有保证金风险和召回风险的卖空

接下来，观测值（4.3）给出“V′（0+）=-λ/(λ - u），因为ψ′λ（0+）=0来自（2.4）和（2.5）。带保证金风险和召回风险的卖空23以及之前制定的f法案∈ C（0，κ+C），这确保“V”在（0，κ+C）上有界，由此得出局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσXs“V′（Xs）dbs实际上是一个一致可积鞅∈ S、 然后，应用可选采样定理得出“V（x）=ExCZτ”∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ(τ∧^τκ+c）“V"AXτ∧τκ+ca≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-λs（κ-Xs）ds+e-λ(τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧^τκ+ca=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞), 因为引理4.2建立了“V（x）≥ κ - x、 这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，“V（x）：=J（x，ˇτ）≤<V（x），表示所有x∈ (0, ∞).（f） ：假设条件（3.7f）保持s，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞). 然后给出了It^o公式-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-λ（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-λs"ALX“V（Xs）- λ“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs（κ-Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs，对于所有t≥ 0，因为LX“V（x）=-ux=0，f或所有x∈ (0, ∞), 根据u=0的假设。注意，局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσxsdbs实际上是一个一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、 然后，应用可选采样定理得出“V（x）=ExCZt∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）a=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞). 这确保“V（x）=媫V（x），对于所有x∈ (0, ∞).（g） ：假设条件（3.7g）保持不变，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) is24克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利由“V（x）=κ确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞).

然后给出了It^o公式-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-λ（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-λs"ALX“V（Xs）- λ“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-λsσXsdBs，对于所有t≥ 0，因为LX“V（x）=-ux<0，f或所有x∈ (0, ∞), 根据u>0的假设。注意，局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-λsσxsdbs实际上是一个一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、 然后应用可选采样定理得到“V（x）≤ ExCZt公司∧^τκ+cλe-λs（κ- Xs）ds+e-λ（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）a=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞). 这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，“V（x）：=J（x，ˇτκ+c）≤<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 5、卖空问题的解决方案5.1。贴现率非零的情况。如第3节中观察到的d，最佳脱盐时间τ*∈ S和值函数V∈ C（0，∞) 对于原始卖空问题（2.9），由问题（3.1）的解决定，κ集等于初始股价。定理4.3给出了该问题的解决方案。我们首先考虑r>0的情况。给定x∈ (0, ∞), 假设（3.5），κ：=x，在区间（0，x）中有一个解。也就是说，自由边界方程"Ax- z*-bv（z*)|κ=x"aφλ+r（x+c）ψ′λ+r（z*) - φ′λ+r（z*)ψλ+r（x+c）φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+"Ac+bv（x+c）|κ=x"aφλ+r（z*)ψ′λ+r（z*) -φ′λ+r（z*)ψλ+r（z*)φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) -φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+bv′（z*)|κ=x=-1.（5.1）具有保证金风险和召回风险的卖空25允许解决方案z*∈ （0，x）。最佳收尾时间为τ*= ˇτz*值函数满足（3.4），其中κ：=x。

换句话说，V（x）=“V（x）|κ=x="Ax- z*-bv（z*)|κ=x"aφλ+r（x+c）ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（x+c）φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+"Abv（x+c）|κ=x+c"aφλ+r（z*)ψλ+r（x）- φλ+r（x）ψλ+r（z*)φλ+r（x+c）ψλ+r（z*) - φλ+r（z*)ψλ+r（x+c）+bv（x）|κ=x.（5.2）另一方面，如果（5.1）在区间（0，x）内没有解，则最优回购价格为z*:= x、 这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 0和值函数s atis fies V（x）=0.5.2。贴现率为零的情况。接下来，我们考虑nr=0的情况。如果u<0，则最优回购价格为z*:= 0，这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= ∞ 从（4.3）中获得值函数，如下所示：V（x）=“V（x）|κ=x=u（x+c）λ- uψλ（x）ψλ（x+c）-uxλ- u，（5.3）对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，如果u≥ 0，最优回购价格为z*:= x、 对于所有x∈ (0, ∞), 在这种情况下，最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 值函数满足V（x）=0.5.3。贴现率非零时的无约束问题。为了评估抵押品约束和召回可能性对问题（2.9）的影响，将该问题的最优退出时间和价值函数与无约束卖空问题的相应数据进行比较是有用的。通过让c↑ ∞ 和λ↓ 0，因此ζ=∞ 和ρ=∞ Px-a.s.，适用于所有x∈ (0, ∞).然后，问题（2.9）减少到v（x）：=supτ∈性"Ae-rτ（x- Xτ）"a，（5.4）对于所有X∈ (0, ∞).我们首先考虑r>0的情况。出租c↑ ∞ 和λ↓ 0英寸（5.1）给出（x- z*)φ′r（z*)φ（z*)= 1，对于所有x∈ (0, ∞), 通过limitslimλ↓0^v（x）|κ=x=0，极限↑∞limλ↓0φλ+r（x+c）=0和limc↑∞limλ↓0cψλ+r（x+c）=0，（5.5），根据（3.6）和（2.4）进行检查。

