现代遗产托丁：集合年金产品的创新

其他人则向其成员支付“长寿积分”，即在tontine参与者之间重新分配已故成员的资金，但没有具体说明资金应如何作为tontine参与者的收入提取。明确分配寿命积分的音调可归类为明确音调。每个成员都有一个单独的账户价值，该账户价值与投资回报、支付的任何新资金和tontine池的长寿信用一起累积。会员会根据自己的需要提取收入，尽管可能会对提取进行限制，以尽量减少不利选择和道德风险影响。相比之下，隐性托尼提斯承诺向参与者支付终身收入，但长期信贷并没有明确分配给参与者。例如，Piggott等人（2005）的团体自我年金计划就是一种隐含的托汀，Hanewald等人（2013）对此进行了进一步的研究；乔和Sherris（2013）；Valdez等人（2006年）。同样，米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）提出了一个隐式tontine，并将其扩展到米列夫斯基和索尔兹伯里（2016）的异质群体。隐性托汀的现实例子是TIAA发行的一些年金（Forman和Sabin，2015；Milevsky，2015）。显性tontine仍然可以向其成员支付收入，看起来就像隐性tontine。然而，他们明确地将长寿积分分配给参与者的个人账户。支付给参与者的Thusan收入取决于他们自己的个人账户价值。Donnelly等人（2014）提出了计算寿命积分的不同规则；萨宾（2010）；Stamos（2008）。Br–autigam等人（2017年）比较Donnelly等人的音调。

（2014）与Milevsky和Salisbury（2016）相比，但无法将这两个结构整合为一个单一的超拱结构。同样，Donnelly（2015）将Donnelly等人（2014年）的计划与Piggott等人（2005年）的集团自年金计划进行了比较，并发现如果每个计划中有足够的人，则由于共同投资风险产生的财务结果是相似的。3.2. 一种新的包含遗赠的音调结构我们研究一种包含理想化、明确化、现代音调的结构，这种结构在精算上瞬间是公平的。它假设参与者的人数是有限的，这是关于参与者死亡的大数定律。这种“完美池”假设使我们能够确定研究问题的分析解决方案。这种结构的后果是：o向参与者支付的收入预计将持续一生，o向参与者支付的收入平均高于没有任何寿命池结构的参与者的收入，并且o每个参与者的遗产在参与者死亡后收到一笔钱。我们考虑tontine结构中的一个参与者。与其他所有参与者一样，他们将养老金储蓄作为自己的储蓄进行隔离。只要他们活着，他们就可以从储蓄中获得投资回报和长寿积分，并以固定利率从储蓄中提取收入。退休人员的储蓄被分配到两个账户：托丁账户和遗赠账户。tontine账户被标记为tontine账户的一部分，在tontine账户中有很多参与者，长寿风险完全分散。未来寿命的分布没有不确定性。遗赠账户不是任何统筹安排的一部分。

账目如图B.1.1所示。这两个账户都以相同的利率获得投资回报，并以相同的利率提取资金以满足退休人员的支出需求。因此，遗产和托丁账户都被用来为退休人员的支出需求提供资金。遗产账户之所以这样命名，是因为它是在退休人员去世后支付给他们的遗产。只有tontine账户才能吸引长寿积分。长寿积分是托丁基金会成员在托丁基金会内持有的其他参与者账户的分配。反过来，当退休人员自己去世时，退休人员的tontine账户将重新分配给TontineMember。只有退休人员遗赠账户的价值留给他们的遗产。假设退休人员的死亡率为λ（t），并且他们的tontine账户值在时间t为Y（t），则长期信贷按λ（t）Y（t）的比率支付到他们的tontine账户中。这是完美的池版本（Donnelly et al.，2014；Stamos，2008）。我们假设死亡率是一个确定性函数，真实的死亡率与用于计算寿命积分的死亡率相同。分析死亡函数力的不确定性超出了本文的范围，而是留给未来的工作。拟议结构的关键思想是，相对于两个账户的总价值，退休人员在网上账户中的储蓄比例保持不变。退休人员从他们的账户中提取资金以维持生活，并以相同的比率从每个账户中提取金额。同样，由于这两个账户的投资方式相同，因此该账户的估值与投资回报率相同。

这意味着，由于取款和投资回报，两个账户的价值以相同的速度变化，tontine账户上获得的一些长寿积分会转移到遗赠账户，以保持两个账户的相对性。退休人员去世后，从tontine账户转入遗赠账户的长寿积分将不会在tontine参与者之间共享。对于我们的数学设置，完美池假设非常重要。这意味着，这种转移可能会占用tontine参与者的所有账户，不会影响向退休人员支付长寿积分的比率。在有限的资金池环境下，还需要进一步的工作，以确定转让对寿命信用的影响程度。在这里，我们的重点是理解提议的音调结构的广泛含义。通过假设一个完美的人才库，我们可以获得分析解决方案，让我们从更高层次了解退休人员对新产品的需求。我们假设tontine机制在任何时候都是精算公平的。换言之，每个退休人员的预期寿命积分值（只要退休人员还活着，就支付给退休人员）等于如果他们真的去世了，在很短的时间内，退休人员的tontine账户的预期损失。这是允许重新平衡退休人员的遗产账户和遗产账户的正当理由——从遗产账户转移到遗产账户的长寿积分由退休人员所有，不是遗产成员的集体财产。inDonnelly等人提出了在任何时刻都是精算公平的Tontine机制。

