采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

我们从（3.28）开始，应用乘积规则，hencedXt=d十五AtJt+ d{τ<T}τ= dXV At∧τ+XV AtdJt- θtdJt。通过（3.22），我们得到dxt=hf（t，^V- XV A，C，IT C，IF C）+（rt+λC，Qt+λB，Qt）XV At+λC，QtθCt- λB，QtθBtidt+dXi=1'Zkt{t<τ}dWk，Qt-θt- 十五在dJt。我们注意到，过程Pdi=1R·'Zku{u<τ}dWk，Quis a（G，Q）-鞅，因为由于浸入假设，Z在H2，d（Q）中。根据Cr'epey et al.（2014）中的引理5.2.9，我们推断该过程以不同的形式表达-（θt- XV At）dJt+λC，Qt(-θCt- XV At）dt+λB，Qt（θBt- XV At）dt（3.31）也是（G，Q）-局部鞅。此外，我们观察到∈ S（Q），也称为C∈ S（Q），C是^V的Lipschitz函数。此外，根据假设，初始保证金（无论是过账还是收到的）为H（Q）。总之，θ带θC和θ都属于空间H（Q）。另一方面，XV A∈ S（Q）。回顾λC，qa和λB，qa都有界，因此补偿跳跃项（3.31）是一个平方可积鞅。因为可预测的representationproperty对于Wj，Q，Mj，Q，j在G中成立∈ {B，C}，在测度Q下，我们得到存在▄UB，▄UC∈ H2,2λ（Q）满足（3.30）。我们得出结论，流程XV A解决了过滤G下的xVA BSDE（3.29）。我们最终可以将干净值的BSDE（3.22）的解与命题3.15的结果相结合，以求解G-BSDE（3.10）。定理3.16。设Vt：=^Vt- XV At，t∈ [0，T]，在{τ>T}上，其中^V和XV A分别在（3.14）和（3.15）中定义。然后，在假设2.14和3.12下，三元组（V，Z，U）∈S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q）求解V=^V的G-BSDE（3.10），其中Z和U由Zkt=^Zkt给出-Zkt，k=1，d、 （3.32）Ujt=-Ujt，j∈ {B，C}。（3.33）此外，过程V满足（3.11）。证据

根据假设2.1，在{t<τ}上，我们有^Vt（ν）=BrtEQ“Z（t，t）]dauburFt#=BrtEQ“Z（t，t）dauburGt#。所以我们考虑G下的^V。我们还观察到，在{t<τ}上，我们有'At=At。利用（3.13）和（3.29），我们在{t<τ}上写出了V的动力学-dVt=d’At+hf（t，^V- XV A、C、IT C、IF C）dt- rt公司^Vt- 十五在idt公司-dXk=1^Zkt-ZktdWk，Qt-Xj公司∈{B，C}-UjtdMj，qt，终端条件为τVτ=^Vτ- XV Aτ=^Vτ-θτ-^Vτ= θτ.因为Z=^Z-Z∈ H2、d（Q）和U=-U∈ H2,2λ（Q），根据定理3.5和命题3.15，我们得出（V，Z，U）解G-BSDE（3.10）并满足所需的可积条件。最后，我们现在能够证明（3.11）等同于（3.10）。这里我们假设只在{τ>t}上工作。因为Vt=^V- XV A由于定义3.9，我们有Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--Brτ20弗朗西斯卡·比亚吉尼、亚历山德罗·格诺阿托和伊玛科拉塔·奥利瓦-1{τB<τC}（1- RB）^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+Brτ-Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-布鲁杜-Zτt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-乌布鲁杜-Zτt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBruduGt#。通过（3.9c），我们得到Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Vτ（Д）- Cτ-+ 如果Cτ--Brτ-1{τB<τC}（1- RB）^Vτ（Д）- Cτ-- IT Cτ-+Brτ+Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu燃气轮机.假设3.8和（2.8）确保Vt（Д）=^Vt（Д）+BrtEQ“Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+θτ（^V（Д），C，IT C，IF C）-^Vτ（Д）BrτGt#。现在，我们应用（3.14）、塔的性质和假设2.1，使得vt（ν）=BrtEQ“Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+1{τ≤T}θτ（^V（Д），C，IT C，IF C）BrτGt#+BrtEQ“Z（t，t）Daubur-Z（t，t）dAuBrτGt#。最后，通过（2.8），我们得到vt（ν）=BrtEQ“Z（t，t]d'AuBru+Zτtf（u，V，C，IT C，IF C）Brudu+θτ（^V（ν），C，IT C，IF C）BrτGt#。我们现在提供了过滤F下价值调整的明确公式。

