金融市场的多重分形分析

（267）对于对数泊松二项测度[104，445，44 8]，乘数遵循泊松分布p（m）=e-γγm/m！（268），奇异谱isf（α）=1-γln 2+αln（γe/α）ln 2（269）对于对数γ二项测度[104，445，448]，乘数遵循γ分布p（m）=βγmγ-1e级-βm/Γ（γ），（270），其中β>0，γ>0，奇点谱为f（α）=1+γln（αβ/γ）ln 2+γ- αβln 2。（271）类似的随机级联过程，如正交小波系数二叉树上的W级联，也可以生成具有τ（q）和f（α）显式表达式的随机多重分形时间序列【323】。对于对数正态W叶栅[323]，我们得到τ（q）=-σ2 ln 2q-uln 2q- 1.（272）和f（α）=1-（α+u/ln 2）ln 22σ，（273），其中u和σ分别是ln | W |的平均值和方差。当f（α）=0：αmin，max=±√2σ√第2层-uln 2。（274）对于对数泊松W-级联[323]，我们得到τ（q）=λ（1- δq）- γqln 2- 1.（2 75）和f（α）=αlnδ+γln2 lnδ“lnαln 2+γ-λlnδ！- 1#+ 1 -λln 2，（276），其中ln | W |的规律与P lnδ+γ相同，λ是泊松变量P的平均值和方差。W-级联模型与常规级联模型之间多重分形表达式的差异源于m乘子分布的不同表达式。关于随机连续多重分形与许多其他乘数分布的讨论可以在REF中找到。[57449450]，其中出现异常多重分形行为。4.2. 资产收益多重分形模型（MMAR）4.2.1。基本MMAR模式lMandelbrot等人提出了一个开创性的资产收益多重分形模型（MMAR）[177]，也称为多重分形时间布朗运动（BMMT）[451]。

在MMAR模型中，对数价格被假定为布朗运动的从属过程和交易时间的多重过程。MMAR模型包含三个假设：假设1。X（t）是一个从属进程X（t）≡ BH[θ（t）]，（277）其中，t是时钟时间，B（t）是具有自确定指数H的函数布朗运动，θ（t）是随机的非递减交易时间。假设2。交易时间（或“subord inator”）θ（t）是定义在[0，t]上的多重分形测度u的累积分布函数，因此它是一个多重分形过程，具有连续、递减路径上的n和平稳增量。假设3。过程B（t）和θ（t）是独立的。交易时间θ（t）在MMAR模型中起着至关重要的作用，这可能导致价格X（t）具有多重分形。结果表明，在这三个假设下，过程X（t）是具有平稳增量和标度函数的多重分形[177]。τX（q）=τθ（Hq）。（278）当θ（t）是标准多重分形时，X（t）的增量具有厚尾[177452]。当H=1/2时，价格过程显示不相关的增量和波动性中的长记忆[1 77]。因此，H=1/2的MMAR模型能够再现财务重组的主要类型化事实【60】。假设2中正则多重分形测度u的自然选择来自随机乘法级联模型【104、123、177、445、448】。最近的实证结果表明，国际贸易持续时间确实具有多重分形性质[453–457]，这为假设2提供了有力的支持。Calvet等人详细发展了与θ（t）过程密切相关的乘法多重分形理论【445】。Fisher等人。

揭示了债务/美元（1992年10月31日至1993年9月1日的买入/卖出价格和1973年6月至1996年12月的每日数据）和日元/美元汇率数据中存在的多重分形标度律[458]。他们发现，M生成过程中模拟的多重分形数据与DEM/美元数据一致，但与日元/美元数据并不完全一致[458]。Calvet和Fisher在DEM/美元数据以及纽约证券交易所-美国证券交易所-纳斯达克价值加权指数（“CRSP Ind-ex”）、阿彻丹尼尔斯米德兰（ADM）、通用汽车（GM）、洛克希德-马丁（Lockheed-Martin）、摩托罗拉（Motorola）和联合航空（UnitedAirlines）（UAL）自19 62年至1998年的每日数据中证实了多重分形的存在以及与MMAR模型的一致性【104】。2000年1月4日至2014年7月3日，G¨unay利用四个新兴市场（克罗地亚、希腊、波兰和土耳其）的每日股票指数回报率，研究了对数正态MMAR模型与四个基准经济计量模式ls（GARCH、EGARCH、FIGARCH和MRS-GARCH）的比较表现【459】。他估计了五个模型的参数，并对每个模型进行了1000次模拟。他发现对数正态MMAR模型的平均标度指数与经验结果的偏差最小。Goddard和Olini以1993年1月至2012年2月期间12种外汇兑美元的每日收益率为例，在对数正态MMAR模型的框架下，提出了一种长记忆和多重分形的联合测试[460]。Batten等人修改了MMAR模型，用成交量刻度系列表示假设2中的交易时间【461】，即交易时间θ（t）由标准化成交量刻度Vt给出：Vt=Vt/TXt=1Vt，（279），其中Vt≥ 0表示时间t时的卷刻度数。

