随机视界上的Epstein-Zin效用最大化

对于ε>0，这形成了Heston模型的ε修正。[57]中使用它来获得随机波动的Scott和Stein-Stein模型中的市场风险价格界限，以及[47]中使用它来确保赫尔-怀特模型中的一致椭圆度。我们关注的随机视界将使用S的零均值回归过程的退出时间来确定（即下面的（4.10））。对于Heston模型（ε=0），该退出时间由[38，39]在ρ=0的假设下进行了详细分析。在下面，我们将按照[38，39]取ρ=0（其中ρ=1），因此Wρ=W。这得到了文献[51，18]中实证分析的支持，尽管文献中也有其他ρ的估计值（如[44，16]）。S的零均值回归过程（用W表示）定义为S的回归（即dSt/St）减去其漂移；即，dWt=pYt+εd^Wt，W=W∈ R、 （4.10）对于任何w∈ R和y>0，考虑随机视界τw，y：=inft型≥ 0：（Wt，Yt）6∈-五十、 L×（y，y）, （4.11）其中，L>0和0<y<是由代理先验选择的。这些常数反映了代理人对极端市场情况的容忍度：她进行消费投资优化，直到零平均收益W偏离0太远或波动率Y达到极值。鉴于（4.9）和（4.11），可以直接检查假设1是否满足。集合D：=-五十、 L×（y，y）。由于附录C（特别是定理C.1和（C.8））中确定的PDE特征，可以通过dt=u（Wwt，Yyt），Zt=kpYtuy（Wwt，Yyt），^Zt=pYt+εuw（Wwt，Yyt），（4.12）构造（3.6）的解（D，Z，^Z），其中u∈ C（D）是椭圆边值问题的唯一经典解-α（y- m） uy+kyuy+y+εuww=-Gy、 英国，英国√是的，√y+εuw, （w，y）∈ Du（w，y）=0，（w，y）∈ D、 （4.13）带g（y，D，z，^z）：=z+^z2γ+（1- γ） λ（y）γσ（y）^z+Δψθψe-ψθd+（1- γ)r（y）+λ（y）2γσ（y）- δθ.

（4.14）根据（3.9）、ρ=0和^ρ=1，最优策略的公式现在采用π的形式*t=λ+uw（Wt，Yt）γ和▄c*t=Δψe-ψθu（Wt，Yt）。（4.15）为了使这些策略达到最优，我们仍然需要检查假设2；回想引理3.1。为此，我们需要以下两个观察结果和一个技术引理：（i）eZt=^Zt（ρ=0和^ρ=1）在[0，τw，y]上有界：由（4.12），^Zt=（Yt+ε）uw（Wt，Yt）表示0≤ t型≤ τw，y.为u∈ C（D）且域D有界，{^Zt}0≤t型≤τw，yis有界，其上限可通过数值求解（4.13）找到。（ii）eC≤ 0：通过将[4]中的最大值原理应用到（4.13），我们得到了u≤ 回顾（4.12）中的DT=u（Wt，Yt），我们得出C=ess sup支持≥0Dt≤ 引理4.1。对于任何L>0和（w，y）∈ D、 考虑τw：=inft型≥ 0：Wt6∈-五十、 L≥ τw，y。然后，E【ecτw】<∞ 对于所有c∈ [0，c*), withc*:=αmks1级+kπαL- 1.+πε2L>0。（4.16）引理4.1的证明归入附录D.2。在下文中，我们fixγ=2，ψ=1.5，δ=0.08，r=0.05，α=5，k=0.25，m=0.0225，λ=0.47，与[33，54]中使用的参数相同。此外，我们取y=0.001和y=1，留下L>0作为唯一的自由变量。根据上面的观察（i）和（ii）以及引理4.1，只要L>0足够小（因此c*在（4.16）中，τw表示假设2中的两个指数动量条件。在目前的参数规范下，数值计算表明，ε=0，τw，对于所有0<L≤ 0.02.ε-修正扩大了L的允许范围。例如，ε=0.05，τw，所有0<L的假设为2≤ 0.08. 我们在图2（ε=0，L=0.02）和图3（ε=0.05，L=0.02，0.08）的状态空间（Yt，Wt）上绘制了最优策略（4.15）。在固定的范围内，结果与经典结果有很大不同。

