随机视界上的Epstein-Zin效用最大化

因此，Hn（t，d，z，^z）≤3（z+^z）+(1 - γ） λtγσt+（1- γ)rt+λt2γσt- δθ+ θΔψψJ（d）=3（z+^z）+（1- γ） rt+（2- γ） λt2γσt-δ1 -ψ!+ θΔψψJ（d）≤3（z+^z）+C+θΔψψJ（d），（B.5），其中C：=（1）- γ） （r）-δ1-ψ） 如果γ∈ （1、2）和C：=（1- γ） （r）-δ1-ψ) +(1-γ)(2-γ） 如果γ>2，则为2γCλ/σ；回顾（3.12）中定义的常数r、r和Cλ/σ。现在，defineh（d，z，^z）：=3（z+^z）- Δψd+C（B.6），并考虑BSD=Zτt∧τH（Ds，Zs）Ds-Zτt∧τZsdBs，t≥ 0。（B.7）从（B.4）中观察J（d）≥ -ψθd+1≥ -ψθd，对于所有d∈ R、 θ<0时，这意味着θΔψψJ（d）≤ -Δψd表示所有d∈ R、 这与（B.5）一起给出了（s、d、z、^z）≤ H（d，z，^z）在[0，∞) ×R，适用于所有n∈ N、 （B.8）注意发电机H满足【11，定义3.1和假设A.1】；特别地，它在d中是严格单调的。因此，我们可以应用[11，定理3.3]得到S中（B.7）的唯一解（d，Z）∞x M。此外，H在d中的线性依赖关系，以及负斜率-Δψ表示[31，定理2.3]也可应用于此处（其中H满足条件（ii））。因此，as（D，Z）是S中（B.7）的唯一解∞×M，它是[31，定理2.3]中的“最大解”，比较结果很容易成立。鉴于（B.8），这意味着≤ Dt公司≤欧共体t型≥ 0 a.s.，对于任何n∈ N、 （B.9）其中EC：=ess sup支持≥0Dt< ∞. 现在，对于任何n>eC，自Dnt起≤eC适用于所有t≥ 0 a.s.，我们从（B.4）中观察到J（Dnt）=e-ψθdnt对于所有t≥ 0 a.s.鉴于（B.3）和（3.10），我们有Hn（t，Dnt，Znt，^Znt）=H（t，Dnt，Znt，^Znt）t型≥ 0 a.s.即（Dn，Zn）满足度（3.6），对于所有n>eC。具体而言，（Dn，Zn）=（Dm，Zm）对于所有n，m>eC，和（D，Z）：=（Dn，Zn），对于n>eC，是S中（3.6）的解决方案∞×M.【31】中有两个不同的比较结果，即其中的定理2.3和2.6。特别是，定理2.3允许随机视界（因此我们可以在此应用），而定理2.6要求固定的终止时间。备注B.1。

在上述证明的步骤1中，我们无法控制e-（ψ/θ）din（3.10）通过截断-（ψ/θ）d∧ 【54】中使用的n。实际上，要应用[11，定理3.3]，生成器需要在d中严格单调；见【11，假设A.1（ii）】。自d 7起→ e-（ψ/θ）d∧ n是单调的，但不严格地说，（B.4）中的新截断J（d）起作用，它不仅保证了线性增长，而且保证了严格的单调性。[54]中没有这种挑战：在固定水平T>0（或，τ≤ T a.s.），可以应用更强的存在性结果【31，定理2.3】，它只要求生成器是单调的，但不严格要求，在d.备注B.2中。对于随机视界τ上的二次BSDE，[11，定理3.3]给出了解的存在性和唯一性，而[31，定理2.3]只给出了解的存在性，以及最大解和最小解的比较结果。注意，当τ无界时，[31，定理2.3]要求生成器在d中渐近线性；参见【31，（H1）】。因此，在上述证明的第2步中，我们需要首先使用[11，定理3.3]来获得唯一解。由于唯一解通常是最大解，因此可以调用[31，定理2.3]中的比较结果。这表明了H的重要性：它对d的线性依赖性，比Hn的线性依赖性简单得多，允许我们访问[31，定理2.3]中的比较结果。B、 引理的推导3.1我们将写X*= Xπ*,c*对于候选最优财富过程，具有（π*, c*) 定义见（3.9）。首先，我们研究X的可积性*. 回顾（3.12）中定义的Cλ/σ、r和r。引理B.1。假设γ，ψ>1，假设1成立。Let（D，Z，^Z）∈ S∞×Mbe a溶液至（3.6）和（π*, c*) 如（3.9）所示。给定x>0，x*t> 0表示所有t≥ 0 a.s。

