鲁棒数学公式和概率描述

因此，在ABCEM文献中，我们面临的是以下类型的微分方程Sk+1=Sk+(R)F（Sk，Dk）+G（Sk，Dk）η，（6），而不是微分方程。模型（6）代表了模型（4）的离散化版本，带有函数F、G的离散化“F、”G。最后，我们想强调的是，时间连续模型不仅从数值角度来看是有利的，而且允许用户通过简单地调整数值方案中的时间步长，在不同的粗略时间水平上模拟模型。2.1与偏微分方程的联系时间连续ODE或SDE模型的另一个优点是有可能通过介观PDE模型。与微观模型相比，我们失去了信息，因为我们没有单独跟踪每个代理。在介观层面上，一个Rather考虑了对主体的概率解释，因为PDE的解是微观定律的概率密度函数。因此，考虑每个代理人的财富，我们只知道代理人拥有一定财富的概率。质量是PDE模型的一个守恒量，这一点至关重要，否则无法将该解识别为概率密度函数。这种概率描述的优点是可以使用多种数学工具分析偏微分方程。例如，研究系统的长时间动力学、计算状态分布或推导收敛速度可能很有意义。此外，还可以从PDE模型中导出宏观描述。宏观模型的未知数是概率密度函数的矩，因此这种模型也被称为矩模型。通过测试微观偏微分方程模型的弱形式，可以直接导出力矩模型。

在许多情况下，此类力矩模型无法闭合，其中一个面临所谓的闭合问题【47】。矩模型的一般优点是可以快速计算聚集量，这是在ABCEM模型SE的背景下实现的。g、 平均股价或平均财富。为了给出一个简单的例子，我们考虑具有财富≥ 0，i=1。。。，N我们可以假设，所有代理人的财富都投资于利率r>0的债券。因此，第i个代理的财富动态读取，ddtwi（t）=r wi（t），wi（0）=wi。（7） 正如我们所看到的，除了初始条件wi之外，每个代理的动态是否相同。（7）型常微分方程的微观描述称为刘维尔方程。对于足够数量的代理人和适定的初始数据，可以直接将初始财富解释为概率函数f（w），w≥ 0，由以下Liouville型PDE传输，tf（t，w）+w（r w f（t，w））=0，f（0，w）=f（w）。（8） 注意，（8）是一个简单的输运方程，（7）是微分方程（8）的特征方程。一个简单的计算表明，massRf（t，w）dw是守恒的。这是保证给定概率分布函数f（0，w）在任何时间t>0时保持概率定律的必要条件。f，m（t）：=ZR+w f（t，w）dw的第一个矩是平均财富，相应的矩模型显示：ddtm（t）=r m（t），m（0）=ZR+w f（w）dw。在这种简单的情况下，力矩模型是闭合的，可以立即计算出解。这意味着平均财富（第一时刻）独立于任何更高的动量，如第二动量矩+wf（t，w）dw，因此可以独立于任何更高阶的动量进行计算。在SDE定义的随机过程的情况下，介观模型不是输运方程，而是福克-普朗克型偏微分方程。

这段从SDEsto到介观的描述，被称为费曼-卡克公式（Feynman-Kac formula）[45]所充分理解。我们假设满足SDE（4）所需的所有正则性假设。然后，SDE（5）对应的福克-普朗克方程如下：，th（t，s）+s（F（s，D）h（t，s））=ss（G（s，D）h（t，s）），h（0，s）=h（s）。因此，h（t，s），s∈ R、 t>0表示（4）中定义的随机过程的概率密度。h的相空间的维数与DE系统的维数直接相关（4）。我们在一维中给出了一个简单的例子，在多维股价动态的情况下，概率密度函数的相空间变为sh（t，s），s∈ 因此，大维动力系统可以转化为高维福克-普朗克方程。大尺寸偏微分方程的缺点是计算成本高，因此对于大尺寸，与原始模型相比，没有计算优势。动力学理论动力学理论将气体描述为一个由相互作用的原子组成的大系统。这一理论可以追溯到丹尼尔·伯努利或詹姆斯·麦克斯韦的早期作品。动力学理论的核心思想是考虑大粒子系统的介观描述。前面提出的方法可以看作是粒子系统的特例，可以用动力学理论来描述。刘维尔方程是在无粒子相互作用的情况下从牛顿方程推导出来的。因此，如我们的示例（7）所示，粒子仅在其初始构型中发生变化。Feynman-Kac方法可以应用于任意维SDE系统，但得到的Fokker-Planck方程的相空间可能会变得太大且不可行。

