现代遗产托丁：集合年金产品的创新

虽然这是一个受限的优化集，但由于α的值在任何时候都是恒定的，这可能更真实地反映了现代遗赠托丁在现实生活中的运作方式。结果表明，对于每个α，最优投资策略在风险股票中的比例是恒定的，与经典的电力效用优化问题（Merton，1971，第6节）中的比例相同∈ [0, 1]. 在这种情况下，我们可以写出固定α的最大值（2）的表达式∈ [0，1]和C≥ 0.然后我们可以找到常数α∈ [0、1]和c≥ 通过数值过程最大化表达式（2）的0。第5.1节给出了分析结果，第5.1.1节给出了数值结果，第5.1.2节给出了进一步的灵敏度测试。在第二种解释中，退休人员已经决定在tontineaccount上投资多少。换句话说，投资于tontine账户的储蓄比例α是固定的。然后，问题是确定与α的每个值对应的最优投资和消费策略∈ [0, 1]. 这是一个限制性较低的优化集，因为消耗率不受限制为常数。同样，最优投资策略是风险股票中的固定比例，与第一种解释中的比例相同。最优消费率是时间的确定函数。第5.2节给出了最佳策略。然而，我们不运行数值结果，因为我们希望将重点放在更现实的第一种解释上；退休人员更可能在第一种解释中选择简单的消费规则，而不是在第二种解释中选择随时间变化的消费规则。

我们加入这个例子更多是为了数学上的完整性——这是我们通过放松消耗率可以得到的最接近解析解的例子。接下来我们来看这两个优化的结果。技术复杂的证明归入附录，一些初步技术结果见附录A.1.5.1。具有固定比例α和固定消费率的电力公司我们寻求明确答案以了解遗赠动机的影响，避免难以找到最佳消费策略，并假设c是未知常数。我们优化了一组受限的恒定消费率策略。这意味着要最大化的表达式（2）保持不变，但最大化的控件集发生了变化。我们的新目标是找到一个投资策略ω∈^G，消耗c的正常数≥ 0和tontineα中的恒定比例∈ [0，1]对于随机寿命τ，因此supc，αconstantsupω∈^GEhZτe-ρscX（s）γ/γds+be-ρτ(1 - α） X（τ）得到γ/γi（3）。本节的证明见附录A.2。根据幂效用函数，养老金储蓄总额投资于股票的最佳比例为ω*（t） ：=w*:=1.- γu - rσ。（4） 方程式（4）中投资策略最优性的证明见A.2节。为了检验表达式（3）的一致性，定义一个正随机变量A，尾部分布p[A>t]=S（t）1-γα，其中生存函数S（t）=P[τ>t]=exp(-t的Rtλ（s）ds）≥ 0.o任意p的指数矩A∈ R、 即MA（p）=e【epA】。o常数k∈ 定义ask：=γγ- 1.u - rσ+ γ（c- r） +ρ。（5） 对于固定的c和α，表达式（3）是有限的，当且仅当两种可能的情况之一成立。要么我们在非常特殊的情况下，α=1，c=0，γ>0，这导致（3）等于零。

然而，这并不重要，因为这意味着消费率为零。更有趣的情况是，当k 6=0，MA时，表达式是有限的(-k） <∞ 或者，对于k=0，E[A]<∞. （6） 条件（6）是一个技术假设。实际上，死亡率呈指数增长，因此(-k） <∞ 例如，无论k的值是多少，马克汉重要性定律都能满足这一条件。此外，在高度简化的模型中，技术条件只是对k的真正限制。例如，在死亡率λ>0的恒力下，如果且仅当ifk>0时，条件（6）成立-(1 - γα)λ.当条件（6）成立且遵循最优策略（4）时，我们确定τe-ρscX？（s）γds+be-ρτ(1 - α） X？(τ)γi=十、（0）γb（1- α)γ1 - γαMAγ(-k） +γcγ1- MAγ(-k） k！如果k 6=0，X？（0）γb（1- α)γ1 - γα+γcγE[αγ]！如果k=0，（7），其中养老金储蓄总额X？（t） at t时≥ 0由X给定*（t） =xexpr+-γ1 - γu - rσt+Ztαλ（u）- c du+u- rσW（t）.在养老金储蓄X？的动态中，消费率已被恒定利率c所取代？因为它在优化问题中被假定为一个常数。尽管方程式（7）是明确的，但没有解析方法可以使用所选的马克汉定律死亡率模型（详细第4.3节）求解α和c的全局最大值点。这些全局最大值对应于问题（3）的最优常数储蓄比例和最优常数消费率。我们只能在数字上找到它们，接下来将在第5.1.1.5.1.1节中进行。在本节中，我们从数值上研究了tontineaccount中的最佳常数比例和最佳常数消耗率（通过方程（7）的评估计算）是如何随着退休人员的风险厌恶和遗赠动机强度的变化而变化的。