此外，对于p≥ 0，E（十）*t） p{t≤τ}≤ xpE公司经验值2pr+p+4pγCλ/σt+4pγZteZsds{t≤τ}1/2, t型≥ 0;对于p<0，EC：=ess sup（supt≥0Ds）<∞,E[（X*π） p]≤ xpE公司经验值2pr- 2pΔψe-ψθeC+|p |+4pγCλ/στ+4p- 2pγZτeZsds, π ∈ T证据鉴于（3.3）和（3.9），X*满意度dx*t=Xt（rt- Δψe-ψθDt+λt+σteZtγσtλt）Dt+λt+σteZtγσtdWρt, 0≤ t型≤ τ、 式中，Ezt：=ρtZt+ρt^Zt。根据假设1和（D，Z，^Z）∈ S∞×Mthat X*t> 所有t的0≥ 此外，对于任何p∈ R、 （十）*t） p=xpexp压电陶瓷∧τ（rt- Δψe-ψθDt+as+（p- 1） bs）dsEt公司∧τ（L），（B.10），其中at：=λt+σteZtγσtλt，bt：=λt+σteZtγσt，Lt：=pRtbsdWρs，Et（A）表示某个过程A的随机指数。首先，我们寻找exp（pRt）的界∧τ（as-bs）ds）。如果p≥ 0，p在-英国电信= pλtγσt（γ-) +λtγσt（γ-1） eZt公司-2γeZt≤ pλtγσt（γ-) +λt2γσt（γ-1)= pλt2σt≤pCλ/σ，（B.11），其中第一行来自At和bt的定义，第一个不等式是由于λtγσt（γ-1） z-2γz=-2γz-λtσt（γ-1)+λt2γσt（γ-1), z∈ R、 同样，如果p<0，p在-英国电信= pλtγσt（γ-) +λtγσt（γ-1） eZt+2γeZt-γeZt≤ p-λt2γσt（γ-1)-γeZt≤ -pCλ/σ-pγeZt，（B.12），其中第二行是由于λtγσt（γ-) ≥ 0和λtγσt（γ-1） z+2γz=2γz+λtσt（γ-1)-λt2γσt（γ-1), z∈ R、 接下来，我们寻找L的二次变化的界。观察Hlit=pZt∧τ| bs | ds=pZt∧τλsγσs+2λsγσseZs+γeZsds公司≤ 2pZt∧τλsγσs+γeZsds公司≤2pγCλ/σ（t∧ τ） +Zt∧τeZsds, （B.13）如果第一个不平等源于ab≤a+b对于任何a，b∈ R（由takinga提供=√2λsγσ砂b=√γeZs）。现在，让我们来看看p≥ 0.对于任何t≥ 0，由于（B.10）和Δψe-ψθDt>0，E（十）*t） p{t≤τ}≤ Expexp公司压电陶瓷∧τrt+as+（p- 1） 学士学位ds公司E（L）t∧τ{t≤τ}≤ xpE公司经验值pr+pCλ/σt+hLitE（L）t{t≤τ},其中第二个不等式来自（B.11）。通过直接计算，E（L）t=E（2L）texphLit公司,对于所有t≥ 0

接下来就是（十）*t） p{t≤τ}≤ xpE公司经验值pr+pCλ/σt+hLitE（2L）texphLit公司{t≤τ}≤ xpEhexppr+pCλ/σt+2 HLIT{t≤τ} iE[E（2L）t]≤ xpEhexppr+pCλ/σt+2 HLIT{t≤τ} i，其中第二个不等式是应用H¨older不等式得到的，第三个是E[E（2L）t]≤ 1，因为E（2L）定义为非负局部鞅，因此是超鞅。最后，将（B.13）应用于上述不等式，得到p的期望结果≥ 0.