有保证金风险和召回风险的卖空

一些所谓极为特殊的股票的贷款费用如此之高，以至于其回扣率可以忽略不计，甚至为负（见D\'Avolio 2002）。6克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利τ*ζρ0zxx+CTX图2.1。卖空问题的三种可能结果（2.9）。下（绿色）路径说明了卖空在时间τ最佳收盘的情况*, 这是股票价格首次达到假定的最优clos e-out阈值z*. （在这个阶段，我们不知道最佳收尾策略是阈值策略，但我们应该证明事实确实如此。）上方（红色）路径说明了在时间ζ，股票价格首次超过其初始值x，超过抵押品预算c，导致卖空结束的情况。中间（蓝色）路径说明了在随机时间ρ，由于股票召回导致卖空结束的情况。对于所有x∈ (0, ∞), 其中j（x，τ）：=ExAe-r（τ∧^τκ+c∧ρ)"Aκ -Xτ∧^τκ+c∧ρ"a~a=ExAExA{ρ≤τ∧^τκ+c}e-rρ（κ- Xρ）Fτ∧^τκ+c~a+e-r（τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧τκ+c"aPxρ>τ∧ ^τκ+c | Fτ∧^τκ+c"a~a=ExCZτ∧^τκ+ce-rt（κ- Xt）λe-λtdt+e-r（τ∧^τκ+c）"Aκ- Xτ∧^τκ+c"aZ∞τ∧^τκ+cλe-λtdta=ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）t（κ- Xt）dt+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）"Aκ- Xτ∧对于所有τ，τκ+ca，（3.1b）∈ S、 注意，对于所有x，V（x）=媫V（x）|κ=x∈ (0, ∞), 由于ζ=^τx+cPx-a.s.因此，可以从问题（3.1）的解构造问题（2.9）的解。3.2. 相关的自由边界问题。问题（3.1）的时间同质性使我们推测该问题的最佳停止时间是阈值时间。也就是说，这是第一次τˇz*股价超过某个阈值Z*∈ （0，κ+c）来自上面。

如果这是真的，我们可以通过解决以下z的自由边界问题来解决问题（3.1）*∈ （0，κ+c）和“V”∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）（见Peskir和Shiryaev 200 6，第三章）：LX“V（x）- （λ+r）“V（x）+λ（κ- x） =0，（3.2a）对于所有x∈ （z）*, κ+c）；“V（x）=κ- x、 （3.2b）具有保证金风险和召回风险的卖空7所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞); 和V′（z*+) = -1.（3.2c）换句话说，z*∈ （0，κ+c）和“V”∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）必须满足连续区域（z）中的有序微分方程（3.2a*, k+c），停止区域（0，z）中的瞬时停止条件（3.2b*] ∪ [κ+c，∞), 自由边界z处的平滑粘贴条件（3.2c）*.为了分析问题（3.2），我们首先假设它允许一个由大量z组成的解决方案*∈ （0，κ+c）和函数“V∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）。后者可以表示为齐次方程（2.3）的通解，α=λ+r，以及一个特定的解bv∈ C（0，∞) 对于非齐次方程（3.2a），如下所示：“V（x）=Aφλ+r（x）+Bψλ+r（x）+bv（x），（3.3）对于所有x∈ （z）*, κ+c），其中A，B∈ R是常数。出租x↓ z*和x↑ （3.3）中的κ+c，并将结果表达式替换为“V（z*) 和“V（κ+c）i nto（3.2b），产生方程aφλ+r（z*) + Bψλ+r（z）*) +bv（z*) = κ - z*andAφλ+r（κ+c）+Bψλ+r（κ+c）+bv（κ+c）=-c、 这可以解为giveA="Aκ- z*-bv（z*)"aψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aψλ+r（z*)φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）- φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*)andB="Aκ- z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）。当这些表达式插入（3.3）中时，我们得到“V（x）="Aκ-z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（κ+c）φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)ψλ+r（x）-φλ+r（x）ψλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) -φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+bv（x），（3.4）对于所有x∈ （z）*, κ+c）。

