现代遗产托丁：集合年金产品的创新

Letω∈^和0≤ c∈^G，α≤ 那么在对数情况下，问题（10）中目标函数期望值内的被积函数是拟可积的，且为Hzτe-ρslogc（s）X（s）ds+be-ρτ对数(1 - α） X（τ）i<∞. （22）更精确地说，上述积分中的两个求和都是拟可积的，并且其期望值小于∞.证据根据Protter（2005年，第84页，定理37），方程（1）有一个唯一的解，可以用以下方式表示，X（t）=xexpZt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）-σω（s）ds+Ztσω（s）dW（s）.取对数yieldslog X（t）=log X+Zt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）ds+Ztσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds。（23）现在，我们估计（22）中出现的项。由于xis是一个常数，以下估计值成立。EhZ公司∞e-ρt日志x+t型≤τdti≤日志x+Z∞e-ρtdt=（对数x）+p<∞, （24）Ehe-ρτ日志(1 - α） x个+我≤日志(1 - α） x个+< ∞. （25）以下函数在上面有界，因为它是二次函数和凹函数，f（u）=（1- u） r+uu-uσ表示u∈ R、 因此，以下估计是正确的。EhZ公司∞e-ρtZt（1- ω（s））r+ω（s）u-ω（s）σds+t型≤τdti≤ ||f级+||∞Z∞e-ρtts（t）dt≤||f级+||∞p<∞, （26）Ehe-ρτZτ（1- ω（s））r+ω（s）u-ω（s）σds+我≤ ||f级+||∞E【E】-ρττ]≤ ||f级+||∞pMτ(-p/2）<∞. （27）设Z是Z（0）=0的连续局部鞅。利用离散指数E、Fatou引理和exp（u）的超鞅性质≥ u代表所有u≥ 0，我们观察到1≥ lim信息→∞EhE公司Z（t∧ τ)我≥ EhE公司Z（τ）我≥ EhE公司Z（τ）E（Z（τ））>1i≥ 呃Z（τ）-[Z] （τ）+i其中[Z]是Z的二次变化。特别是，我们观察到2≥ 呃Z（τ）-[Z] （τ）+i、 （28）现在，由于引理A.1，我们可以假定ω与τ无关，而不丧失一般性。特别地，ω和τ的正独立泛函的乘积与期望值交换。

将（28）应用于预期的结果，得出以下估计值，EhZ∞e-ρtZtσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds+t型≤τdti=Z∞e-ρtEhZtσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds+iS（t）dt≤ 2Z∞e-ρtdt=p<∞, （29）Ehe-ρτZτσω（s）dW（s）-Zτσω（s）ds+我≤ 呃Zτσω（s）dW（s）-Zτσω（s）ds+我≤ 2、（30）鉴于（11），我们认为∞e-ρtZtαλ（s）ds+t型≤τdti=α+Z∞e-ρt(-1） S（t）log S（t）dt≤ α+Z∞e-ρtdt=α+p<∞, （31）Ehe-ρτZταλ（s）ds+i=α+Z∞e-ρtS（t）log S（t）dt=α+MA(-p） <∞. （32）使用exp（u）≥ u+代表所有u≥ 0和c≥ 0，我们发现zτe-ρt日志c（t）-Ztc（s）ds+dt公司≤Z∞c（t）膨胀-Ztc（s）dsdt=Z∞t型- 经验值-Ztc（s）dsdt=1- 经验值-Ztc（s）ds≤ 1.（33）鉴于b≥ 0，将上述估计数（24）–（25）、（26）–（27）和（29）–（33）相加得出该报表。如前所述，下面的引理A.4似乎在相关文献中被用来为养老金储户提供最佳投资策略。由于我们找不到任何证明该声明的参考文献，为了完整起见，我们将其显示在下面。引理A.4。supω∈^Gc∈(R)GEhZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i=supω∈^Fc∈\'FEhZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i（34）=supω∈^Fc∈？FEhZ∞e-ρsS（s）Uc（s）X（s）+ bλ（s）b(1 - α） X（s）dsi。（35）更准确地说，对于任何给定的ω，c，从^F，^F来看，即使没有上述积分中两个求和的上确界，直线（34）到（35）之间的等式仍然成立。证据根据引理A.1，对于给定ω∈^和0≤ c∈^G，letν∈^Fand 0≤ ε ∈（17）分别成立。设Y是一个随机过程，其动力学由（1）给出，其中X：=Y，ω：=ν，c：=.由于ν和ε与τ无关，因此过程Y与τ无关。