存在两个著名的动力学极限，它们避免了量纲问题，并描述了从微观动力学到介观描述的过程，即玻耳兹曼梯度极限和平均场极限。这两个极限都已进行了深入分析，目前仍需进行研究[9、28、44、55]。在Boltzmann梯度极限中，考虑了粒子的二元相互作用，由此产生的介观模型是Boltzmann于1871年首次提出的气体动力学Boltzmannequation【10，14】。在平均场设置中，我们更愿意考虑一个粒子与所有其他粒子场的相互作用。平均场方程的经典例子是弗拉索夫-泊松方程，由弗拉索夫于1938年推导【74】。弗拉索夫-泊松方程模拟了等离子体中的带电粒子。这些动力学极限需要被理解为微观粒子动力学的近似值，并且仅在大量粒子的情况下有效【35】。只要给出微观动力学的某种对称结构，就可以应用这些极限。由于动力学模型的相空间与一个粒子的动力学维度一致，因此计算成本的降低是巨大的。还有一个从动力学方程到宏观模型的链接，如Euler或Navier-Stokes方程。这些联系可以通过玻耳兹曼方程的矩模型获得，该模型具有相应的渐近极限[26，36，62]。在过去的十年里，动力学理论已经应用于各种生物和社会经济系统[7、8、56、60]。在这种情况下，我们谈论的是代理，而不是物理粒子。另一方面，基于agent的系统对生命科学和社会经济现象的建模迅速增加[11、34、61]。

有几个动力学模型的例子是从现有的基于代理的模型中衍生出来的【1、2、60、70、72】。我们的目的是给出一个微观财富相互作用的玩具例子，这个例子可以方便地用动力学理论来研究。与之前一样，我们考虑配备财富保险的金融代理人≥ 0和动态，ddtwi=NNXk=1wk- wi，wi（0）=wi。（9） Bouchaud、M'ezard【13】和Pareschi【60】之前已经对这种动态进行了研究。为了推导微观ODE系统（9）的平均场极限，可以方便地引入以下工具。定义1。给定向量x：=（x，…，xN）T∈ RdN，xi：=（xi，…，xdi）∈ Rd，i=1。。。，n然后，经验度量（或原子概率度量）uNx定义为，uNx（x，…，xd）=NNXi=1δ（x- xiδ（xd- xdi）。经验测量能够将微观ODE系统（9）的解与相应平均场方程的解联系起来。Picard-Lindel¨of定理保证了（9）的唯一解的存在性，我们将其表示为w（t）=（w，…，wN）∈ （R+）N。然后我们测试相应的经验测量值uNw（t，w），w∈ R+使用测试函数φ（w）和计算，ddtZR+φ（w）uNw（t，w）dw=NNXk=1ddtφ（wk（t））=NNXk=1wφ（wk（t））ddtwk（t）=NNXk=1wφ（wk（t））NNXj=1wj（t）- wk（t）=NNXk=1wφ（wk（t））ZR+wuNw（t，w）dw- wk（t）=ZR+wφ（w）ZR+wuNw（t，w）dw- wuNw（t，w）dw。在这种概率设置中，测试函数可以理解为随机变量的可观察数量，例如，在恒等式φ（w）=w的情况下，我们获得概率定律的期望值。请注意，经验度量w.r.t w的导数并不直接适用。将经验测度与测试函数φ（w）相乘并进行积分后，可以通过部分积分将导数w.r.t.w移到测试函数上。

变分微积分中的这个标准方法允许我们将一点明智地声明的经验度量与一个积分方程联系起来。因此，经验测量unw是平均场PDE的aweak解，tf（t，w）+wZR+wf（t，w）dw- wf（t，w）= 0，（10），初始条件f（0，w）=NNPk=1δ（w- 工作）。平均场PDE（10）是一个积分微分方程，它在许多因素的限制下模拟系统（9）的行为。根据Dobrushin或Neunzert的理论，可以严格证明微观系统与平均场方程的收敛性【28，58】。第4节针对Levy-Levy Solomonmodel对平均场方程进行了严格推导。3连续极限和稳健公式在本节中，我们将借助LevyLevy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型讨论ABCEM模型的稳健公式。正如引言中所指出的，这两种模型在结构上非常不同。Levy-Levy-Solomon模型考虑了纳根人，而Franke-Westerhoff模型可以看作是一个双主体模型。我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的可能连续公式。此外，我们在Levy-Levy-Solomon模型中展示了不同连续公式对财富演变的影响。此外，我们还讨论了不同数值方法对Franke-Westerhoff模型行为的影响。所有呈现的结果都是使用SABCEMM模拟器生成的，该模拟器可在GitHub上免费获得【68】。对于用于获得结果的所用伪随机数生成器，请参见表4.3.1连续统限制。在本节中，我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Frankewesterhoff模型的时间连续版本。与ABCEM文献中的通常情况一样，这些模型最初被公式化为差异方程。

