鲁棒数学公式和概率描述

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英文标题：
《Robust Mathematical Formulation and Probabilistic Description of
  Agent-Based Computational Economic Market Models》
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作者：
Maximilian Beikirch, Simon Cramer, Martin Frank, Philipp Otte, Emma
  Pabich, Torsten Trimborn
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In science and especially in economics, agent-based modeling has become a widely used modeling approach. These models are often formulated as a large system of difference equations. In this study, we discuss two aspects, numerical modeling and the probabilistic description for two agent-based computational economic market models: the Levy-Levy-Solomon model and the Franke-Westerhoff model. We derive time-continuous formulations of both models, and in particular we discuss the impact of the time-scaling on the model behavior for the Levy-Levy-Solomon model. For the Franke-Westerhoff model, we proof that a constraint required in the original model is not necessary for stability of the time-continuous model. It is shown that a semi-implicit discretization of the time-continuous system preserves this unconditional stability. In addition, this semi-implicit discretization can be computed at cost comparable to the original model. Furthermore, we discuss possible probabilistic descriptions of time continuous agent-based computational economic market models. Especially, we present the potential advantages of kinetic theory in order to derive mesoscopic desciptions of agent-based models. Exemplified, we show two probabilistic descriptions of the Levy-Levy-Solomon and Franke-Westerhoff model.
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中文摘要：
在科学领域，尤其是在经济学领域，基于agent的建模已经成为一种广泛使用的建模方法。这些模型通常表示为一个大型差分方程组。在本研究中，我们从两个方面讨论了基于agent的计算经济市场模型：Levy-Levy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型的数值建模和概率描述。我们推导了这两个模型的时间连续公式，并特别讨论了时间尺度对Levy-Levy-Solomon模型行为的影响。对于Franke-Westerhoff模型，我们证明了原始模型中所需的约束对于时间连续模型的稳定性不是必需的。结果表明，时间连续系统的半隐式离散化保持了这种无条件稳定性。此外，这种半隐式离散化的计算成本与原始模型相当。此外，我们还讨论了基于时间连续代理的计算经济市场模型的可能概率描述。特别是，我们提出了动力学理论的潜在优势，以推导基于agent模型的介观描述。举例来说，我们给出了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的两种概率描述。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Robust_Mathematical_Formulation_and_Probabilistic_Description_of_Agent-Based_Com.pdf (1.49 MB)

2022-6-14 10:54:15 上传

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关键词：数学公式 Quantitative Applications Descriptions formulations

基于Agent的计算经济市场模型的稳健数学公式和概率描述Maximilian Beikirch*+, Simon Cramer+、Martin Frank§、Philipp OtteP+、Emma Pabich‖+、Torsten Trimborn**+++2021年3月15日抽象科学，尤其是在经济学中，基于agent的建模已成为一种广泛使用的建模方法。这些模型通常表示为一个大型差分方程组。在这项研究中，我们从两个方面讨论了基于代理的计算经济市场模型：Levy-Levy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型的数值建模和概率描述。我们推导了这两个模型的时间连续公式，并特别讨论了时间尺度对Levy-Levy-Solomon模型行为的影响。对于Franke-Westerhoff模型，我们证明了原始模型中所需的约束对于时间连续模型的稳定性不是必需的。结果表明，时间连续系统的半隐式离散化保持了这种无条件稳定性。此外，这种半隐式离散化可以按照与原始模型相当的成本进行计算。此外，我们还讨论了基于时间连续代理的计算经济市场模型的可能概率描述。特别是，我们提出了动力学理论的潜在优势，以推导基于agent模型的介观描述。例如，我们展示了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的两种概率描述。关键词：基于agent的模型、蒙特卡罗模拟、时间尺度、连续公式、介观描述、动力学理论1简介基于agent的计算经济市场（ABCEM）模型已成为经济研究中一种流行的建模工具。

它们可以看作是一个大的动力系统*RWTH亚琛大学，Templergraben 55，52056 Aachen，Germany+ORCiD ID:Maximilian Beikirch:0000-0001-6055-4089，Simon Cramer:0000-0002-6342-8157，PhilippOtte:0000-0002-1586-2274，Emma Pabich:0000-0002-0514-7402，Torsten Trimborn:0000-0001-5134-7643RWTH亚琛大学卡尔斯鲁厄理工学院WZL生产计量和质量管理主席，Steinbuch计算中心，Hermann von Helmholtz Platz 176344 Eggenstein Leopoldshafen，GermanyPForschungscentrum J¨ulich GmbH，Institute for Advanced Simulation，J¨ulich Supercomputing Centre，52425 J¨ulich，GermanyPRWTH亚琛大学机械工程数据科学研究所**NRW。银行，Kavalleriestrasse 22，40213 D¨usseldorf，Germany++通讯作者：torsten。trimborn@nrwbank.deas差异方程。Stigler[66]的模型可能被视为第一个ABCEM模型，但Kim和Markowitz[42，63]的模型通常被称为第一个现代ABCEM模型。ABCEM模型是经济物理学研究领域的一个著名类别。ABCEM模型的总体目标是再现世界各地金融数据中存在的持久性统计特征，即所谓的程式化事实。可能的研究问题包括：评估微观主体动力学创建的类型化事实；并估计监管对金融市场的影响。由于蒙特卡罗模拟，可以研究统计量的时间演化，例如财富分布或股票收益率分布。一些作者强调了基于agent的建模在经济学中的重要性[29、39、67]。这种方法的缺点是，这些经验结果完全依赖于计算实验。此外，许多ABCEM模型的灵敏度均为w.r.t。

