随机视界上的Epstein-Zin效用最大化

特别地，称为相关函数的ρ和^ρ满足ρ（t，y）+^ρ（t，y）=1表示所有（t，y）∈ R+×E。初始财富x>0的代理人必须决定一个比例πt∈ 用于投资therisky资产的财富R和消费率ct≥ 每时每刻0 t≥ 随机终止时间τ前0。相应的财富过程Xπ，cis由dxt=Xth（rt+πtλt））dt+πtσt给出ρtdWt+^ρtd^Wt我- ctdt，=Xt[（rt+πtλt）]dt+πtσtdWρt]- ctdt，X=X，（3.3），其中rt，λt，σt，ρt，ρt分别表示r（t，Yt），λ（t，Yt），σ（t，Yt），ρ（t，Yt），ρ（t，Yt），和wρt：=ZtρsdWs+Ztρsd^Ws，t≥ 0又是一个布朗运动。我们对市场系数执行以下条件。假设1。系数σ、r、λ、ρ、^ρ、a和b在E中为局部Lipschitz；过程Y在有限时间a.s.内未达到E的边界。；{rt∧τ} t型≥0和{λt∧τσt∧τ} t型≥0是有界进程（即属于∞); 对于R+×E的任何紧致子集K，infKσ（t，y）>0和infKb（t，y）>0。如果策略（π，c）属于A：={（π，c）：c，则称为可容许策略（π，c）∈ C、 对于所有0，Cτ=Xπ，Cτ，Xπ，ct>0≤ t型≤ τa.s.}。代理打算通过选择一对（π）来最大化她的爱泼斯坦锌效用vc*, c*) 来自某个适当的集合P A、 也就是说，目标是达到最佳值v*:= sup（π，c）∈PVc，（3.4），其中vc是（2.1）的解，其中cτ=Xπ，cτ，通过某种策略（π*, c*) ∈ P、 集合P A由代理选择。在本文中，我们将P作为一组许可策略，具体定义见下文（3.11）。3.2 ANSATZ由时间可分离电力设施的经典分解驱动（参见。

[47，第3节]）和[54，（2.9）]中Epstein Zin效用的分解在固定的范围内，我们怀疑最优效用过程*可分解为V*t=X1-γt∧τ1 - γeDt∧τt≥ 0，（3.5），其中D是满足BSDEDt=Zτt的过程∧τH（s，Ds，Zs，^Zs）Ds-Zτt∧τZsdWs-Zτt∧τ^Zsd^Ws，t≥ 0，（3.6）对于一些待确定的发电机H。请注意，（3.5）和（2.1）建议过程t 7→X1-γt∧τ1 - γeDt∧τ+Zt∧τfcs，X1-γs1- γeDs！ds（3.7）应该是任意（π，c）的超鞅∈ 最优策略（π）的P和鞅*, c*).类似于[54，p.234]中的详细计算，得出上述过程的漂移项：X1-γt1- γeDt- H（t，Dt，Zt，^Zt）+Zt+^Zt+（1- γ） （rt- ~ct+πt（λt+σtρtZt+σt^ρt^Zt））-γ(1 - γ） （πtσt）+ΔθИc1-ψte-Dtθ- δθ,式中▄ct：=ct/Xt是单位时间内消耗的财富比例。这表明h（t，Dt，Zt，^Zt）=（1- γ） rt+Zt+^Zt- Δθ+inf▄c≥0-(1 - γ） c+ΔθИc1-ψe-Dtθ+ infπ∈R(1 - γ)πλt+σtρtZt+σt^ρt^Zt-γ(1 - γ） πσt. （3.8）解决所涉及的最小化问题产生候选最优策略（π*, c*):π*t=λt+σt（ρtZt+ρt^Zt）γσtandc*德克萨斯州*t=~c*t=Δψe-ψθDtt型∈ [0，τ），（3.9），其中X*:= Xπ*,c*是候选人的最佳财富过程。将这些插入（3.8），我们得到h（t，Dt，Zt，^Zt）=Zt+^Zt+（1- γ） rt公司- Δθ+Δψθψe-ψθDt+（1- γ） （λt+σtρtZt+σt^ρt^Zt）2γσt.重新排列和简化术语givesH（t，Dt，Zt，^Zt）=Zt1 +(1 - γ） γρt+^Zt1 +(1 - γ） γ^ρt+(1 - γ） λtγσtρtZt+（1- γ） λtγσt^ρt^Zt+（1- γ） γρt^ρtZt^Zt+Δψθψe-ψθDt+（1- γ)rt+λt2γσt- δθ. （3.10）备注3.1。（3.9）（3.10）中的^Z与固定水平情况有很大的不同。事实上，可以通过取^Z获得[54，p.235]中的公式≡ （3.9）-（3.10）中的0，导致更简单的生成器和更直接的投资策略。