显然，这种连续极限并不是唯一定义的，在Levy-Levy-Solomon模型的情况下，我们讨论了代理动力学中的几种不同时间离散化。因此，我们关注Levy-Levy-Solomon模型中不同时间离散化的影响，并推导Franke-Weserho ff模型的连续极限，该模型在显式Euler离散化的情况下表现出稳定性问题。附录A.2中详细讨论了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的连续版本。Levy-Levy-Solomon模型在下面，我们分别介绍了时间尺度时间步长t>0，以便在第二步中执行连续极限。将原始Levy-Levy-Solomon模型解释为显式Euler离散化的结果，其中t设为1，财富演化的一般时间离散化版本由：w（t+t） =w（t）+t“（1- γ（t））r+γ（t）S（t+t）-S（t）t+Z（t）S（t）#w（t）。（11） 有关所有参数和功能的正确定义，请参阅附录a.2。注意债券收益率r和股票收益率（t+t）-S（t）t+Z（t）S（t）是速率，因此在时间上具有比例。方程（11）表示ODE的显式Euler离散化，ddtw（t）=“（1- γ（t））r+γ（t）滴滴涕（t）+Z（t）S（t）#w（t），其中时间差dTs（t）近似于前向差异商（t+t）-S（t）t、 为了研究模型的时间连续版本，我们需要适当确定投资者的时间尺度。我们想强调的是，存在着几个合理的时间表。

首先，我们研究了代理在其决策中考虑的最近时间步数（由变量mi表示）随时间变化的情况，即：(R)mi：=bmitc。使用显式Euler离散化的不同时间步的结果如图1所示。正如文献[5]所指出的，原始模型中约90%的最优投资决策γiin位于文献[0.01，0.99]中区间的边界。有趣的是，在之前引入的内存变量时间缩放的情况下，该模型特征发生了变化。对于足够小的t最优投资决策（γi）都位于（0.01，0.99）中，而不是在边界上。这可以用非常小的优化范围和大回报历史的平滑效果来解释。对于t=0.1极端决策的百分比减少到72%，对于t=0.01所有最优投资决策都位于内部。请注意，这些陈述是基于100多次运行的平均结果。或者，我们可以假设投资者的记忆不随时间扩展，即对应于代理人记忆的时间步数始终是恒定的。模拟表明，使用非缩放内存，即使用固定时间步数的内存，可以在所有选定的时间步中观察到显式Euler离散化的振荡价格（参见图2）。平均运行100次以上还表明，对于任何选定的时间离散化，极端决策的百分比保持在大约90%左右。Levy-Levy-Solomon模型进一步研究的可能性有待于未来的研究。Franke-Westerhoff模型与Levy-Levy-Solomon模型类似，我们将Franke-Westerhoff模型解释为一个具有t=1。

在这种假设下，我们在Franke-Westerhoff模型中引入了代理人动力学的以下重标度版本，作为迈向时间连续模型的第一步(t>0），nf（t+t） =nf（t）+t nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- t nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），nc（t+t） =常闭（t）+t nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- t nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（12） 0 50 100 150 200 250 300 350 400时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（a）t=0.50 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（b）t=0.10 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（c）t=0.050 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 200000时间步长101102103104105价格（对数刻度）（d）t=0.01图1：具有缩放记忆变量和不同时间离散化的时间连续Levy-Levy-Solomon模型的模拟。其他参数如表1所示，σγ=0.2。有关模型的详细定义，请参阅附录a.2。动力学（12）的相应常微分方程（ODE）由下式给出，ddtnf（t）=nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），ddtnc（t）=nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（13） 由于股票价格动态包含随机项，我们将原始模型解释为一个统一的Mayurama离散化。因此，我们得到以下重新标度的股价动态，P（t）=P（t- t） +ut DF W（t）+√tu（nf（t）σf+nc（t）σc）η，η~ N（0，1）。（14） 有关DF Wwe的详细定义，请参阅附录a.2。方程式（14）对应的SDE为，dP=uDF W（t）dt+u（nf（t）σf+nc（t）σc）dW。

（15） 0 50 100 150 200 250 300 350 400时间步长101102103104105106价格（对数刻度）（a）t=0.50 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000时间步长100101102103104105价格（对数刻度）（b）t=0.10 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000时间步长100101102103104105价格（对数刻度）（c）t=0.050 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 200000时间步长101100101102103104价格（对数刻度）（d）t=0.01图2：具有固定记忆变量和不同时间离散化的时间连续Levy-Levy-Solomon模型的模拟。其他参数如表1所示，σγ=0.2。SDE按照It^o的意义进行解释，并使用SDE的常用符号。因此，时间连续的Franke-Westerhoff模型读取，dP（t）=uDF W（t）dt+u（nf（t）σf+nc（t）σc）dW，ddtnf（t）=nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc）），ddtnc（t）=nf（t）πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t）πcf（a（t，P，nf，nc））。（16） 我们通过缩放ODE系统（12）和SDE（15）从原始Franke Westerhoff模型推导出ODE-SDE系统（16）。有关FrankeWesterho FFF模型的详细介绍，请参阅附录a.2。为了阐明导出的连续介质极限的有效性，我们进行了数值试验。我们首先使用Franke和Westerhoff提出的参数运行模型，并选择时间步长t待定t=1。定性结果与原始模型相同（见图3）。如果我们将原教旨主义者的噪声级改为σf=1.15，我们就会得到动力学的放大（见图4）。我们所说的爆破是指方程的数值解在特定时间趋于一致。这是一个不受欢迎的模型特征，因为模型参数的微小变化导致模型不可行。这是预期的，因为唯一的区别是缺少切换概率的附加约束（17）（参见。