采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

存在唯一的解决方案（Vm、Zm、m、Um、m）∈ S（Q）×H2，d（Q）×H2,2λ（Q）至G-BSDE（3.47），收尾条件Vmτ=θmτ=| Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ+ 1τC<τB（1- 钢筋混凝土）|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ- CMm，Nmτ-- IT C，Mm，Nmτ--- 1τB<τC（1- RB）|Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1^Pm，m，mτ- DiscV Am，m，mτ- CMm，Nmτ-- 如果C，Mm，Nmτ-+.（3.48）备注3.25。很容易看出，由K项索赔组成的投资组合的价值VK（Д）由（3.49）VKt（Д）=KXm=1^Pmt给出-\\十五AKt，t≤ τ，其中每个Pm，m=1，K、 满足形式（3.35）的BSDE，而（3.50）XV AKt：=XV AKt+NNXm=1 | Nm | Xm=1 | Mm | Xm=1 discv Am，m，mt，和（3.51）XV AKt：=F V AKt+ColV AKt+m V AKt- CV AKt+DV AKt，用于t≤ τ. 我们进一步观察到，每个XV-AKin（3.51）的形式为PNNM=1XV Am，其中XV表示G-BSDE（3.47）解决方案中出现的估值调整。3.5. 增量xVA费用。G-BSDE（3.47）包含两个层次的复杂性。首先是存在几个子投资组合，我们已经在上面讨论过了。其次，利率中存在的买入价差，加上FVA条款的递归性质，意味着K笔交易组合的XVA与单个K笔交易的XVA之和并不一致。这决定了xVA估价中的非线性影响，如下所述。现在让我们假设交易对手希望与该银行进行进一步（K+1）交易。如果输入，新引入的第（K+1）项索赔将增加银行与交易对手之间投资组合的全球风险。考虑到已经存在的XVA 27索赔的KBSDE，很自然会问银行对新引入的第（K+1）项索赔应该收取多少费用。

当前的市场实践涉及计算xVA增量费用，其中比较了两种不同的情况。（i） 基本情景：投资组合的价值由VK（Д）给出，如公式（3.49）所示。这与包含候选新交易之前的投资组合价值相对应。（ii）完整情景：投资组合的价值由VK+1（Д）给出，根据公式（3.49）计算。这对应于包含候选（K+1）项或有权益后的投资组合价值。银行将向交易对手收取的价格确定为完整情景下的投资组合价值与增量价值给出的基本情景下的投资组合价值之间的差异VK+1t（Д）：=VK+1t（Д）- VKt（Д）。（3.52）我们可以通过考虑VK+1t（Д）=VK+1t（Д）- VKt（Д）=K+1Xm=1^Pmt-\\XV AK+1吨-KXm=1^Pmt+\\XV AKt=^PK+1t-XV AK+1吨- 十五AKt- DiscV AK+1t=^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1t，（3.53）用于t≤ τ、 其中，在最后一步中，我们隐式定义了xVA增量费用（3.54）XV At：=XV AK+1t- XV AKtas考虑到投资组合中已经存在的K索赔，对第（K+1）项索赔进行的调整。我们获得了定义为非线性的非线性效应VK+1:= VK+1t（^1）- VK+1t（Д），t≤ τ，（3.55），其中VK+1是仅由第（K+1）个索赔和VK+1t（Д）是（3.52）中定义的增量费用。事实上，非线性效应与递增xVA电荷和仅与第（K+1）项权利要求相关的xVA的差异一致VK+1= VK+1t（^1）- VK+1t（^1）=^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1吨-^PK+1t- 十五在- DiscV AK+1吨= 十五在- 第十五条。（3.56）在目前的情况下，或有债权的净价值仍然是线性的，因此投资组合的净价值仍然对应于单个债权的净价值之和，但一般而言十五在-XV At6=0。