根据[33，定理5.1]和[54，（2.14）]，给定固定期限T>0，（4.9）（ρ=1和ρ=1）下的最佳投资比率为π*f=λtγσt≡λγ.注意，这也可以从（3.9）中得出，如^Z≡ 固定水平上为0；详情见备注C.1。也就是说，无论市场状况如何，保持风险资产中财富的比例恒定是最佳选择。相比之下，在随机水平τw，y上，最优投资比π*随着市场的发展不断变化。从图2来看，应通过有限元方法，使用最大边长为0.005的三角形网格，保持riskyWe解（4.13）。此外，适当的软化=-五十、 L×（y，y）用于确保假设3中的边界正则性。对于L>0.02，假设2仍然可以满足τw，y，因为我们的计算涉及多个不需要尖锐的上界。图2：状态空间（Yt，Wt）上的最优策略（ε=0，L=0.02）。（a） （b）图3：状态空间（Yt，Wt）上的最优策略（ε=0.05，L=0.02，0.08）。当零平均回报Wt=w为正（即S相对于其平均回报表现良好）且波动率Yt=y较低时，资产S；当Wt=w为负（即SPER相对于其平均回报表现不佳）且Yt=y较低时，做空风险资产。事实上，在前一种（或后一种）情况下，由于波动率Ytis较低，S很可能在时间t之后的一段时间内继续表现良好（或较差）。类似地，根据【33，定理5.1】和【54，（2.14）】，固定水平t>0的最佳消费比由▄c给出*f（t，Yt）=Δψe-ψθv（t，Yt），其中v是柯西问题的解。很明显，~c*来自c的外国直接投资*在（4.15）中，u和v是不同微分方程的解。第2Let us first节的证明提供了有用的估计和基本结果。

回想一下命题2.1中引入的流程空间。对于任何T>0，定义空间Sq（[0，T]）、Mq（[0，T]）和bq（[0，T]），类似地，用Yt∧τ、 Zt公司∧τ、 和t≥ 0替换为Yt、Zt和t∈ [0，T]。对于任何（Yt、Zt）∈ B（[0，T]），q>0，根据Burkh–older-Davis-Gundy不等式，存在sk>0，与Y，Z，T无关，这样q·E支持∈[0，T]ZthYs，ZsdBsi≤ qKE公司（ZT | Ys | kZskds）1/2≤ Esup0≤t型≤T | Yt|1/2qKZTkZskds1/2≤E支持∈[0，T]| Yt|+qKE公司ZTkZskds< ∞, （A.1）第三个不等式来自ab≤a+b对于所有a、b∈ R、 具体原因是（Yt，Zt）∈ B（[0，T]）。引理A.1。固定T<∞. 给定（Yt，Zt）∈ B（[0，T]），连续局部鞅，zsdsi，T∈ [0，T]是一致可积鞅。证据必须表明支持∈[0，T]RthYs，ZsdBsi< ∞, 这在（A.1）中是正确的。A、 1命题2.1的证明在[10]和[46]的推动下，我们将构造B中的Cauchy解序列，并证明其极限解（2.4）。在其余的证明中，我们设置ξ：=e-Δθτc1-γτ和p：=1- 1/θ>1（通过γ，ψ>1）。（A.2）步骤1：构建溶液序列（Yn，Zn）n∈Nin B.对于每个n∈ N、 我们的目标是构造一个解决方案（Ynt，Znt）t≥0∈ Bto the BSDEYnt=ξ+Zτt∧τ[0，n]（s）F（s，cs，Yns）ds-Zτt∧τZnsdBs，t≥ 0。（A.3）注意，（A.3）是一个随机视界BSDE，是一个解（Ynt，Znt）t≥0将由【54】中的有限层位结果和对随机层位的适当扩展构成。具体而言，对于固定的时间范围【0，n】，由于【54，命题2.2】中的构造，存在唯一的解决方案（Yt，Zt）t∈[0，n]∈ B（[0，n]）至固定层位BSDEYt=E[ξ| Fn]+Znt[0，τ]（s）F（s，cs，Ys）ds-ZntZsdBs，t∈ [0，n]。（A.4）具体而言，Y是连续的，0<Yt≤ 所有t的E[ξ| Ft]a.s∈ [0，n]（因此，Y属于D类）。另一方面，由于c∈ C、 （2.5）表示E[ξ]=E[E-2Δθτc2（1-γ)τ] < ∞, i、 e.ξ是平方可积的。