再次使用这些限制，前面的恒等式为无约束卖空问题的最优卖空价格提供了以下显式公式：z*=>>ν+2rσ+ν1+>>ν+2rσ+νx，（5.6）对于所有x∈ (0, ∞). 请注意，z*∈ （0，x），对于所有x∈ (0, ∞), 这意味着最佳收尾时间τ*= ˇτz*严格意义上是积极的和有限的。换言之，如果贴现率不为零，对于无约束卖空问题，克里斯托弗·格洛弗（KristoferGlover）和哈迪·赫尔利（HardyHulley26）的即时平仓和永远等待都是次优的。最后，让c↑ ∞ 和λ↓ （5.2）中的0给出了无约束卖空问题的值函数的以下表达式：V（x）=（x- z*)φr（x）φr（z*), （5.7）对于所有x∈ (0, ∞), 根据（5.5）中的限制，w此处为z*由（5.6）确定。5.4. 贴现率为零时的无约束问题。为了在r=0的情况下分析无约束卖空问题（5.4），我们首先回顾（2.1）确定的几何布朗运动的以下事实：如果u<σ，则X∞-= 0和supt≥0Xt<∞,如果u=σ，则输入≥0Xt=0和supt≥0Xt=∞,andifu>σ然后X∞-= ∞ 和输入≥0Xt>0（见Karatzas和Shreve 1991，练习5.5.31）。因此，如果u<σ/2，则得出最优回购价格为z*= 0，这意味着最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= ∞ 对于所有x，值函数由V（x）=x给出∈ (0, ∞). 换句话说，在这种情况下，由于stoc k价格最终会收敛到零，并且没有等待的余地，所以最好永远保持不变。另一方面，如果u=σ/2，则ˇτε<∞, 对于所有ε>0。在这种情况下，对于allx，值函数由V（x）=x给出∈ (0, ∞), 自V（x）起≥ supε>0Ex（x- Xˇτε）=supε>0（X- ε） =x，而V（x）≤ x紧跟在（5.4）之后。然而，在这种情况下，不存在最佳的近距离输出政策。

也就是说，由于股票价格任意接近于零，但并不收敛于零，因此可以改进每一种平仓策略。最后，我们考虑u>σ/2的情况，在这种情况下，X是具有终端值X的子鞅∞:= 十、∞-= ∞. 根据可选采样定理，Ex（Xτ）≥ x、 对于所有x∈ (0, ∞) 和每个τ∈ S、 Henc e，给定初始库存价格x∈ (0, ∞), 最优回购价格为z*= x，最佳收尾时间为τ*= ˇτz*= 0，而V（x）=0给出了所有x的值函数∈ (0, ∞). 在这种情况下，股票价格的漂移率很高，足以使即时平仓成为最佳选择。比较静态分析6.1。方法和参数值。本节分析了约束卖空问题（2.9）的最优回购价格和价值函数对模型参数的依赖性。为了评估保证金风险和召回风险的影响，我们将约束问题的解决方案与无约束问题的解决方案进行比较（5.4）。下图中的实心红色曲线显示了受约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对一个特定参数的依赖性，其余参数为固定默认值。蓝色虚线绘制了无约束问题的最优回购价格和价值函数对相同参数的依赖关系。带保证金风险和召回风险的卖空27默认参数值为u=±0.02，σ=0.3，r=0.05，λ=0.01，c=50.00美元，x=1.00美元，时间以年为单位。正如我们将看到的，受限卖空问题的解决方案对股票价格漂移率的迹象非常敏感，这就是为什么我们认为适度的负向和正向d裂谷情景u=-0.02和u=0.02。

违约波动率σ=0.3是观测隐含波动率的合理替代，而违约贴现率r=0.0 5大致相当于发达市场的借贷成本。违约召回率λ=0.01意味着平均每年召回1%的股票贷款，这远远低于观察到的频率。最后，抵押品预算和初始股价的默认值c=50.00美元和x=1.00美元意味着在以1.00美元的价格出售股票后，交易员最终在股价达到51.00美元时耗尽抵押品。违约召回强度和抵押品预算被选择为保守的，以避免夸大保证金风险和召回风险对卖空者问题的影响。在详细分析以下图表之前，我们观察到，在每种情况下，约束卖空问题的最优回购价格都超过了无约束问题的最优回购价格。换言之，当面临抵押品耗尽或提前召回导致的非自愿平仓可能性时，交易者总是选择提前平仓。这是因为对约束问题采取更为保守的策略可以降低强制退出的可能性，这通常会导致损失。同样，我们观察到，在每种情况下，无约束卖空问题的价值函数都支配有约束问题的价值函数。由于卖空限制，两条曲线之间的垂直距离表示价值损失。6.2. 股票价格漂移率变化的影响。图6.1绘制了约束和非约束短期融资问题的最优资源价格和价值函数，作为股票价格漂移率的函数。

