金融市场的多重分形分析

（281）被已实现波动率（487）和MSM持续时间（MSMD）模型所取代，用于分析金融市场的交易持续时间（488-490）。总的来说，MSM类型模型的不同规格在捕获金融变量的多重分形行为、预测金融波动性和衡量市场风险方面有着比较好的表现，平均表现优于基准经济模型。4.4. 多重分形随机游走（MRW）4.4.1。最初的mod elBacry等人引入多重分形随机游走（MRW）来模拟随机波动率，其中波动率可以减少为长记忆过程的指数[407]。MRW模型的灵感来自金融市场因果级联的开创性思想，其中还引入和研究了资产组合的多元多重分形描述[440441]。MRW模型具有可解的多重分形特性[396407491]，这与资产收益的对数范数连续级联模型的o类相似[492–494]。MRW可以扩展到多变量MRW【396】。Bacry和Muzy f urther证明了新南威尔士州MRW和MMAR两个定义之间的等价性【492】。考虑多重分形过程X（t），其离散过程在离散时间k采样t是Xt（t）=Xt（it） ，其中i=1，···，N。增量δ德克萨斯州t（it） MRW的构造为δ德克萨斯州t（it） =εt（i）eωt（i）（294）和相应的MRW isXt（t）=NXi=1δ德克萨斯州t（it） =NXi=1εt（i）eωt（i）（295），其中X（0）=0，N=t/t、 这里，εtandω皮重独立nt，ε这是一种方差为σ的高斯白噪声t、 而ωtis高斯及其协方差isCω(t、 s）=cov（ωt（i+s），ωt（i））=λlnρt[s]（296），其中ρt[s]=（t（s+1）t、 s+1 6吨/t1，否则为（297），因此方差为Var（ωt（i））=λln（t/t） 。

确保X的方差当t型→ 0，我们有e（ωt（i））=-Var（ωt（i））=-λln（T/t） 。（298）可以得出X的方差t（t）是σt，它独立于t、 因为ω由于是高斯分布，该模型是对数正态MRW模型，可以推广到其他分布[492495]。证明了X的结构函数的标度指数t（t）为[407]ζ（q）=-λq++λ！当标度s小于N时，q（299）。当s>N时，我们得到ζ（q）=q/2。（300）换言之，在后一种情况下，ω这是一种高斯白噪声，因此δ德克萨斯州t（it） 也是高斯白噪声。因此，Xt（t）是布朗运动。Ludena为经验数据提供了ζ（q）的近似置信区间[496]。可以使用广义矩法[493494]或近似最大似然法[497]估计MRW模型。Bacry等人[407]表明，上述结构具有明确且唯一的时间连续极限，使得MRW是分数布朗过程的单二次多重分形推广，具有一个良好的非连续极限（类似于定义Wie-ner过程的离散随机游走的连续极限）。Sornetteet al.【498】提出了一种方便的MRW替代表示方法，即长内存进程的指数，具有特定的不对称性1/√t衰减核，已推广到任意幂律核[499500]和内生自激过程[501]。MRW模型能够捕捉财务回报的多重分形性质，例如1900年至2003年的每日道琼斯工业平均指数回报[502]，以及1988年至1999年期间的日内标准普尔500指数未来指数[493]。它还预测了金融回报的幂律尾分布[493503]。4.4.2.

