采用CSA贴现和初始保证金的xVA统一方法

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英文标题：
《A unified approach to xVA with CSA discounting and initial margin》
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作者：
Francesca Biagini and Alessandro Gnoatto and Immacolata Oliva
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In this paper we extend the existing literature on xVA along three directions. First, we enhance current BSDE-based xVA frameworks to include initial margin in presence of defaults. Next, we solve the consistency problem that arises when the front-office desk of the bank uses trade-specific discount curves (CSA discounting) which differ from the discount rate adopted by the xVA desk. Finally, we clarify the impact of aggregation of several sub-portfolios of trades on the xVA-valuation of the resulting global portfolio and study related non-linearity effects.
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中文摘要：
在本文中，我们沿着三个方向扩展了关于xVA的现有文献。首先，我们增强了当前基于BSDE的xVA框架，以包括违约情况下的初始保证金。接下来，我们解决了当银行前台使用与xVA前台采用的贴现率不同的特定交易贴现曲线（CSA贴现）时出现的一致性问题。最后，我们阐明了几个交易子投资组合的合并对最终全球投资组合的xVA估值的影响，并研究了相关的非线性效应。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_unified_approach_to_xVA_with_CSA_discounting_and_initial_margin.pdf (848.54 KB)

2022-6-24 00:26:53 上传

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关键词：初始保证金 保证金 XVA CSA Quantitative

采用CSA贴现和初始保证金基础设施SCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA OLIVAMarch 4的XVA统一方法，2021年摘要。在本文中，我们沿着三个方向扩展了关于xVA的现有文献。首先，我们加强了当前基于BSDE的xVA框架，以在出现违约时包括初始保证金。接下来，我们解决了当银行前台使用不同于xVA前台采用的贴现率的交易规格贴现曲线（CSA贴现）时出现的一致性问题。最后，我们阐明了几个交易子投资组合的合并对最终全球投资组合的xVA估值的影响，并研究了相关的非线性效应。1、引言由于2007-2009年金融危机，学者和从业者正在从几个方面重新审视金融产品的估值。特别是，产品的价值应考虑交易中涉及的任何代理人违约的可能性。巴塞尔协议III/IV和Emir等金融法规也在推动方法学的发展。所有这些问题都通过引入价值调整（xVA）在估值方程层面上表示，价值调整是在没有上述摩擦的情况下计算的理想参考价格的进一步加上或减去，以获得交易的最终价值。在本文中，我们的目标是提供一个统一而全面的框架，用于使用xVA对交易对手风险进行定价，并通过使用BSDEs技术在差异描述的市场中评估融资成本。然后，我们考虑了xVA定价方程和CSA折扣方程之间的一致性问题，这一问题源于市场标准工具的报价机制，并利用线性bsde的不变性来解决。

此外，我们将我们的方法扩展到包括全球投资组合的定价，该投资组合可能由多个索赔子集组成，并研究xVA费用增量带来的非线性效应。为了更好地说明我们的贡献，我们首先简要回顾了有关xVA的文献。由于对xVA的研究非常广泛，我们的概述还远远不够详尽。杜菲和黄（1996）对这一主题的第一个贡献。在2007-2009年金融危机之前，Brigo andMasetti（2005）和Cherubini（2005）的著作首次分析了信用估值调整（CVA）的概念。Brigoet al.（2011）和Brigo et al.（2014）对交易双方违约的可能性进行了调查，其中包括债务估值调整（DVA）的引入。除了违约风险问题外，从业者和学者关注的另一个重要来源是资金成本。在金融危机期间和之后，出现了一系列平行的文献，对估值方程进行概括，以说明抵押协议的存在等特征。在BlackScholes经济中，Piterberg（2010）提供了存在或不存在2010年数学科目分类的估值公式。91G30、91B24、91B70。JEL分类E43，G12。关键词和短语。CVA、DVA、FVA、CollVA、xVA、EPE、Basel III、抵押品、初始保证金。2 FRANCESCA BIAGINI、ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Oliva协议。Piterbarg（2012）概括了多货币经济中的问题，另见Fujii et al.（2010）、Fujii et al.（2011）和Gnoatto and Sei ffert（2020）。在信贷支持附件（CSA）的几种备选假设下，融资估值调整（FVA）源自Allavicini等人。

（2011），而Brigo和Pallavicini（2014）也讨论了中央交易对手在融资成本方面的作用。Bielecki和Rutkowski（2015）提供了半鞅环境下融资问题的一般方法。融资和违约风险都需要在一个独特的定价框架中加以统一。Brigo et al.（2018）通过所谓的贴现方法对此做出了贡献。在一系列论文中，Burgard和Kjaer概括了经典的Black-Scholes复制方法，包括许多影响，参见Burgard和Kjaer（2011b）和Burgard和Kjaer（2013）。Cr'epey（2015a）、Cr'epey（2015b）、Bichuch等人（2018a）和Bichuchet等人（2018b）提供了一种更通用的BSDE方法。Brigo等人（2018）证明了贴现和基于BSDE的复制方法之间的等效性。xVA的重要性体现在该主题的专著数量不断增加，见。g、 Brigo等人（2013年）。Cr'epey等人（2014年）提供了一种基于BSDE的先进治疗方法。Green（2015）、Lichters et al.（2015）和Sokol（2014）对如何构建交易对手风险模拟的大型混合模型进行了详细分析，而Gregory（2015）则对该主题的大部分方面进行了介绍。本文沿着以下方向对xVA文献作出贡献：在理论方面，我们统一处理了不同作者以综合方法分别处理的xVA的不同方面；另一方面，我们对当前市场实践中xVA计算和管理中出现的实际问题进行了严格的数学处理。更准确地说，我们在Diffusions描述的市场中提出了一个使用BSDEs技术的xVA框架。