对于p<0，使用与上述“p”相同的参数≥ 0”情况下，Δψe除外-ψθdt不能删除，1、r和（B.12）替换{t≤τ} ，r和（B.11），我们分别得到了期望的结果。现在，我们准备好展示（π）的容许性*, c*) 在（3.9）中。引理3.1的证明。由于引理B.1和假设2，E[（X*π） p-] < ∞ 对于所有π∈ T带p-= 2(2 -θ)(1 - γ） θ<0，这意味着{E[（X*π)1-γ]}π∈它是统一整数，即（X*)1.-γ为D类。仍需证明c*∈ C、 从（3.13）来看，其等于，EZτe-2δs（c*s） p+ds< ∞ 和Ehe-p-δθ1-γτ（c*τ） p-i<∞ （B.14）根据c的定义*（3.9）和（3.13）中的p+，（c*s） p+=（Δψe-ψθDsX*s） p+=δ2（ψ-1） e类-2(ψ-1） θDs（X*s） p+≤ δ2(ψ-1） e类-2(ψ-1） θeC（X*s） p+，其中EC：=ess sup（supt≥0Dt）<∞ 这个不等式是由于δ>0，ψ>1，θ<0。因此，EZτe-2δs（c*s） p+ds≤ δ(2(ψ-1） ）e-2(ψ-1） θeCEZτe-2δs（X*s） p+ds. （B.15）利用Fubini定理，我们得到Zτe-2δs（X*s） p+ds= EZ∞e-2δs（X*s） p+{s≤τ} ds公司=Z∞e-2δsE（十）*s） p+{s≤τ}ds公司≤Z∞e-2δsE经验值2rp++p++4p+γCλ/στ+4p+γZτeZudu{s≤τ}1/2秒≤2δZ∞2δe-2δsE经验值2rp++p++4p+γCλ/στ+4p+γZτeZudu·{s≤τ}ds公司1/2≤√2δE经验值2rp++p++4p+γCλ/στ+4p+γZτeZudu· τ其中，第一、第二和第三个不等式分别来自引理B.1、Jensen不等式和Fubini定理。

现在，通过采用假设2中规定的q>1并应用H¨older不等式，E经验值2rp++p++4p+γCλστ+4p+γZτeZsds· τ≤ E经验值q2rp++p++4p+γCλστ+4qp+γZτeZsds1/qEhτqq-1iq-1q<∞,假设2保证了完整性。这与（B.15）和（B.16）一起确定了（B.14）的第一部分。另一方面，使用c的定义进行简单的计算*和p-引理B.1表明（B.14）的第二部分在假设2下成立。B、 3定理3.1的证明将通过修改[54，引理B.1和定理2.14]中的参数来证明结果。Forany（π，c）∈ P、 定义Rπ，ct：=（Xπ，ct∧τ)1-γ1-γeDt∧τ和Fπ，ct：=Rπ，ct+Rt∧τf（cs，Rπ，cs）ds，对于t≥ 考虑到（3.10）中的H和第3.2节中的计算，通过构造局部上鞅，Fπ，cis。根据Doob-Meyer分解和鞅表示定理，存在一个递增过程Aπ，cand Zπ，c，如Fπ，ct=Rt∧τZπ，csdBs- Aπ，ct∧τ、 对于所有t≥ 我们从Fπ的定义及其分解推断出rπ，ct=（Xπ，cτ）1-γ1 - γeDτ+Zτt∧τf（c，Rπ，cs）ds-Zτt∧τZπ，csdBs+（Aπ，cτ- Aπ，ct∧τ） ，t≥ 注意到（3.6）中的Dτ=0，这表明（Rπ，ct，Zπ，ct）t≥0是（2.3）的上解。从定理2.1中重新调用，（Vc，Zc）是（2.3）的解。然后，比较结果意味着R≥ Vc；通过遵循[54，命题2.2]步骤3中的论点，可以建立这样的比较结果。因此，我们得到X1-γ1 - γeD≥ Vc，（π，c）∈ P、 从引理3.1中回想一下（π*, c*) ∈ P、 我们将显示上界x1-γ1-γeDis通过（π）实现*, c*). 同样，考虑到（3.10）中的H和第3.2节中的计算，Fπ*,c*通过构造局部鞅；因此，存在Z*使得Fπ*,c*t=Rt∧τZ*sdBs，适用于所有t≥ 0