将该表达式的导数代入（3.2c）产生自由边界z的以下隐式特征*∈ （0，κ+c）："Aκ- z*-bv（z*)"aφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（κ+c）φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+"Ac+bv（κ+c）"aφλ+r（z*)ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（z*)φλ+r（κ+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（κ+c）+bv′（z*) = -1.（3.5）最后，给定α>0，回想一下预解算子Rα作用于合适的函数sg：（0，∞) → R如下：（Rαg）（x）：=ExCZ∞e-αtg（Xt）dta，8 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEYfor all x∈ (0, ∞) （见Borodin和Salminen 2002，第I.7节）。此外，Rαg满足普通微分方程lx（Rαg）（x）- α（Rαg）（x）+g（x）=0，对于所有x∈ (0, ∞). 通过将该方程与（3.2a）进行比较，我们可以看到后一个方程的特殊解由bv（x）：="ARλ+Rλ（κ- ·)"a（x）=ExCZ∞e-（λ+r）tλ（κ- Xt）dta=λκλ+r-Z∞λe-（λ+r）tEx（Xt）dt=λκλ+r-Z∞λe-（λ+r）txeutdt=λκλ+r-λxλ+r- u，（3.6）对于所有x∈ (0, ∞).3.3. 确定参数状态。前面的分析证明了解z的存在性*∈ （0，κ+c）到（3.5）是问题（3.2）加入溶液所必需的。相反，f函数“V”∈ C（0，∞)∩C（z*, （3.4）定义的κ+c）满足普通微分方程（3.2a）以及边界条件（3.2b）和（3.2c），如果z*∈ （0，κ+c）满意度（3.5）。因此，当且仅当自由边界方程（3.5）允许唯一解z时，问题（3.2）才允许唯一解*∈ （0，κ+c）。现在我们将详细研究这个方程的解。首先，考虑函数H∈ C（0，∞), 给定byH（z）：=F′（z）G（z）- F（z）G′（z）wλ+rs′（z）+F（κ+c），对于所有z∈ (0, ∞) , 式中，wλ+ris为Wronskian（2.6）和F，G∈ C（0，∞) 由f（z）给出：=bv（z）- (κ - z） =r- uλ+r- uz-rκλ+randG（z）：=φλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c），对于所有z∈ ( 0, ∞).

因此z*∈ （0，κ+c）满足（3.5）i f且仅当H（z*) = 0，根据恒等式wλ+rs′（z）=φλ+r（z）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（z），所有z的带保证金风险和召回风险的卖空9∈ (0, ∞) . 现在，观察h′（z）=F′（z）G（z）- F（z）G′（z）+2uzσz"AF′（z）G（z）- F（z）G′（z）"awλ+rs′（z）=F′（z）G（z）-σzF（z）"A（λ+r）G（z）-uzG′（z）"a+2uzσz"AF′（z）G（z）- F（z）G′（z）"awλ+rs′（z）=σzLXF（z）- （λ+r）F（z）wλ+rs′（z）G（z）=σzLXbv（z）- （λ+r）bv（z）+uz+（λ+r）（κ- z） wλ+rs′（z）G（z）=σzrκ+（u- r） zwλ+rs′（z）G（z），对于所有z∈ (0, ∞), 其中，第一个等式来自于恒等式s′（z）=-2uσzs′（z）（见Borodin和Salminen 2002，第二节9），第二个等式源自于α=λ+r时G满足（2.3）的事实，最终等式源自于满足（3.2a）。注意，G（κ+c）=0意味着H′（κ+c）=0。还要注意，G（κ+c）=0，G′（κ+c）=wλ+rs′（κ+c）意味着H（κ+c）=0。也就是说，H在κ+c上有一个根，这也是一个固定点。然而，κ+c不是（3.5）的解，因为如果z*= 其次，由于φλ+randψλ+rare严格地分别递减和递增，因此G严格递增。因此，对于所有z，G（z）<0∈ （0，κ+c）；G（κ+c）=0；对于所有z，G（z）>0∈ （κ+c，∞). 最后，请注意，对于所有z，s′（z）>0∈ (0, ∞).下一个命题使用之前的观察结果对H的根进行了完整描述。通过这样做，它确定了七个参数区域，这将有助于组织第4节中问题（3.1）的解决方案。提案3.1。