我们的BSDE是在逐步扩大的过滤条件下引入的，具体到arandom时间范围，由交易对手的违约时间、银行的违约时间和合同到期之间的最小值确定。为了简单起见，我们首先讨论了BSDE对于包含未定权益的投资组合的适定性。我们的方法综合了现有文献的一些贡献。首先，我们在BSDE驱动因素asin Agarwal et al.（2018）中包含初始利润，但我们通过包含默认值来扩展其设置。此外，我们考虑了不同的贴现规则，而没有像Bichuch et al.（2018a）那样采用衡量变化的方法。最后，我们按照Cr'epey（2015a）、Cr'epey（2015b）和Bielecki and Rutkowski（2015）的思路，考虑与参考过滤F相关的违约前BSDE，提供了一个净价值和调整过程方面的价格分解。关于贴现规则，目前公认的是，交易活动是由不同的流动性来源提供资金的。更准确地说，不同融资曲线的存在导致了xVA定价方程与所谓的CSA贴现规则之间的一致性问题。后者源于市场标准工具的报价机制。此类工具的报价是基于其完全抵押的假设。由于完全抵押的交易由抵押品提供者提供资金，因此用于评估市场工具的贴现率由抵押品利率给出，抵押品利率通常与隔夜利率相对应。抵押品利率存在多种假设，这意味着报价与不同的贴现率共存，通常与xva定价BSDE规定的贴现率不一致。

我们工作的另一个贡献在于，通过依赖线性盲源数据集的不变性，解决了一致性问题。这是通过引入XVA 3价值调整条款的进一步BSDES实现的，称为贴现价值调整（DiscVA），表示与前台正式接受的价格调整相比的净价格调整。此外，交易对手可能与其他实体有经济关联，母子公司关系或专用子投资组合的存在就是一个典型的例子。这种情况导致产生的全球投资组合具有多层层次结构，这也考虑到上述各金融实体实施的可能不同的融资政策。我们研究了这种层状结构对定价方程公式的影响。在现实情况下，银行和缔约方之间的全球头寸组合通常是多个债权子集的集合，其结构由两个代理之间生效的法律协议决定。我们允许存在多个保证金交换协议（保证金集）和多个净额结算集。我们将我们的xVA框架调整为聚合级别的任意配置，同时保持基础BSDE的适配性。最后，我们提出了拟议xVA框架下新潜在交易的增量xVA费用：考虑到价值调整计算中存在投资组合效应，并且考虑到现有的K个交易组合，新潜在（K+1）交易的xVA费用计算为两个投资组合的xVA差异。更准确地说，这对应于扩展投资组合（包括（K+1）交易）的xVA与基本投资组合K交易的xVA费用之间的差异。

通过这种方式，我们能够描述整个投资组合估值的非线性。Burgard和Kjaer（2013年）、Castagna（2013年）、Castagna（2014年）对交易现金流量增量对债务资产负债表的影响进行了讨论。鉴于我们关注贴现和聚合水平，本文中我们不讨论资本估值调整（KVA）。最近的论文如Albanese和Cr'epey（2017）、Albanese et al.（2016）和Albanese et al.（2017）对该问题进行了论述，另见Andersen et al.（2019）中正在进行的讨论。这超出了本论文的范围，留待将来研究。本文的组织结构如下。在第2节中，我们用数学术语形式化了与xVA框架相关的主要财务概念。第3节首先描述了仅考虑一笔交易时，与xVA评估相关的结果，将分析扩展到CSA贴现。此外，我们还研究了当投资组合包含多个合同时的xVA框架，并研究了非线性所起的作用。第4节提供了一个示例和一些数值结果，说明了第3节的结果。在附录A中，我们从用于得出主要结果的文献中收集了一些结果。2、财务设置确定时间范围T<∞ 用于交易活动。我们考虑两个代理人，分别是银行（B）和交易对手（C）。除非另有说明，在本文中，我们假设银行的视角，并将银行称为套期保值者。所有过程都在概率空间上建模(Ohm, G、 P）。LetWP公司=WPt公司t型∈ [0，T]是上的d维布朗运动(Ohm, G、 P）与相关的自然过滤。我们分别用τB表示。根据τC，银行违约时间，分别为。