第（K+1）项权利要求的独立xVA高于XV A.此外，NLtVK+1= 只有在没有投资组合/净额结算影响时才为0。4、示例和数值说明我们通过使用单个风险资产的对数正态模型给出一个示例来结束本文。在前面章节的设置和假设下，我们考虑单个风险资产S=（St）t∈[0，T]以κ=（κT）T的利率支付股息∈ [0，T]，股息过程Dt=RtκsSsds，T∈[0，T]。28 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAUnder鞅测度Q风险资产根据St=St演化（rrt- κt）dt+σtdWQt,（4.1）式中，rr=（rrt）t∈[0，T]是与资产S相关的回购利率。我们现在考虑一个简单的或有目标，即资产S上的远期。索赔a的股息过程=（At）T∈[0，T]，由at=1{T=T}（ST）给出- K） ，Ka正常数为（4.2）。我们记得，净价值^V满足（3.13）表示在完美抵押方案的假设下，索赔的有效价值过程，该方案可消除对方风险，见假设3.4。根据定理3.6，远期无套利价格为^Vt（Д）=EQ“BrtZ（t，t]dAuBruFt#=BrtEQ装货单- KBrT公司英尺.（4.3）假设银行与交易对手签订远期合约，没有任何抵押品协议，也没有任何以前的交易：没有变动交换或初始保证金，这意味着C=IT C=IF C=0，dQ dt-a.s。

此类交易的风险敞口将由银行内部财务部门提供资金，因此，根据银行的内部规则，前台部门决定通过综合无担保贴现曲线对现金流进行贴现，相关短期利率过程rf=（rft）t∈[0，T]通过rf=rf，l+rf，b定义。因此，从银行角度来看，官方清洁价格为^Pt=EQ“BftZ（T，T）dAuBfuFt#=BftEQ“ST- KBfT公司英尺#。（4.4）根据银行的内部政策，xVA交易台被迫采用（4.4）作为交易的官方净价。然而，使用命题3.21可以计算出一致的价格，该价格由Vt（Д）=Vt（Д）=^Pt给出- 十五在- DiscV At，其中xv At=-CV At+DV At+F V At=-BrtEQ公司{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- DiscV Aτ-燃气轮机,+ BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- DiscV Aτ+燃气轮机,+ BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#，（4.5），而贴现调整为ISCV：=BftEQ“ZTt（ru- rfu）^VuBfudu英尺#。（4.6）XVA 29的BSDE（4.5）求解的G-BSDE如下所示：-dXV At=-hf（t，^V- XV A，0，0）+rtXV Atidt-Pdk=1？ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，Qt，XV Aτ=^Vτ（Д）- θτ（^V，0，0）。（4.7）我们观察到非线性效应NLt（V）=0当然是零，因为银行和交易对手之间的投资组合由单个或有债权组成。假设交易对手对第二种产品感兴趣，例如。

风险资产S的第二个远期合约，到期日为T，方向相反，因此at=1{T=T}（K- ST）。（4.8）根据前面的推理，从xVA桌面和前台的角度来看，清洁值分别为^Vt（Д）=BrtEQK- STRBRT公司英尺,^Pt=BrtEQ“K- STBfT公司英尺#。（4.9）考虑到投资组合中存在第一个远期合约，投资组合的全部价值，现在包括第二个索赔，isVt（Д）=^Pt+^Pt- 十五在- DiscV在- DiscV At，其中xv At=-CV At+DV At+F V At=-BrtEQ公司{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ+^Pτ- DiscV Aτ- DiscV Aτ-燃气轮机,+ BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ+^Pτ- DiscV Aτ- DiscV Aτ+燃气轮机,+ BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#、（4.10）和DiscV Ais由DiscV给出：=BftEQ“ZTt（ru- rfu）^VuBfudu英尺#。G-BSDE的解决方案-dXV At=-hf（t，^V- XV A，0，0）+rtXV Atidt-Pdk=1？ZktdWk，Qt-Pj公司∈{B，C}UjtdMj，QtXV Aτ=^Vτ（Д）+^Vτ（Д）- θτ（^V+^V，0，0）（4.11）由（4.5）给出。鉴于投资组合中存在第一项索赔，第二项索赔的xVA费用为XV A=30 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAXV A- XV A，而非线性效应由nlt（V）=XV At+BrtEQ给出{τC<τB}（1- RC）Brτ^Pτ- DiscV Aτ-燃气轮机,- BrtEQ公司{τB<τC}（1- RB）Brτ^Pτ- DiscV Aτ+燃气轮机,- BrtEQ“Zτt（rf，lu- ru）Vu（^1）+- （rf，bu- ru）Vu（^1）-布鲁杜Gt#。（4.12）注意，在（4.12）中出现的最后一个FVA术语中，我们有V，即仅涉及第二个索赔的组合：第（4.12）中的所有预期代表第二个或有索赔的独立xVA更正。在（4.10）中，我们观察到V的存在，即第一个和第二个索赔的组合。

