融资融券定价之谜的两种解决方案

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英文标题：
《Two Resolutions of the Margin Loan Pricing Puzzle》
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作者：
Alex Garivaltis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper supplies two possible resolutions of Fortune\'s (2000) margin-loan pricing puzzle. Fortune (2000) noted that the margin loan interest rates charged by stock brokers are very high in relation to the actual (low) credit risk and the cost of funds. If we live in the Black-Scholes world, the brokers are presumably making arbitrage profits by shorting dynamically precise amounts of their clients\' portfolios. First, we extend Fortune\'s (2000) application of Merton\'s (1974) no-arbitrage approach to allow for brokers that can only revise their hedges finitely many times during the term of the loan. We show that extremely small differences in the revision frequency can easily explain the observed variation in margin loan pricing. In fact, four additional revisions per three-day period serve to explain all of the currently observed heterogeneity. Second, we study monopolistic (or oligopolistic) margin loan pricing by brokers whose clients are continuous-time Kelly gamblers. The broker solves a general stochastic control problem that yields simple and pleasant formulas for the optimal interest rate and the net interest margin. If the author owned a brokerage, he would charge an interest rate of $(r+\\nu)/2-\\sigma^2/4$, where $r$ is the cost of funds, $\\nu$ is the compound-annual growth rate of the S&P 500 index, and $\\sigma$ is the volatility.
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中文摘要：
本文给出了《财富》（2000）保证金贷款定价之谜的两种可能的解决方案。《财富》（2000）指出，相对于实际（低）信用风险和资金成本，股票经纪人收取的保证金贷款利率非常高。如果我们生活在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的世界里，那么经纪人大概是通过动态做空客户投资组合的精确金额来赚取套利利润的。首先，我们扩展了《财富》（2000）对默顿（1974）无套利方法的应用，以允许经纪人在贷款期限内只能有限地多次修改对冲。我们发现，修订频率的微小差异可以很容易地解释保证金贷款定价中观察到的变化。事实上，每三天进行四次额外修订可以解释目前观察到的所有异质性。其次，我们研究了客户为连续时间凯利赌徒的经纪人的垄断（或寡头）保证金贷款定价。经纪人解决了一个一般的随机控制问题，该问题产生了简单而令人愉快的最优利率和净息差公式。如果作者拥有一家经纪公司，他将收取$（r+\\nu）/2-\\sigma^2/4美元的利率，其中$r$是资金成本，$\\nu$是标准普尔500指数的复合年增长率，而$\\sigma$是波动率。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：解决方案 融资融券 Quantitative Applications Contribution

保证金贷款难题的两个解决方案Alex Garivatis*2019年6月5日摘要本文提供了《财富》（Fortune）（2000）marginloan定价难题的两种可能解决方案。《财富》（2000）指出，与实际（低）信贷风险和资金成本相比，股票经纪人设定的保证金贷款利率非常高。如果我们生活在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的世界，那么经纪人大概是通过做空客户投资组合的动态精确金额来进行套利的。首先，我们扩展了《财富》（2000）对默顿（1974）无套利方法的应用，以允许经纪人在贷款期限内只能多次修改对冲。我们发现，修订频率的微小差异可以很容易地解释观察到的保证金贷款定价变化。事实上，每三天进行四次额外的修订可以解释目前观察到的所有异质性。其次，我们研究了客户为连续时间凯利赌徒的经纪人的垄断（或寡头）保证金贷款定价。经纪人解决了一个一般的随机控制问题，该问题产生了关于最优利率和净利率的简单而愉快的公式。如果作者拥有一家经纪公司，他将收取（r+ν）/2的利率- σ/4，其中r是资金成本，ν是标准普尔500指数的复合年增长率，σ是波动率。关键词：保证金贷款、套利定价、超级对冲、利差、连续时间Kelly规则JEL分类：C44、D42、D43、D53、D81、E43、G11、G13、G24*北伊利诺伊大学经济学助理教授（514 Zulauf Hall，DeKalb IL60115）。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.

ORCID:0000-0003-0944-8517.1简介任何使用大量保证金债务的人都清楚地知道，美国的股票经纪人在向客户收取此类贷款的利率方面存在很大差异。除了这种异质性，《财富》（2000）还指出了一个令人费解的事实，即相对于实际（低）信用风险和资金成本而言，保证金率非常高。首先，美国法律将此类EBT的初始贷款价值比限制在50%。另一方面，使用保证金债务的美国经纪客户（总体上）将持有流动性很强的高质量抵押品（如市场投资组合）。即使市场波动导致一些账户出现负资产，实际上客户通常会通过向账户存入额外资金来响应追加保证金要求。这类贷款的融资存在一个有组织的市场，这一事实突显了经纪人的低风险。截至本文撰写之日（2018年9月），“经纪利率”为r=3.75%，仅比5年期国债收益率高出86个基点。不仅信用风险较低，而且经纪人当然也拥有对冲部分或全部风险的资金，尽管这是以较低的预期收益为代价的。在布莱克-斯科尔斯（1973）的世界里，假设客户的投资组合遵循几何布朗运动，经纪人可以通过做空客户持有的精确、持续的预期金额来消除风险。delta对冲的成本将侵蚀净息差，但经纪人将得到无风险利润的保证，无需使用任何自有资本。