由于所涉及的过程是拟可积的（对数情况见引理A.3），我们可以应用Fubini定理，它揭示了EHZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i=EhZ∞e-ρsUc（s）Y（s）τ≥tds+be-ρτB(1 - α） Y（τ）i=Z∞e-ρsEUc（s）Y（s）Eτ≥t型ds+EhZ∞是-ρsB(1 - α） Y（τ）λ（s）s（s）dsi=EhZ∞e-ρsUc（s）X（s）S（S）+be-ρsB(1 - α） X（s）λ（s）s（s）dsi。这与^Fn一起一个简单的不等式参数显示了该语句。A、 2。电力公用事业：固定消费率的最优策略建议a.5证明了第5.1节和第6节中分别针对电力公用事业和对数公用事业所述投资策略的最优性。命题A.6完成了第5.1节要求的证明。提案A.5。如果c是确定性控制，则最优投资策略ω*∈^f对于U和B的问题（2），两个电力公用设施由（4）给出。当U和B都是对数效用形式时，最优投资策略由（13）给出。证据我们给出了对数效用的证明，幂效用的证明遵循类似的方式。Letω∈^Fand t≥ 根据Protter（2005，p.84，定理37），方程（1）有一个唯一的解，可以用随机指数E表示，X（t）=xexpZt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）dsEZtσω（s）dW（s）.将功率转换为γ∈ （0，1）屈服强度x（t）γ=xγexpγZtfγ（ω（s））+αλ（s）- c（s）dsEZtγσω（s）dW（s）fγ（u）=（1- u） r+uu- (1 - γ） uσ/2表示u∈ R、 fγ相对于u的一阶和二阶条件为ufγ（u）=（u- r）- (1 - γ） uσ=0，uufγ（u）=- (1 - γ） σ<0，γ<1。特别是，u*(γ) = (u - r） /（σ（1- γ） ）是严格凹函数fγ全局最大值的唯一点。

当γ>0时，这意味着x（t）γ≤ xγ膨胀γZtfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）dsEZtγσω（s）dW（s）.考虑双方的期望，并使用c确定性应用E的超鞅性质，得到X（t）γ≤ xγ膨胀γZtfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）ds. （36）取两边的对数，应用Jensen不等式除以γ，第二步取极限为γ↓ 0，然后与（13）yieldsE进行比较对数X（t）≤ 日志EX（t）γ/γ≤ 对数x+Ztfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）ds，E对数X（t）≤ 对数x+Ztf（w*) + αλ（s）- c（s）ds。（37）当ω，X替换为ω时，不等式（37）变为等式*, 十、*. 在这种情况下，E是一个真鞅，从Novikov条件和ω可以看出*具有确定性。由于B（x）=U（x）=log（x），因此（35）中的被积函数在log x中是线性的。将（37）应用于（35）yieldssupω∈^FEhZ∞e-ρtS（t）Uc（t）X（t）+ bB型(1 - α） X（t）λ（t）dti公司≤ EhZ公司∞e-ρtS（t）Uc（t）X*（t）+ bB型(1 - α） X个*（t）λ（t）dti。实际上，作为ω*∈^F，上述不等式产生等式。这意味着，根据引理A.4，（2）的上限与（35）的上限重合。提案A.6。在电力设施问题（3）中，语句（6）和（7）是正确的。证据我们继续验证命题A.5。当ω，X替换为ω时，不等式（36）变为等式*, 十、*, 分别地见方程式（4）。所有γ都是这样∈ (-∞, 1) \\ {0}.因此，使用（5）、（11）和（36），我们可以按以下方式计算（35）。EhZ公司∞S（t）e-ρtcγX（t）γ/γ+b（1- α） γX（t）γ/γλ（t）dti=X（0）γγZ∞S（t）e-ρtcγ+b（1- α） γλ（t）经验值γZtfγ（u*（γ） ）dsdt=X（0）γγZ∞e-kte公司-(1-γα）Rtλ（s）dscγ+e-kte公司-(1-γα）Rtλ（s）dsb（1- α） γλ（t）dt=X（0）γγZ∞e-ktP[A>t]cγ+e-千吨级tP【A】≤ t] 1个- γαb（1- α） γdt。（38）注意γ<1和α≤ 1，因此为1- γα>0，因此为1/（1- γα）定义明确。在k 6=0的情况下，使用分部积分，我们可以看到-ktP[A>t]dt=1-R[0，u]e-ktPA（dt）k-e-kuP[A>u]k，代表u≥ 0

