有保证金风险和召回风险的卖空

淘汰障碍期权的价格显示，我们模型的一个可能的补充是将参数不确定性和学习纳入交易者的平仓决策，遵循Ekstrom和Lu（2011）的思路。他们考虑了一位投资者，该投资者对何时清算现有股票的选择被股价漂移率的不确定性所迷惑。在他们的模型中，投资者通过观察股票价格随时间的变化来更新其先前对赎回率的看法。他们表明，投资者的最佳策略是，一旦股价下跌到某个时间相关边界以下，就立即变现。为了证明这种类比的合理性，请注意，约束卖空问题（2.9）类似于货币永续美国看跌期权的定价问题，而无约束卖空问题（5.4）类似于货币永续美国看跌期权的定价问题。30克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫尔利0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.10.20.30.40.50.60.7σz*（σ）（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.10.20.30.40.50.60.7σ（σ） （b）图6.2。对于有约束（实心红曲线）和无约束（das hed蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对股票价格波动率的依赖性。出于同样的原因，对其基础资产波动率的类似非单调依赖性（见Derman和Kani 1996）。图6.3说明了当股票价格漂移率为正时，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数对股票价格波动的依赖性。正如图6.3（a）所示，这两个问题的最优回购价格再一次随着波动性而降低。

然而，与漂移率为负的情况相比，波动性在这两个问题的最佳收尾策略之间造成了更大的分歧。例如，约束和非约束最优回购价格之间的差异约为0.26美元- $当σ=0.5时，0.22=0.04美元，在负漂移情况下，而它大约为0.52美元- $0.25=积极漂移情景下的0.27美元。这表明，相对于d裂谷率为负值的情况，高波动率水平使受约束的交易者更有可能耗尽单边资金，从而加剧了正漂移的影响。因此，当漂移率为正时，约束卖空问题的最优平仓策略相对于无约束问题的最优平仓策略更为保守。在受限卖空问题的情况下，图6.3（a）表明头寸应立即平仓（z*= $1.00=x）当股票价格漂移率为正且波动率较小时。如果在这些情况下股票被卖空，积极漂移率将主导小波动，导致很大一部分股票价格路径在仓位被提前平仓前达到抵押品壁垒。另一方面，在无约束的情况下，在平仓前等待总是最佳的，即使漂移率为正且波动性很小。然而，随着波动率的降低，最优回购价格收敛于初始股票价格，在零波动限制下，即时平仓是最优的。

这是因为在这种情况下，股价将决定性地升值，排除了任何可盈利平仓的可能性。Derman和Kani（1996）很好地解释了这一点，他们观察到“障碍期权的所有者是罢工时的长期波动性[…]短期波动率处于一个出局关口。”带保证金风险和召回风险的卖空310.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0σz*（σ）（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.6σ（σ） （b）图6.3。对于有约束（实心红曲线）和无约束（das hed蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对股票价格波动的依赖性。在图6.3（b）中，我们看到，当股价漂移率为正时，约束卖空问题的值函数继续表现出对波动率的非单调依赖性。然而，我们观察到，当漂移率为负时，受限卖空的价值相对于其价值而言很小，这是因为在正向漂移情景下，抵押品耗尽的可能性更大。相比之下，当负漂移情景与正漂移情景相比较时，无约束s短期抛售问题m在所有波动性中显示出适度的价值下降。正如我们对有约束和无约束卖空问题的最优平仓策略的分析所预期的那样，我们发现，当漂移率为正时，波动率会在其价值函数之间产生更大的楔子，而不是负时。例如，约束问题和非约束问题的值差异约为0.51美元- $在负漂移情况下，σ=0.5时，0.32=0.19美元，而在0.47美元左右- $0.07=正漂移情况下的0.40美元。6.4. 贴现率变化的影响。

