金融市场的多重分形分析

大量的数值实验表明，DMA的性能与DFA相当，在不同的情况下优先级略有不同，DFA和DMA都是确定时间序列赫斯特指数的“选择方法”【28 7–289】。DMA方法被推广到MF-DMA，用于研究时间序列的多重分形性质【290】。MF-DFA和MF-DMA算法之间的主要区别在于去趋势化过程。在MMF DMA方法中，计算大小为s[283]的移动窗口中的移动平均函数eX（i），eX（i）=s（s）-1)(1-θ)Xk公司=-（s）-1)θX（i）- k） ，（118）其中y 是不大于y的最大整数，y 是不小于y的最小整数，和θ∈ [0，1]是位置参数。换句话说（s）- 1)(1 - θ) 过去的数据点和（s）- 1)θ 0 100 200 300 400 500-30-25-20-15-10-5Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5i0 100 200 300 400 500-30-25-20-15-10-5Y中的点（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5图7：（颜色在线）MF-BDBA方法中的去趋势过程（θ=0）。时间序列有500个数据点，时间刻度为s=150。所示时间序列是通过从更长的时间序列中截断两端的点来获得的。第一行显示了从左到右的去趋势化过程，其中i=451，452，····，500的数据点不应用于计算F，而从右到左的第二行显示了i=1，2，···，150的数据点不应用于计算F。未来决定x（i）。当i接近每个端点时，方框的大小可能小于s。可以放弃这些点，也可以直接计算移动平均值。通常，我们考虑三种特殊情况，对应于MF-DMA的三个代表版本：oMF-BDMA。

第一种情况θ=0是指ba c kward移动平均值[287]，其中移动平均值函数（i）是在过去的- 1信号的数据点。oMF-CDMA。第二种情况θ=0.5对应于居中移动平均值[287]，其中ex（i）在每个窗口中包含过去和未来一半的信息。该版本也称为MF-CMA【291】。oMF-FDMA。第三种情况θ=1称为前向移动平均值，其中ex（i）考虑了s的形成趋势- 1未来的数据点。我们注意到，用于计算移动平均值的窗口大小必须与计算去趋势函数s的段大小相同【290291】。图7.2.4.4中的插图d显示了去趋势过程。其他检测算法虽然很难确定嵌入非平稳时间序列中的内在趋势，但有许多不同的选择[292]。由于时间序列的内在趋势通常是未知的，因此对于不同类型的时间序列，方法具有不同的性能。因此，已经提出了许多M F-DFA和MF-DMA的变体。局部趋势可进一步分为不连续趋势和连续趋势。MF-DFA和MF-DMA分别属于这两类（见图6和图7）。Zhou和Leung提出了移动窗口中的多重分形时间加权去趋势反射分析（MF-TWDFA）[293]。对于每个i，它们对数据点（X（i））拟合一个线性函数- s） ，····，X（i），····，X（i+s））在大小为2s+1的移动窗口中，使用加权最小二乘回归。目标函数isO（i；s）=sXj=-sX（i+j）-lXk=0ak×（i+j）kwi j，| i- j |≤ s、 （119）式中，wi j是随着| i的增加而减少的重量- j |。换句话说，偏差十、- 一- a×（i+j）当j远离i时，重量更大。

权重wi jin MF-TWDFA由[293]wi j=“1”定义-我- js公司#. （1 20）对于等权重情况，wi j=1，（1 21）我们获得了多重分形Moving窗口去趋势流动分析（MF-MWDFA）[293]。这两种方法实际上属于连续类，因为趋势变化不大，没有跳跃。实际上，当l=0时，我们采用了中心MF-DMA方法[293]。经验模态分解（EMD）是一种分析非线性非平稳时间序列的创新方法，它分解时间序列{X（（v- 1） s+i）}si=1到有限个内模函数（IMF）[294]。设{x（i）}si=1，{x（（v- 1） s+i）}si=1。分解是一个筛选过程，它有六个步骤[292]：（1）识别x（i）的所有极值；（2） 对局部极大值进行插值，以形成每个包络U（i）的上方向图；（3）插值局部极小值以形成下包络L（i）；（4） 计算平均包络线：u（i）=[U（i）+L（i）]/2；（122）（5）从信号CK（i）=X（i）中提取me an- u（i）；（123）（6）检查wh ether Ck（i）是否满足IMF条件。如果国际货币基金组织的条件已满，则Ck（i）为国际货币基金组织，且解除停止。否则，让x（i）=Ck（i）并继续筛选。最后，我们得到了基于EMD的时间序列段{X（（v- 1） s+i）}si=1:rn，eX（（v- 1） s+i）=X（（v- 1） s+i）-KXk=1Ck（i）。（124）钱等人在MF-DFA方法中使用了这种局部趋势，并开发了基于EMD的MF-DFA方法[295]。多重分形二项测度的数值实验表明，基于EMD的MF-DFA方法与MF-DFA方法具有可比性，但基于EMD的方法对小奇异点的性能稍好【295】。