H的根取决于模型参数，如下所示。（a） 如果参数满足u<rcκ+cand r>0，（3.7a），则κ+c处的根是H的局部最大点，函数在某个点z处有一个次根∈第0节，rκr- ua （0，κ+c）。（b） 如果参数满足u=rcκ+c且r>0，（3.7b），则κ+c处的根是唯一的，也是H的反射点。（c）如果参数满足rcκ+c<u<r且r>0，（3.7c），则κ+c处的根是H的局部最小点，并且函数在某些点z处具有次根∈圣尔κr- u, ∞a （κ+c，∞).10 KRISTOFFER GLOVER和HARDY HULLEY（d），如果参数满足u≥ r和r>0，（3.7d）则κ+c处的根是唯一的，也是H的全局最小点。（e）如果参数满足u<0且r=0，（3.7e）则κ+c处的根是唯一的，也是H的全局最大点。（f）如果参数满足u=0且r=0，（3.7f），则H为相同的零。（g） 如果参数满足u>0且r=0，（3.7g），则κ+c处的根是唯一的，也是H证明的全局最小点。（a） ：假设条件（3.7a）成立，在这种情况下0<r-rcκ+c=rκ+c<r- u，因此点'z：=rκ/（r- u）满意度∈ （0，κ+c）。观察rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，’z）；rκ+（u-r） \'z=0；和rκ+（u- r） z<0，对于所有z∈ （(R)z，∞). 结合前面描述的G和s′的性质，这意味着H′（z）<0，f或allz∈ （0，’z）；H′（\'z）=0；H′（z）>0，对于所有z∈ （\'z，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 特别是，H在'z和κ+c处有固定点，前者为局部最小值，后者为局部最大值。由于H（κ+c）=0且H严格地在（\'z，κ+c）上增加，因此H（\'z）<0。

此外，H（κ+c）=0排除了区间（(R)z，κ+c）和（κ+c）中根的存在，∞),因为H在前一个区间上严格增大，在后一个区间上严格减小。最后，我们使用（2.5）来写eh（z）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+ρrκλ+r-r- uλ+r- uzaφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+F（κ+c）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）wλ+r尼zqν+2（λ+r）σ-ν+rκλ+rλ+r- ur- u- zψ′λ+r（z）s′（z）+r- uλ+r- uψλ+r（κ+c）wλ+r~nzqν+2（λ+r）σ+ν-rκλ+rλ+r- ur- u+zа′λ+r（z）s′（z）+F（κ+c），对于所有z∈ (0, ∞) . 现在sincelimz↓0φ′λ+r（z）s′（z）=limz↓0~N-sν+2（λ+r）σ-νéz-√ν+2（λ+r）/σ+ν=-∞带保证金风险和召回风险的卖空11andlimz↓0ψ′λ+r（z）s′（z）=limz↓0~nsν+2（λ+r）σ- νéz√ν+2（λ+r）/σ+ν=0，根据（2.2）和（2.4），得出H（0+）=∞.这反过来又确保了唯一根z的存在∈ （0，’z），因为H在（0，’z）上严格递减，H（’z）<0。（b） ：假设条件（3.7b）成立，在这种情况下，r-u=rκ/（κ+c）>0。因此，rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，κ+c）；rκ+（u- r） （κ+c）=0；和rκ+（u- r） z<0，对于所有z∈ （κ+c，∞). 结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H严格地降低了OVER（0，κ+c）和（κ+c），∞),在κ+c处有一个反射点。由于H（κ+c）=0，因此κ+c是H.（c）的唯一值：假设条件（3.7c）成立，在这种情况下，0<r- u<r-rcκ+c=rκκ+c，因此点z：=rκ/（r- u）满意度∈ （κ+c，∞). 观察rκ+（u- r） z>0，对于所有z∈ （0，’z）；rκ+（u-r） \'z=0；和rκ+（u-r） z<0，对于所有z∈ （(R)z，∞).

