采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

在金融术语中，保证金代表经济价值，6 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAeither以现金或风险证券的形式在金融交易对手之间交换，以减少其风险敞口。根据当前的市场惯例，我们区分了初始保证金和抵押品（或变动保证金），如下所示。2.2.1. 变更保证金。在银行和交易对手之间张贴抵押品，以减轻交易对手风险。并行过程C=（Ct）t∈ 假设[0，T]是G-适应的。我们遵循Bichuch et al.（2018a）和Cr'epey（2015a）的约定：o如果Ct>0，我们说银行是抵押品提供者。这意味着交易对手对银行的风险敞口为正，因此它是银行的潜在贷款人，因此银行提供/出借抵押品以减少其风险敞口如果Ct<0，我们说银行是抵押品接受者。这意味着银行衡量对手的正面风险敞口，因此它是对手的潜在贷款人，因此对手提供/贷款抵押品以减少其风险敞口。设V=（Vt）t∈ [0，T]是一个通用的G适应流程，代表交易价值（包括交易对手风险和融资调整）或净价值流程，稍后将予以澄清。我们假设Ct：=f（Vt），t∈ [0，T]，其中f:R→ R是一个Lipschitz函数。这一假设涵盖了现实的抵押品规格，参见Lichters等人。

（2015）和Ballotta等人（2019）。如果银行与交易对手之间存在抵押品协议（或多项协议），在评估投资组合动态时，我们需要区分投资组合的价值和银行的财富，这两个概念是有区别的，因为银行不是抵押品的合法所有人（违约前）。在本文中，抵押品始终以现金的形式过账，符合当前市场的标准惯例。此外，我们假设再抵押，这意味着抵押品持有人可以使用现金为其交易活动融资。这与隔离相反，收到的现金抵押物必须保存在单独的账户中，不能用于为购买资产融资。我们将以下利率与抵押品账户关联：orc，l与Bc，l账户，代表向交易对手提供抵押品的银行收到的抵押品金额的利率。orc，b，账户Bc，b，代表银行从交易对手处收到抵押品时支付的抵押品金额的利率。我们只需设置rc=rc，l=rc，如果抵押品利率没有价差。抵押品利率的可能选择是，例如，欧元交易为EONIA，美元交易为Fed Fund，BP交易为SONIA。此类利率为隔夜利率，内含风险成分可忽略不计。选择近似无风险利率作为抵押品利率是出于市场共识。然而，两个交易对手可能签订一份抵押品协议，该协议涉及抵押品报酬或其选择的任何其他风险利率。在此，我们不假设对抵押品利率有任何要求。这使我们能够涵盖CSA中两个交易对手之间约定的抵押品利率的非常常见的情况，其中包括一些市场公共观察利率的实际价值价差，例如。

伊奥尼亚-50个基点，其中bps代表基点。对于抵押品账户，我们有以下方程式：（i）如果Ct>0，则银行已将抵押品账户的ψCt=ψc，lt<0个单位借给了缔约方，即，（2.11）ψc，ltBc，lt=-C+t，t∈ [0，T]；XVA 7的BSDES（ii）如果Ct<0，则银行已从缔约方借入抵押品账户的ψCt=ψc，bt>0单位，即（2.12）ψc，btBc，bt=c-t、 t型∈ [0，T]。值得注意的是，我们使用以下约定：x+：=max{x，0}，x-:= 最大值{-x、 0}因此x=x+-x个-. 请注意，这与Burgard和Kjaer（2011a，2013）通过的公约相反。2.2.2. 初始保证金。由于风险现象的保证金期限：违约的交易对手停止提供抵押品，以变动保证金为代表的抵押品不完善。然而，破产程序需要一定的时间间隔（通常为10天或20天），然后才能进行结清付款。这导致在没有调整抵押品账户的情况下，交易价值发生波动，从而产生风险敞口。这是引入初始保证金的原因之一，初始保证金构成了另一种形式的抵押品。根据EMIR条例，从2020年开始，参与OTC交易的大多数代理人将被迫提供初始保证金，这构成了额外形式的抵押品。根据Garcia Trillos et al.（2016）的说法，初始保证金是一个用词不当的词，因为初始保证金不仅是初始保证金，而且在交易生命周期内定期更新。