该模型的合理性基于这样一个事实，即交易量具有多重分形性质，这在不同的市场中是普遍存在的【183462–466】。他们研究了2006年1月5日至2007年12月31日的5欧元/美元现货报价和交易行情。他们发现，该模型可以在12小时预测水平上产生令人满意的VaR预测，并且在每日水平上表现出历史模拟方法和基准GARCH（1,1）位置标度VaR模型。对于MMAR模型的某些版本（包括最初的版本[177]）的构造，应强调一点。假设2 f或从属项θ（t）一般定义它，而不考虑因果条件。通常，多重分形度量是一种存在于所有时间的几何结构，没有特定定义或依赖于时间箭头。换句话说，多重分形测度预先存在时间。从属因子θ（t）可以模拟时间流的事实，源于构造该多重分形测度的累积分布函数。然而，在给定时刻的度量已经“知道”了其在结构中的未来值，例如纯粹的几何结构，而不考虑因果关系。虽然这些类别的mar模型可能是描述金融价格时间序列的良好候选者，但它们应该只考虑astoys，与实际市场没有严重相关性。事实上，金融市场模型应该遵守的最重要的属性是因果关系。否则，将在投资组合配置和优化、衍生品定价、投资策略等方面得出刺激性的结论。4.2.2. Poisson-MMAR模型在假设2中，当交易时间θ（t）为c时。d、 f。

对于[0，T]定义的泊松多重分形测度，我们得到了泊松MMAR模型或简称PMM[467]。PMM改进了MMAR，因为其分区子间隔的长度b不相同，因此结果度量是无网格的-可以将其视为具有马尔可夫潜在向量的随机波动率模型[467]。PPM导致了波动率的马尔可夫切换多重分形模型。4.3. 马尔可夫切换多重分形（MSM）模型4.3.1。MSM模型的框架Calvet和Fisher设计的马尔可夫切换多重分形（MSM）模型是一个具有多频率随机波动率的离散时间马尔科夫过程[467468]。回程过程被指定为Ri=σii，（280），其中随机变量是i.i.d.标准高斯N（0，1），σi是一种随机波动性，具有k个波动性成分M1、i、M2、i、···································································································································，i、 （281）其中σ是在假设乘数M1、i、M2、i、·····、M'k在统计上独立的情况下，返回i的无条件标准偏差。随机波动性成分Mk，i是随机多因子，是持久的、非负的和规范的，因此e（Mk，i）=1（282）对于所有i。为了简单起见，进一步假设乘数M1，i，M2，i，···················································································。在MSM模型中，将每个iod i中的挥发性成分叠加到1×’k向量中-→Mi=[M1，i，M2，i，····，M'k，i]（283）向量-→Mi被假设为一阶马尔可夫过程，因此定义了波动状态。

当statevector-→惯性矩-1在第一期确定- 1，每个k的i周期乘数Mk，ifor∈ {1，2，·······················································-1有可能1- γk，（284），其中mk，iis取自P（M）。MSM模型允许对分布P（M）和任何离散或连续分布（E（M）=1定义的n M）有多种规格∈ (0, ∞) 可以利用。引入两个参数γ′k∈ （0、1）和b∈ (1, ∞), 跃迁概率规定为γk=1- (1 - γ′k）bk-\'k，（285）或等效γk=1- (1 - γ） 黑色-显然，γkis是k的单调递增函数，因此k值小的Mk，i对应低频分量，k值大的Mk，i对应高频分量。对于较小的γ和k值，公式（286）的阿泰勒多项式近似可得出γk≈ γbk-1.（287）因此，低频分量的跃迁概率大约以几何速率b增长，而高频分量的跃迁概率增长速率减慢。MSM模型可以产生金融资产回报的主要类型化事实。它包含多重频率波动，价格过程是多重分形跳扩散过程[469]。低频乘数的变化会导致波动率的不连续性和长记忆性，高频乘数会产生大量的异常值，从而导致收益率的厚尾，而乘法过程的层级级联确保了r e转折中多重分形的出现。价格过程的多重分形谱完全由乘数的概率分布p（M）决定【104】。4.3.2.

二项式MSM模式lCalvet和Fisher提出了一个简约集合p，其中概率分布p（M）是一个二项分布，随机变量取M值∈ [1、2]或2- m级∈ [0，1]具有等概率，这是一个二元模型[468]。对于二项式MSM模型和其他具有离散乘数分布的MSM模型，可以通过最大似然估计（MLE）方法估计模型参数（σ、b、γ′和P（M）中的参数），因为可以通过比较具有不同自由参数数量的不同MSM（k）模型的可能性，使用Akaike信息准则（IC）或贝叶斯信息准则（BIC）来表示闭合形式的可能性，并确定频率k的数量【468】。Calvet和Fisher利用德国马克（D EM）、日元（JPY）、英镑（GBP）和加元（CAD）30年来对美国的每日汇率，估计了具有四个参数和1000多个州的二项式MSM模型。他们发现，无论是在样本内还是样本外，MSM模型都优于基准经济计量模型（GARCH、马尔可夫转换GARCH和FIGARCH），并且在10到50天的时间段内，预测精度获得了相当大的提高【468】。使用1969年1月至2004年10月的两个股票指数（道琼斯综合指数65平均指数和日经225平均指数）的每日数据，1973年3月至2004年2月的两个外汇汇率（英镑和澳元兑美元），以及两个美元汇率。S、 从1976年6月至2004年10月，国债利率（TB-1y和TB-2y）通过估计和比较二项式MSM模型的经验数据和模拟数据的广义赫斯特指数SH（q=1）和H（q=2），发现e估计模型捕捉到了数据的时间依赖性【470】。4.3.3.