因此，根据鞅表示定理，存在η∈ Msuch thatE[ξ| Ft]=ξ-ZτtηsdBsandηt=0表示t>τ。（A.5）现在，定义（Ynt，Znt）t≥0如下：（Ynt，Znt）：=（Yt，Zt）表示0≤ t型≤ n、 和Ynt：=E[ξ| Ft]和Znt：=ηt对于所有t>n。通过（A.4）和（A.5），可以直接检查（Ynt，Znt）t≥0∈ （A.3）之二解决方案；类似的构造可以在【46，定理4.1】中找到。步骤2：显示序列（Yn，Zn）n∈B中的Nis Cauchy。对于任意m，n∈ N当m>N时，考虑Yt：=Ymt-Ynt，Zt：=Zmt-Znt，和F（t，ct，Yt）：=F（t，ct，Ymt）-F（t，ct，Ynt）。我们打算证明k(年初至今，Zt）kB→ 0为m，n→ ∞.对于0≤ t型≤ n、 从（A.3）中观察到Yt=锌∧τt∧τF（s、cs、Ys）ds-Zτt∧τZsdBs+Zm∧τn∧τF（s，cs，Yms）ds=Yn公司∧τ+锌∧τt∧τF（s、cs、Ys）ds-锌∧τt∧τZsdBs。（A.6）回忆p>1 in（A.2）。应用It^o公式|Yt |，带（A.6）中的Ytas，收益率|年初至今∧τ|+Zn∧τt∧τkZtkds=|Yn公司∧τ|+2Zn∧τt∧τYs公司F（s、cs、Ys）ds- 2Zn∧τt∧τhYs，ZsdBsi=|Yn公司∧τ|+Zn∧τt∧τ(2δθYse公司-δsc1-1/ψs（（Yms）p- （Yns）p）ds- 2Zn∧τt∧τhYs，ZsdBsi。（A.7）自Ys=Yms-Yns，符号y必须与（Yms）p的相同-（Yns）p。如果θ<0，则得到2ΔθYse公司-δsc1-1/ψs（（Yms）p- （Yns）p）≤ 0.然后，我们从（A.7）中得出结论：|年初至今∧τ|+Zn∧τt∧τkZtkds≤ |Yn公司∧τ|- 2Zn∧τt∧τhYs，ZsdBsi。（A.8）这个，连同引理A.1，给出了锌∧τkZtkds≤ E类[|Yn公司∧τ|] - 2E类锌∧τhYs，ZsdBsi= E类[|Yn公司∧τ|].一般来说，[54，命题2.2]中导出的解不必位于B（[0，n]）。这是因为[54]假设了终端条件ξ上的可积性，而不是平方可积性。在我们的情况下，作为c∈ C、 E类E[ξ| Fn]≤E[ξ]=E[E-2Δθτc2（1-γ)τ] < ∞. 当E[ξ| Fn]是平方可积的时，[54，命题2.2]中的构造产生了B（[0，n]）中的解。

具体而言，我们从其证明的步骤1（见【54，附录A】）中获得了所需的解决方案，其中不需要步骤2。此外，通过使用（A.8）和（A.1），q=2，Esup0≤t型≤n个|年初至今∧τ|≤ E|Yn公司∧τ|+Esup0≤t型≤n个|年初至今∧τ|+ 2KE锌∧τkZskds,对于一些K>0，与m和n无关。根据前两个不等式，存在K>0，与m和n无关，因此esup0≤t型≤n个|年初至今∧τ|+Zn∧τkZtkds≤ KE公司[|Yn公司∧τ|]. （A.9）接下来，对于n<t≤ m、 从（A.3）中观察到Yt=Zm∧τt∧τF（s，cs，Yms）ds-Zτt∧τZsdBs=Zm∧τt∧τF（s，cs，Yms）ds-Zm公司∧τt∧τZsdBs，其中第二个等式从rτm开始∧τZsdBs=0，因为Zms=Zns=ηsfor all s>m∧ τ由步骤1中的构造确定。