从某种意义上说，它是指从初始时间点开始提供覆盖范围，在该时间点，伴随交易对手违约。重要的是要强调，与变异裕度不同，初始裕度不能被重新稀释，而是被隔离。从财富动态的角度来看，这意味着交易台无法将从交易对手处获得的初始保证金用作投资组合价值的组成部分。然而，收到的初始保证金代表来自缔约方的贷款，必须予以偿还，因此与初始保证金相关的融资成本将出现在自我融资条件中，详情请参见（2.18）和（3.6）。备注2.2。初始保证金通常通过使用适当的风险度量进行量化，如风险价值或预期差额，我们将在（3.24）中详细说明。预期差额是计算信用衍生品初始保证金的一种流行选择，因为它是一种连贯的风险度量。最近，国际掉期和衍生品协会（ISDA）提出了一种新的方法，即所谓的标准初始保证金模型（SIMM），见ISDA（2018）。

SIMM提供了一些标准化的公式来评估未清算衍生品的初始保证金，其基础是使用投资组合敏感性而不是历史模拟。我们用G-适应过程IT C=（IT Ct）t对初始利润率建模∈ [0，T]，如果C=（如果Ct）T∈ [0，T]和BI，x，x的wedenote∈ {l，b}，与之相关联的现金账户C，如果分别是C。如果银行是初始保证金提供者，银行将其Cto过账给交易对手（TC），即（2.13）ψi，ltBI，lt=-IT Ct，t∈ [0，T]或等效值（2.14）- ψI，ltdBI，lt=rI，ltIT Ctdt。如果银行是初始保证金接受者，则银行从交易对手（FC）处收到IF Cf，即（2.15）ψi，btBI，bt=IF Ct，t∈ [0，T]，8 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAor等效（2.16）ψI，btdBI，bt=rI，btIF Ctdt。我们强调，与变动幅度的情况相反，根据当前的市场惯例，如果Care同时活跃且不相互抵消，则可以。在续集中，我们使用I=（It）t∈ 【0，T】作为提交或收到的初始保证金的简写。现在，我们在市场模型中介绍自我融资战略的定义。我们记得，我们从银行（即套期保值者）的角度出发。定义2.3。动态投资组合，用Д表示，由Д表示=ξ, . . . , ξd，ξB，ξC，ψ，ψd，ψB，ψC，ψf，B，ψf，l，ψC，B，ψC，l，ψI，B，ψI，l,式中（i）ξ，ξdare G-可预测过程，表示风险主要资产的股份数量，Sd。（ii）ξB，ξCare G-可预测过程，表示风险债券PBandPC的股份数。（iii）ψ，ψd，ψB，ψCare G-适应过程，表示回购账户的股份数量B。

Bd、BB、BC。（iv）ψf，bis a G-adapted process，表示无担保融资借贷现金账户Bf，b的股数。（v）ψf，lis a G-adapted process，表示无担保融资借贷现金账户Bf，l的股数。（vi）ψc，bis a G-adapted process，表示收到的现金抵押品的抵押品借贷现金账户Bc，b的股数。（vii）ψc，lis a G-adapted process，表示已过账现金抵押品的抵押品借贷现金账户bc，lf的股份数。（viii）ψI，bis a G-调整过程，表示从交易对手处收到的初始保证金的初始保证金借款现金账户BI，b的股份数。（ix）ψI，lis是一个G适应的过程，表示初始保证金借贷现金账户BI，LF的股份数，用于过账给交易对手的初始保证金。以上介绍的所有过程都使得后继中的随机积分得到了很好的定义。考虑到动态投资组合，我们将其与金融合同相关联，在文献中称为信贷支持附件（CSA），参见BCBS（2014）。定义2.4。银行和交易对手之间的CSA由一对（C，I）表示，其中C是变动保证金，I是初始保证金。定义2.5。与抵押合同A和CSA（C，I）相关的抵押套期保值者的交易策略是一个五元组x、 ^1、(R)A、C、I, 其中x∈ R是初始捐赠，Д是定义2.3中的动态投资组合，I是初始保证金。定义2.6。