（2014）和萨宾（2010）。将一些长寿积分转移到遗赠账户会产生有趣的潜在后果，这可能会发生，也可能不会发生。与收入下降相比，寿命更长的退休人员更有可能获得更高的收入，也更有可能获得终身支付的收入。如果他们活得很长，他们甚至可能会得到比收入下降情况下更高的遗产，假设在这两种情况下都采取相同的投资策略和相同的金额。现在，我们将展示这两个账户的价值是如何发展的。设oX（t）=Y（t）+Z（t）=t时托丁账户和遗赠账户的总价值，即退休人员养老金储蓄的总价值，其中oY（t）=t时托丁账户的价值，以及oZ（t）=t时遗赠账户的价值。为了说明账户的功能，假设退休人员在其账户上获得固定的年度回报，并在时间t时以其养老金储蓄总额的c（t）提取资金。例如，如果c（t）=0.12，X（t）=100000，则退休人员在时间t时以c（t）X（t）=12000的年消费率消费。退休人员在每个时间t时都被分配一个死亡函数λ（t）的力。这就是逆向选择的原因。与终身年金一样，托汀也无法避免逆向选择效应。然而，对tontine成员的财务影响与人寿年金不同，因为tontine成员承担自己的长寿风险，而不是保险公司。退休人员的真实死亡力函数可能与其指定的死亡力函数不同。如果他们的真实死亡率低于指定的死亡率（即。

他们的寿命预计会比指定的死亡力所暗示的要长），那么，如果我们使用他们真正的死亡力，退休人员将获得比他们应该获得的更大的寿命积分。然而，对于退休人员来说，有一个下行风险，那就是被分配的死亡率低于他们真正的死亡率。可持续终身收入，即退休人员的账户总价值除以终身年金系数，将根据其指定的死亡率计算。退休人员将根据其真实的死亡率，以更快的速度提取其账户价值。如果退休人员的寿命足够长，则退休人员的账户可能在其去世前耗尽（假设提取了固定金额），或者其收入可能会降至非常低的水平（假设提取了总账户价值的固定百分比）。然后，用时间t时的λ（t）表示退休人员的死亡率，退休人员养老金储蓄总值的动态为dx（t）=（rX（t）+λ（t）Y（t）- c（t）X（t））dt。固定常数α∈ [0，1]并始终将金额αX（t）分配给tontine账户，即Y（t）=αX（t）。这是我们拟议结构创新特征的核心。通过替换上一个方程中的Y（t），我们得到dx（t）=（r+αλ（t）- c（t））X（t）dt。现在考虑tontine账户的动态，dY（t）=αdX（t）=（r+αλ（t）- c（t））Y（t）dt。最后一个等式右侧的术语αλ（t）Y（t）不是λ（t）Y（t）的原因在于重新平衡了从托丁账户到遗赠账户的价值。tontine账户赚取的longevitycredit利率λ（t）Y（t）部分转入遗赠账户。该结构介于纯托汀（α=1）和收入下降情况之间，没有寿命池（α=0）。

然而，由于重新平衡的特点，该结构不仅仅是一个纯粹的托丁账户和一个单独的收入提取账户。由于遗赠账户价值为Z（t）=（1- α） X（t），其动力学aredZ（t）=（r+αλ（t）- c（t））Z（t）dt。因此，在某种意义上，托丁账户和遗赠账户都获得了长寿积分，一个是直接的，另一个是通过重新平衡间接的。tontine账户以货币利率λ（t）Y（t）获得长寿积分，但随后必须转移其中的一部分，即货币利率（1-α） λ（t）Y（t），以保持所需的账户比率。在详细介绍了新的tontine结构之后，一个自然的问题是，应该向tontine账户和遗赠账户分配多少资金。为了回答这个问题，我们指定了一个优化问题，在该问题中，我们考虑到遗赠动机的不同优势。为了更好地理解新的tontine结构，我们在这篇文章中的目的是寻求显式解。除了增加最大动机的强度外，我们还为不同的可能效用函数给出了最优解。在下文中，我们不使用Y和Z表示法。4、模型和问题集通过描述金融市场模型和死亡率模型来支持我们，在此模型中，我们解决了第4.2节中规定的效用最大化问题，以确定最佳策略。第4.3.4.1节详细介绍了数值说明中使用的这些模型的参数化。符号、金融市场模型和退休人员特征(Ohm, F、 （Ft），P）是时间t上的过滤概率空间≥ 0以满足通常条件并支持驱动风险资产价格的布朗运动W的年份来衡量。