从计算角度来看，这种表示法特别有用：风险因素可以在较小的过滤F下模拟，价值调整的计算不需要模拟默认时间。这是提案3.14的直接后果。推论3.17。允许XV A，Z是F（3.22）下预默认xVA BSDE的唯一解决方案。确定流程▄r=（▄rt）t∈[0，T]通过设置▄r：=r+λC，Q+λB，Q。在假设2.14和3.12下，随机过程XV A允许以下表示。XV At=-CV At+DV At+F V At+ColV At+M V At，（3.34），其中CV At：=BrtEQ(1 - RC）ZTtB▄ru^Vu（Д）- 铜+如果铜-λC，Qudu英尺,XVA 21DV在：=BrtEQ时的BSDE(1 - RB）ZTtB▄ru^Vu（Д）- 铜- IT Cu+λB，Qudu英尺,F V At：=BrtEQ“ZTt（rf，lu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu+- （rf，bu- ru）Vu（^1）- 铜- IT Cu-BruduFt#，ColV At：=BrtEQ“ZTt（rc，lu- ru）C+u- （rc，bu- ru）C-uBruduFt#，MV At：=BrtEQ“ZTt（rI，lu- ru）IT Cu- rI，buIF CuBrudu英尺#。文献中对FVA和DVA之间可能存在的重叠问题进行了激烈的辩论，参见Hull and White（2012）、Andersen et al.（2019）、Brigo et al.（2019）以及其中的参考文献。然而，这个问题是由于会计不一致导致的，会计不一致不会影响定价方程。我们仅限于提及Brigo等人（2019年）对该问题的合理处理，他们的解决方案可以嵌入到我们的框架中，而代价是进一步标注。3.3. xVA CSA一致性问题。我们在此为《美国证券交易法》贴现实践提供了一个无套利的框架，即使用特定于未定权益的贴现制度的实践。在第3.1节中，我们假设净价值是指理想化的完全抵押交易，其中抵押利率仅为r。实际情况更为复杂。

计算清洁价格所采用的市场实践涉及多种贴现曲线。当前市场实践中可能出现的例子有：o银行可以通过银行特定的融资曲线和相关的短期利率rf（这可能对应于属于Libor小组的银行的Libor利率）对完全无抵押衍生工具的（净）价值进行贴现，参见例如Piterberg（2010）。o以外币为抵押的衍生工具的（净）价值在市场上以基于跨货币基础的利率进行贴现，参见Ingnotto和Seiffert（2020）的公式和推导。人们很自然会问，为什么银行会对净价值采用许多贴现制度，以及最重要的xVA修正。主要原因纯粹是务实和非数学的：从交易台的角度来看，通过不同的贴现制度来处理CSA是很方便的，因为这允许通过传统的交易台技术来处理投资组合市场风险，如曲线交易（即在曲线上不同的桶/期限上购买/出售利率掉期）。Hedging在实践中对积分（如FVA术语）的期望要复杂得多。一种可能的近似处理方法是将时间积分离散化，并将得到的黎曼-萨姆韦时间作为一个索赔组合处理。鉴于上述困难，市场运营商倾向于获得附加价格表示，其中贴现曲线用于降低（融资相关）xVA条款的幅度，这更难对冲。从现在起，我们假设该银行有两个内部办公桌，分别称为前台和xVA办公桌。前台负责计算清洁价值，并负责对冲清洁价值市场风险所需的交易活动。

xVA服务台负责计算和对冲所有价值调整，并根据银行内部规则，被迫对每笔交易采用前台规定的净价值。xVAdesk是一个干净的价值接受者，这意味着在计算xVAs时需要小心，以避免重复计算的影响。22 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivatha xVA交易台必须处理同一笔交易的两个不同的净价值。一方面，它通过F-BSDE（3.13）计算净价值来执行无套利定价。另一方面，它必须使用前台功能规定的清洁值，该值构成银行内部接受的官方清洁值。然后，xVA部门面临以下挑战：问题3.18（xVA CSA一致性问题）。根据清洁值和xVA对V进行价格分解，以便（i）V的表示与G-BSDE（3.10）一致，以及（ii）清洁价格对应于front-o-ce函数规定的价格。现在，我们使用第3节的结果提供问题3.18的解决方案。备注3.19。为了提供一个具体的例子，请考虑以下情况：银行交易台与两个不同的交易对手进行了两次完全抵押的交易，第一个交易对手是LCH等清算所，另一个交易对手是asEurex等其他清算所。尽管这两项交易的索赔股息流程相同，但与Eurex的交易和与LCH的交易所提供的抵押报酬是不同的。EUREX和LCH之间的共同薪酬差价称为EUREX LCH基础，更多详细讨论请参见Mackenzie Smith（2017）。