他们的参数，在模型参数的特定选择中观察到的爆破倾向，激发了这项工作。对这些现象的深入研究表明，这种行为起源于微分方程的时间步格式，可以将其视为标准化时间步为1的显式Euler离散。众所周知，显式Euler方法在Stiff微分方程中表现不佳。在这里，如果应用显式Euler型离散化（对于ODE，显式Euler，对于SDE，显式Euler Maruyama）强制执行非常小的时间步，使时间步稳定，则我们考虑ODE/SDE Stiff。因此，我们认为差分方程的时间连续公式有助于理解几个数值问题。尽管如此，我们必须认识到，从差异方程开始，连续公式（分别为连续极限）并不是唯一定义的。据我们所知，这种方法是BCEM社区解决这一重要问题的第一项工作。在一般的经济文献中，Nelson[57]在金融波动率模型的背景下研究了时间连续模型和时间离散模型之间的联系，Turnovsky[73]在宏观经济模型的背景下研究了时间连续模型和时间离散模型之间的联系。因此，本文的目标是研究ABCEM模型的连续公式，并为ABCEM模型的稳健数学公式提出策略。此外，我们强调，时间连续动力系统可以转化为使用偏微分方程（PDE）建模的介观描述【45，60】。通过概率描述，我们指的是一个偏微分方程（PDE），其解是概率定律的密度函数。

从微观动力学到介观描述的极限过程是动力学理论的核心，过去已成功应用于多个ABCEM模型[1、2、53、69、70、72]。与大型动力系统相比，偏微分方程解的维数通常较低，可以方便地用数学工具进行分析。显然，前面讨论的这些方面适用于更广泛的基于代理的模型。在这项工作中，我们分析了以下问题：1。连续公式和极限：我们讨论微分方程和微分方程之间的联系。我们特别强调，差分方程的连续体公式不是唯一的。此外，我们声称，连续模型，如随机和普通微分方程，与微分方程相比有几个优点。首先，数值方法可以方便地应用。此外，连续公式能够传递到概率描述。2、数值离散化和求解：数值离散化包括随机方程和常方程的时间离散化格式，以及公式中发生的微分的离散化。数值解算器包括非线性方程的数值解算器。我们强调，数值离散和求解器的选择至关重要，例如，对于Stiff普通微分方程的解，隐式方法是有益的。概率描述：从时间连续的ABCEM模型开始，我们讨论了从微观动力学开始推导介观PDE模型的几种技术。我们提出了经典的费曼-卡克公式，并介绍了动力学理论。

特别是，我们想指出，介观模型能够研究长时间行为，甚至可以计算解。选择连续制定ABCEM模型或作为差异方程是一个建模问题。差异方程能够模拟具有固定时滞的量的时间演化。相比之下，时间连续模型，例如普通微分方程（ODE）或随机微分方程（SDE），可以使用不同的时间步长进行离散，因此适合于建模相同数量的不同时间尺度。任何微分方程都可以解释为时间连续微分方程的缩放Euler型离散化。请注意，从差异方程开始，时间连续公式不是唯一的。此外，时间连续公式的优点是，它可以用来解释差异方程水平上的不稳定性，从而指导选择适当的离散化方案。正如前面所指出的，时间连续动力系统能够导出偏微分方程模型。这些介观模型可能只是对原始微观模型的不同描述，也可能是原始系统的近似。然而，PDE模型的优点是，它可以进行严格的分析，例如可以证明代理的建模和序列化事实的出现之间的相互联系。在本研究中，我们举例讨论了Levy-Levy-Solomon模型[48]和Franke-Westerhoff模型[31]的连续公式、连续极限和介观描述。Levy-Levy-Solomon模型是最具影响力的ABCEM模型之一，也是ABCEM模型的早期范例【63】。Levy-Levy-Solomon模型考虑了代理人的财富演化和股价演化。

此外，每个代理必须在每个时间步骤中决定股票和资产类别债券之间的最佳资产配置。股票价格在每一个时间步骤中都是由完全匹配供需的清算机制确定的，因此可以被视为一个理性的市场。作者声称，他们的模型能够再现金融市场中的几个典型事实，例如资产回报率的厚尾。zschichang和Lux【79】已经证明，股票价格回报率是正态分布的，模型显示出有限的规模效应。与Levy-Levy-Solomon模型相比，Franke-Westerhoff模型是最近才引入的，于2009年首次引入[31]。该模型跟踪两个代理组的时间演化，而不像Levy-Levy-Solomon模型那样跟踪单个代理的时间演化。股票价格被建模为随机差异方程，因此被建模为不平衡模型。Franke-Westerhoff模型完全由三个微分方程系统描述。据文献记载，Franke Westerhoff模型能够复制几种风格化的行为。在本研究中选择Franke Westerhoff模型的原因一方面是该模型的含蓄性，另一方面是该模型的原型性质，尤其是w.r.t.股票价格更新机制。选择Levy-Levy-Solomon模型不仅是因为受欢迎，而且是因为代理人的财富演变。ABCEM模型的关键是agent之间的相互作用。Levy-Levy Solomon考虑了代理人之间的直接互动，这些互动隐藏在股票价格的定义中。Franke-Westerhoff模型考虑了两个代表性代理，它们通过股票价格方程和转换概率进行隐式交互。本文的结构如下。