这种简化在我们的情况下没有任何作用：只有使用附录C中详细说明的附加过程^Z才能完全捕获τ的随机性；具体见备注C.1。为了理解上述启发式推导，第一项任务是证明BSDE（3.6）的解的存在，其中生成器H在（3.10）中给出。这可能很棘手：H在Z和^Z上都有二次增长，在D上也有指数增长（θ<0）。[31]研究了具有二次增长的BSDE，并将其扩展为[13、14、11]。[13，14]中的结果对我们的案例来说似乎很有希望，但数据的指数增长阻止了我们使用它们。虽然[54]中有一种截断技术可以抑制D中的指数增长，但它需要一个有界的时间范围。最终，我们将设计一种新的截断技术，以在可能无限的随机范围内抑制D的指数增长；详见备注B.1。在包含指数增长的情况下，巧妙地使用[11]和[31]插入序列（详见备注B.2）可产生以下结果。提案3.1。假设γ，ψ>1，假设1成立。如果τ<∞ a、 在美国，存在一个解（D，Z，^Z）∈ S∞×Mto（3.6），H在（3.10）中给出。命题3.1的证明归入附录B.1。备注3.2。除了（3.5），另一个有用的分解是V*t=X1-γt1-γPkt，对于某些过程和k∈ R参见[56，47]。该ansatz可以潜在地生成更简单的BSDE，而不会出现（3.10）中所示的二次或指数增长；见下文第4.1节。然而，这种简化只有在^Z时才起作用≡ 0且相关函数为常数，即ρ（t，y）≡ ρ.备注3.3。在固定的范围内，[54，命题2.9]，类似于命题3.1，是在没有风险λ/σ市场价格有界的情况下建立的。

具体而言，通过使用Girsanov定理改变度量，简化了[54，（2.13）]中的生成器，类似于（3.10）中的H，以减轻λ/σ的影响。然而，Girsanov定理要求固定的视界T>0。由于我们的随机视界τ可以是无界的（即P（τ>T）>0表示所有的T>0），因此不清楚[54]中的相同技术如何应用于这里。因此，我们仍然在假设1中施加λ/σ的有界性。请注意，即使在固定水平的情况下，这也是一种常见的假设；参见【33、49】。3.3验证（π*, c*) 在（3.9）中，由于提案3.1，仍需通过一套适当的策略来显示其最佳性。如果策略（π，c）属于toP：={（π，c），则称为allowable∈ A：（Xπ，c·）1-γ为D类}。（3.11）该策略集合在[15]中用于γ>1的可分时间电力公司。这也符合[54]中允许的策略集。在【54，命题2.9】的段落中，要求（Xπ，c·）1-γeD·属于D类。这相当于（3.11），因为过程D·在我们的设置中受到限制（根据命题3.1）。本小节的目的是建立候选（π）的inp的最优性*, c*).表明（π*, c*) 在允许的情况下，随机视界τ带来了非平凡的挑战。与固定视界情况相反，D的有界性（根据命题3.1）并不意味着ATR·ZTDW和·^Ztd^Wtare BMO鞅。事实上，在估计BMO范数时，一些涉及的常数与水平面有关，它们很容易在一个潜在无界的水平面τ上爆炸；参见例如[43，引理3.1]和下面的注释[27，（2）]。换句话说，BMOarguments有助于在固定的范围内确定策略的允许性（参见。