这将导致通过不同贴现率计算两个净价值。综上所述，根据特定交易抵押品利率对现金流进行贴现的市场实践简化了以下内容：在银行内部，一笔交易将至少根据两种不同的制度进行贴现。最初，前台通过理想市场抵押品利率贴现现金流来确定净价值。因此，前台净价值P=（Pt）t∈ [0，T]从F-BSDE获取-d^Pt=-Pdk=1^Z*,ktdWk，Qt+dAt- ^r^Ptdt，^PT=0。（3.35）在另一侧，xVA桌面首先计算清洁值^V=（^Vt）t∈ [0，T]作为脱离BSDE（3.13）的解，即通过解（3.36）-d^Vt=-Pdk=1^ZktdWk，Qt+dAt- rt^Vtdt，^VT=0。从估值角度来看，如果净价值代表实际交易的价格，那么不同贴现规则的存在将立即意味着市场上存在微不足道的套利机会。只有（3.36）中的内生价格^V与第3节的无套利设置兼容。另一方面，xVA部门被迫提供前台实施的折扣制度方面的结果。这两种方法可以结合在一个无套利的设置中，通过线性盲分离节点的以下不变性。引理3.20。设（^V，^Z，…，^Zd）为F-BSDE（3.36）的唯一解。根据A的假设3.4，价值过程^V允许两个等效表示si）xVA贴现表示^Vt=BrtEQ“Z（t，t）dAtBruFt#，（3.37）XVA的BSDE 23ii）CSA贴现表示（3.38）Vt=Pt- DiscV At，其中DiscV At表示贴现估值调整，定义为（3.39）DiscV At：=B^rtEQ“ZTt（ru- ^r）^VuB^ruduFt#，且^P是溶液中的值过程（^P，^Z*,1.^Z*,d） F-BSDE（3.35）（3.40）^Pt=B^rtEQ“Z（t，t）dAtB^ru英尺#。证据

积分表示（3.37）是直接的。为了获得（3.38），我们重写了F-BSDE（3.36）加上和减去项^r^Vt，即。，-d^Vt=-Pdk=1^ZktdWk，Qt+dAt- （rt- ^rt）^Vtdt- ^rt^Vtdt^VT=0。解的取值过程由^Vt=B^rtEQ“Z（t，t）dAtB^ru给出英尺#- B^rtEQ“ZTt（ru- ^ru）^VuB^ruduFt#，其中我们将第一个期望值视为^P，而第二个期望值提供DiscV A。Q下V动力学的G-BSDE可写为-dVt（Д）=d'At+f（t、V、C、IT C、IF C）- rtVt（Д）dt公司-Pdk=1ZktdWk，Qt-Pj公司∈ {B，C}UjtdMj，Qt，Vτ（ν）=θτ^V，C，I,（3.41）对于t≤ τ、 如（2.8）中定义，则为Zt=Zt，Zdt公司, 和Ut=UBt，UCt, 表示G-可预测过程给出的控制过程，f（t，V，C，IT C，IF C）是（3.9c）给出的G-BSDE驱动程序。收尾条件为vτ（Д）=^Pτ+1{τC<τB}（1- 钢筋混凝土）^Pτ- Cτ-+ 如果Cτ-- DiscV Aτ-- 1{τB<τC}（1- RB）^Pτ- Cτ-- IT Cτ-- DiscV Aτ+.（3.42）通过使用定理3.16给出的相同参数并考虑定义3.9，我们借助引理3.20得到以下结果。提案3.21。在假设3.4和3.12下，G-BSDE（3.41）允许唯一解（V、Z、U）∈ S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q），其中vt（Д）=B^rtEQ“Z（t，t）涂抹英尺#- XV At=^Pt-\\XV At，（3.43）对于t<τ，其中XV A：=XV A+DiscV A，（3.44）24 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAwithXV At：=F V At+ColV At+M V At- CV At+DV At=F V At+ColV At+M V At- BrtEQ公司{τ<T}{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- Cτ-+ 如果Cτ-- DiscV Aτ-燃气轮机+ BrtEQ公司{τ<T}{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- Cτ-+ IT Cτ-- DiscV Aτ+燃气轮机（3.45）和Discv At：=B^rtEQ“ZTt（ru- ^ru）^VuB^ruduFt#，其中FVA、ColVA、MVA根据定义3.9定义。证据（3.41）解的存在性和唯一性遵循第3节的规定。