（39）如果MA(-k） =∞, 当A为正时，k<0是正确的。特别是，（1- 文学硕士(-k） ）/k=∞和-e-对于所有u，kuP[A>u]/k>0≥ 0、亨切斯∞e-ktP[A>t]dt=1- 文学硕士(-k） k，如果MA(-k） =∞. （40）接下来我们考虑MA的情况(-k） <∞. 当k>0时，e始终保持不变-库普[A>u]→ 0对于u↑ ∞. 此外，在k<0的情况下，以下估计值成立，MA(-k）≥Z[0，u]e-ktPA（dt）+e-库普【A>u】。特别是，重新安排条款和限制表明Limu→∞e-kuP[A>u]=0，如果MA(-k） <∞ k 6=0。（41）将（41）应用于（39）并将其与（40）相结合，则表明Z∞e-ktP[A>t]dt=1- 文学硕士(-k） k对于k 6=0。（42）另一方面，利用Fubini定理，我们可以显示∞e-k=0时，ktP[A>t]dt=E[A]。（43）此外，Z总是正确的∞e-千吨级tP【A】≤ t] 1个- γαdt=MA(-k） 1个- γα表示k∈ R、 （44）该陈述由（38）与（42）–（44）组合而成。A、 3。电力公用事业：可变消费率的候选人在本节中，我们勾勒出汉密尔顿-雅各比-贝尔曼方法，以在电力公用事业函数下找到最佳投资和消费策略的候选人，假设储蓄的最大比例α始终分配给tontine账户。我们希望最大化Zτe-ρsU（c（s）X（s））ds+be-ρτB（（1- α） X（τ））对于DX（t）X（t）给出的财富动态，在一系列投资和消费策略中=r+（u- r） ω（t）+αλ（t）- c（t）dt+σω（t）dW（t）。（45）我们首先定义值函数v（t，x，ω，c）=EZτte-ρ（s-t） U（c（s）X（s））ds+be-ρ(τ-t） B（（1- α） X（τ））X（t）=X，τ>t.要积分出τ，即随机死亡时间，请注意，生存到时间t>0的个体的概率密度函数条件为fτ|τ>t（s）：=λ（s）exp(-s的Rstλ（u）du）≥ t。

使用单MMA A.4可以将值函数重写为v（t，x，ω，c）=EZ∞tfτ|τ>t（t）ZTte-ρ（s-t） U（c（s）X（s））ds dT+bZ∞tfτ|τ>t（t）e-ρ（T-t） B（（1- α） X（T））X（t）=X.改变积分顺序并用Et，X表示期望值，条件是X（t）=X，V（t，X，ω，c）=Et，XZ∞te公司-ρ（s-t） U（c（s）X（s））Z∞sfτ|τ>t（t）dT ds+bZ∞tfτ|τ>t（t）e-ρ（T-t） B（（1- α） X（T））dT=Et，xZ∞te公司-Rst（λ（u）+ρ）duU（c（s）X（s））ds+bZ∞tλ（t）e-RTt（λ（u）+ρ）duB（（1- α） X（T））dT.因此，在定义函数^U（s）：=U（c（s）X（s））+bλ（s）b（（1- α） X（s）），（46）值函数可以重新表示为v（t，X，ω，c）=Et，XZ∞te公司-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds我们首先根据Jork（2009年，第19章）的技术推导相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。假设从时间t到时间t+h，参与者遵循任意的投资和消费策略（ω（s），c（s）），对于s∈ （t，t+h）。时间t+h后，参与者遵循最佳消费和投资策略。然后V（t，x）≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，xe-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h））. （47）定义运算符ω，cth（t，x）=th（t，x）+xxh（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c（t）]+xxxh（t，x）σω。假设有足够的可微性，这样我们就可以将伊藤引理应用于产品-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h）），我们使用（45）中的财富动态来确定-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h））=V（t，X（t））+Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds+Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）duX（s）Vx（s，X（s））σω（s）dW（s）。（48）将（48）代入（47），随机积分的期望值消失，剩下v（t，x）≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，x“V（t，x（t））+Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds#。重新排列最后一个不等式并取消V（t，x）项，我们得到0≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，x“Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds#。