应用It^o公式|Yt |，带如上所述，给出|年初至今∧τ|+Zm∧τt∧τkZskds=2Zm∧τt∧τYsF（s、cs、Yms）ds- 2Zm∧τt∧τhYs，ZsdBsi≤ 2δ|θ| Zm∧τt∧τe-δsc1-1/ψs（E[ξ| Fs]）p+1ds- 2Zm∧τt∧τhYs，ZsdBsi，（A.10），其中不等式如下YtF（s，cs，Yms）=Δθe-δsc1-1/ψs（Yms）p（Yms- Yns）≤ -Δθe-δsc1-1/ψs（Yms）pYns≤ -Δθe-δsc1-1/ψs（E[ξ| Fs]）p+1，由于0≤ Yms，Yns≤ E[ξ| Fs]和θ<0。注意这一点Zm公司∧τn∧τe-δsc1-ψs（E[ξ| Fs]）p+1ds≤ E“Zm公司∧τn∧τE[ξ| Fs]2（p+1）dsZm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠#≤ EZm公司∧τn∧τE[ξp+1 | Fs]dsEZm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠, （A.11）其中，第一个不等式源自将Cauchy-Schwarz不等式应用于期望值内的积分，第二个不等式源自将Cauchy-Schwarz不等式应用于期望值，然后使用Jensen不等式。根据（A.2）和c∈ C、 E[ξ2（p+1）]=Ehe-2（p+1）Δθτc2（p+1）（1-γ） τi<∞. （A.12）因此，鞅表示定理需要E[ξp+1 | Fs]=E[ξp+1]+Rt∧τνsdBsfor someadapted processν。这允许使用[17，引理4.1]，从而得出C的完整性：=ERτe2δsEξp+1 | Fsds公司1/2. 然后我们从（A.11）中得到Zm公司∧τn∧τe-δsc1-ψs（E[ξ| Fs]）p+1ds≤ 总工程师Zm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠.

（A.13）根据（A.10）和引理A.1，这直接意味着Zm公司∧τn∧τkZskds≤ 2δ|θ| CEZm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠.此外，通过使用（A.10）和（A.1），q=2，Esupn公司≤t型≤m级|年初至今∧τ|≤ 2δ|θ| EZm公司∧τn∧τe-δsc1-1/ψs（E[ξ| Fs]）p+1ds+Esupn公司≤t型≤m级|年初至今∧τ|+ 2KEZm公司∧τn∧τkZskds,对于一些K>0，与m和n无关。通过组合前两个不等式并使用（A.13），存在K>0，与m和n无关，因此supn公司≤t型≤m级|年初至今∧τ|+Zm∧τn∧τkZtkds≤ Kδ|θ| EZm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠. （A.14）通过（A.9），（A.14），并回顾所有s>m∧ τ、 我们有支持≥0|年初至今∧τ|+Z∞kZtkds≤ KE公司[|Yn公司∧τ|]+Kδ|θ| EZm公司∧τn∧τe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠. （A.15）我们从步骤1知道0≤ Ymn公司∧τ、 Ynn公司∧τ≤ E[ξ| Fn∧τ] ，这意味着|Yn公司∧τ|=| Ymn∧τ- Ynn公司∧τ|≤ （Ymn∧τ） +（Ynn∧τ)≤ 2E[ξ| Fn∧τ]≤ 2E[ξ| Fn∧τ]. （A.16）因为（A.12）意味着{E[ξ| Fk]：k≥ 0}是一致可积的，我们从（A.16）thatlimm，n→∞E类[|Yn公司∧τ|]=limm，n→∞E|Ymn公司∧τ- Ynn公司∧τ|= E利姆，n→∞|Ymn公司∧τ- Ynn公司∧τ|= E|ξ -ξ|= 最后，由于（2.5），（A.15）中的第二项消失为m，n→ ∞. 因此，我们从（A.15）中得出结论，k(YZ） kB→ 0为m，n→ ∞, i、 e.