光谱风险度量和不确定性

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英文标题：
《Spectral risk measures and uncertainty》
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作者：
Mohammed Berkhouch, Ghizlane Lakhnati and Marcelo Brutti Righi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Risk assessment under different possible scenarios is a source of uncertainty that may lead to concerning financial losses. We address this issue, first, by adapting a robust framework to the class of spectral risk measures. Second, we propose a Deviation-based approach to quantify uncertainty. Furthermore, the theory is illustrated with a practical case study from NASDAQ index.
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中文摘要：
不同可能情景下的风险评估是可能导致相关财务损失的不确定性来源。我们首先通过将一个健壮的框架适应于光谱风险度量的类别来解决这个问题。其次，我们提出了一种基于偏差的方法来量化不确定性。并以纳斯达克指数为例，对该理论进行了实证分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Spectral_risk_measures_and_uncertainty.pdf (467.73 KB)

2022-6-23 23:48:06 上传

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关键词：不确定性 风险度量 风险度 不确定 确定性

光谱风险度量和不确定性Mohammed Berkhouch*摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学ENSA LISAD。电子邮件：mohammed。berkhouch@edu.uiz.ac.maGhizlane摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学ENSA LakhnatiLISAD。电子邮件：g。lakhnati@uiz.ac.maMarcelo巴西阿雷格里港南里奥格兰德联邦大学。电子邮件：marcelo。righi@ufrgs.brMay2019年9月21日不同可能情景下的抽象风险评估是可能导致财务损失的不确定性来源。我们首先通过将稳健的框架适应于光谱风险度量的类别来解决这个问题。其次，我们提出了一种基于偏差的不确定性量化方法。并以实际应用说明了该理论。JEL分类：C6、G10关键词：光谱风险度量、不确定性、场景、稳健风险度量、偏差度量、不确定性度量。1简介在风险管理中，最终目标是计算所需资本，以抵御财务状况的固有风险。在过去几十年中，引入了许多风险度量，即从一组随机变量到实数的映射。典型的例子是【Artzner等人，1999年】和【F¨ollmer和Schied，2002年】分别引入的风险价值、预期短缺和各种一致性和凸性风险度量，作为合理理论属性的公理化方法，风险度量可能会充分发挥作用（见定义2.1）。为了全面审查，我们*通讯作者。https://orcid。组织/0000-0001-7207-4517。推荐【P flug and R¨omisch，2007】、【Delbaen，2012】、【McNeil等人，2005】和【F¨ollmerand-Schied，2016】。在一致风险度量中，唯一的规律不变和共单调加性度量是谱风险度量，在【Acerbi，2002】中引入，可以说是预期短缺的最重要扩展。

除了充分体现合理风险度量的大多数适用理论特性外，光谱风险度量还具有加权函数φ，通过反映风险厌恶，该函数可以解释不同项目的心理态度。本文提出了这类风险的利益衡量标准，并调整了本文的框架。在实践中，必须根据数据估计风险度量。因此，认为在实践中使用的最合适的风险度量是法律不变的（基于分布的）度量是完全合法的。在不同的情况下，我们会得到不同的风险评估。此外，不恰当的分布假设（概率度量）会在很大程度上影响风险价值，导致错误决策，进而导致重大财务损失。因此，概率度量的选择是风险度量过程中的不确定性来源。这种情况自然需要考虑稳健的风险措施；因此，风险度量对概率度量的选择不敏感。也就是说，在风险度量中，从业者使用基于给定可能性度量的风险度量(Ohm, F） 。因此，对于每种可能性，我们通常会得到不同的风险度量。这些概率度量可以理解为备选方案，我们可以将其分别解释为不同的（模型、估计参数的值、经济状况、信念……）。