通过观察^Pt+^Pt，可以看出净值效应在降低价值调整的总体影响方面的作用- （DiscV At+DiscV At）=BftEQ“BfT英尺#- BftEQ公司ZTt（ru- rfu）BruBfuEQ快速公交傅杜邦英尺!（K）- K） =Br（t，t）（K- K） ，（4.13）式中，Br（t，t）表示到期日为t、短期利率为r的零息票债券的时间t价格。这表明两个远期合约的组合风险敞口明显独立于资产的波动性。我们最后强调，给定一个允许估计条件预期V演变的数字方案，例如，回归估计器在蒙特卡罗模拟的情况下，xVA桌面可以立即估计DiscVA，因此实施时只需要进行r贴现方面的模拟。4.1. 数字插图。最后，我们给出了两个数值例子。第一部分旨在为上一部分的最后一项主张提供证据，即DiscVA的估算是一项可行的任务。我们假设风险资产按照（4.1）演变。为了简单起见，我们假设所有参数都是常数，我们设置rr=r=0.01，κ=0，σ=0.25，S=100。根据上一节，我们考虑了1000个S单位的远期合同（4.2），履约K=80，T=1。对于这样一个简单的索赔，我们可以计算价格，而无需借助模拟。特别是，XVA部门根据（4.3）计算价格，即通过假设抵押率为r的完美抵押获得的价格^V=20795.22欧元。然而，索赔是完全无抵押的，因此前台函数采用无担保贴现率rf=0.05进行估值，Hencec根据（4.4）计算价格包。前端价格为P=19980.62欧元。

正如我们已经看到的，前台价格与xVA交易台的整个投资组合估值不一致，但是xVA交易台可以通过计算（4.6）中的DiscV Aas来解决一致性问题。在这个非常简单的例子中，DiscV Acan可以用闭合形式计算，我们有DiscV A=-814.70.然而，请注意，在更一般的情况下，可以通过蒙特卡罗方法（通常用于xVA模拟）在无额外成本的情况下进行DiscV A的计算。我们示例的源代码可在https://github.com/AlessandroGnoatto/BiaginiEtAlExamplesBSDES在XVA 31中，我们提出的第二个实验旨在展示XVA计算中投资组合效应的相关性。同样，一个简单的例子将有助于提供足够的直觉。为了说明这个问题，我们简化了处理方法，假设在所有估值中都有一个唯一的无风险利率r。我们再次考虑银行像以前一样在股票S上交易两个远期合约。我们再次假设T=1，并设置K=S=100。我们假设远期合约是在1000个股票单位上写的，只有交易对手可以违约。综上所述，整个xVA调整仅由TCVA提供。我们假设交易对手的风险率λC为常数，Q=0.04，回收率rc=0.4。我们考虑的基本情况是，上述远期在银行和交易对手之间的投资组合中唯一存在。使用我们为之前的数值测试开发的相同蒙特卡罗框架，我们再次模拟底层S的路径。之后，我们对正向的暴露进行横向模拟，然后对所有路径的时间和平均值进行数值积分。该程序根据推论3.17，对过滤F下的CVAUN进行蒙特卡罗估计。