在图6.4中，我们看到了在股票价格漂移率为负的情况下，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数如何依赖于贴现率。图6.4（a）显示，无论违约率如何，这两个问题的最佳收尾策略之间都存在微小差异。在这两种情况下，最优回购价格相对于贴现率单调增加，因为较高的贴现率会对等待施加更大的惩罚。图6.4（b）表明，当贴现率较低时，无约束卖空比约束卖空更具可行性，但随着贴现率的增加，差异变小。例如，值函数之间的差值约为1.00美元-$当r=0时，0.60=0.40美元，但降低至约0.26美元- $当r=0.1时，0.23=0.03美元。原因是，按现值计算，当贴现率较低时，抵押物耗竭造成的损失比贴现率较高时更为昂贵。鉴于股票价格通常需要很长时间才能达到共同壁垒，较高的贴现率意味着最终达到抵押品壁垒时所产生的损失在现值方面并不显著。32克里斯托弗·格罗弗和哈迪·赫尔利0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.10.20.30.40.5rz*（r）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.20.40.60.81.0r（r） （b）图6.4。

对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对贴现率的依赖性。图6.5说明了在股票价格漂移率为正的情况下，对于有约束和无约束卖空问题，最优回购价格和价值函数对贴现率的依赖性。图6.5（a）显示，无约束问题的最优回购价格随贴现率呈指数增长，当stoc k价格出现负漂移时也是如此。然而，当漂移率为正时，约束问题的最优回购价格的行为更有趣。当r≤ 0.03，即时收尾最佳（z*= $1.00=x），但当r>0时，等待是最佳的。此外，随着贴现率的进一步提高，约束卖空和无约束卖空问题的最优回购价格似乎趋于收敛。例如，这两个问题的最优回购价格之差为1.00美元- $ 当r=0时，0.00=1.00美元，但仅约为0.60美元- $0.55 = $0 .05当r=0.1时。为了解释这些特征，请注意，正的d裂谷率确保了在受限的空头s al e可被适当平仓之前，很可能会耗尽套管，从而导致实质性损失。当贴现率较低时，按现值计算，损失非常大。然而，随着贴现率的增加，其现值变得越来越小，因为股价基因反弹需要很长时间才能达到抵押品壁垒。

Ul timatel，从现值来看，由于抵押品耗尽而造成的损失变得如此之小，以至于它在确定约束卖空问题的最优退出策略方面没有起到任何作用。在无约束卖空问题的情况下，图6.5（b）表明，当股票价格漂移率为正时，价值对贴现率的依赖性变化不大。然而，在正漂移的情况下，约束卖空问题的价值函数相对于贴现率的表现非常不同。特别是，由于当贴现率较小时，即时平仓是最优的，因此约束问题和非约束问题的值函数与n有显著差异。但由于这两个问题的最优平仓政策显然随着贴现率的增加而收敛，其值函数似乎也收敛。例如，有保证金风险的卖空和召回风险的值之间的差异330.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.20.40.60.81.0rz*（r）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00.20.40.60.81.0rV（r）（b）图6.5。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对贴现率的依赖性。约束和非约束卖空问题为1.00美元- $当NR=0时，0.00=1.00美元，但仅为0.21美元左右- $当r=0.1.6.5时，0.15=0.06美元。回忆强度变化的影响。在股价漂移率为负的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和v al u e函数显示为召回强度的函数，如图6.6所示。

如图6.6（a）所示，unc约束问题的最优回购价格自然不受召回强度的影响。然而，约束问题的最优采购价格随着需求强度的增加而增加。从本质上讲，较高的回忆强度会增加在不适当的时候回忆的可能性。因此，随着召回强度的增加，约束卖空问题的最优回购价格变得更加保守，这就在这两个问题的最优平仓策略之间产生了一个楔子。例如，这两个问题的最优回购价格之差约为0.36美元- $0.36=0.00美元，当λ=0时，b但增加到约0.45美元- $λ=0.1时，0.36=0.09美元。在图6.6（b）中，我们看到，在负漂移情况下，无约束卖空问题的值函数不受回忆强度的影响，正如预期的那样。然而，约束问题的值函数是单调递减的，与召回强度有关。这反映了一个事实，即较高的召回强度迫使交易方r采用与无约束问题相关的较低的最优回购价格，并导致相应的价值损失。为了量化召回可能性造成的损失，当股价漂移率为负时，我们观察到这两个问题的价值函数之间的差异约为0.36美元-$λ=0时，0.35=0.01美元，增加至约0.36美元- $λ=0.1时，0.13=0.23美元。图6.7绘制了在股价漂移率为正的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数，作为召回强度的函数。