（49）除以h>0，让h变为0，并假设足够的正则性，以便我们可以在期望值内取极限，得到0≥^U（t）-（λ（t）+ρ）V（t，x）+电视（t，x）+xxV（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c（t）]+xxxV（t，x）σω。如果我们选择最优的消费和投资策略，并用公式（46）中的^U（t）替换回来，那么我们得到等式：（λ（t）+ρ）V（t，x）=sup（ω，c）U（cx）+bλ（t）b（（1- α） x）+电视（t，x）+xxV（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c] +x个xxV（t，x）σω.（50）猜测价值函数v（t，x）=h（t）xγ的形式，（51）一阶条件表明候选最优投资策略为^ω（t）：=^ω：=1- γu - rσ，候选最佳消耗率为^c（t）：=（γh（t））1-γ.在等式（50）中设置ω：=^ω和c：=^c（t），并使用候选值函数（51）结果0=th（t）+h（t）γ（r+αλ（t））+γ1- γu - rσ- λ（t）- ρ!+bγλ（t）（1- α)γ+ (1 - γ)γγ-1h（t）γγ-1，准确地说是（9）。A、 4。对数效用：可变消耗率的最优策略在本节中，我们给出了与问题（10）相关的大多数证明。首先，我们使用启发式参数推导出解决方案，然后验证此解决方案。所需的另一个证据是证明投资策略的合理性（13）；命题A.5证明了这一点。我们首先定义x>0和t的对应值函数≥ 0 asV（x，t）=supω，c，αEhZτte-ρslogc（s）X（s）ds+be-ρτ对数(1 - α） X（τ）t<τX（t）=xi。我们观察到，对于x，y>0，V（x，t）和V（y，t）仅通过一个独立于≥ 特别是，无论t处的x是多少，优化问题都会导致相同的控制ω*, c*, α*.

特别是，这表明最优控制独立于最优财富过程，因此这表明最优控制是确定性的。如果c是确定性控制，那么命题a.5意味着最优投资策略ω*由（13）给出。此外，如果c，ω是确定性控制，则最优α*可以编写为相关确定性优化问题的解决方案。提案A.7。如果c是确定性控制，则最佳百分比α*≤ 问题（10）的1由（15）给出。证据在最优投资策略下，等式（37）相等。因此，supω∈^FEhZ∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ 日志(1 - α） X（t）bλ（t）dti=Z∞S（t）e-ρtbλ（t）对数（1- α） +（1+bλ（t））Ztαλ（s）ds+ S（t）e-ρt日志c（t）- （1+bλ（t））Ztc（s）ds+ S（t）e-ρt（1+bλ（t））对数X（0）+f（w*) t型dt。（52）尤其是最佳百分比α*≤ 1和下列函数的全局最大值点重合，g（α）=Z∞S（t）e-ρtbλ（t）对数（1- α） +（1+bλ（t））Ztαλ（s）dsdt=b对数（1- α） Mτ(-ρ) + αMτ(-ρ) - 文学硕士(-ρ） ρ+bMA(-ρ)对于α≤ 1，带Mτ(-ρ） =E【E】-ρτ]和MA(-ρ） =E【E】-ρA]。g areg（α）=-bMτ(-ρ)1 - α+Mτ(-ρ) - 文学硕士(-ρ） ρ+bMA(-ρ)= 0，g（α）=-bMτ(-ρ)(1 - α)< 0.尤其是α*from（15）是α的严格凹函数的全局最大值的唯一点∈ R、 根据（11），不等式P[τ≤ t]≥ P【A】≤ t] 适用于所有t≥ 因此，我们可以看到thatMτ(-p） =Z∞P[τ≤ 对数（t）/(-p） ]dt≥Z∞P【A】≤ 对数（t）/(-p） ]dt=MA(-p） 。鉴于b，p≥ 0和方程（12）和（15），不等式α*≤ 1适用。