[54，引理2]和[43，引理3.1]），不适用于我们的随机视界情况。为了继续，我们直接在随机视界τ上施加适当的可积性条件，从中可以得到（π）的容许性*, c*) 可以派生。为此，我们在此设置λ/σ：=λt∧τσt∧τ∞, r：=ess sup支持≥0rt∧τ, r：=ess inf输入≥0rt∧τ. （3.12）注意，由于假设1，这些常数是有限的。此外，我们考虑p+：=21.-ψ> 0和p-:= 2.2.-θ(1 - γ) < 0. （3.13）假设2。Let（D，Z，^Z）∈ S∞×Mbe命题3.1中（3.6）的解，seteZt：=ρtZt+ρt^Zt。我们假设存在q>1，这样e经验值q2rp++p++4p+γCλ/στ+4qp+γZτeZsds< ∞安第斯山脉经验值-p-δ1 - 1/ψ+2rp-- 2p级-Δψe-ψθeC+|p-| +4p-γCλ/στ+4p-- 2p级-γZτeZsds< ∞其中EC：=ess sup支持≥0Dt< ∞.备注3.4。从文献来看，假设2没有限制性。先前关于随机视界τ上消费投资问题的研究（具有时间可分离效用）都需要τ≤ 固定T>0的T a.s；参见例如[8、9、21、30、28]。假设2简单地涵盖了这种情况，同时考虑了适当的无界τ。此外，这种指数矩条件对于随机视界BSDE很常见，例如[10，（A4）]，[46，（c），第4节]和[17，（25）]。备注3.5。根据所采用的特定市场模型，可以在一定程度上放宽假设2。例如，在下面第4.2节中考虑的赫斯顿模型中，eZ是一个有界过程，它在很大程度上简化了指数矩条件。借助于假设2，我们可以导出（π）的容许率*, c*) 在（3.9）中。引理3.1。假设γ，ψ>1，假设1和2成立。那么，（π*, c*) （3.9）中定义的属于P。引理3.1的证明被归入第B.2节。带（π*, c*) ∈ P、 需要证明的是（π*, c*) P内最优；即求解（3.4）。

鉴于第3.2节中的论点，这归结为表明（3.7）中的过程是每个（π，c）的超鞅∈ （π）的P和amartingale*, c*). 这可以通过修改[54，定理2.14]中的参数来实现。定理3.1。假设γ，ψ>1，假设1和2成立。那么，（π*, c*) （3.9）中定义了（D，Z，^Z）∈ S∞（3.6）的×Ma解是（3.4）的最大值。此外，对于任何初始财富x>0，最佳Epstein Zin效用由V给出*=x1-γ1-γeD。定理3.1的证明被归入第B.3.4节示例。在本节中，我们分别考虑第4.1节和第4.2节中的两个具体示例。目的有两个。首先，我们明确证明，与经典的固定视界情况相比，视界的随机性极大地改变了最优策略；见图1、2和3。此外，在技术方面，示例展示了如何在实践中验证假设1和2。对于随机视界τ有界的情况（第4.1节），可以直接检查假设。对于τ无界的情况（第4.2节），需要详细估计τ的力矩母函数；参见引理4.1.4.1违约问题：有界时间范围在本例中，我们采用Kraft和Steffeensen[35]的框架，并考虑涉及违约债券的消费投资问题。这将把[35，32]从分时实用程序推广到Epstein Zin首选项。具体而言，我们取（3.2）到BEDTT=rStdt，S=1，dSt=St（αdt+σdWt），S=S>0，（4.1），其中r，α∈ R和σ>0为常数。注意，这是一个完整的市场：不依赖于（3.1）中的附加市场状态Y或附加布朗运动^Win（3.2）（特别是，我们取ρ≡ 1和^ρ≡ 0英寸（3.2））。