这个给定srπ*,c*t=（X*τ)1-γ1 - γ+Zτt∧τf（c*s、 Rπ*,c*s） ds公司-Zτt∧τZ*sdBs，t≥ 0，表示X1-γ1 - γeD=EZτfc*s、 （十）*s） 1个-γeDs1- γds+（X*τ)1-γ1 - γ= Vc公司*,其中，最后一个等式来自定理2.1。C马尔可夫框架在本附录中，我们将随机视界τ作为分离过程从开放域的退出时间。这种额外的马尔可夫结构允许我们将BSDE（3.6）连接到具有Dirichlet边界条件的椭圆偏微分方程。这有助于将我们的随机视界分析与固定视界上的经典视界分析进行比较，因为之前的研究通常使用的是DE方法。我们特别发现，在（3.9）-（3.10）中包含^Z，虽然对于固定层位的情况来说是非常丰富的，但在随机层位上是必不可少的；详见备注C.1。再次说明，第4.2节利用本附录中的偏微分方程特征，以数值方式计算随机波动率赫斯顿模型中的最优策略。让我们记住[24]中椭圆方程的相关符号。考虑Rn，k的一个开放子集D∈ N、 和ν∈ (0, 1). H¨older空间Ck，ν（D）（分别为Ck，ν（D））定义为Ck（D）的子空间，由k阶偏导数与指数ν在D中一致（分别为局部）H¨older连续的函数组成。回顾第3.1节中的设置。除了（3.1）中的Y之外，我们还引入了一个额外的状态过程W，由dWt=α（Wt，Yt）dt+β（Wt，Yt）dWt+Γ（Wt，Yt）d^Wt，W=W给出∈ R、 （C.1）对于某些给定的Borel可测α，β，Γ：R×E→ R、 如[17，31，11]所示，我们将随机地平线作为（W，Y）从某个开集D中的退出时间 R×E，即τw，y：=inf{t≥ 0：（Wwt，Yyt）/∈ D} 。为了确保（C.1）的强解的存在和后续分析的充分正则性，我们根据【31，第6节】中的条件，对状态（W，Y）施加以下条件。假设3。

D R×E是一个开有界集D∈ C2，ν对于某些ν∈ (0, 1). 存在一个开集U R×E包含D，使得（i）α，β，Γ是U上的Lipschitz，infUβ（w，y）>0，infUΓ（w，y）>0，和β，Γ∈ C（U）；（ii）σ、r、λ、ρ、^ρ、a和b仅取决于y，infUb（y）>0和b∈ C（U）。假设1和3中的椭圆度条件保证了（W，Y）inD的非简并性，意味着τW，Y<∞ a、 s.鉴于（3.1）和（C.1），（W，Y）isL的最小发电机：=ay+αw+by型+β+ Γw+bβyw、 对应的椭圆型边值问题是u（w，y）+Gy、 u，buy+βuw, Γuw= 0，（w，y）∈ D、 u（w，y）=0，（w，y）∈ D、 （C.2）其中g（y，D，z，^z）：=1 +(1 - γ） γρ（y）z+1 +(1 - γ） γ^ρ（y）^z+（1- γ） λ（y）γσ（y）ρ（y）z+（1- γ） λ（y）γσ（y）^ρ（y）^z+（1- γ） γρ（y）ρ（y）z^z+Δψθψe-ψθd+（1- γ)r（y）+λ（y）2γσ（y）- δθ. （C.3）定理C.1。假设假设1和3成立。然后，（C.2）有一个唯一的解决方案u∈ C2，ν（D），带supD|u |<∞.证据对于任何（w，y）∈ D、 let（Dw、yt、Zw、yt、^Zw、yt）∈ S∞×Mbe随机视界τw，y（从命题3.1获得）上（3.6）的解，setC：=kDw，yk∞< ∞. 根据假设1和3中的椭圆度条件，（W，Y）在D中是非退化的，这意味着C独立于（W，Y）的选择。对于任何（w，y）∈ D、 D∈ R、 p=（p，p）∈ R、 定义函数G（w，y，d，p，p）：=a（y）p+α（w，y）p+G（y，d，b（y）p+β（w，y）p，Γ（w，y）p），（C.4），其中G在（C.3）中给出。