采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

除此之外，银行还需要考虑筹集资金的成本，因此，从资金筹集和抵押品报酬的角度来看，初始保证金可以在两个方向上产生融资成本，从而为银行带来重要的成本来源。在违约情况下，存续代理人和违约代理人的清算人之间交换现金流。在这里，我们使用术语代理作为银行或交易对手的占位符。由于在违约时间进行现金流交换，代理人需要在平仓条件代表的随机时间对头寸进行估值，见Bichuch et al.（2018a）第3.4节。分析的对象可以是在没有交易对手风险的情况下的价值（在文献中称为无风险平仓）或交易价值，包括因交易对手风险和融资而进行的价格调整（风险平仓），参见Brigo和Morini（2018）。有风险的平仓条件保证存续的交易对手可以理想地用与另一个具有相同信用质量的交易对手进行的新交易完全替代交易。这是以估价公式的复杂性大幅增加为代价的。目前的市场实践和现有文献主要集中在无风险平仓价值的案例上。定义3.2。设0<Rj<1，j∈ {B，C}，分别为银行和交易对手的回收率。从银行角度表示的收尾条件θτ（V，C，IT C，IF C）定义为（3.8）θτ（V，C，IT C，IF C）：=Vτ+1{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）Vτ- Cτ-+ 如果Cτ--- 1{τB<τC}（1- RB）Vτ- Cτ-- IT Cτ-+.我们以BSDE的形式重述Q下的投资组合动态。

我们设置ZKT：=Pdi=1ξitσi，k（t，St）位，（3.9a）Ujt：=-ξjtPjt-,（3.9b）f（t，V，C，IT C，IF C）：=-h（rf，lt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct+- （rf、bt- rt）Vt（Д）- 计算机断层扫描- IT Ct-（3.9c）+（钢筋混凝土，lt- rt）C+t- （钢筋混凝土、bt- rt）C-t+（rI，lt- rt）IT Ct- rI，btIF Cti。看见https://www.lch.com/risk-collateral-management/ltd-collateral-management/ltd-fees-collateralBSDES在交割条件（3.8）下的XVA 13中，Q下（3.7）中投资组合动态的G-BSDE的形式如下-dVt（Д）=d'At+f（t、V、C、IT C、IF C）- rtVt（Д）dt公司-Pdk=1ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，QtVτ（Д）=θτ（V，C，IT C，IF C），（3.10）表示t≤ τ. 我们在定理3.16中证明了G-BSDE（3.10）存在唯一解（V，Z，U），并且过程V在{τ>t}Vt（ν）=BrtEQ“Z（t，τ）上呈现以下形式∧T]d’AuBru+Zτ∧Ttf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+1{τ≤T}θτ（V，C，IT C，IF C）BrτGt#，（3.11），其中Brt：=expRtrudu公司, t型∈ [0，T]。备注3.3。G-BSDE（3.10）符合xVA当前的市场惯例。破产程序中的监管变化可以通过终端条件（即亏损条件）的变化进行编码，而新的融资政策可以通过适当调整破产人来获取。为了解决（3.10），我们首先必须指定收尾条件下V的选择（3.8）。为此，我们需要以下部分的结果。3.1. F.A金融产品的净价值可在任何两个交易对手之间交易。由于每个代理都有不同的信贷质量和不同的融资成本，这通常意味着单一产品（如10年期欧元掉期）的潜在价值与市场上代理的可能组合数量一样多。经纪人为所有可能的交易对手发布所有可能的市场报价是非常不切实际的。

数据提供商提供的公开可观察市场报价不考虑xVA摩擦，通常由一个称为净价的单一值（更准确地说是出价和出价）给出。我们现在为清洁价格提供无套利估值，与市场报价的当前市场惯例一致。干净的价格是理想的价值流程，在两个达成完美共同交易的代理人之间是可以接受的。然而，完美的抵押不足以产生一个干净的价格：我们还需要明确假设进入交易的两个代理是无违约的。这是必要的，因为即使存在完美的理想抵押品协议，交易对手风险也不会完全消除：当交易对手违约时，她会停止提供抵押品。然而，违约并非自动得到法律承认：通常，破产程序要求在交易结束付款之前的几天（例如10或20天）。这创造了一段时间，交易对手没有正式违约，但没有任何抵押品调整。这段时间被称为风险保证金期。在这段时间内，索赔的价值偏离了抵押品账户的价值，从而产生了信贷风险。因此，为了排除保证金风险期并获得理想的净价格过程，我们考虑了一个具有完美抵押但无违约风险的平行市场模型。一些作者批评了根据清洁价值和调整过程进行价格分解的想法，参见例如Bielecki et al.（2018）。给出了分解不合理的情况，例如：。