CSA贴现对衍生工具风险敞口的影响表现为CCA中存在^P和（3.45）中的DVA条款。此外，分解（3.45）显示了分别在r或^r下的投资组合中的敞口比例。3.4. xVA多重聚合级别。在本节中，我们为银行的全球投资组合提供了一个G-BSDE，该投资组合由多个子交易组合汇总而成。当前的市场实践表明，银行与交易对手之间的交易集通常可以分为几个子类，反映出多个聚合级别。可以区分融资/保证金集和净额结算集。保证金（或融资）集合M是一组索赔，其累计净价值（风险）全部或部分由CSA（抵押品协议）覆盖。我们用NM表示投资组合a中保证金的数量。净额结算集N是一组保证金集，其保证金后敞口可以聚合。我们用NN表示投资组合a.CounterpartyNettingSet 1e中的净额结算集数量。g、 a FirstSubsidaryNettingset 2e。g、 第二个辅助保证金集合2美元抵押交易保证金集合1未治愈交易保证金集合3欧元抵押交易保证金集合每月Margin调用。新EURMargin设置每日追加保证金通知。图1：。聚合级别的可能层次结构。XVA 25的BSDE示例3.22。资金/保证金集在银行和共享相同资金政策的交易对手之间进行交易。这对应于不同的CSA：例如，一个CSA（保证金集2）可以将抵押品以美元交换的所有交易分组（例如。

而另一个CSA（保证金集3）可能与所有以欧元为抵押的工具相关。最后，未抵押但风险敞口相互抵消的交易也可以分组在单独的保证金/资金集中，对应于图1中的保证金集1。然而，抵押协议提供的保护可能并不完善，因此银行与交易对手之间的法律协议可能允许对不同保证金组合产生的剩余抵押后风险敞口进行净额结算。这与图1中的净额结算集1相对应。多个聚合级别的另一个典型来源是法律协议的历史分层：在图1中，我们有第二个净额结算集，对应于母交易对手的第二个子公司，其中传统交易由涉及每月追加保证金的旧CSA协议涵盖，然而，在某一日期之后进行的所有交易都包含在涉及每日保证金催缴的较新CSA协议中。备注3.23。当母公司和子公司有不同的违约时间时，可能会出现更高的复杂性：这在建模关闭条件时会带来更多的复杂性，因为可能会出现子公司违约由母公司承担的情况。这些问题留给未来研究。从实际角度来看，很难找到违约概率的校准工具，因为子公司通常不享有流动的CDS市场。我们假设银行与交易对手之间的交易组合A由K笔交易组成，我们通过各自的支付流程确定，即A=A.AK公司. 我们再次使用^vm表示权利要求Am，m=1。K、 在使用抵押品之前也代表其信用风险敞口。对于每个索赔Am∈ A、 m=1。

. . K、 我们假设初始保证金和变动保证金的保证金集包括在内。投资组合的结构如图1所示，其中第一行将所有保证金集的组成描述为债权组，第二行将净额结算集描述为保证金组。因此，A={A，…，AN}{z}M∪ {AN+1，…，AN}{z}M∪ . . . ∪ {ANNM-1+1, . . . , ANNM}{z}MNM={M，…，MM}{z}N∪ {MM+1，…，MM}|{z}N∪ . . . ∪ {MMNM-1+1, . . . , MMNM}{z}NNN（3.46），其中NNM=K。我们现在使用第3.1节的结果，为（3.46）中第m个净额结算集级别的投资组合提供G-BSDE。不同保证金集合的存在通过引入不同的抵押账户来表示。多个净额结算集通过对所有净额结算集的价值调整求和来计算，每个净额结算集可能具有多个保证金集。为此，我们对所涉及的过程采用多索引表示法。特别是，wedenote by\'Am，m，mtt投资组合A中属于第m个净额设定水平和第m个保证金设定水平的第m个未定权益。相同的符号适用于控制过程Zk、m、mt和Uj、m、mt，对于k=1，d和j∈ {B，C}。因此，与26个FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAm th netting set相对应的价值过程VMT，m=1，NN，满足以下第m个净额结算集水平BSDE-dVmt（Д）=| Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1d'Am，m，mt+hft、 Vm，（CMm，Nm）m=1|Nm |，，（IMm，Nm）m=1|纳米|- rtVmt（Д）idt-|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1dXk=1Zk，m，mtdWk，Qt-|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1Xj∈ {B，C}Uj，m，mtdMj，Qt，（3.47）对于m=1，NN。通过应用定理3.21，我们得到以下命题3.24。