分数MRWIfε由于是分数高斯噪声，MRW变为多重分形分数随机游动（MFRW），标度指数为[407]ζq，H=（[qH- q（q- 2） λ]/2，如果s 6 TqH，如果s>T（301），MFRW的数学处理可在参考文献中找到。[504–507]. MFRW模型在经济物理学中的应用是有限的，因为金融回报通常是不相关的，因此≈ 0.5. Rypdal a和Lovsletten提出了两种均值回复MRW模型，其中，反相关要么通过漂移项（如在Ornstein-Uhlenbeck过程中）建模，要么通过使用分数高斯噪声（H<0.5）对新息进行建模【508】。他们应用这些模型来估计1992年5月4日至2011年8月27日挪威克朗市场1小时电力现货价格的多重分形行为。4.4.3。S kewed MRW MRW是一个有用的金融模型，它根据波动记忆中的某些属性进行验证，但没有针对股市回报的完全真实描述进行验证[509]。为了捕捉过去价格回报和未来波动率负相关的杠杆效应，Pochart和Bouchaud提出了倾斜多重分形随机游走（SMRW）[475]：δ德克萨斯州t（it） =εt（i）膨胀ωt（一）-Xj<iK（j，i）εt（j）（302）其中核K（i，j）衰减为幂律K（j，i）=K（i- j）-βt型-β′（j＜i）。（303）他们得出（ζ（2q）=q- 2q（q- 1） λζ（2q+1）=q+1- 2qλ- β（304）SMRW模型已用于理解期权定价中的波动率微笑【475】。参考文献【510】提供了从1990年12月3日至2010年2月15日五个股票市场每日数据（CAC 40、DAX、FTSE 100、标准普尔500和道琼斯工业平均指数）的进一步数学处理和实证验证。4.5. 长内存进程的指数4.5.1。MRWSornette等人的替代表示。

提供了MRW的替代表示形式[498]，δtX（t）=Ztt-tdW（t′）eωt（t′）（305），其中δtX（t）=X（t）- X（t-t） 是增量，W（t）是单位扩散系数的维纳过程，ωt（t）是服从自回归方程ω的对数波动率t（t）=ωt+Zt-∞η（t）ht（t- t′）dt，（306）式中ω这是一个常数，η（t）表示以标准高斯白噪声和记忆核h的形式流动的信息过程t（·）是一个因果函数，确保系统不是预期的。因此，ω（t）表示市场对传入信息的响应η（t），直到时间t。在时间t，ω的分布t（t）是平均ω的高斯分布tand方差Vt=R∞h类t（t′）dt′=λlnT e3/2t型. ω的协方差t（t），Ct（s）t） =Z∞h类t（t）ht（t+s|t |）dt，（307）完全规定了Random过程。什么时候它足够小，我们有t（t′）~ hrλTt′用于t型<< t′型<< T、 （308）随机波动率的长期依赖性和多重分形是由等式（308）中记忆核的缓慢幂律衰减引起的。与本综述中报道的f（α）域多重分形的技术和证据不同，从上述MRW的表示可以得出，多重分形也有一个很好的时间特征，即有一个指数p（a）的全谱，描述了波动率从振幅a峰值1/tp（a）的松弛[498]。这种多重分形也存在于地震的多重分形应力激活模型中【511，512】，该模型已在许多目录中得到证实【513，514】，以及金融市场中的外部冲击和单一的多重分形响应【48，49】。4.5.2. 准多重分形模型Saichev和Sornette将MRW模型推广到一大类连续stoc-hastic过程[499]。类似于等式。

（305），增量过程为δtX（t）=Ztt-tκeω（t′）dt′（309），其中ω（t）表示为ω（t）=Zt-∞h（t- t′）dW（t′）（310）通过维纳过程W（t）和幂律核h（t）~ h类1+tl-0.5-^1H（t），（311），其中≥ 0和显微镜特征标度l 正则化传播函数中幂律的奇异性H（t）在t=0时，H（t）是确保因果性条件的Heaviside函数。特殊的c aseД=0 r e覆盖了RW模型，并在整数比例下进行了截断。准分形过程的规范可以计算出来，并且可以发现，当ν>0时，在大范围的无量纲尺度上存在多重分形[499515]。Saichev和Filimo nov考虑了准多重分形模型的离散版本，并提出了一种确定准m多重分形谱的新方法[500]。4.5.3. S elf激励多重分形模型Filimonov和So rnette引入了自激多重分形（SEMF）模型，其中过程的绝对增量表示为过去增量长记忆的指数【501】。SEMF模型具有与指数非线性相结合的自激机制，因此过程的未来值明确取决于过去的一秒。自激捕获了金融市场内生自组织特性的微观起源，如级联信息流，先前的大地震和“反射”相互作用引发的余震。在不损失一般性的情况下，我们表示时间增量t型→ 1.在离散时间t=0、1、2、····、n中，SEMFprocess读取Xn=Pni=0Xi，其附件由以下关系给出Xn=σηnexp-ωnσ, （312）式中ωn=n-1Xi=0希恩-我-（313）其中，核具有幂律形式hn=hn-0.5-φ. （314）随机变量η为i.i.d。