交易对手和byHjt的：=1{τj≤t} ，j∈ {B，C}，关联的跳转进程。默认时间τBandτCare假设为指数分布的随机变量，与时间相关的强度Γjt=Ztλj，Psds，j∈ {B，C}，t∈ [0，T]，4 FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO和IMMACOLATA Olivawwhereλjare非负有界F-适应过程。设Hj=（Hjt）t∈ [0，T]，j∈ {B，C}，分别是HB和HC的自然过滤。在上(Ohm, G、 P）我们认为过滤G=F∨ H、 所有过滤都需要满足完整性和正确连续性的通常假设。在本论文中，我们将广泛使用所谓的浸入假设。假设2.1。任何局部（F，P）-鞅都是局部（G，P）-鞅。注意，根据假设2.1，wp也是G-布朗运动。通过Bielecki和Rutkowski（2004，推论5.2.4），我们得到了关于toW，MB，MC的可预测表示性质在G中成立，其中mjt：=Hjt-Zt公司∧τjλjudu，t∈ [0.T]，对于j∈ {B，C}。从现在起，我们设置（2.1）τ：=τB∧ τC∧ T、 2.1。基本交易资产。我们现在介绍市场模型。对于d≥ 1，我们用Si表示，i=1，d风险资产的除息价格（即价格）以及相关的累积除息过程Di。所有Siare均假设为c\'adl\'ag F-半鞅，而累积dividendstreams是有限变化的F-适应过程，Di=0。我们考虑以下系数函数：u：R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd，B研发部,σ :R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd×d，BRd×d,κ :R+×Rd，BR+×Rd7.→Rd+，B研发部+,（2.2）假设满足标准条件，确保布朗运动WP驱动的SDE强解的存在唯一性。矩阵过程σ在任何时刻都是可逆的。我们假设dSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWPtS=s∈ [0，T]上的Rd（2.3）。请注意，我们并不是假设这些过程是积极的。

股息过程通过（2.4）（Dt，…，Ddt）>=Ztκ（u，Su）du，t指定∈ [0，T]，对于（2.2）中给出的κ，rt |κ（u，Su）| du<∞ P-a.s.与第i项资产相关的累计股息价格由（2.5）Si给出，cldt：=Sit+BitZ（0，t）dDiuBiu，i=1，…d，t∈ [0，T]。我们假设存在一个指数现金账户族（Bx）x∈ 一、 其中随机过程rx：=（rxt）t≥0是有界的，且F适用于所有x∈ 一、 指数集I体现了交易对手为缓解交易对手信用风险而建立的协议类型。我们稍后将详细说明上述指数的特征。XVA 5所有现金账户的BSDE，在时间0时具有单一值，假设为严格正的连续过程，其形式为：x x t=xZtrxsds, t型∈ [0，T]。（2.6）我们引入了两种期限为T？≤ T和收益率'rj+λj，j∈ {B，C}，由银行和交易对手分别发行，动态CSDPJT=\'rjt+λjtPjtdt- Pjt公司-dHjt，j∈ {B，C}。（2.7）金融合同的支付流由一个适应F的c\'adl\'ag的收入分配过程a=（At）t表示∈ [0，T]，如Cr'epey（2015b）中所述。我们使用符号At：=At- 在-对于跳转A.为了包括违约事件的存在，我们定义了流程A=“”在t型∈ [0，T]通过设置（2.8）(R)At：=1{T<τ}At+1{T≥τ}Aτ-.注意Aτ-表示违约前的最后一笔付款，另见Brigo和Morini（2018）。2.2. 回购交易和抵押。根据现有文献，我们假设风险资产的交易活动是抵押的。这意味着与风险证券相关的借贷活动通过证券借贷或回购市场进行融资，见Bichuch et al.（2018a）。由于回购市场上的交易由风险资产进行抵押，回购利率低于无担保融资利率。

正如Cr'epey（2015a）所述，假设所有资产都通过回购市场进行交易并不具有限制性。如果交易完全抵押，则转换为以下等式ξitSit+ψitBit=0，i=1，d、 t型∈ [0，T]，（2.9），其中B，B是与风险资产相关的现金账户，Sd。值得注意的是ξIt，i=1，d、 可以是正的，也可以是负的。这里ξit>0意味着我们处于多头头寸，必须通过抵押融资。另一方面，ξit<0意味着第i项资产被做空，因此全部抵押品都存放在无风险资产中。条件（2.9）在排除不同现金账户之间的琐碎套利机会方面起着重要作用。在银行内部，交易台向财政部借贷资金。借贷利率允许不同，因此我们用rf、b、rf、L表示交易台分别向财资部门借贷的利率。在与（2.6）相同的符号中，我们引入相关的现金账户Bf，b，Bf，l。这意味着如果交易台的头寸为负，即ψf=ψf，b<0，则交易台以rf，b的利率向财资台借款。相反，如果交易台的头寸为正，即ψf=ψf，l>0，则交易台以rf的报酬向财资台借钱，l、 由于不允许同时从国库部门借贷，我们将（2.10）ψf，ltψf，bt=0∈ [0，T]。就金融合同而言，抵押是一种利用保证金将交易对手违约造成的损失降至最低的方法。