在图6.1（a）中，我们观察到，当漂移率为负值时，约束和非约束的最优回购价格非常相似，如果预计股票价格会随时间下降，则不太可能因抵押品耗尽而被迫平仓。然而，当股价漂移率超过零时，约束卖空问题和无约束卖空问题的最优平仓政策迅速变化。特别是，立即回购是最优的（z*= $1.00=x）当nu>0.03时，在约束问题的情况下（这意味着交易者不会在第一个交易场所卖空股票），而立即平仓对于无约束问题m来说从来都不是最优的。这是因为约束交易者很可能会耗尽抵押品，被迫在亏损头寸中平仓，如果股价的漂移率如此之高，而无约束的交易者则可以奢侈地等待股价下跌。为了说明当股价漂移率为正时，约束和非约束平仓策略之间的差异有多大，我们观察到约束问题的最优回购价格为*= $当u=0.05时为1.0 0，而无约束问题的最优回购价格约为z*= $0.53.正如预期的那样，图6.1（b）显示，当股价漂移率为负值时，保证金风险和再赎回风险导致的价值损失相对较小。

由于在这种情况下，预计股价会随着时间的推移而下跌，因此抵押品约束不太可能存在。注意，在无约束的情况下，c和λ的值不相关。在D\'Avolio（2002）研究的经纪人数据中，每月约有2%的借出股票被召回。28 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.20.40.60.81.0μz*（μ）（a）-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.00.10.20.30.40.5μV（μ）（b）图6.1。对于有约束（实心红曲线）和无约束（蓝色虚线）卖空问题，最优平仓价格和价值函数对股票价格漂移率的依赖性。绑定。因此，唯一真正的影响是回忆的可能性（不取决于漂移率）。相比之下，当股票价格漂移率增加到零以上，导致相对于无约束问题的巨大价值损失时，由于抵押物耗尽而导致的强制c损失的可能性对约束价值函数有着实质性的影响。特别是，当u>0.03时，受限卖空的价值为零，因为交易员首先不会卖空股票，而无约束卖空的价值总是严格为正。例如，当u=0.05时，限制性卖空没有价值，而无限制卖空的价值约为0.23美元。图6.1表明，约束卖空问题比unc约束卖空问题对股价漂移率更为敏感。例如，图6.1（a）中约束问题的最优回购价格在0.24美元到1.00美元之间，而无约束问题的最优回购价格在0.24美元到0.65美元之间。

类似地，图6.1（b）中约束卖空的价值在0.00美元到0.46美元之间，而无约束卖空的价值在0.16美元到0.49美元之间。受限卖空问题的解决方案对s-toc-k价格漂移率的敏感性增强，这是脆弱性的一个来源。由于漂移率的估计伴随着巨大的标准误差，在实践中，交易者很可能会错误地估计它的子项，从而导致他采取实质上次优的平仓策略。具体来说，假设交易者观察到n的股价∈ N周期[0，T]上的规则间隔，对于某些T>0。因此，观察价格的顺序为（Sit） 0个≤我≤n、 在哪里t： =t/n。根据这些观察结果，漂移率的最大相似l i hood估计值由^u确定-σ=ntnXi=1lnSitS（i-1)t=TnXi=1玟u-σat+σ"ABit型-B（一）-1)t"aa=u-σ+σTBT有保证金风险和召回风险的短期销售29（见Campbell e t al.1997，第9.3.2节），其中u=u+σTBT~ Nu，σTa。因此，如果s-toc k价格的漂移率和波动率为u=0.04，σ=0。如果交易者拥有100年的价格数据，他估计非正漂移率isP的概率≤ 0）=Pμ+σ√TZ公司≤ 0a=PCZ≤ -uσ√Ta=PcZ≤ -a≈ 0.0912，其中Z~ N（0，1）。参考图6.1（a），这意味着交易者有9%的机会卖空股票并维持头寸，直到其价格达到低于0.45美元的某个水平（当u=0时，受限卖空的最佳回购价格），而不是正确认识到漂移率太高，无法在一开始卖空。6.3. 股票价格波动变化的影响。

在股票价格负漂移的情况下，有约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对股票价格波动的依赖性如图6.2所示。图6.2（a）表明，这两个问题的最优回购价格与波动率呈负相关。本质上，高杠杆率增加了交易者等待股价在收盘前达到较低水平的动机，因为它增加了很快达到较低水平的可能性。这类似于美式看跌期权的情况，即高收益率对应较低的早期行使边界。然而，随着股价波动性的增加，这两个问题的最优回购价格会出现分歧，因为在受限的情况下，较高的波动性会增加在卖空可适当平仓之前，抵押品边界被突破的可能性。在图6.2（b）中，我们看到无约束卖空问题的值函数随着股价波动性的增加而单调增加。这类似于美国期权价格对其基础资产波动性的正依赖性（见E kstr–om 2004）。相比之下，受限卖空问题的价值函数最初随着股票价格波动性的增加而增加，然后逐渐减小。这反映了一种交易效应，即高可用性增加了快速达到最佳回购价格的可能性，同时增加了交易风险耗尽抵押品的可能性。当股价波动性较低时，前者起主导作用，而当股价波动性较高时，后者起主导作用。