{（Yn，Zn）}n∈Nis Cauchy in B.自Bis完成以来，limn→∞（Yn，Zn）=（Y，Z）∈ 存在。步骤3：极限（Y，Z）解（2.4），Y为D类。对于任何n∈ N、 自（Ynt，Znt）t≥0∈ Bsolves（A.3），Ynt=ξ+Zτt∧τ[0，n]（s）F（s，cs，Yns）ds-Zτt∧τZnsdBs，t≥ 0。（A.17）我们打算证明（A.17）中的每一项收敛于（2.4）中的相应项t型≥ 0P-a.s.，作为n→ ∞. 这意味着（Y，Z）满足（2.4）t型≥ 0每年，根据需要。首先，Yn→ Salready中的Y表示Ynt→ 年初至今t型≥ 0 P-a.s.表示rτt∧τ[0，n]（s）F（s，cs，Yns）ds→Rτt∧τF（s，cs，Ys）dst型≥ 每年0个。

（可能达到子序列），必须证明sup0≤t型<∞Zτt∧τ|[0，n]（s）F（s，cs，Yns）- F（s、cs、Ys）| ds= EZτ|[0，n]（s）F（s，cs，Yns）- F（s、cs、Ys）| ds→ 0作为n→ ∞,这是一个标准结果，可在[10]和[46]中找到。它在[10]和[46]中被明确使用，在[17]和[20]的证明中也被简单使用。相当于[0，n]（·）F（·，c·，Yn·）→ F（·，c·，Y·），单位为L（u），对于度量值u：={0≤t型≤τ} dt×dP。自Ynt以来→ 年初至今t型≥ 0 P-a.s.，F的连续性意味着[0，n]（t）F（t，ct，Ynt）→ F（t、ct、Yt）t型≥ 0每年，鉴于0≤ Yns，Ys≤ 所有s的E[ξ| Fs]≥ 0和n∈ N、 | F（s、cs、Yns）|≤ δ|θ| e-δsc1-1/ψsE[ξ| Fs]ps≥ 0和n∈ N∪{0}，其中Y：=Y。因此，如果我们能证明-δ·c1-1/ψ·E[ξ| F·]pisu-可积，支配收敛定理将给出期望的收敛[0，n]（·）F（·，c·，Y·）→ F（·，c·，Yn·），单位为L（u）。为此，请注意Zτe-δsc1-1/ψsE[ξ| Fs]pds≤ EZτe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠EZτE[ξp | Fs]ds, （A.18）其中第一个不等式源自两次应用Cauchy-Schwartz不等式，然后是Jensen不等式（类似于（A.11））。请注意，ERτe-2δsc2（1-1/ψ）十二烷基硫酸钠< ∞, 作为c∈ C见（2.5）。通过类似于（A.12）的论证和下面的讨论，我们得到ERτE[ξp | Fs]ds< ∞.然后，我们从（A.18）得出e的u-可积性-δ·c1-1/ψ·E[ξ| F·]p，根据需要。还有待证明rτt∧τZnsdBs→Rτt∧τZsdBst型≥ 每年0次出租Zns：=Zns- Zs。自Zn起→ Z in M，通过It^o等距，EZτt∧τZnsdBs公司≤ EZτkZnskds公司= kZnkM公司→ 0，对于每个t≥ 这意味着rτt∧τZnsdBs→Rτt∧τzsbsin概率，对于每个t≥ 因为（A.17）中的每一项（在左侧或右侧）都会收敛t型≥ 0 P-a.s.，Rτt∧τznsdbs也必须收敛t型≥ 0 P-a.s.因此，我们有rτt∧τZnsdBs→Rτt∧τZsdBst型≥ 0 P-a.s.最后，因为它保持P-a.s。