通过或有权益，其分割过程以非线性方式取决于完全非线性市场中套期保值者的策略，在该市场中，我们在所有利率中都有出价差，包括资产回购利率（在我们的情况下为零）。然而，市场上的支付交易通常不具有这种非线性效应。此外，公开市场报价不受交易对手信用风险的影响。14 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAAssumption 3.4（清洁市场）。F项下无出价差价的清洁市场定义为：（i）资金账户中无出价差价，即rf、lt=rf、bt=rf；（ii）抵押品账户中无投标价差，即rc、lt=rc、bt=rc；（iii）抵押利率等于实际利率，即rc=r；（iv）没有违约，即τB=τC=∞ 风险债券被排除在市场之外；（v） 没有交换初始保证金；（vi）完善的抵押，即≡ Ct，适用于所有t∈ [0，T]，其中，我们使用^V表示无违约风险的活跃市场中担保对冲策略的价值过程。注意，假设3.4中的（vi）意味着现金账户中的投资组合权重为ψct=-^VtBct，ψft≡ 0，对于所有t∈ [0，T]，意味着头寸完全由抵押计划提供资金，而^V=（^Vt）[0，T]是anF适应的过程。由（3.7）和假设3.4得出的净投资组合价值^V的动态由d^Vt（Д）=dXk=1^ZktdWk，Qt给出- dAt+rt^Vt（Д）dt，其中^Zkt：=dXi=1^ξitσi，k（t，St）。（3.12）插入终端条件^VT=0，我们可以将Q下的^V的F动力学（3.12）重写为经典F-BSDE形式-d^Vt（Д）=dAt- rt^Vt（Д）dt-Pdk=1^ZktdWk，Qt^VT（Д）=0。（3.13）我们现在证明（3.13）的解的存在唯一性。定理3.5。

在A上的假设2.14下，存在唯一的解决方案^V，^Z∈ S（Q）×H2，d（Q）至干净的F-BSDE（3.13）。证据我们注意到，干净的BSDE（3.13）类似于El Karouiet al.（1997）中研究的线性BSDE，其中驱动力是多维布朗运动W1，Q，Wd，Q>.我们可以应用Nie和Rutkowski（2016，定理4.1），通过观察M=WQ，Qt=t，U=A，^V=Y和h（t，Yt，Zt）=-rt^Vt，这明显符合统一的Lipschitz条件。还有条件h（·，0，0）∈ S（Q）非常满意。我们还观察到X=S=diag（S，…，Sd），因此我们有mt=σ（t，St），因此γt=S-1σ（t，St），γ满足椭圆度条件（A.2）。根据定理A.7，我们有^V∈ H（Q）和^V- A.∈ S（Q）。现在，假设2.14允许我们得出结论∈ S（Q）。接下来，我们展示了定理3.5中的过程^V为合同提供了无套利价格，现金流为XVA 15定理3.6中的A.BSDES。让Q~ P是一个等价的概率度量，使得所有过程▄Si，cld，i=1，d、 是局部Q-鞅。允许^V，^Z是（3.13）的唯一解决方案。然后，在A上的假设2.14下，我们有^Vt（ν）：=EQ“BrtZ（t，t）dAuBru英尺#，对于所有t∈ [0，T]。（3.14）证明。证明如下，因为^Z∈ H2，d（Q）根据定理3.5，B是有界的，这要归功于假设2.14。从现在起，我们假设使用c\'adl\'ag版本的^V。备注3.7。在这里，我们通过在现实的理想化市场中复制战略，引入清洁价值的概念。我们的建设性方法符合当前的市场标准和Bichuch等人（2018a）的第三方估值概念。公式（3.14）编码了CSA贴现的思想。由于利率r是风格化的完美抵押协议中抵押物的报酬，我们不需要假设无风险利率的存在。Bichuch等人。