然而，这就产生了一个问题：是否有一个去中心化的可能性度量？通常，我们有一组候选概率度量，由于金融市场的不确定性，我们通常不知道如何选择合适的概率度量。关于选择适当的概率度量（然后是适当的风险度量）的这种不确定性激发了对两个问题的调查： 如何克服不确定性？ 如何测量不确定性？在本文中，每个概率度量都与一个场景相关联。我们打算通过将一致的框架调整到光谱风险度量类别来解决上述问题。从这个意义上说，我们的论文有助于现有文献最近解决这一问题，见【Wang和Ziegel，2018】、【Jokhadze和Schmidt，2018】、【Righi，2018b】以及其中的参考文献。此外，我们打算提出一种测量不确定度本身的替代方法。由于量化不确定性为我们提供了有关不确定性对我们的风险衡量过程的影响程度的信息；甚至可以将其视为一种惩罚，即增加所需资本以覆盖持有的财务状况。为了测量不确定性【Jokhadze和Schmidt，2018年】提出了一种叠加的测量方法，相对于一些参考风险度量ρ来评估风险度量集合的分散度。在这一点上，作者提出的方法很有趣，但它仍然取决于参考风险度量的选择，而且由于我们正在处理不确定性，这种方法并没有完全解决这个问题。

此外，【Jokhadzeand Schmidt，2018年】中使用的货币风险度量，如V aR和ES，没有捕获可变性概念。本文的其余部分结构如下：第2节介绍了有关符号、风险和偏差度量的理论回顾以及示例的初步情况。在第3节中，我们研究了光谱风险度量稳健框架的两种方法。为了测量不确定性，第4节提出了一种替代方法。第5节说明了我们在案例研究中的贡献。2初步考虑一个可测量的空间(Ohm, F） 让P是所有概率测度的集合(Ohm, F） 。对于概率测度P∈ P、 L∞(Ohm, F、 P）是本质有界随机变量的等价类空间。我们将X表示为财务状况的随机未来结果。常数随机变量用实数识别。我们使用EP[X]=ROhmXdP，FX，P（x）=P（x≤ x） 和F-1X，P（α）=inf{x:FX，P（x）≥ α} 分别表示P下X的期望值、概率函数（c.d.f.）及其广义逆∈ P、 我们说一对随机变量X，Y∈ L∞isco单调if（X（ω）- X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0表示所有（ω，ω）∈ Ohm × Ohm.我们揭示了风险和偏差度量的定义和理论特性。定义2.1。

风险度量是一个函数ρ：L∞→ R、 可能满足以下性质：o定律不变性：如果X∈ L∞和Y∈ L∞在P下具有相同的分布，简洁地说，yxd=PY，然后ρ（X）=ρ（Y）。o单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）当X，Y∈ L∞是这样的X≥ Y.o平移不变性：ρ（X+C）=ρ（X）- C代表所有C∈ R和X∈ L∞.o 次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y），对于每对X，Y∈ L∞.o 正同质性：ρ（λX）=所有λ的λρ（X）≥ 0和X∈ L∞.o 凸度：ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于所有X，Y∈ L∞和λ∈ [0, 1].o 共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），对于每个共单调对X，Y∈L∞.o Fatou连续性：if limn→∞Xn=X和{Xn}∞n=1，X∈ L∞, 然后ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（Xn）。如果风险度量满足法律不变性，则称之为基于分布或法律不变性；如果风险度量满足单调性和平移不变性，则称之为货币性；如果风险度量是货币性且尊重凸性，则称之为凸性；如果风险度量是凸性且具有正同质性，则称之为相干性；如果风险度量满足共单调相加性，则称之为共单调性；如果风险度量满足Fatou连续性，则称之为Fatou连续性。备注2.2。从次可加性、正齐性和凸性性质来看，每一对都意味着第三对。关于上述财产的财务解释，我们请读者参考（【F¨ollmer and Schied，2002年】，第4章）、【Delbaen，2012年】和【McNeil等人，2005年】。示例2.3。以下提供的函数（W C除外）是基于分布的风险度量的示例：o最坏情况（WC）：这是一个极端稳健的风险度量，因为它不依赖于概率P，定义为：W C（X）=- inf X，十、∈ L∞. （2.1）o预期损失（EL）：这是一个节约型法律不变的协单调和相干风险度量，定义为：ELP（X）=-EP【X】=-采埃孚-1X，P（γ）dγ，十、∈ L∞.