结合前面描述的G和s′的性质，这意味着H′（z）<0，f或allz∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；H′（z）>0，对于所有z∈ （κ+c，’z）；H′（\'z）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （(R)z，∞). 特别是，H在κ+c和'z处有固定点，前者为局部最小值，后者为局部最大值。由于H（κ+c）=0，且H严格地在（κ+c，\'z）上增加，因此H（\'z）>0。此外，H（κ+c）=0排除了区间（0，κ+c）和（κ+c，(R)z）中根的存在，因为H在前一个区间上严格递减，在后一个区间上严格递增。最后，我们使用（2.5）来写eh（z）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）ψλ+r（z）- φλ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+ρrκλ+r-r- uλ+r- uzaφλ+r（κ+c）ψ′λ+r（z）- φ′λ+r（z）ψλ+r（κ+c）wλ+rs′（z）+F（κ+c）=r- uλ+r- uφλ+r（κ+c）wλ+r×尼1+尼sν+2（λ+r）σ- νааrκλ+rλ+r- ur- uz- 1aψλ+r（z）s′（z）-r- uλ+r- uψλ+r（κ+c）wλ+r× 1/2 1-νsν+2（λ+r）σ+ν整整rκλ+rλ+r- ur- uz- 注意，上述两个极限的值也可以从原点是X的自然边界这一事实推断出来（见Borodin和Salminen 2002，第II.10节）。12克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利∈ (0, ∞) . 注意（ν+1）- ν=2ν+1=2uσ<2（λ+r）σ，因为u<r<λ+r，由此得出sν+2（λ+r）σ>ν+1。（3.8）因此，limz↑∞νsν+2（λ+r）σ- νааrκλ+rλ+r- ur- uz-1a< -此外，（2.2）和（2.4）givelimz↑∞φλ+r（z）s′（z）=limz↑∞z-√ν+2（λ+r）/σ+ν+1=0andlimz↑∞ψλ+r（z）s′（z）=limz↑∞z√ν+2（λ+r）/σ+ν+1=∞,其中，第一个限值如下（3.8）。将所有这些结合在一起会得到H(∞-) = -∞.这又确保了唯一根z的存在∈ （(R)z，∞), s i nce H在（(R)z）上严格递减，∞) H（(R)z）>0时。（d） 假设条件（3.7d）成立。

然后rκ+（u- r） z≥ rκ>0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）>0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最小值。此外，由于H（κ+c）=0，因此对于所有z，H（z）>0∈ （0，κ+c）∪ （κ+c，∞). 换句话说，H在k+c.（e）处有一个唯一的根，假设条件（3.7e）成立。然后rκ+（u- r） z=uz<0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）>0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）<0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最大值。由于H（κ+c）=0，因此κ+cis是H.（f）的唯一根：假设条件（3.7f）成立。那么F（z）=0，对于所有z∈ (0, ∞). 因此，对于所有z，H（z）=0∈ (0, ∞).（g） 假设条件（3.7g）保持不变。然后rκ+（u- r） z=uz>0，对于所有z∈ (0, ∞).结合前面描述的G和s′的性质，这意味着对于所有z，H′（z）<0∈ （0，κ+c）；H′（κ+c）=0；对于所有z，H′（z）>0∈ （κ+c，∞). 也就是说，H在κ+c处达到唯一的全局最小值。由于H（κ+c）=0，因此κ+cis是H的唯一根。图3.1在命题3.1中确定的七个参数状态下绘制H。图3.1（a）显示H在κc/（r）处有一个局部最小值- u) ∈ （0，κ+c）和κ+c处的局部最大值，如果条件（3.7a）成立。后一点也是根，在某个点z上有第二根∈ （0，rκ/（r- u)). 图3.1（b）显示，如果条件（3.7b）成立，H在κ+c处具有唯一根，而H也是一个反射点。图3.1（c）说明了条件（3.7c）成立时的情况，在这种情况下，h有一个局部卖空，保证金风险和召回风险13最小值为κ+c，局部最大值为atrκ/（r- u) ∈ （κ+c，∞).