此外，由于（4.1）中的所有系数都是常数，假设1很容易满足。根据[35，7]，过程S代表已发行股票和零息票债券（到期日T>0，面值K>0）的公司的固定价值。债券有一个安全因素：在到期日T>0之前，如果公司价值下降到某一阈值（破产水平），公司将被迫破产并移交给债券持有人。在【35】之后，我们将破产级别设为beBt=Le-κ（T-t） t型∈ [0，T]，对于某些常数L，κ≥ 如果在时间T之前从未达到破产水平，公司将在到期时赎回债券（即向债券持有人支付K>0）。投资公司股票的代理人旨在实现最佳的Epstein Zinutility价值，即V*在（3.4）中，在随机视界上τ：=τ∧带τ的T：=inf{T≥ 0：St≤ Bt}；即强制破产或债券到期的时间，以先到者为准。由于τ是有界的，可以应用[54，引理B.2]和[43，引理3.1]中的参数，表明r·ZsdWsis是BMO鞅。该性质以及τ的有界性确保满足假设2；另见备注3.4。在目前完整的市场环境下，ansatz V*t=X1-γt1-γPγt，对于某些过程P，将有助于减少（3.6）中的非线性；相关讨论见备注3.2。具体地说，由于（4.1）中没有涉及到^W，我们可以通过取^Z将（3.6）中的最后一项去掉≡ 在变量spt=eγDt和Qt=γZteγDt的变化下，（D，Z）（带^Z≡ 0, ρ ≡ 1和^ρ≡ 0）变为BSDEPt=1+Zτt∧τH（Ps，Qs）ds-Zτt∧τQsdWs，t≥ 0，（4.2）表示（P，Q），其中h（P，Q）：=（1- γ)(α - r） γσq+θΔψγψp1级-γψθ+1.- γγr+（α- r） 2γσp-Δθγp。最优策略（3.9）可以用（p，Q）表示为π*t=（α- r） Pt+γσQtPtγσ=α- rγσ+Qtσp和▄c*t=ΔψP-ψθγt。

（4.3）为了解决（4.2），让我们引入辅助状态过程Yt=-在St，t≥ 0.通过取pt=u（t，Yt）和Qt=-σuy（t，Yt）（4.4）对于某些u：[0，t]×R待测定，（4.2）得出PDEut（t，y）+H（u，-σuy）=α -σuy（t，y）-σuyy（t，y），y<-ln（L）+κ（T-t） ，t<t；u（t，y）=1，否则。（4.5）Y的引入，乍一看非常丰富，确保Uyanduyin（4.5）前面的系数是常数，这有助于推导下面的命题4.1。如果（4.4）中的Y被原始状态S替换，则生成的PDE将更加复杂。提案4.1。对于任意α，r∈ R、 σ>0，L，κ≥ 0，存在唯一的有界解u∈ C1,2（[0，T]×R）至（4.5）。命题4.1的证明归入附录D.1。根据（4.3）和（4.4），π给出了最佳策略*t=α- rγσ-uy（t，Yt）u（t，Yt）和▄c*t=Δψu（t，Yt）-γψθ，（4.6），其中u是命题4.1中唯一的经典解。备注4.1。在无违约的标准情况下，由于没有破产水平，因此（4.5）的第一行适用于所有∈ R和第二行成为终端条件u（T，y）=1。通过ansatz u（t，y）=p（t）表示所有（t，y），简化了（4.5）∈ [0，T]×R，减少到ODEp（T）+1- γγr+（α- r） 2γσp（t）-Δθγp（t）+θΔψγψp（t）1-γψθ= 0，p（T）=1。（4.7）这是一个伯努利方程，具有闭式解P（t）=e-C*（T-t）-ΔψC*e-C*（T-t）- 1.θγψ，t∈ [0，T]，带C*:= δψ + (1 - ψ)r+（α-r） 2γσ. 将u（t，y）=p（t）插入（4.6），然后恢复[49，定理4]中的最优消费和投资政策，即π*t： =α- rγσ和￠c*t=C*C*δψ- 1.e-C*（T-t） +1个-1.（4.8）在续集中，我们确定T=5（年），L=90，κ=0，r=δ=0.03，α=0.12，σ=0.3，与[35]中使用的参数相同。如果α>r，预计固定值S将在长期内超过Sin。