因此，α*from（15）是α的全局最大值g的唯一点≤ 1，因此它是对数情况下的最佳百分比，问题（10）。根据（52），如果c是确定性的，那么最优c*因为问题（10）与UPC给出的变分法问题的解一致∈^FZ∞S（t）e-ρt日志c（t）- （1+bλ（t））Ztc（s）dsdt。使用Euler-Lagrange方程和适当的横截性条件，可以显示出（14）给出的备选解。为w的验证做准备*, c*, α*分别由（13）–（15）定义为问题（10）的最佳解决方案，我们引入了两个新函数。其中一个我们称之为Vand，它将证明这是潜在问题的值函数。定义A.8。V（t，x）=ψ（t）log（x）+ψ（t），对于t≥ 0和x>0，（53），其中Д（t）=Z∞te公司-ρsS（s）1+bλ（t）ds，（54）ψ（t）=Z∞te公司-ρsS（s）日志c*（s） +b日志（1- α） λ（s）+ ^1（s）r+（u- r） w*+ αλ（s）- c*（s）- （w）*)σ/2ds。（55）引理A.9（HJB方程的解）。如果α<1，则（53）中的V（t，x）在x中是两次连续可微分的，在t中是绝对连续的，并且在几乎每个t中，对于所有x>0的情况，完全满足以下部分微分方程≥ 0,0=最大值，whe-ρtS（t）日志（cx）+b日志(1 - α） x个λ（t）+ 电视（t，x）+xxV（t，x）r+（u- r） w+αλ（t）- c+ x个xxV（t，x）wσ/2i。（56）此外，c*, ω*分别由（13）、（14）定义，对应于（56）中最大化问题的解决方案。证据首先，我们确定ψ，ψ是有限函数，这意味着V具有claimedregularity，因为Lebesgue的微积分基本定理。利用分部积分和Sλ是随机变量τ的概率密度函数这一事实，我们可以看到z∞te公司-ρsS（s）e-ρtS（t）ds=p-pMτ(-p、 t）andZ∞te公司-ρsS（s）e-ρtS（t）bλ（s）ds=bMτ(-p、 t）。

（57）因此，比较c*,分别用（57）表示C*（t） =p1- (1 - bp）Mτ(-p、 t）=e-ρtS（t）Д（t），（58），这意味着Д是有限的。ρ>0和1时≥ Mτ(-p、 t）≥ 0，应用于（58）的一位代数表明，Д（t）=e-ρtS（t）1- (1 - bρ）Mτ(-ρ、 t）ρ≤ e-ρtS（t）1+bρ。（59）尤其是Д（t）≤ e-ρt1+bρρ，Д（t）λ（t）≤ S（t）λ（t）1+bρρ和Д（t）c*（t）≤ e-ρt.（60）（54），（58）和Дfinite（如前所示）以及bλ≥ 0，我们发现足够大的te-ρtS（t）log c*（t）≤ （1+ρt）e-ρt+e-ρtS（t）logД（t）= （1+ρt）e-ρt- e-ρtS（t）logД（t）≤ （1+ρt）e-ρt+Д（t）logД（t）=（1+ρt）e-ρt+t型^1（t）对数Д（t）- 1..（61）当α<1时，对数项（1- α） 现在是最后一天。特别地，e-ρtS（t）b对数（1- α） λ（t）≤ S（t）λ（t）b日志（1- α)< ∞. （62）函数Sλ和t 7→ （1+pt）e-ρtand t 7→ t（Д（t）（对数Д（t）-1） ）是可积的。尤其是，（60）–（62）是有限且可积的，而ψ、ψ又是有限的，因此V具有所声称的正则性。接下来，我们定义了两个函数，它们对应于两个基本的最大化问题（56）。h（c）=e-ρtS（t）log（c）- cx公司xV（t，x）=S（t）对数（c）- cД（t）andi（w）=xxV（t，x）（u- r） w+xxxV（t，x）wσ/2=Д（t）（u- r） w- И（t）wσ/2。这两个函数的一阶和二阶条件为ch（c）=e-ρtS（t）/c- Д（t）=0和cch（c）=-e-ρtS（t）/c<0，wi（w）=Д（t）（u- r）- Д（t）wσ=0和第一次世界大战（w）=-Д（t）σ<0。特别地，h和i是全局最大值为c的严格凹函数*和w*分别如（58）和（13）所示。很容易检查V ful fills（56）。引理A.10（横截条件）。设α<1。设c，ω分别为^F，^F中的元素。