对数正态MSM模型Lux研究了对数正态MSM模型【471】，其中乘数由参数λ和S的正态分布随机抽取确定：P（M）=MS√2πexp-（ln M+λ）2S！。（288）根据正则条件（282），我们得到s=2λ。（289）因此，对数正态SMS模型有四个参数。Lux提出了一种带有线性预测的广义矩量法（GMM）估计器，用于模型校准，该估计器可应用于具有任意数量波动性成分的任何连续分布。他的数值实验表明，GMM估计对于二项式和对数正态模型表现良好。通过对数范数a l MSM模型的结构函数定义的质量指数函数τ（q）可以明确表示为[224]τ（q）=q- 1.-q-q(λ - 1) = -λ - 1q+λq- 1.（290）参数λ可通过将公式（290）拟合到经验获得的τ（q）曲线来确定。根据数据，Eisler和Kert\'e sz表明，MF-DFA方法提供了一个很好的λ估计值，该值仅略低于GMM估计值[224]。根据勒让德变换（参见参考文献[472]），α（q）=-λ - 1q+λ（291）和f（α）=1-(λ - 2α)4(λ - 1). （292）我们看到α（q）处的th是q的无极限线性函数。当q≥ λ/(λ - 1） ，我们有α≤ 0.对1979年1月1日至2004年12月31日的五种汇率（DEM、英镑、CND、日元和瑞士法郎兑美元）的实证分析表明，对数正态MSM模型的表现与二项式MSM模型相当[471]。O'swie,cimkaet al.利用1999-2004年间波兰WIG20指数的1分钟高频数据发现，对数正态MSM模型能够产生一些主要的程式化事实，包括厚尾分布、相关性缺失和retur n时间序列中的多重分形[472]。基于与参考中相同的数据设置。

[470]发现，对数正态MSM模型的表现与二项式MSM模型几乎相同，再现了对数价格的广义赫斯特指数H（1）和H（2），这表明二项式MSM模型的简约性说明足以进行实证分析[473]。对于小q值的绝对收益和平方收益也得到了类似的结果，但对于大q值则没有得到类似的结果【474】。在这些工作中，广义Hurst指数H（q）的确定是基于结构函数法。如果使用其他多重分形分析，如MF-DFA，情况可能会有所改善【224】。4.3.4. 其他扩展从对数正态MSM模型生成的时间序列具有消失的杠杆自相关[224]，这与金融时间序列中众所周知的杠杆效应不一致[60]。利用参考文献[4 75]中的思想，Eislerand Kert\'esz通过引入杠杆自相关[22 4]：ri=exp扩展了MSM模型-Xi′<isign（i′）K（i- i′）σii，（293），其中K（i）是一个核函数，它在适当的极限下定性地是杠杆自相关函数[224475]。显然，这种扩展可以应用于其他随机波动率模型。或者，将MSM波动率纳入Heston模型的平方Root波动率过程中的均值回归项【476】，由于波动率的高斯更新和Heston模型中股票价格的高斯创新之间的相关性，杠杆效应自然出现【477】。单变量MSM模型可以扩展到双变量和多变量MSM模型，以研究两个或多个金融资产之间的波动性变动【478】。

对于具有离散多重分布的多元MSM模型，可以推导出闭式似然，并且可以通过模式速率大小状态空间的最大似然和高维情况下通过粒子滤波器的模拟似然来进行参数估计【478】。参考文献[471]中提出的GMM估计方法也可设计用于具有离散或连续m乘子分布的多变量EMSM模型[479]。这种模式l是同质的，可以通过允许波动率c组分之间的相关性形成非同质双变量MSM模型来改进，以获得更好的风险预测能力[480]。其他扩展包括描述现货和每周期货价格动态的Cop ula MSM模型以及更一般的其他金融资产对[481]，创新遵循学生分布的MSM-t模型[482]，创新遵循偏态分布的M SM-偏态t模型[483]，利率水平MSM模型包含了利率中观察到的众所周知的水平效应[484]，修改后的赫尔-怀特利率模型，其中短期利率的波动由MSM模型驱动[485]，气候事件引起的保险索赔的周期性MSM模型，其中术语设置为一年中相应月份观察到的索赔的平滑平均值[486]，实现的挥发性非正常MSM（RV-LMSM）模型，其中非RVσiin公式。