我们的目的是利用[24，定理15.12]证明（C.1）解的存在性，这要求G满足yd·G（w，y，d，0，0）≤ 0为| d |≥ M、 对于某些M>0。（C.5）注意G（w，y，d，0，0）=Δψθψe-ψθd+（1- γ)r（y）+λ（y）2γσ（y）- Δθ，因此上述条件一般不需要成立。要解决此问题，请定义∈ C0,1（R）乘以Д（d）：=d+e-ψθC- C, d>C，e-ψθd，-C≤ d≤ C、 d+eψθC+C, d<-C、 在（C.3）中将函数G定义为G，并使用术语e-ψθdt在此替换为Д（d）。

考虑相应的边值问题lg+GД（y，G，bgy+βgw，Γgw）=0，对于（w，y）∈ Dg（w，y）=0，对于（w，y）∈ D、 （C.6）用G代替G，如（C.4）所述定义G。请注意，GД满足（C.5），是Lipschitz onD×R×Runder假设1。因此，我们可以应用【24，定理15.12】来获得一个解∈ C2，ν（D）至（C.6）。现在，定义过程Dw，yt：=g（Wwt，Yyt）。应用It^o公式yieldsdDw，yt=-G^1Yyt、Dw、yt、Zw、yt、Zw、ytdt+Zw，ytdWt+Zw，ytd^Wt（C.7），其中Zw，yt：=bg级y（Yyt，Wwt）+βg级w（Yyt，Wwt）和Zw，yt：=Γg级w（Yyt，Wwt）。另一方面，def neu（w，y）：=所有（w，y）的Dw，yf∈ D、 由于（3.6），dDw，yt=-Ht、 Dw、yt、Zw、yt、^Zw、ytdt+Zw，ytdWt+^Zw，ytd^Wt=-G^1Yyt、Dw、yt、Zw、yt、^Zw、ytdt+Zw，ytdWt+^Zw，ytd^Wt，其中第二行来自（3.10）和（C.3）中的H和G定义，以及| Dw，yt |≤ C代表所有t≥ 使用[31，定理2.6]中二次BSDE的比较结果，我们得出结论：对于所有（w，y），g（w，y）=Dw，y=Dw，y=u（w，y）∈ D、 因此，u∈ C2，ν（D）解（C.6），从而解（C.2）（as | u（w，y）|=| Dw，y |）≤ C、 使GД=G）。唯一性源自【4，定理1.2】中具有二次增长的偏微分方程的比较原理。现在，设（D，Z，^Z）是在命题3.1中得到的随机视界τw，y上BSDE（3.6）的解。（3.6）和（C.2）之间的联系可以通过以下P-a.s.表示法精确说明：对于所有t≥ 0，Dt=u（Wwt，Yyt），Zt=buy（Wwt，Yyt）+βuw（Wwt，Yyt），^Zt=Γuw（Wwt，Yyt），（C.8），其中u∈ C2，ν（D）是（C.2）的解。这简单地通过将It^o公式应用于u得出结论。（C.8）的一个重要信息是，^Z可以完全落在固定的地平线上，但在考虑随机地平线时，通常是不可分解的。备注C.1。IfΓ（w，y）≡ 0 in（C.1），τw，y的随机性完全来自w。

然后，（C.8）表示^Z≡ 0，表示可以在第3.2节中完全降下^Z。通过取α，这特别覆盖了固定水平T>0的标准情况≡ 1, β ≡ 0, Γ ≡ 0英寸（C.1）和D=（w- ε、 w+T）×E，对于任何ε>0。带^Z≡ 0时，第3.2节中的设置与[54、47、40、34、33]中的设置在固定水平上一致。尤其是^Z≡ 0导致更简单（π*, c*) （3.9）和（3.10）中的andH，恢复了[33，定理5.1]和[54，（2.12），（2.13）]。当τw，y的随机性来自w和^w（即Γ（w，y）6≡ （C.1）中的0，（C.8）表示^Z不等于零，因此通常不能省略。D第4D节的证明。