该0≤ Ynt公司≤ E[ξ| Ft]t型≥ 0和n∈ N、 还有那个Ynt→ 年初至今t型≥ 0，我们有0≤ 年初至今≤ E[ξ| Ft]t型≥ 0 P-a.s.因此，Y属于D类。步骤4：（Y，Z）是B中（2.4）的唯一解。这源于[54，命题2.2]中步骤3的直接应用。A、 2定理2.1的证明通过命题2.1，直接计算表明（Vc，Zc）是B中（2.3）的唯一解，并且是D类Vcis。为了证明最后一个断言，即Vcsaties（2.1）A.s.，我们首先注意到T 7→ Vct+Rt∧τf（cs，Vcs）ds是鞅。确实，对于任何0≤ u≤ t、 欧盟Vct+Zt∧τf（cs，Vcs）ds= 欧盟c1类-γτ1 - γ+Zτf（cs，Vcs）ds-Zτt∧τZcsdBs=祖∧τf（cs，Vcs）ds+Euc1类-γτ1 - γ+Zτu∧τf（cs，Vcs）ds-Zτu∧τZcsdBs+Zt∧τu∧τZcsdBs=祖∧τf（cs，Vcs）ds+Vcu，其中最后一个等式从Zc开始∈ M、 修复t≥ 根据上述鞅性质，Vct=EtVcm+Zm∧τt∧τf（cs，Vcs）ds, m级≥ t、 作为m→ ∞, 与[54，（A.5）]类似，我们可以将单调收敛定理应用于getVct+ΔθEtZτt∧τVcsds= Et公司Vτ+Zτt∧τδc1-1/ψs1-ψ(1 - γ） 风投公司1.-θds, （A.19）由于（2.2）中对f的定义以及Vc≤ 0，属于D类。表示条件期望EtRτt∧τVcsds以上定义明确，请注意0≥ Vcs=eΔθs1-γYs≥1.-γE[ξ| Fs]适用于所有s≥ 0，因此0≥ Et公司Rτt∧τVcsds≥1.-γEtRτt∧τE[ξ| Fs]ds> -∞, 其中，最后一个不等式的完整性来自于类似于（A.12）的论点及其下面的讨论。最后，观察（A.19）容易给出（2.1）。B第3B节的证明。1命题3.1的推导正如上述命题3.1所讨论的，构建（3.6）的解决方案具有挑战性，因为（3.10）中的生成器H在Z和^Z上具有二次增长，在D上具有指数增长。我们将分两步解决这一问题。

首先，我们构造了一个近似生成元序列{Hn}n∈N、 其中每一个在D中都只有线性增长，因此根据二次BSDE的标准结果，存在一个溶液（Dn，Zn，^Zn）。接下来，我们显示序列{Dn}n∈Nis从上方一致有界，这样limn→∞（Dn，Zn，^Zn）定义明确，并实际解决（3.6）。命题3.1的证明。为了简单起见，在整个证明过程中，我们将写出Zt=（Zt，^Zt），Mt=1 +(1 - γ） γρt,^Mt=1 +(1 - γ） γ^ρt, ht=（1- γ)rt+λt2γσt. （B.1）步骤1：构造近似解序列{（Dn，Zn）}n∈Nin S公司∞每n×M∈ N、 考虑BSDEDnt=Zτt∧τHn（s，Dns，Zns，^Zns）ds-Zτt∧τZnsdBst≥ 0，（B.2），其中发电机Hn定义为Hn（s，d，z，^z）=Msz+Ms^z+（1- γ） λsγσsρsz+（1- γ） λsγσs^ρs^z+（1- γ） γρs^ρsz^z+hs- δθ+ θδψψ{| d|≤n} e类-ψθd+{| d |>n}-ψθd+e-ψθn+ψθn. （B.3）将Hn与（3.10）中的H相比较，指数项e-ψθdis现在替换为j（d）：={| d|≤n} e类-ψθd+{| d |>n}-ψθd+e-ψθn+ψθn. （B.4）这确保d在[-n、 n]和线性，否则为严格正斜率-ψθ. 因此，d 7→ J（d）是连续的、严格递增的，且在R上呈线性增长。这与假设1一起，意味着BSDE（B.2）满足[11，定义3.1和假设A.1]。因此，根据【11，定理3.3】，存在唯一解（Dn，Zn）∈ S∞×Mto（B.2）。步骤2：建立{Dn}n的统一上界∈N、 以及（D，Z）至（3.6）的溶液。我们将构造一个发电机H，使Hn≤ H代表所有n∈ N、 γ>1且ρt，ρt∈ [-（B.1）中的M和^M满足Mt，^Mt∈γ, 1. 另外，由于ab≤a+b对于所有a、b∈ R(1 - γ） λtγσtηtz≤(1 - γ） λt2γσt+zand(1 - γ） γρt^ρtz^z≤(γ -1)γz+^z,对于ηt=ρt，ρt。