（2.2）o风险价值（VaR）：这是金融理论和实践中领先的法律不变的货币风险度量，定义符合：V aRPα（X）=- inf{x:FX，P（x）≥ α}, α ∈ [0, 1], 十、∈ L∞. （2.3）o熵风险度量（Entr）：这是一个具有厌恶参数τ>0特征的定律不变凸风险度量，定义为：EntrPτ（X）=τlog EP[e-τX]=supQ均衡器[-X]-τH（Q/P）, 十、∈ L∞. （2.4）其中，H表示Q相对于P的相对熵，见【F¨ollmer and Schied，2002年】。o预期短缺（ES）：这是一个显著的规律不变的协单调和相干风险度量，定义为：ESP（X）=1- αZαV aRPγ（X）dγ，α∈ [0, 1), 十、∈ L∞. （2.5）o谱风险度量（ρφ）：这是由【Acerbi，2002】提出的一类规律不变的协单调和相干风险度量，表示为：ρPφ（X）=ZV aRPγ（X）φ（γ）dγ，十、∈ L∞. （2.6）式中，φ是一个非递增、非负、右连续且可积的加权函数，使得rφ（γ）dγ=1。定义2.4。偏差度量是功能性的D:L∞→ R+，[Rockafellar等人，2006年]，这可能充分体现了以下特性：o非负性：对于所有X∈ L∞, D（X）=0表示常数X，D（X）>0表示非常数X。o平移不敏感度：D（X+C）=D（X）表示所有C∈ R和X∈ L∞.o 凸度：D（λX+（1- λ） Y）≤ λD（X）+（1- λ） D（Y）表示所有X，Y∈ L∞.o 正同质性：D（λX）=所有λ的λD（X）≥ 0和X∈ L∞.o 共单调可加性：D（X+Y）=D（X）+D（Y），对于每个共单调对，Y∈ L∞.如果偏差D满足非负性和平移敏感性，则偏差D的度量是正确的；如果偏差D满足凸性，则偏差D的度量是凸的；如果偏差D满足正同质性，则偏差D的度量是一致的；如果偏差D满足共单调可加性，则偏差D的度量是一致的。例如，参见【Righi，2018a】、【Furman et al.，2017】和【Berkhouch et al.，2018】。示例2.5。

我们在下面提供了一些示例来说明偏差概念：o全范围（FR）：这一极其保守的偏差度量，表示不同ω的两个X（ω）值之间可能存在的较大差异∈ Ohm, 定义为：F R（X）=sup X- inf X，十、∈ L∞. （2.7）o下限和上限（LR/UR）：它们分别是对全量程测量的调整，以说明低于或高于预期的范围。它们的公式为：URP（X）=EP[X]- inf X，十、∈ L∞; （2.8）LRP（X）=sup X- EP【X】，十、∈ L∞. （2.9）o方差（Var）：这是最为人所知的偏差度量，定义为：V arP（X）=EP[（X- EP【X】】，十、∈ L∞. （2.10）它代表着围绕预期的第二个时刻，自[马科维茨，1952年]、[马科维茨，1970年]的开创性工作以来，它一直被视为现代金融中的风险防范措施标准偏差（SD）：此可变性度量表示为方差的根：SDP（X）=EP[（X- EP【X】], 十、∈ L∞. （2.11）o半偏差（SD-/SD+：下半偏差和上半偏差是标准偏差的调整，仅考虑低于或高于预期值的分散度，以避免对称性。它们被定义为符合：SDP（十）=EP[（（X- EP【X】）], 十、∈ L∞. （2.12）o平均基尼系数（Gini）：这是一个统计系数，用于测量值X（ω）集合中ω随Ohm, 参见【Shalit和Yitzhaki，1984】、【Giorgi，1993】、【Giorgi，2005】、【Yitzhaki，1998】、【Ceriani和Verme，2012】、【Furman等人，2017】和【Berkhouch等人，2018】。定义为：GiniP（X）=EP[| X*- 十、**|], 十、∈ L∞; （2.13）式中，X*和X**是X的两个独立副本。