正如预期的那样，图6.7（a）表明，无约束问题的最优回购价格对于召回强度的变化是不变的，而有约束问题的最优回购价格随着召回强度的增加而单调增加。34克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.3600.400.420.44λz*（λ）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.150.200.250.300.35λV（λ）（b）图6.6。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为负时，最优平仓价格和价值函数对召回强度的依赖性。0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.50.60.70.8λz*（λ）（a）0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.000.050.100.150.200.250.30λV（λ）（b）图6.7。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线d蓝色曲线）卖空问题，当股票价格漂移率为正时，最优平仓价格和价值函数对召回强度的依赖性。这两个问题的最优回购价格之间的差异约为0.58美元-$λ=0时，0.45=0.13美元，增加到0.90美元左右-$λ=0.1时，0.45=0.45美元。由于λ=0时不可能召回，因此这种情况下的差异完全取决于保证金风险的影响。图6.7（b）证实，当漂移率为正时，无约束问题的值函数不依赖于回忆强度，而约束问题的值函数在该参数中单调递减。为了量化召回可能性造成的价值损失，我们观察到两个价值函数之间的差异约为0.29美元- $当λ=0时，0.11=0.1美元8，将s增加到约0.2美元9- $λ=0.1时，0.00=0.29美元。

由于在前一种情况下召回是不可能的，因此价值损失完全是由于可能会耗尽抵押品。带保证金风险和召回风险的卖空350 20 40 60 80 1000.350.400.450.500.550.60cz*（c）（a）0 20 40 60 80 1000.00.10.20.3cV（c）（b）图6.8。对于有约束（实心红色曲线）和无约束（虚线蓝色曲线）卖空问题，当股票价格的赎回率为负时，最优平仓价格和价值函数对抵押品预算的依赖性。6.6. 抵押品预算变更的影响。图6.8说明了当股价漂移率为负值时，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数对抵押品可用性的依赖性。图6.8（a）证实，抵押品预算对无约束问题的最优clos e-out策略没有影响，但我们观察到对约束问题的最优收尾策略有显著影响。特别是，当股价达到z时，最好立即结束受限卖空*= $0.61，如果因未来股价上涨而产生的追加保证金要求根本无法解决，但随着抵押品预算的增加，最优回购价格迅速下降。这两个问题的最优回购价格相差约0.61美元- $当c=0.00美元时，0.36=0.25美元，但它会迅速下降，最终稳定在0.37美元- $0.36=0.01美元，c=100.0美元。

有了这么多抵押品，保证金风险就不重要了，这两个问题的最优回购价格之间的差异完全可以归因于提前召回的可能性。正如预期的那样，图6.8（b）显示，保证金风险对无约束卖空的价值没有影响，而对约束卖空的价值的影响是巨大的。特别是，当没有共同融资追加保证金通知时，受限空头头寸是没有价值的，但其价值会随着抵押品预算的增加而迅速增加。我们可以通过检查不同级别抵押品预算的约束和非约束价值函数之间的差异，量化抵押品对卖空约束造成的价值损失的影响。例如，价值函数之间的差异约为0.36美元-$0.00=0.36美元，而NC=0.00美元，但它迅速下降，最终稳定在0.36美元- $当c=100美元时，0.31=0.05美元。由于在这种情况下，保证金风险基本上是无关的，因此这两个问题的价值函数之间的差异完全是由于回购风险的影响。在图6.9中，我们观察到在股票价格漂移率为正的情况下，约束和无约束卖空问题的最优回购价格和价值函数如何依赖于抵押品预算。再次，36克里斯托弗·格洛弗和哈迪·胡利0 20 40 60 80 1000.50.60.70.81.cz*（c）（a）0 20 40 60 80 1000.000.050.100.150.200.250.30cV（c）（b）图6.9。