考虑到初始捐赠x，抵押套期保值者的交易策略x、 ^1、(R)A、C、I与抵押合同相关的A和CSA（C，I）被称为自融资，如果∈ [0，T]，财富过程Vt（φ）由Vt（φ）给出：=ψf，btBf，bt+ψf，ltBf，lt-ψc，btBc，bt+ψc，ltBc，lt+ψI，ltBI，lt,（2.17）XVA 9Satifiesvt（ν）=x+dXi=1Z（0，t）ξiuui（u，Su）du+dXk=1σi，k（u，Su）dWk，Pu+κi（u，Su）du+dXi=1ZtψiudBiu+Xj∈{B，C}ZtξjudPju+ψjudBju-\'At+Ztψf，budBf，bu+Ztψf，ludBf，lu-Ztψc，budBc，bu-Ztψc，ludBc，lu-ZtψI，budBI，bu-ZtψI，ludBI，lu。（2.18）（2.18）中的最后两项表示收到的初始保证金的现金。通常，我们假设初始捐赠为零，x=0，即Vt（ν）=Vt0，Д，(R)A，C，I为了简单起见。请注意，（2.17）中最后一项前面的正负号取决于我们对抵押品的约定。此外，我们没有将收到的初始保证金包括在现金账户中。这是因为收到的初始保证金过账在一个单独的账户中，因此无法作为融资资产提供给交易台。定义2.7。如果抵押套期保值者的交易策略是自我融资的，且关联价值过程V（ν）从下方有界，则其交易策略是可接受的。我们提供以下无套利策略的定义。定义2.8。市场模型是无套利的，如果对于任何形式（0，Д，0，0，0）的可接受套期保值者交易策略，我们的P[Vτ（0，Д，0，0，0）=0]=1或P[Vτ（0，Д，0，0，0）<0]>0。备注2.9。在Bielecki和Rutkowski（2015，定义3.3）中，作者介绍了amarket的概念，该概念被称为针对一类或有债权的套期保值者无套利。他们的定义是根据净财富过程制定的，这对应于涉及索赔a的长期-短期策略，其中第一个头寸是对冲的，第二个头寸是非对冲的。

另一方面，在Bichuch et al.（2018a）中，关于没有套利的问题首先在只考虑基本交易资产的情况下得到了回答。这在Bielecki et al.（2018）中也被称为对无效合同无异议。在我们的环境中，这两种方法是相互关联的。假设2.10。我们假设rf，lt≤ rf、bt、dP dt-a.s.我们现在证明，在我们的环境中，市场模型不存在套利。提案2.11。假设2.10成立。此外，假设存在一个概率测度~ P使得贴现资产价格处理▄Si，cldt：=Si，cldtBit，i=1。d、 Pjt：=PjtBjt，j∈ {B，C}，（2.19）是局部鞅。然后，市场模型没有套利机会。证据见附录A第A.1节。从现在起，我们假设如下。10 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAAssumption 2.12。存在一个等价鞅概率测度Q~ P下的过程▄Si，cldt，▄Pjtin（2.19）是动态的局部鞅d▄Si，cldt=位dSit- ritSitdt+dDit=dXk=1σi，k（t，St）BitdWk，Qt，i=1，d、 d▄Pjt=BjtdPjt公司- rjtPjt-dt公司= -Pjt-dMj，Qt，j∈ {B，C}，其中mj，Qt：=Hj，Qt-Zt公司∧τjλj，Qsds，带λj，Qt：=rft- λj，Pt- rjt，t∈ [0，T]，j∈ {B，C}。通过Aksamit和Fontana（2019），我们得出，在将度量值更改为Q后，对于WQ、Mj、Q、j，G中的可预测表示性质仍然成立∈ {B，C}。定义2.13。Letβ≥ 0、所有Rd值、F-适应过程X的子空间，使得中兴通讯βt | Xt | dt< ∞（2.20）用H2、dβ、T（Q）表示。我们设置H2，d（Q）：=H2，d0，T（Q）和（2.21）kXkH2，dβ，T：=sEQ中兴通讯βt | Xt | dt.所有Rd值、F适应过程X的子空间，使得eq“supt”∈ [0，T]eβT | Xt |#<∞（2.22）由S2、dβ、T（Q）表示。