我们的目的是了解托丁账户中养老金储蓄的最佳恒定比例的行为——其波动性和幅度——因为γ和b是不同的。我们还研究了最优恒定消耗率。我们计算养老金储蓄投资于tontineaccount的最佳恒定百分比100α如何随权力效用函数中的风险规避系数变化，考虑到遗赠动机的不同强度（图B.2.2）。最优百分比被限制在[0，1]中，但结果表明，在我们的数值研究中，只有0的下界是有约束力的。为了最大化消费和遗产账户的预期贴现效用之和，存在一些意想不到的影响。这些影响最强烈，遗赠动机最强（b=7），因此我们首先将读者的注意力集中在这些结果上。首先要注意的是，如果没有遗赠动机（对应于b=0），那么退休人员最好将他们所有的养老金储蓄存入tontine账户。这个结果很清楚，无需进行任何数学优化。由于没有遗赠动机，退休人员可以最大限度地消费，因为他们不想把钱留给自己的遗产。然而，一旦我们出于遗赠动机进行额外分配，tontine账户中的最佳百分比就会显示出不同寻常的行为。随着退休人员风险厌恶程度的降低（即1- γ从值4下降到约0.5），tontine账户中的百分比下降。这是有道理的；退休人员希望把钱留给他们的遗产，而不是托丁成员。为了留下更大的遗产账户，他们愿意牺牲更高的消费。然而，随着退休人员的风险厌恶程度降低（即1- γ从值0.5下降到0），这种影响会急剧逆转。

退休人员向tontine账户分配了更多的钱。对这个令人惊讶的答案的解释是，如果退休人员活得很长，遗赠账户的价值就会非常大。图B.2.3a显示了65岁至100岁的遗赠账户价值样本。该示意图假设账户100%投资于无风险债券，该债券的年利率为5%（与我们的数字结果不同，该结果允许投资风险股票），消费是养老金储蓄总价值的9%的固定利率，80%的养老金储蓄分配给托丁账户。遗赠账户的价值从65岁时的20降至85岁时的13。然后在100岁时上升到43岁左右。在我们的模型中，退休人员从65岁存活到100岁的几率为6.6%。超过100岁，遗赠账户价值开始快速增长（图B.2.3b），这是因为随着退休人员死亡率的增加，寿命积分也在增加（图B.2.1a）。110岁时，遗赠账户的价值接近4000英镑，而120岁时，该账户的价值为178.4亿英镑。为了进一步支持我们对高龄遗赠账户价值极高影响的解释，我们重新进行了计算，但从100岁以上的价值函数中删除了任何“价值”。这消除了100岁以后可能发生的任何事情带来的效用收益，从而消除了在非常年老的时候看到的极高遗产账户价值带来的效用收益。调整后的计算结果如图B.2.4所示，事实上，对于风险厌恶程度最低的受试者（1），我们没有看到分配给tontine的百分比增加到100%（1- γ大致介于0和0.5之间）。

相反，tontine账户的百分比降至零。还需要注意的是，很少有退休人员能活过100岁：从65岁到110岁的存活概率为0.015×10-2至120岁为4.15×10-然而，退休人员寿命对所有tontine参与者的影响应该在一个比本文假设的更现实的框架内进行研究，该框架假设死亡率总是完美地汇集在一起。由于风险厌恶程度较低，退休人员赌的是活得很长，从而为他们的遗产节省了一大笔遗产。这种影响因希望最大化消费的预期贴现效用而加剧，这也导致退休人员将更多的钱存入tontine账户。这两个作用方向相同，导致分配给tontine账户的最佳百分比急剧增加，为1- γ从值0.5降至0。随着遗赠动机的强度减弱，人们观察到了相同的总体模式，尽管它不太明显。此外，对于风险厌恶程度较低且希望留下遗产的退休人员来说，结果非常敏感，这可以从这些退休人员托丁账户分配的快速变化中看出（B.2.2）。这表明，对于这些退休人员，应该找到对参数值的精确选择不太敏感的设置。图B.2.2所示的另一个有趣的影响是，随着退休人员变得更加厌恶风险，将略高于80%的养老金储蓄投资于tontine账户是最佳选择。

尽管遗赠动机的强度增加，但随着风险厌恶的增加，这一比例相对稳定。随着风险厌恶情绪的增加，托汀账户的储蓄接近80%左右，这表明遗赠动机在更多风险厌恶退休人员的预期效用收益中所起的作用要小得多。我们还计算了针对不同的遗赠动机强度，从养老金储蓄中提取的最佳固定利率c如何随风险规避系数（图B.2.5中的实线，标有“tontine”）变化。作为基准，我们计算了α=0时的最佳消费率，即经典消费投资电力效用最大化问题的一个版本，这是一种收入下降情况（图B.2.5中的虚线，标记为“无tontine”）。随着风险厌恶情绪的增加，最优消费率的变化在两种结构中都是相似的——现代遗产托丁（“有托丁”）和收入下降托丁（“无托丁”）。然而，正如预期的那样，具有遗赠合同的现代托丁的最佳消费率更高。最优消费率的增长越高，退休人员的风险规避程度越高。5.1.2. tontine中百分比的敏感性分析第5.1.1节中电力效用函数的数值结果表明，对于规避风险的退休人员，大约80%的储蓄分配给tontine账户。这一比例在不同的遗赠动机强度中保持稳定，令人惊讶。这个结果对参数的变化有多敏感？为了回答我们的问题，我们进行了敏感性分析，发现一般来说，敏感性不是很高。我们再次将分配给tontineaccount的养老金储蓄总额的比例限制在[0，1]的范围内。