该方法已被应用于分析股票市场指数[295，296]、外汇汇率[297]以及经证明的减排（CER）和欧盟补贴（EUA）期货价格[298]，所有这些都证实了财务回报中多重分形的存在。为了处理具有高度非平稳正弦和多项式叠加树的时间序列，Horvaticet等人提出用不同阶数的多项式来消除趋势[299]。在这种方法中，多项式或derl 不是固定的，而是随着比例尺s的增加而增加，不同比例尺下的去趋势波动应标准化，以确保绝对截距。虽然缺乏确定变化顺序的客观标准，但主观选择(l = s=4时为1，l = s=6时为2，l = s=10时为4，l = s=18时为8，且l = 16对于s>18）似乎效果良好[299]。潜在的对数ic是我们需要高阶多项式来正确地预测振荡。Du等人为非平稳时间序列构建了基于双树复小波变换的多重分形去趋势函数分析（DTCWT-MFDFA）[300]。基于双树复小波变换的抗混叠和几乎平移不变性[301，302]，原始时间序列通过金字塔算法进行分解，以从小波系数中提取尺度相关的趋势和波动。通过希尔伯特变换计算每个时间尺度上非重叠段的长度，并将每个提取的函数划分为大小相同的非重叠段。可以计算每个管段的预计弯曲度。发现DTCWT-MFDFA方法在多重分形二项测度方面优于MF-DFA方法【300】。为了执行MF-DFA，Manimaran等人。

建议使用离散小波变换进行趋势分析【303】。采用Daub-echies系列的离散小波分析高达s级的r aw时间序列。由此产生的低通系数反映了数据中的多项式趋势。然后，利用这些低通系数构建时间序列，以不同的尺度表示局部趋势。该方法已经对综合TIME系列进行了测试，并应用于纳斯达克和BSE指数【304，305】。Ghosh等人使用Db4和Db6基本集，分别从纽约证券交易所（NYSE）上市的快速扩张资本化公司的收盘价中分离出不同规模的局部线性和二次趋势【306】。在被调查的股票指数和个股中观察到多重分形。我们注意到，第5.3.6节中用于预处理原始时间序列的其他去趋势化方法也可用于不同尺度的局部去趋势化，以构建MF-DFA的变体。2.5. 其他方法在本节中，我们将回顾其他几种多重分形分析方法。应该记住，在不同的领域提出了不同的多重分形分析方法，很难全部提及。我们重点关注与前几节讨论的方法相关的方法，以及用于财务时序分析的方法。除了下面介绍的内容外，我们还想提及基于0-1检验的多重分形信号传导分析[307]和基于焦点的多重分形形式主义[308]。2.5.1. 乘数法Novikov引入了乘数的概念，以描述间歇性和尺度自相似性inturbulent Flows【125】。在经济物理学中，可以将这一概念应用于研究波动率乘数。

对于高频财务数据，我们首先在时间区间[t，t]中构建一个加性度量，它是绝对回报的总和：u（[t，t]）=tXt=t | r（t）|，（125）ab溶质回报实际上是对[t，t][309]上波动性的度量。波动率时间序列r（t）被划分为大小相同的s个框。每个母框进一步划分为子框，其中a称为基。乘数ma，sis由子框上的度量值与其m其他框上的度量值的比率确定【310，311】。如果乘法器是尺度不变的，对于任意两个基a和b，乘法器密度函数pa（ma）和pb（mb）通过梅林变换M关联如下[311]：[M{pa（ma）}]1/ln a=[M{pb（mb）}]1/ln b，（126），这导致mqapa（ma）dmaln a=lnRmqbpb（mb）dmabln b。（127）macan力矩的质量标度指数τ（q）被定义为[310，311]τ（q）=-D-lnhmqailn a，（128），其中Dis是度量支持度的分形维数。对于时间序列，我们有D=1。局部奇异指数α及其谱f（α）通过Legendre变换与τ（q）相关。由此得出α（q）=-hmqaln maihmqailn a（129）和f（α）=hmqailnhmqai- hmqaln mqaihmqailn a.（130）等式。（127-130）意味着，对于每个q，这些特征多重分形量中的每一个都收敛到标度范围e中的一个常数，并且与基数a无关。请注意，对于金融波动性，q>-1【312】，这与湍流中的情况非常相似【228】。因为收益可以为零，所以乘数m可以为零，概率密度pa（0），在ma=0时为0。当mis小于一个小数字δ时，p（m）=p（0）是一个常数。对于给定的小δ，Rδmqp（m）dm=C是有限的。然而，动量zmqp（m）dm=Zδmqp（m）dm+C=p（0）q+1mq+1q时δ+C（131）发散≤ -1.