我们设置S（Q）：=S2,10，T（Q）和（2.23）kXkS2，dβ，T：=VuTeq“supt∈ [0，T]eβT | Xt |#。我们用H2,2λ（Q）表示F适应过程X的空间，其值在Rsuch thatEQ中ZT公司Xt公司λB，Qt+Xt公司λC，Qtdt< ∞（2.24）带（2.25）kXkH2,2λ=序列ZT公司Xt公司λB，Qt+Xt公司λC，Qtdt.假设2.14。假设支付流A∈ S（Q）。3、xVA框架本节的主要贡献是多方面的。一方面，在无套利框架中，我们确定G-BSDE的唯一解决方案，以评估套期保值组合（x，Д，\'A，C，I），XVA 11的BSDE，包括无风险和风险资产、可违约债券和或有债权。另一方面，我们通过引入新的价值调整，为清洁价值提供了一个无套利框架，并提供了使用或有目标特定贴现制度（CSA贴现）的市场实践。最后，我们研究了在投资组合具有子投资组合的层级结构的现实情况下G-BSDE的形状，并考虑了投资组合估值中的非线性影响。根据假设2.12，自我融资抵押交易策略的动态x、 ^1、(R)A、C、IisdVt（Д）=dXi=1ξitBitdSi，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’At+ψf，ltdBf，lt+ψf，btdBf，bt- ψc，ltdBc，lt- ψc，btdBc，bt- ψI，ltdBI，lt- ψI，btdBI，bt.（3.1）通过使用回购约束（2.9），（2.11），（2.12）和（2.14），组合价值满足度vt（Д）=ψf，ltBf，lt+ψf，btBf，bt+Ct+IT Ct，t∈ [0，T]，因为如果CI隔离。由于（2.10），我们得到了等式ψf，lt=Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+Bf，lt-1，（3.2）ψf，bt=-Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-Bf，bt-t为1（3.3）∈ [0，T]。观察（2.11）和（2.12）-ψc，ltdBc，lt=-ψc，ltrc，ltBc，ltdt=+rc，ltC+tdt，（3.4）-ψc，btdBc，bt=-ψc，btrc，btBc，btdt=-钢筋混凝土，btC-tdt，（3.5）。

通过（3.2），（3.3），（3.4），（3.5），（2.14）和（2.16），我们可以将财富动态改写为followsdvt（ν）=dXi=1ξitBitdSi，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’At+hrf，ltVt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- rf，btVt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+rc、ltC+t- 钢筋混凝土，btC-t+rI，ltIT Ct- rI，btIF Ctidt。（3.6）为了方便起见，我们现在引入辅助人工利率过程r=（rt）t∈ [0，T]，假设为右连续、有界和F-适应。该利率不一定与交易资产挂钩，但可以解释为利率水平，用于将所有其他利率表示为与该法定利率的利差。必要时，我们将明确说明利率r何时成为市场利率。使用人工利率r，我们可以方便地将投资组合动态改写为如下：Dvt（Д）=dXi=1ξitBitd￠Si，cldt+Xj∈{B，C}ξjtBjtdPjt- d’’在+h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Ct+rtVt（Д）idt12 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVA=dXi，k=1ξitσi，k（t，St）dWk，Qt-Xj公司∈{B，C}ξjtBjtPjt-dMj，Qt- d’At（3.7）+h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Ct+rtVt（Д）idt，其中我们添加和减去术语rtVt（Д）dt，并使用假设2.12。备注3.1。术语（rI，lt- rt）它衡量的是公布的初始利差超过参考利率水平r的融资收益。我们想强调的是，一般而言，r的利差可能为负，这表示我们可能会有融资成本，即使银行是抵押品提供者。银行面临这种情况，它们与伦敦清算所（LCH）进行掉期清算。如果选择r代表EONIA隔夜利率，则LCH应用的利率为rI，l=r- 58bps，其中bps代表基点。