或者，根据协方差（Cov）：GiniP（X）=4 CovP【X，FX，P（X）】，十、∈ L∞.o 扩展基尼系数（EGini）：这是一个众所周知的金融和经济系数，其特征是厌恶度r参数≥ 1，见【Yitzhaki，1983】、【Yitzhaki and Schechtman，2005】、【Yitzhaki and Schechtman，2012】、【Maoand Wang，2018】和【Berkhouch et al.，2018】。其配方符合：EGiniP（X）=-2r CovP[X，（1- FX，P（X））r-1], 十、∈ L∞. （2.14）对于r=2，我们得到平均基尼系数。3光谱风险度量的稳健框架对于可测量的场景空间（S，S）和加权函数φ（先验规定），我们考虑集合ρφ=（ρSφ）S∈Sof光谱风险度量：ρsφ：L∞(Ohm, F）→R、 对于每个s∈ S、 我们假设ρ。φ、 X：=ρ。φ（X）：（S，S）→ R S-可测量，对于每个财务状况X∈ L∞.在本文中，我们根据上下文采用以下符号：ρφ（X）：=（ρsφ（X））s∈S=（ρSφ，X）S∈S： =ρφ，X.定义3.1。我们称之为基于情景的光谱风险度量（abri.scenario basedSRM），每个光谱风险度量族都有一个加权函数φ，使得：ρφ={ρsφ：L∞(Ohm, F）→ R、 s∈ S} 。定义3.2。对于持有的财务头寸X，我们将无不确定性集定义为：{ρφ，X∈ L∞（S，S）S.t.：ρSφ，X=ρSφ，X，s、 s∈ S} 。我们现在定义了【Wang和Ziegel，2018】：定义3.3中介绍的基于S的风险度量。对于场景集S，如果：ρ（X）=ρ（Y）表示X，Y，则风险ρ的度量称为基于S的∈ L∞每当Xd=sY时。考虑基于场景的SRMρφ，并将u作为（S，S）上的概率度量。Weintend通过将ρφ与一个风险度量组合在一起，来捕捉ρφ的不确定性特征∞（S，S）；我们的想法是，我们考虑候选人的整体，而不是选择特定的风险度量。设R是L上的风险度量∞（S，S）：定义3.4。R和ρφ的组合是一种货币风险度量，定义为：R oρφ（X）=R(-ρφ（X）），十、∈ L∞.

（3.1）根据定义，R oρφ的成分是基于S的。这种方法允许我们定义新的风险度量，以解释基于情景的SRMρφ的不确定性。我们在下面列出了一些相关示例：示例3.5最坏情况（ρW Cφ）：对于R=W C，我们将最坏情况定义为：ρW Cφ（X）=sups∈SρSφ（X），十、∈ L∞. （3.2）o基于情景的期望（Eφ）：对于R=ELu，我们引入基于情景的期望：Euφ（X）=ZSρsφ（X）du，十、∈ L∞. （3.3）o基于情景的风险价值（V aRα，φ）：对于R=VuaRα，α∈ [0，1]，我们将基于场景的风险值定义为：V aRuα，φ（X）=inf{X∈ R：u（ρφ（X）<X）≤ 1.- α}, 十、∈ L∞. （3.4）o基于情景的熵风险度量（Entrτ，φ）：对于R=Entruτ，τ>0，我们定义基于情景的熵风险度量符合：Entruτ，φ（X）=supQ公式φ（X）-τH（Q/u）, 十、∈ L∞. （3.5）o基于情景的预期缺口（ESα，φ）：对于R=ESuα，α∈ [0，1），我们将基于塞纳里奥的预期短缺引入为：ESuα，φ（X）=1- αZαV aRuγ，φ（X）dγ，十、∈ L∞. （3.6）备注3.6。上述引入的风险度量是我们基于场景的SRMρφ有趣的鲁棒组合示例；然而，ρφ可以与L上任何可想象的风险度量R叠加∞（S，S）。在（3.3）中，Eφ的离散版本可以作为一组n个场景{s，…，sn}的基于场景的加权平均（W Aφ）引入：W Auφ（X）=nXi=1u（si）ρsiφ（X），十、∈ L∞. （3.7）这一提法可能更切合实际问题。此外，ρW Cφ和ESα、φ是基于S的和相干的；Entrτ，φ是基于S且凸的；W Aφ、Eφ和是基于S的dco-单调和相干的。备注3.7。根据ρφ和R的性质，以及推论1【Righi，2018b】（对于f（·）=R(-·)), 我们提供了关于叠加稳健风险测度R oρφ的对偶表示的结果。设ρφ为基于场景的SRM，R为货币风险度量。