然而，一旦S下降到L=90的水平并发生强制破产，这种上升潜力就会消失。换言之，与标准的无违约情况相比，由于强制实施的破产水平，S的预期增长被削减，使得对Sless的投资变得更有价值。代理人可能会储蓄更多（相对于消费和投资），更多地依赖无风险资产来弥补风险资产的回报损失。图1：t=0与固定价值的最佳消费和投资比率。上面板系数γ=2，变化ψ；下一个系数为ψ=1.5，变化为γ。通过（4.6）计算实体曲线；虚线是通过（4.8）计算的无默认情况下的基准水平。右上角的绘图只有一条虚线，因为没有默认级别α-rγσ与ψ无关。事实上，如图1所示，对于γ和ψ的不同值，最佳消费和投资比率（实线）均低于无违约情况下的经典水平（虚线），表明储蓄的财富比例更大。值得注意的是，企业价值越接近破产水平，与无违约情况的偏离就越大。直觉上，如果初始固定资产价值远高于L=90，则不太可能发生强制破产，因此对S的预期增长几乎没有影响。因此，最优策略与无违约情况下的策略相似。当Sis接近L=90时，强制破产的可能性更大，从而更严重地扭曲了最优策略。有趣的是，最佳投资比率π*对EISψ敏感-与爱泼斯坦锌偏好下的大多数发现相反。在无违约（因此固定期限）的情况下，在恒定投资机会下，π*保持标准默顿比α-rγσ，与ψ无关；参见【49，定理4】。

即使投资机会是随机的，[54，第3节]从数字上显示ψ对π的影响很小*; 参见下面的讨论【54，（3.2）】。破产级别的引入明显改变了这一点：π*现在随ψ增加。请注意，破产水平带来了额外的时间不确定性investmenthorizon何时结束？当企业价值接近破产水平时，这很可能与[35]中关于时间可分离公用事业的结论一致：当γ>1时，最优投资策略偏离默顿比率α以下-rγσ，当企业价值接近破产水平时更为显著。事实上，最优策略收敛到无默认情况下的策略→ ∞.地平线将在短期内结束。在达到破产水平之前，企业价值仍有再次上升的风险，这将不确定地扩大范围。当γψ>1时（由于我们的规格γ，ψ>1），代理人倾向于提前解决不确定性（见[36，52]），因此希望风险溢价来补偿时间不确定性。随着ψ的增加，π的相应增加*在某种意义上，可以将其视为增加的风险溢价，因为更倾向于尽早解决不确定性。事实上，如果风险实际发生，即S再次上升而不触及L=90，则风险越大，补偿越丰厚。4.2退出问题：无界时间范围在本例中，我们让W和^W之间的相关性为常数，即ρ（t，y）≡ ρ ∈ [-1，1]，取（3.1）和（3.2）至贝迪=-α（Yt- m） dt+kpYtdWt，Y=Y>0，dSt=rStdt，S=1，dSt=Sthr+λ·Yt+εdt+pYt+εdWρti，S=S>0，（4.9），其中α、r、k、m、λ和ε为非负常数，2αm>k满足，使得yt>0t型≥ 0 a.s.对于ε=0，这是随机波动率的标准赫斯顿模型，已在[34、33、54]中进行了研究。