1用[33，定理4.9]证明命题4.1，柯西问题（t，y）+H（u，-σuy）=α -σuy（t，y）-σuyy（t，y），y∈ R、 t型∈ [0，T），u（T，y）=1，y∈ R、 有唯一的正解h∈ C1,2（[0，T]×R），从上方和远离零的方向界定；此外，khyk∞< ∞. 取0<h<h，使0<h≤ h（t，y）≤ h代表所有（t，y）∈ [0，T）×R.define u（T，y）：=h（T，y）+（h+1）和^u（T，y）：=h（T，y）-（h+1）。直接计算证实u（resp.^u）是（4.5）的有序上（resp.lower）解；见【45，第99页，定义2.1】。由于H和hyare有界，满足了[45，定理4.2]的条件，从而给出了唯一有界解u的存在性∈ C1,2（[0，T]×R）至（4.5）。D、 引理4.1的推导为了证明引理4.1，我们需要首先描述τw引理D.1的生存概率。对于任何L>0和（w，y）∈ D、 P（w，y，t）：=P（τw>t | w=w，y=y）=∞Xn=04(-1） nπ（2n+1）exp-An（αt）-2αkBn（αt）y余弦（2n+1）πwLt型≥ 0，（D.1），其中，在符号βn下：=kα（2n+1）π和εn：=（2n+1）π√2αLε、 An（s）：=2αmkln(n+1）+(n- 1） e类-ns2n+αm(n- 1） k+εns、 Bn（s）：=βn2L1.- e-ns系列(n+1）+(n- 1） e类-ns系列, 具有n： =p1+（βn/L）。（D.2）（D.3）证明。

P（w，y，t）的相关后向福克-普朗克方程为Pt=-α（y- m）Py+kyPy+（y+ε）Pw、 （D.4）初始条件P（w，y，0）=1，边界条件P（±L，y，t）=0。与[38]相似，asw 7→ P（w，y，t）是一个偶数函数（由于（4.10）），它可以表示为傅立叶级数，即P（w，y，t）=∞Xn=0Pn（y，t）cos（2n+1）πwL傅里叶系数pn（y，t）=LZL/2-L/2P（w、y、t）cos（2n+1）πwL数据仓库。（D.5）根据（D.4）和（D.5），变量s=αt和v=（2αk）y的变化给出了方程Pn编号s=-（五）- u)Pn编号v+vPn编号v-βn2LvPn+εnPn，（D.6），初始条件Pn（v，0）=4(-1） nπ（2n+1），其中u：=2αmk和βn，ε在引理D.1的陈述中定义。这可以通过ansatzPn（v，s）=4来解决(-1） nπ（2n+1）exp(-An（s）- Bn（s）v）。区分并将其替换回（D.6），我们得出：-vBn（s）+Bn（s）+Bn（s）-βn2L!+ uBn（s）+εn。请注意，Bn（s）必须解Riccati方程Bn（s）=-Bn（s）- Bn（s）+βn2L, Bn（0）=0，（D.7），其中An（s）=uBn（s）+εn，表示An（s）=uRsBn（t）dt+εns。[38]中推导出的（D.7）的解如（D.3）中所示。因此，可以按照（D.2）计算An（s）。因此，生存概率具有代表性P（w，v，s）=∞Xn=04(-1） nπ（2n+1）exp(-An（s）- Bn（s）v）cos（2n+1）πwL, （D.8）具有上述规定的BN。将变量（v，s）改回（y，t）得到（D.1）。现在，我们准备证明引理4.1。我们将在（D.2）和（D.3）中使用相同的符号。引理4.1的证明。回忆（D.1）中的P（w，y，t），并确定Fw，y（t）：=1- P（w，y，t），t∈ [0, ∞), 任意c的τw.分布函数∈ [0，c*), 由于部分积分，E[ecτw]=Z∞ectdFw，y（t）=- 限制→∞ectP（w，y，t）+1+cZ∞ectP（w，y，t）dt。（D.9）表明E【ecτw】<∞, 向验证人提供it支持∞ectP（w，y，t）dt<∞ （因为它很容易暗示限制→∞ectP（w，y，t）=0）。