高斯分布，零me an和单位方差表示外部新闻流，参数σ表示外部新闻的影响程度，并设置Xnand Xn。等式（313）中的总和确保发电机s是自激的。discr e te SEMF过程可以被视为GARCH过程最简单的多重分形一般化[97]，事实上，它与EGARCH和其他变量有着密切的关系[98516]。新闻的外部流动可以是正面的也可以是负面的，控制着回报的符号。绝对回收率（或挥发率）由所有过去回收率确定，其衰减重量是其到现在距离的函数。SEMF过程可以再现金融时间序列中发现的标准样式化事实，如收益分布的厚尾、收益的无自相关性、平方增量的长期相关性、多重性和杠杆效应，这些对参数的规格和记忆核的形状都很稳健【501】。连续时间SEMF过程可以用广义随机积分微分方程形式化定义[501]：dX（t）=σexp(-σZt-∞h（t- t′）dX（t′）dW（t），（315），其中dW（t）是正则维纳过程的增量，h（t）是一个常见的核函数。表达式（315）仅为离散式（312）的形式符号，在以下情况下t型→ 当核中存在h（t）=0这样的不变性时，我们检索标准随机游动。4.6. 基于代理的模型一个有希望的方向是通过使用基于代理的模型（ABMs）的计算实验来理解金融时间序列中明显多重分形的微观起源。在这里，我们对这些努力进行了省钱的调查，而没有深入到模型的数据中。4.6.1.

渗流模型金融市场的渗流模型基于意见集群的随机形成，具有集群合并和拆分的不同规则[517518]。使用结构函数pRoa c h对收益率进行的多重实际分析表明，标度指数函数ξ（q）随模型参数而变化，适当确定的参数能够产生与DJIA指数相似的结果【519】。为了探索人工金融时间序列中多重分形行为的出现，已经研究了许多渗流模型，如随机元胞自动机模型【520】、无标度网络上的粒子簇聚合模型【521，522】、Sierpinski地毯格上的渗流模型【523】以及渗流模型的其他变体【524–529】。4.6.2. S pin模型S pin模型，尤其是Ising模型，也被用来模拟金融资产的价格信息过程[530]。在一个复杂的伊辛模型中，索内特和周将全球新闻纳入了所有代理、相邻代理之间的模仿和个体代理的特殊偏好，并对全球新闻的预测力进行了非理性解释【48，49】。模型c可以以自组织的方式生成多重分形金融时间序列。此外，还有Ising模型，适用于有做市商的股票市场[531-533]，Sierpinsk i地毯格[534]，以及小世界网络[535536]。这些模型也成功地产生了多重分形回报。4.6.3. 经验订单驱动模型Mike和Farmer介绍了订单驱动市场的经验行为模型[537]，称为MikeFarmer模型[538]，其中基本规则（订单方向的长记忆和相关订单价格的学生分布）基于从库存订单流数据中提取的统计规则。