我们首先通过将死亡率模型的一个参数从C=1.124更改为C=1.116，将65岁的预期寿命延长5年。然后，在各种金融市场模型参数下计算tontine账户中的最佳比例。完整的数值结果如图B.2.6所示。请注意，第4.3节中给出的相应原始参数为r=5%、u=8.5%、σ=20%和C=1.124。对于不同的参数集，对于风险厌恶程度较高的退休人员（即1- γ ≥ 3). 它完全在80%的范围内- 95%. 然而，随着投资者风险厌恶程度的降低，最优百分比的可变性也会增加，对于那些有强烈遗赠动机的投资者来说，这种可变性也会增加。较低的无风险利率（参数r）会导致在线账户中的最佳百分比较高。长寿信贷弥补了较低的利率，激励Theretrie对tontine账户进行更多投资。股票价格波动性越小（参数σ），在线账户中的最佳百分比就越高。随着股价波动性的降低，金融市场结果的不确定性降低。因此，货币消费率和遗产金额的不确定性降低。这意味着，随着σ的降低，更多的钱可以分配给在线账户，以增加消费，同时保持类似的遗赠金额。接下来，我们通过设置死亡率模型参数C=1.134，将预期寿命从65岁减少5岁。然后，在与之前相同的金融市场模型参数集下，计算tontine账户中的最佳比例。完整的数值结果如图B.2.7所示。

我们的兴趣在于这些结果如何与预期寿命较高的结果不同（图B.2.6）。更高的预期寿命（源自参数C）导致tontine账户中的最佳百分比更高，因为退休人员希望获得更长的寿命积分。然而，这并不是一个显著的影响，通过比较具有相同参数值（r、u、σ）的图形可以看出这一点。例如，考虑图B.2.6a和B.2.7a，两者之间的预期寿命与65岁相差10年，图B.2.6a的预期寿命较高。由于预期寿命下降了10年，托丁账户的最佳分配比例下降幅度相对较小。5.2. 具有固定比例α和可变消耗率的电力公司cNow我们研究了第5节概述的问题的第二种解释。TheRetrie已经决定了投资tontine账户的金额，这意味着投资tontine账户的储蓄比例α是已知的和固定的。问题是确定与α的每个值对应的最优投资和消费策略∈ [0, 1]. 因此，我们考虑了可变消费率，这与第5.1节中消费率为常数不同。这里只显示解析解。对于投资于tontine账户的储蓄的给定比例α，我们可以使用Hamilton-Jacobi-Bellman方程找到一个最优控制的候选者，以最大化公式（2）。也就是说，fixα∈ [0，1]并找到对照组（c，ω）∈ （^G，^G）得到表达式upc，ωEhZτe-ρscX（s）γ/γds+be-ρτ(1 - α） X（τ）γ/γi。

（8） 第A.3节概述了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方法的草图。在这个例子中，我们能够明确地确定投资策略和消费率，作为一个特定方程的解，称为奇尼方程。我们不计算消费率。利用幂效用函数，养老金储蓄总额中投资风险股票的比例为ω*（t） ：=w*:=1.- γu - rσ和消费养老金储蓄总额的比率isc*（t） ：=（γh（t））1-γ、 在每个t≥ 0，其中h是Chini方程的解0=th（t）+（1- γ)γγ-1h（t）γ/（γ）-1） +h（t）ψ（t）+Д（t）（9），其中Д（t）：=bγλ（t）（1- α） γ和ψ（t）：=γ（r+αλ（t））+γ1- γu - rσ- λ（t）- ρ.如果b=0，则方程（9）成为伯努利微分方程，具有明确的解决方案（Bjork，2009，练习19.2，第308页）。然而，如果b 6=0，这是本文关注的情况，那么方程的解必须通过数值确定。起始值h（0）需要通过适当的横截性条件或初始条件supω，cEhZτe来确定-ρsc（s）X（s）γds+be-ρτ(1 - α） X（τ）γi=h（0）X（0）γ。如何在对数效用下投资新的tontine结构在这里，我们在一般表达式中选择要最大化的对数效用函数形式。研究对数实用程序版本意味着我们为x设置u（x）=log（x）和B（x）=log（x≥ 0在目标函数中，由表达式（2）显示。与之前一样，我们的目标是找到一个投资策略ω∈^G，消耗c的正百分比∈^和tontineα中养老金总储蓄的恒定比例∈ [0，1]对于剩余寿命τ，因此supω，c，αEhZτe-ρslog（c（s）X（s））ds+be-ρτ对数(1 - α） X（τ）达到i（10）。