基于被积函数mqapa（ma）对给定q发散的想法，这一性质在经验上得到了验证[312]。尺度不变乘数分布被认为比标准多重分形谱f（α）更基本[310，311]。此外，它需要更少的指数计算时间，并且比分区函数方法更精确【310，311】。Jiang和Zhou使用标准普尔500指数的1分钟高频数据报告称，波动率乘数是尺度不变的，波动率具有多重分形特性[312]。牛和王证实了上海SSEC指数乘数分布和“选民互动动态系统”模型模拟数据中存在的尺度不变性[314]。2.5.2. 多重分形Hilbert-Huang谱分析Hilbert-Huang变换结合了EMD和Hilbert谱分析[294315]，其中Hilbe-rttransform应用于等式（123）中的每个分量Ck（i）。总体趋势可表示为X（i）=X（i）-nXk=1Ck（i）=X（i）-nXk=1Ak（i）expjZωk(l) dl!, （132）其中j=-1、对于每种模式，Hilbert Huang谱定义为振幅的平方（ω，i）=A（ω，i），（133）原始时间序列的Hilbert Huang g边际谱为书面灰分（ω）=ZH（ω，i）di，（134），对应于频率ω处的能量密度。该方法称为基于EMD的希尔伯特谱分析（EMD-HSA），为简单起见，我们将其称为希尔伯特-黄谱分析（HHSA）。Huang、Schm-itt、Lu和Liu通过将Hilbert-Huang变换从二阶推广到任意阶，提出了多重分形H-ilbert-Huang g谱分析（MF-HHSA）[316，317]。

Hilbert-Huang g谱h（ω，i）表示局部水平的原始信号，可用于确定频率ω和振幅Ak的联合概率密度函数p（ω，A）。公式（134）中的Hilbert-Huang裕度a l谱可以重写为Ash（ω）=Z∞p（ω，A）AdA，（135），对应于二阶矩。Huang等人将公式（135）推广到任意阶动量Lq（ω）=Z∞p（ω，A）AqdA，（136），其中q≥ 0和h（ω）=L（ω）。在惯性范围内，我们假设以下标度关系，Lq（ω）~ ω-τ（q），（137），其中τ（q）是幅频空间中相应的标度函数。Li和Huang将这种MF-HHSA方法应用于中国股市的CSI 300指数，并证实了多重分形的存在[318]。2.5.3. 基于EMD的多重分形方法Sweeter和Esquef提出了一种基于EMD的优势振幅多重分形形式（EMD-DAMF），其实现如下【319】：步骤1：对X（i）进行EMD，以获得K IMFs Ck（i）。步骤2：确定振幅ak（i）和Ck（i）的特征时标s。

可以通过希尔伯特谱分析（HSA）将每种模式下的特征时间尺度估计为平均频率的倒数，或者简单地估计为所有相邻零交叉点之间平均时间间隔的两倍。步骤3：确定主振幅系数，j：=supk′6k{max[| ak′（i∈ Ik，j）|]}，k=1，2，···，k和j=1，2，···，nk，（138），其中，nk是ak（i）的局部最大值的数目，Ik，jis是ak（i）的第j个最大值a周围的时间支持。步骤4：计算不同q值的qth阶矩：Mq（sk）=nknkXi=1（uk，j）q，k=1，2，····，k，（139），其中，HSA可在每种模式下获得特征时间尺度sk，作为平均（线性）频率的倒数，或仅通过所有相邻零交叉点之间的平均时间间隔。步骤5：估计缩放函数MQ（sk）~ sτ（q）+1-qk。（140）在实际应用中，Welter和Esquef建议将筛选次数固定为10（即，K=10），并通过三次样条插值计算信号包络线【319】。他们用分馏布朗运动【320】、L'evy过程【321】、多重分形随机m小波级联【322323】和p模型的多重分形多重复制级联【324】验证了该方法。注意，EMD-DAMF方法在较大尺度m模式下的振幅m轴数量较少，尺度数量有限【319】。后一个缺点可能会影响缩放范围的确定。或者，Zhou等人提出了所谓的EMD-DFA方法【325】。将积分时间序列X（i）分解为一组固有模式函数和一个残差或趋势分量。通过计算每个内部模式函数（IMF）中每个相邻位置最小值之间的数据点数量，确定所有内部时间尺度。

对于给定的s，通过0的所有数据点对应不等于s的标度重新对所有IMF进行采样，并通过对所有重新采样的IMF进行求和获得波动时间序列Xs（i）。标度s处的总流量是x（i）：F（s）的平方根=NNXi=1Xs（i）1/2，比DFA方法产生更好的缩放效果【325】。EMD-DFA方法可以通过处理q阶矩（Fq（s））扩展到多重分形时间序列=NNXi=1 | Xs（i）| q1/q.（141）注意，EMD-DFA方法没有像公式（105）那样明确的detr结束形式。2.5.4. 多尺度多重分形分析Gieraltowski等人在MF-DFA方法的基础上提出了多尺度多重分形分析（MMA）[326]。在通过MF-DFA方法计算所有总电导率Fq（s）值后，r a不是从Eq中估计H（q）。（112）在标度范围内，他们继续估计不同标度下移动窗口的局部基因化赫斯特指数H（q，s）。在该方法中，引入了两个自由参数：移动窗口大小和步长。