（2018a）通过引入与Q不同的额外估值指标来定义净价值。使用定价指标Q还可以避免在不同指标下估计参数的问题。到目前为止，我们对清洁市场的讨论集中在参考过滤F下规定的股息流程上。正如在Cr'epey（2015b）中强调的那样，这种假设限制性太强，无法涵盖信用衍生品或错误方式风险。尽管如此，我们的目标是关注多个聚合级别和不同的贴现制度，因此我们选择避免涉及浸入假设概述的技术性问题。3.2. 通过G-BSDE进行投资组合估值。现在，我们按照Cr'epey（2015b）的方法讨论G-BSDE（3.10）解的存在性和唯一性。为此，我们使用第3.1节的净值结果和以下假设。假设3.8。我们假设F下的无风险收尾估值，即我们在收尾条件（3.8）下设置Vt=^Vt（Д）。定义3.9。我们定义了以下估值调整：CV At=BrtEQ{τC<τB}（1- RC）Brτ^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--燃气轮机,DV At：=BrtEQ{τB<τC}（1- RB）Brτ^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+燃气轮机,F V At：=BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-布鲁杜Gt#，ColV At：=BrtEQ“Zτt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-乌布鲁杜Gt#，MV At：=BrtEQ“Zτt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBruduGt#。在{τ>t}上，我们定义为：=-CV At+DV At+F V At+ColV At+M V At，（3.15）16 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivaaand set（3.16）XV Aτ=-θτ+^Vτ在{τ上≤ t} ，其中θτ在（3.8）中定义。请注意，定义3.9中的FVA术语具有递归性质，另请参见Piterberg（2010）。曝光量与交易V的全部价值成比例，而不仅仅与清洁价值^V成比例。这意味着数值格式的复杂性很高。

一些从业者的论文，如Burgard和Kjaer（2013），通过对融资策略的特别选择来避免递归性问题，例如称为“无违约差额的半复制”的融资策略。然而，银行通常需要为净价值和价值调整提供资金。因此，在一个全面的数学模型中无法忽略这一特征。示例3.10。如果Ct=0，rf，b=rf，l=rf，rc，b=rc，l=rcandτC=τb=∞. 然后，完整BSDE的驱动程序由（3.17）f（t，V，C，0）给出：=-（rft- rt）（Vt（Д）- Ct）+（rct- rt）Ct, t型∈ [0，T]。在这种情况下，V的积分表示（3.11）的形式为vt（Д）=BrtEQ“Z（t，t）daubur+ZTtf（u，V，C，0）Brudu英尺#，t∈ [0，T]。（3.18）如果我们设置rt=rftdP dt-a.s.然后我们通过（3.17）得到vt（Д）=BrftEQ“Z（t，t）dAuBrfu+ZTt（rfu- rcu）库布杜英尺#，t∈ [0，T]。（3.19）这对应于皮特堡（2010）中的方程式（3）。如果我们设置rt=rctdPdt-a.s.在（3.17）中，我们得到vt（Д）=BrctEQ“Z（t，t）dAuBrcu-ZTt（rfu- rcu）（Vt（Д）- Cu）Brcudu英尺#，t∈ [0，T]，（3.20），对应于皮特堡（2010）中的方程式（5）。根据假设3.8，我们得到V=^V。由于^V是一种适应F的c\'adl\'ag过程，我们从Cr\'epey（2015b，引理2.1）中了解到在F和G之间的假设2.1下，^Vτ=0。对于抵押品过程C，同样的假设成立，我们假设它是清洁值的Lipschitz函数，对于初始保证金I，无论是过账还是收到的。从现在起，我们确定cleanvalue^V、抵押品过程C和初始保证金I及其左极限。我们设置θCt：=（1- 钢筋混凝土）^Vt- Ct+如果Ct-,θBt：=（1- RB）^Vt- 计算机断层扫描- IT Ct+,（3.21）定义3.11。

我们将[0，T]上的以下F-BSDE称为预设xVA BSDE，T中的终端条件为空：-dXV At=(R)f（^Vt- XV At）dt-Pdk=1'ZktdWk，QtXV=0，（3.22），其中'f（^Vt- XV At）：=-f（t，^V- XV A、C、IT C、IF C）- （rt+λC，Qt+λB，Qt）XV At- λC，QtθCt+λB，QtθBt，（3.23）XVA 17的BSDE对于θB，θCde定义如（3.21）和λj，Qt=rft- λj，Pu- rjt，t∈ [0，T]，j∈ {B，C}。现在我们讨论（3.22）解的存在性和唯一性。在下面，我们使用格式t的下标来表示从t到t的进程路径的依赖性。首先，我们观察到驱动因素（3.23）也取决于初始裕度。我们设置（3.24）Iis：=ρs（^Vs:T- XV组件：T）s∈ [t，t]，i∈ {T C，F C}，其中XV At:T：=（XV As）s∈ 【t，t】是确定违约前价值调整的过程，且^Vt:t：=（^Vs）s∈ [t，t]是假定为S（Q）中给定的外生过程的净价值，这两个值都是在合同到期之前进行评估的，因为它们用于衡量潜在的未来风险敞口。对于每个∈ [0.T]，ρT=ρ（ω，T；x），是一个风险度量。为了简单起见，我们假设bothi的ρ相同∈ {T C，F C}。这一假设很容易推广。我们还假设以下假设3.12。（i） 对于任意X，Y∈ S（Q），过程（ρt（Xt:t-Yt:T））T∈ [0，T]在H2,1（Q）中。存在一个常数Cρ>0和一系列测度（νs）s∈ R上的[0，T]，使得νT（[T；T]）=1，对于每T∈ [0，T]和，对于任何x，y，y∈ S（Q），我们有（3.25）ρt（xt:t- yt:T）- ρt（xt:Y- yt:T）≤ CρEZTt | ys- ys |νt（ds）英尺, dt公司 dP a.e.（ii）我们假设f满足假设a.8，y=^V- XV Ai，z=C，λ=ρi，fori=1，2。引理3.13。

