个事件的奖励价值，奖励的预期价值为零。长寿积分属于退休人员，更广泛的tontine池对他们没有要求，除非他们保持在tontineaccount范围内。呈现的产品具有风险和不确定性。它不能保证退休收入的合理水平将终身支付，也不能保证他们遗产的一定水平。然而，当退休人员决定从他们的养老金储蓄中提取多少来维持生活，并且没有统筹安排时，收入下降既不能保证合理的退休收入，也不能保证一定水平的遗产。传统的终身年金确实保证了终身退休收入，但它不支付遗产。然而，该产品可能对退休人员非常有吸引力。在对大约180名精算师进行的民意调查中，50%的精算师在向他们描述了拟议的产品后选择了该产品。另有25%的人选择了一种纯正的tontine产品，其余的人在传统的终身年金合同和收入下降之间平均分配。在介绍了我们新的创新产品之后，我们的主要研究问题是，退休人员应该向tontine账户分配多少资金。

我们将其定义为效用最大化问题，其中退休人员希望最大化贴现的预期消费效用和遗产金额之和。应用于遗产金额贴现预期效用的权重允许我们改变遗产动机的强度。使用幂效用函数，我们发现了两个有趣的结果。首先，随着风险规避水平的提高，退休人员将其养老金储蓄的一部分存入tontine账户，无论遗赠动机的强度如何，该账户都是相当稳定的。随着TheRetrie变得不那么规避风险，这一比例开始下降。对于最强烈的遗赠动机来说，下降的速度最大。然而，我们的第二个有趣的结果是，对于风险厌恶程度非常低的退休人员，分配给tontine账户的比例会增加。原因是，遗赠账户在老年时可能非常大。风险厌恶程度最低的退休人员押注于长寿，他们不仅从消费中获得效用，还从巨额遗产账户价值中获得效用。我们的结果基于强有力的假设。我们假设寿命是完全混合的，退休人员未来的死亡率分布没有不确定性。这两种假设在实践中都不太可能成立。新提议的结构，即现代遗产托汀（tontine with bequest）在实践中的运作情况如何，以及托汀成员的有限性和未来死亡率分布的不确定性，仍有待证明。致谢本研究由精算师协会和精算师学院精算研究中心资助，“最小化寿命和投资风险，同时优化未来养老金计划”。作者对这笔资金表示感谢。作者感谢一位匿名裁判对提交的手稿发表了非常有益的评论。参考Babbel，D.和Merrill，C.（2006）。

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（16） 此外，我们用^fn表示所有局部n-可积（Ft）-可预测过程的集合。引理A.1。无论（Ft）和τ是否独立，对于（Gt）-可预测过程ω，存在一个（Ft）-可预测过程ν，使得ω（t）τ≥t=ν（t）τ≥t对于所有t≥ 0。（17）在（Ft）和τ独立的情况下，使得（16）为真，对于ω∈^Gn，存在ν∈^Fnsuchthat（17）成立。证据如Protter（2005，第370页）所述，第一个陈述源自单调类定理的应用。对于第二条语句，考虑setDt=n u≤ t:Zu |ν（x）| ndx=∞ofor t≥ 0。（18）根据（17），ω的局部可积性确保了ν的局部可积性，直到时间τ，henceDt {τ<t}对于所有t≥ 0。（19）根据Dellacherie和Meyer（1978，第43页，定理13和第58页，定理33），可测投影定理确保dt是一个可测集，属于F∞. 特别是，假设（16）意味着1>所有t≥ 现在，我们通过矛盾论证v是一个局部可积过程。因此，我们假设v/∈^Gnand反过来假设存在s≥ 0，使得P[Ds]>0。从（20）来看，1>P[Ds]>0。（21）对于（19）和（21），P[τ<s]>0。将其与（16）相结合，表明1>P[τ<s]>0。将这两个最后的结果与（19）一起使用，我们发现P[Ds∩ {τ ≤ s} ]=P[τ≤ s] >P[Ds]P[τ≤ s] ，与（Ft）和τ之间的独立性相矛盾。备注A.2。在引理A.1中，像（16）这样的假设是必要的，以确保ω的局部可积性意味着ν的局部可积性，如下例所示。让Ft={Ohm, }, letτ~ U（0，1）为独立随机变量，设ω（t）=（1-τ ∧t）-1对于所有t≥ 0。则ν（t）=（1-t）-1对于所有1>t≥ 0和ν不是局部可积的，而ω是局部可积的。下一个引理表明，第6节中对数情况的问题公式定义得很好。引理A.3。