概率空间还支持一个与（Ft）无关的随机变量τ>0，表示代表性退休人员的随机死亡时间。市场上有两种交易资产：一种是具有价格过程P的无风险债券，另一种是具有价格过程E的风险股票。价格动态为dp（t）=rP（t）dt和dE（t）=uE（t）dt+σE（t）dW（t），其中u>r和σ>0是常数。tontine账户和遗赠账户的总价值由过程X表示。设（Gt）为使τ为停止时间且包含（Ft）的最小过滤。用所有局部n-可积（Gt）-可预测过程的^Gntheset表示，对于n∈ {1, 2}. Letoω∈^Gbe退休人员养老金储蓄总额中投资于riskystock的比例。oc∈^Gbe退休人员为满足其消费需求而提取养老金储蓄总额的比率。我们称c为消耗率。需要注意的是，c必须乘以养老金储蓄总额，才能得出货币消费率。例如，如果c（t）=0.1，X（t）=200000，则在时间t时，货币消费率为每年20000。o常数α∈ [0，1]是投资于tontineaccount的养老金储蓄总额的比例。托丁账户和遗赠账户不断重新平衡，以便始终保持这一比例λ是分配给退休人员的死亡率的局部可积力。生存函数（t）：=P[τ>t]=经验-Ztλ（s）ds, 对于t≥ 0、退休人员以αλ（t）X（t）的比率获得长寿积分，因为他们在每次t时将αX（t）的金额投资于tontine账户≥ 0.o常数x>0是退休人员的初始养老金储蓄总额。

最初分配给tontine账户的金额αxis和剩余金额（1- α） xis最初分配到遗赠帐户。养老金储蓄总额X，即托丁账户和遗赠账户的总和，是一个动态的自我融资过程X（t）X（t）=r+（u- r） ω（t）+αλ（t）- c（t）dt+σω（t）dW（t），（1）受制于X（0）=xa。s、 4.2。退休人员问题的具体说明为了确定退休人员应将多少养老金储蓄分配到tontine账户，我们考虑了退休人员从消费中获得的效用及其遗赠动机。最大化函数的一般形式isEhZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i、 （2）其中U和B是效用函数，常数B≥ 0衡量遗赠动机相对于消费欲望的强度。b值越高，遗赠动机越强。常数ρ>0表示退休人员的固定时间偏好率。为了解释表达式（2），在退休人员的随机死亡时间τ，遗赠账户的价值为（1- α） X（τ），即它是分数1- 养老金储蓄账户总价值X（τ）的α。从遗产中获得的效用是B(1 - α） X（τ）, 死亡时计算。在退休前，退休人员以c（t），t的比率消费养老金储蓄∈ [0，τ）。从消费中获得的效用实际上是每个时间点的消费效用之和，允许货币的时间偏好。在我们的论文中，效用函数U和B被选择为幂效用形式或对数形式。4.3.数值说明的模型参数化在数值说明中，我们假设退休人员在时间0时已年满65岁。

它们的致命力遵循马克汉定律，因此λ（t）=A+BC65+twith A=2.2×10-4，B=2.7×10-6年龄在65岁以上时，ANDC=1.124，对于t≥ 0（Dickson等人，2013年，示例3.13，第65页）。这条死亡法则意味着，65岁的老人有80%的几率活到80岁，95岁的几率为22%，110岁的几率不到1%。图B.2.1显示了65岁以后的死亡率和存活概率图。金融市场模型是Black-Scholes模型，详见第4.1节。对于参数，我们选择r=0.05、u=0.085和σ=0.2。这些都是合理的选择，因为价值在摩根大通资产管理公司（2017）等实证研究的估计范围内。对于货币的时间偏好率，我们设定ρ=r.5。如何在电力效用下投资新的tontine结构研究电力效用函数下表达式（2）的最大化，fix a常数γ∈(-∞, 1） \\{0}并为x选择u（x）：=xγ/γ和B（x）：=xγ/γ≥ 0、常数γ表示退休人员的风险规避，1-γ在文献中被称为常数相对风险规避（CRRA）。退休人员变得越来越回避风险-γ → +∞.公式（2）中的目标函数通过效用函数的选择得到了很好的定义。我们考虑对退休人员问题的两种可能的解释。这些对应于优化表达式（2）的两个集合。在第一种解释中，退休人员已经决定了他们的消费率以及在tontine账户上投资多少。因此，投资于tontineaccount的储蓄比例α和消费率c都是固定常数。我们为α的每个值确定最优投资策略∈ [0、1]和c≥ 0