Let（十五爱，子）∈ S（Q）×H2，d（Q），i=1，2，F-BSDE（3.22）的be溶液，含FI（t，^V- XV Ai，C，ρi）满足假设3.12，对于i=1，2。此外，定义δXV A：=XV A- XV A，δZ：=Z- Z、 δf：=f（^V- 十五A）- f（^V- XV A），Δρ：=ρs（^Vs:T- XV组件：T）- ρs（^Vs:T- XV As:T），对于任何s∈ [t，t]。然后，存在一个常数c>0，使得对于u>0，我们有对于β大的enoughδXV AkSβ，T≤ ceβTE|δξ|+ukδfkH2，dβ，T+CfkδρkH2，dβ，T,（3.26）kδZkH2，dβ，T≤ ceβTE|δξ|+ukδfkH2，dβ，T+Cf | |ΔρkH2，dβ，T,（3.27）式中，kδXV AkSβ，Tand kδZkH2，dβ，皮重分别在（2.23）和（2.21）中定义。证据首先，我们观察到fi（^V-XV Ai），i=1，2，在（3.23）中给出，由三个术语组成。Firstone是（3.9c）中给出的完整G-BSDE驱动因素f，用抵押品C表示，抵押品C是定义的净价值的aLipschitz函数，以及（过账/收到的）初始保证金I，其isLipschitz为（3.24）和（3.25）。第二项取决于短速率r和跳跃强度λB，Q，λC，Q，它们以定义为界。最后一项依赖于（3.21）中的收尾条件θB，θCgiven，这是Lipschitz函数，遵循与前面相同的参数。因此，驱动因素满足假设A.8。

此外，我们观察到，对于任何（XV A，Z），（XV A，Z）∈18 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAS（Q）×H2，d（Q），我们有| f（V- 十五A）- f（^V- 十五A）|≤ |f（^V- 十五A）- f（^V- XV A）|+| f（^V- 十五A）- f（^V- 十五A）|≤ |f（s，^V- XV A，C，ρ（^Vs:T- XV组件：T））- f（s，^V- XV A，C，ρ（^Vs:T- XV As:T））|+|（rs+λC，Qs+λB，Qs）（XV A- XV A）|+|δf|≤ （“Cf+”Cs）|δXV A|+\'\'Cf|ρ（^Vs:T- XV组件：T）- ρ（^Vs:T- XV组件：T）|+|Δρ|+ |δf |其中，由于假设A.8，最后一个不等式成立，加上和减去ρ（^Vs:T-XV As:T）并选择合适的常数Cs≥ rs+λC，Qs+λB，Qs。结果如下：在终端条件ξ=0的情况下，应用Cr'epey等人（2020，引理3.1）证明中提供的论点。提案3.14。在假设2.14、A.8和3.12下，F-BSDE（3.22）是适定的，并且有唯一的解决方案（XV A、Z）∈ S（Q）×H2，d（Q）。证据通过使用估计（3.26）和（3.27），证明类似于Cr'epey et al.（2020，定理3.1）中的证明。现在，给定（3.22）的解的唯一性，我们得到以下结果。提案3.15。允许XV A，Z是预默认XVA-BSDE（3.22）的唯一解决方案。定义：=XV AtJt+1{τ≤t} θτ，t∈ [0, τ ∧ T]，（3.28），其中Jt：=1{T<τ}=1- Htandθt：=-θt+^Vt，t∈ [0，T]。然后，在假设2.14和3.12下十、 \'\'Z，▄U求解{τ>t}上的G-BSDE-dXt=-hf（t，^V- XV A、C、IT C、IF C）+rtXV Atidt-Pdk=1？ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，QtXτ=^Vτ（Д）- θτ（^V，C，IT C，IF C）,（3.29）式中，Uj，j∈ {B，C}，是H2，2λ（Q）中的G-适应过程，因此xj∈{B，C}UjtdMj，Qt=-（θt- XV At）dJt+λC，Qt(-θCt- XV At）dt+λB，Qt（θBt- XV At）dt.（3.30）尤其是，Xt=XV At，t∈ [0，T]，其中定义3.9中引入了XV A。证据