Gu和Zhou通过进一步考虑相对订单价格的长记忆，改进了Mike-Farmer模型[539]。Gu Zho u模型能够在生成的收益序列[539]和收益的重复间隔[540]中产生多重性。4.6.4. Other modelsThomp-son和Wilson发现，Farmer等人的零智力模型[541]无法在产生的回报中产生多重分形，但正智力模型可以[542]。Crepaldi等人指出，尽管通常的少数群体博弈不会产生多重分形回报，但非RGODICPhase中的非同步少数群体博弈可以产生多重分形回报[543]。金融时间序列的多重分形行为也可以在其他类型的模型中观察到，如艺术交易商市场模型【544】、双拍卖模型【545】、随机votermodel【546547】、随机交互接触模型【548549】、流行病模型【550】、具有原教旨主义代理的d战略模型【551552】。5、性质及重要事项5.1。多重分形性质的确定5.1.1。计算精度在大多数多重分形分析中，我们需要计算高阶矩。可能会出现计算精度问题。以配分函数法为例。当m（s，t）<< 1和q>> 1、配分函数χ的对应值太小，导致计算机内存不足。为了克服这个问题，我们可以计算配分函数lnχq（s）的对数，而不是计算配分函数本身。通过简单计算，我们得到了[165]：lnχq（s）=lnXt“m（s，t）mmax×mmax#q=lnXt”m（s，t）mmax#q+q ln mmax，（316），其中mmax=maxt{m（s，t）}是框中m（s，t）的最大值。5.1.2. 如果N/s不是整数，那该怎么办多重分形分析处理不同尺度下时间序列的标度行为。

最常用的方法是将长度为N的时间序列划分为s尺度的非重叠窗口。因此，N/s不是整数并不常见。如果使用小于s的窗口，可能会得到错误的结果，如f（α）>1，这在实证研究中有时会出现。通常的策略是从两侧覆盖时间序列，只保留大小为s的整型[N/s]框用于每个覆盖[139]。或者，我们可以采用san d盒方法的思想【553，5 54】，在该方法中，不覆盖时间序列，而是使用大小为s的MSBox，其中盒的中心随机分布在时间序列上【555】。以MF-DFA系列为例，第Q个总体函数为FQ（s）=MsMsXv=1[Fv（s）]qq、 （317）该应用程序在减少幂律标度周围的波动方面具有额外的优势，尤其是当出现内在对数周期振荡时，如在二项式测量中[2 74]。5.1.3. q的范围和矩的收敛性多重分形分析的首要条件是矩的估计精度。当| q |较大时，估计的力矩通常不可靠，因为力矩的经验被积函数xqPr（x）发散，其中x是测量值，Pr（x）是其在配分函数approach中的概率分布【313】。在湍流数据[229313]和金融数据[312]中，这种发散现象是经验性的。类似地，当| q |较大时，估计的导数dFq（s）/ds在小尺度下显著偏离理论值，并在MF-DMA中影响大尺度[556]。我们认为，发散现象在多变量分析中普遍存在。当q越大，时间序列长度N越短时，矩的估计精度越差。

不幸的是，没有关于被积函数的收敛性保证的最大q的长度N依赖性的理论结果。根据湍流数据，Zhou等人估计N（q=8）≈ 6·10和N（q=9）≈ 5 ·10[229]. 对于低频金融时间序列，如每日收益率，我们建议q的范围应为| q |≤ 6，甚至更小。5.1.4. 标度范围的确定如果时间序列是分形或多重分形的，则类矩量和标度之间存在幂律标度关系。在实践中，采用Fq~ 以式（112）中的sh（q）为例，标度指数通常是在标度范围内用ln Fq（s）与ln s的线性ar最小二乘回归来估计的【smin，smax】。换言之，缩放定律仅适用于缩放范围。标度范围应足够宽，以确保存在标度侵入特征【557–560】。在许多情况下，标度范围的变化会导致估计值的剧烈变化，有时会导致非常奇怪的奇异谱形状【561，562】，其中一些被称为“反向多重分形”【291】。因此，由于标度范围在标度指数的估计中起着至关重要的作用，人们已经做出了许多努力来确定它。然而，这仍然是一项尚未完全解决的艰巨任务[289]。实际上，最常用的方法是打眼球。Wang等人认为，标度律在标度范围内有效，但在标度范围外的两个范围内无效，因此可以通过最小化残差的均方根值来用三个幂律来划分油田，一些研究人员称之为三段法[563]。由于两个额外幂律的假设仅仅是经验的，所以这种方法并没有被广泛采用。