我们获得了CV A=148.17欧元的估计值。现在让我们介绍上面提到的第二个正向，其中我们再次假设T=T=1，并设置K=90。我们还假设第二次转发写在相同数量的股票上，即1000股。我们观察到，由于不同的打击，第二前锋并没有完美地设置第一前锋。我们首先假设第二个远期是投资组合中的唯一债权，因此获得了309.22欧元的独立CVA估计值，因此两个远期的CVA之和（忽略投资组合影响）为457.49欧元。该值明显高估了银行与交易对手之间的未偿信贷风险。在上述相同假设条件下，通过蒙特卡罗模拟，我们计算了投资组合范围内的CVA，即CV a，并得出估算值CV a=232.69欧元。我们观察到，增量CVA，CV A=84.52欧元。最后，通过N L（V）=232.69估计（3.55）的非线性- 84.52=148.17欧元。我们提出的例子非常清楚地表明了组合效应的相关性：如果xVA桌面忽略组合效应，则xVA费用将为457.49欧元。通过对xVAcharge应用增量方法，当第二个远期包括在投资组合中时，只需额外支付84.52欧元。这是因为这两个信贷风险部分相互补偿。在图2中，我们进一步展示了投资组合效应。我们计算了所考虑远期信用敞口正负部分的蒙特卡罗样本平均值：这些数量通常被称为预期负（或正）敞口。此外，我们还计算了曝光的95%分位数。红线对应于第一前锋的K点，绿线对应于第二前锋的K点。

最后，两个远期组合产生的投资组合用蓝线表示。我们可以清楚地观察到，结合这两种说法在减少暴露方面有好处：特别是我们观察到95%的分位数是恒定的。附录A.BSDE的存在性和唯一性在本节中，我们回顾了一些关于BSDE存在性和唯一性的结果。我们的主要参考文献是Nie和Rutkowski（2016），这反过来又扩展了Carbone et al.（2008）和Agarwal et al.（2018）的结果。让M=MMd公司>是过滤概率空间上的d维实值连续平方可积鞅(Ohm, F、 F，Q），其中假设过滤满足通常的32 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO，和IMMACOLATA Oliva1预期的负性暴露ene1 ENE2 ENEptf0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Time-17000-16000-15000-14000-13000-12000-11000-10000-9000-8000-7000-6000-5000-4000-3000-2000-10000预期的正性暴露epe1 EPE2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1time010002000400060000008000001100095未来暴露PFE1 PFE2 PFEptf0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10000-5000050001000150002000025000300003500040004500050000图2。两个远期组合的预期正面和负面敞口以及潜在的未来敞口。红线和绿线分别表示第一个和第二个远期，而蓝线表示包含两个债权的投资组合。我们假设（F，Q）-鞅的可预测表示性质对于M成立。我们使用hMi表示M的二次变化。假设A.1（Nie和Rutkowski（2016）假设3.1）。

存在一个Rd×d值过程m和一个F适应的、连续的、有界的、递增的过程Q，Q=0，这样，对于所有t∈ [0，T]，hMit=Ztmum>udQu。（A.1）如果M=W是一维标准布朗运动，则Qt=t，而M对应于单位矩阵。接下来，我们通过以下假设A.2介绍BSDE的驱动因素（Nie和Rutkowski（2016）假设3.2）。设h：Ohm ×【0，T】×R×Rd7→ R bean F B（[0，T]） B（R） B（Rd）-可测函数，使得h（·，·，y，z）是任何固定（y，z）的F适应过程∈ R×Rd.从金融应用的角度来看，感兴趣的BSDE是向前向后SDE（FBSDE）。继Nie和Rutkowski（2016）之后，我们引入了一个通用（正向）因子矩阵值过程，给出了XVA 33byXt的SDES：=Xt0。00 Xt。0.........0 0 . . . Xdt公司, t型∈ [0，T]，其中辅助过程Xi，i=1，d、 假设为F自适应。这些过程代表市场风险因素或交易资产。我们假设假设A.2的函数h可以写成h（ω，t，y，z）=g（ω，t，y，Xtz），因为g满足假设A.2。定义A.3（Nie和Rutkowski（2016）定义4.1）。我们说，如果存在常数∧>0且dxi=1，则Rd×d值过程γ满足椭圆度条件γtγ>tIjaij公司≥ ∧kak（A.2）表示所有A∈ RDT和t∈ [0，T]。假设A.4（Nie和Rutkowski（2016）假设4.2）。（A.1）中的Rd×d值F-适应过程m由mtm>t=Xtγtγ>tX>t给出，其中γ=[γ]ij是满足椭圆条件（A.2）的F-适应过程的d维方阵。在下文中，我们回顾了Nie和Rutkowski（2016）的一些定义。定义A.5。