前一个点也是根，函数在某个点z有第二个根∈ （rκ/（r- u), ∞).图3.1（d）显示，如果条件（3.7d）成立，H在κ+c处有一个全局最小值，在这种情况下，该点是唯一的根。在图3.1（e）中，我们看到，如果条件（3.7e）成立，H在κ+c处有一个全局最大值，该点也是唯一的根。接下来，图3.1（f）显示，如果条件（3.7f）成立，H等于零。最后，图3.1（g）说明了条件（3.7g）下的情况，其中c aseκ+c是H的全局最小点，也是函数的唯一根。4、简单问题的解决和验证4.1。构建候选解决方案。通过分析命题3.1，我们可以猜测问题（3.1）在每个参数区域下的最优停止策略。基于这些猜测，我们可以推导出每个区域的候选值函数的表达式。首先，如果条件（3.7a）成立，问题（3.2）允许一个唯一的解，包括一个自由边界z*∈ （0，κ+c）和“V”上的一个函数∈ C（0，∞)∩C（z*, κ+c）。详细说明，z*:= z表示自由边界方程（3.5），其中z∈ （0，rκ/（r- u))  （0，κ+c）是H的根，其存在由命题3.1（a）确定，而“V由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）：=κ- x、 对于所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞). 我们推测z*是问题（3.1）的最佳停止阈值，“V是相应的函数值。这在经济上是可行的，因为这意味着当股票价格漂移率小于阈值rc/（κ+c）时，问题（3.1）有一个唯一的非平凡解贴现率为正。较低的漂移率可确保在平仓前等待库存价格下跌可能有一定的价值（即。

即时止损并不总是最佳的），而正贴现率确保空头不会永远等待。下面的引理导出了上述候选值函数的下界。它将被用来证明定理4。3（a），确定候选值函数和相关候选最优停止阈值确实解决了条件（3.7 a）下的问题（3.1）。引理4.1。假设条件（3.7a）为旧。让z*:= z∈ （0，rκ/（r- u))  （0，κ+c）是（3.5）的唯一解，其存在性由位置3.1（a）确定，并设“V∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）：=κ-x、 对于所有x∈ （0，z*] ∪ [κ+c，∞). 然后“V（x）>κ- x、 对于所有x∈ （z）*, κ+c）。证据定义函数U∈ C（0，∞)∩C（z*, κ+c），通过设置U（x）：=“V（x）-(κ-x） ，对于所有x∈ (0 , ∞). 我们将证明，对于所有x，U（x）>0∈ （z）*, κ+c）。首先，观察lxu（x）- （λ+r）U（x）=LX“V（x）- （λ+r）“V（x）+ux+（λ+r）（κ- x） =-λ(κ - x） +ux+（λ+r）（κ- x） =rκ-（r）- u）x，（4.1）对于所有x∈ （z）*, κ+c），根据（3.2a）。特别是σz*U′（z*+) =σz*U′（z*+) + uz*U′（z*+) - （λ+r）U（z*+)= LXU（z*+) - （λ+r）U（z*+) = rκ-（r）- u）z*> 0，（4.2）14 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY0 z0rκr-μκ+c0zH（z）（a）0κ+c0zH（z）（b）0 z0rκr-μκ+c0zH（z）（c）0κ+c0zH（z）（d）0κ+c0zH（z）（e）00zH（z）（f）0κ+c0zH（z）（g）图3.1。命题3.1中七个参数区域下的H图。带保证金风险和召回风险的卖空150 z*rκr-μκ+c0xU（x）图4.1。引理4.1中定义的函数，在条件（3.7a）下。自U（z*+) = U（z*) = 0和U′（z*+) = 0，由于（3.2b），（3.2c）和“V”的连续性，以及z*<rκ/（r）- u).