在下一节中，我们将在非均衡金融市场模型的背景下讨论差分方程和时间连续差分方程之间的联系。此外，我们还讨论了从ABCEM模型到偏微分方程的途径。在这里，我们特别关注动力学理论对这一极限过程的观点。在第三节中，我们介绍了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的连续公式和连续极限。我们专门讨论了Levy-Levy-Solomon模型中不同时间尺度的影响。此外，我们还表明，对时间连续的Franke-Westerhoff模型进行简单的数值离散会导致爆破。因此，我们引入了时间连续Franke-Westerhoff模型的半隐式离散化，并表明定性输出与原始模型一致。在第四节中，我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型的介观描述。此外，我们将简要讨论分析结果，如稳态和显式解。我们以一个简短的结论来完成这项工作。2 ABCEM模型的数学观点我们介绍了ABCEM模型与时间连续动力系统的联系。特别是，我们陈述了时间连续模型与微分方程相比的优势。如前所述，ABCEM模型可解释为离散化动力系统。文献中的许多模型忽略了时间依赖性，分别将时间步长标准化为1[31，38，40]。事实上，许多模型都是通过微分方程来表述的。在本节中，我们阐述了微分方程和离散微分方程之间的联系。此外，我们还介绍了文献中广泛使用的非均衡市场的一般模型。

最后，我们讨论了从ABCEM模型到偏微分方程的过程。在这里，我们将重点放在运动学理论和介观描述的推导上。一般来说，如果固定股票价格S（t+k），则可以将市场称为非理性市场t） 在每个时间步t+kt，t>0，t≥ 0，k∈ N不清除所有买入或卖出订单。这与总超额需求不为零的情况相对应。超额需求通常可以定义为代理商需求之和减去代理商供应之和。有关总超额需求的详细讨论，请参阅[54，64]。不平衡模型的一个早期示例是Beja和Goldman模型[6]。事实上，Beja和Goldman模型可以从一个理性市场模型中推导出来，其中供给等于需求，D（S）！=0。（1）代数供需关系的松弛（1）导致时间连续有序微分方程（ODE）ddtS=λD，（2）市场深度λ>0。关于Beja和Goldman模型的详细讨论，我们参考了原始论文【6】和Trimborn等人最近的出版物【46，71】。在许多型号中【3、16、24、50】的价格调整规则为：Sk+1=Sk+t Dk。（3） 这里，我们对Sk使用Skas简写符号：=S（t+kt） 。通常是时间步长t被归一化为1，因此我们面临一个差异方程。之前的更新规则（3）可以解释为ODE（2）的显式Euler离散化，前提是聚合超额需求是确定性的。过度需求的随机性通常是指不确定的外部影响，如新闻流或微观多样性。在Franke-Westerhoff模型[33]的情况下，总超额需求是随机的，因此这种定价机制不能被视为ODE的近似值。Franke-Westerhoff模型的原理可以解释为离散化SDE。

有关此特定案例的详细信息，请参阅附录A.2。Trimborn等人在[71]中介绍了一个非常普遍的非理性市场模型。由以下SDEdS=F（S，D）dt+G（S，D）dW，（4）Wiener过程W和任意函数F和G得出。扩散函数G在股价和过剩需求对噪声水平的影响范围内建模。函数F模拟了袜子价格变化对过剩需求和股票价格本身的影响。请注意，（2）是模型（4）的特例。我们对It^o随机微分方程使用通常的符号。ABCEM模型的许多市场机制都是模型（4）的特例，例如[3、4、12、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、27、30、38、41、50、51、52、59、65、78]中提出的模型。这种SDE（5）最简单的离散化是Euler-Maruyama方法。将海勒丸山方法应用于方程（4），我们得到：Sk+1=Sk+t F（Sk、Dk）+√t G（Sk，Dk）η，η~ N（0，1）。（5） 在完全确定性模型的情况下，数值格式（5）与标准Euler方法相同。从数学角度来看，我们强调存在更复杂的方程（4）数值方法，这可能会显著提高逼近质量，正如Haier和Wanner所讨论的那样【37，75】。特别是对于STIFFE SDE或ODE，应考虑隐式解算器以防止稳定性问题。我们参考Kloeden和Wanner的经典参考文献【43，76】，以获取关于差异方程主题的详细介绍。在ABCEM文献中，大多数模型依赖于显式Euler（确定性动力学）或Euler Maruyama（随机动力学）离散化。通常，会重新调整和固定数值近似值，以便将时间步长设置为1。