《财富》（Fortune）（2000）表明，即使假设股票波动率很高，波动率也很高，默顿（1974）的无套利分析也无法使观察到的保证金率合理化。在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的世界里，如果经纪人能够持续监控客户的运动投资组合的偿付能力，那么无套利公理意味着保证金的价格必须等于资金成本。由于连续的样本路径，不存在违约风险，因为经纪人可以在账户权益等于零（或其他阈值）时立即清算账户。例如，互动经纪人（提供最低可用保证金率）的行为就是这样。因此，只有当投资组合在某些固定贷款期限T内不受监控时，风险溢价R>才会存在。除了主要恐慌之外，实际违约风险来自隔夜或周末持有的杠杆投资组合。因此，T的合理值不应超过三个日历日。第2节将《财富》（2000）的分析扩展到模型经纪人，这些经纪人只能在贷款期限内多次修改其对冲。与精确的连续对冲不同，现在假设经纪人在N个离散的时间点在“填充”二项式晶格上对其负债进行超级对冲（或超级复制）。该框架适应了非常普遍的价格动态，如总回报S（t+t） /S（t）可以任何方式分配到【d，u】。Bensaid、Lesne、Pages和Scheinkman（1992）定义的超级对冲是一种交易策略，加上初始存款，保证所有可能的市场行为都不会亏损。或有权益的超级对冲成本（或超级对冲价格）是可能产生现金流的最低货币存款（加上一些特殊的交易策略），这些现金流支配着衍生品的支付。

在我们的特殊问题中，asN增加了，经纪人能够降低保证金贷款的利率，同时仍然能够保证没有损失。作为N→ ∞, 经纪人的空头头寸收敛于布莱克-斯科尔斯指定的空头头寸(-对冲）策略，经纪人的保证金率收敛于《财富》（2000）研究的利率。我们表明，对于贷款期限ofT=3天的情况，最低成本经纪人的唯一区别在于，它能够将其空头头寸再修改四次。15和19次修订之间的差异足以解释美国投资经纪公司之间观察到的所有异质性。第3节研究了客户为连续时间凯利赌徒的经纪人的最优行为（Luenberger 1998）。与Markowitz（1952）的均值方差投资理论不同，Kelly（1956）的赌徒避开了相切投资组合（夏普比率最大），以换取具有最大预期连续复合（对数）增长率的渐近主导交易策略。众所周知（Breiman 1961），从长期来看，随着概率接近1，Kelly规则在指数因子上优于任何“本质上不同”的策略。使用杠杆的凯利赌徒将始终保持一定的（固定的）贷款价值比，该比率取决于可用投资机会的质量。由于某一经纪公司的凯利赌徒将几乎100%持有财富，因此他们还将在该限额内欠下所有保证金债务的100%。因此，我们假设凯利赌徒的经纪人在长期、无限期互动的背景下充当垄断商超额贷款。

经纪人解决了一个一般的随机控制问题，该问题产生了简单而令人愉快的最优利率和净息差公式。2套利定价我们从描述福琼（2000）的无套利方法开始，这是默顿（1974）的直接应用。假设客户以t=0借入D美元，为S购买一股股票提供资金。初始账户股本isE=S- D、 假设股票价格Sti遵循几何布朗运动St/St=udt+σdWt，（1）其中u是漂移，σ是波动率，wt是单位布朗运动。假设无风险利率（“经纪人买入利率”）为r，经纪人每年按r的连续复合利率收取利息。在时间t，客户的股本为Et=St- 德特。如果持续监控该账户的偿付能力，那么经纪人可以在Et=0时立即清算该账户。因此，在持续监控下，没有套利因素规定R=R。为了合理化保证金率R>R，我们必须假设经纪人在未来某个时间T之前不会检查偿付能力。如果ET≥ 0，则DeRTdollars的债务将全额偿还。否则，客户将放弃该账户，留下抵押品价值为ST的经纪人。假设经纪人在货币市场上以无风险利率借入初始D美元，经纪人的最终利润（损失）为πt=min（ST，DeRT）- 德特。（2） 利用max（x，y）+min（x，y）=x+y的事实，并重新排列，我们得到πT=ST+DeRT- 德尔特- 最大值（ST，DeRT）=ST- 德尔特- 最大值（ST- DeRT，0）。（3） 因此，客户实际上将其初始股权交换为认购一股股票，执行价格为K=DeRT。

为了排除套利机会，对于风险中性度量，πTat t=0的预期现值必须为零：E=S- D=C（S，0；DeRT），（4），其中C是在T到期的欧洲看涨期权的时间-0价格，执行价格K=DeRT。因此，没有任何套利规定了合理的要求，即初始交换（认购前的股权）在精算上是公平的。《财富》（2000）指出，观察图1：不同保证金率下偿付能力检查之间的隐含时间。r=0.035，σ=0.4，S=100，D=50。（观察到的保证金利率是从2018年5月开始的）保证金债务的利率远高于无套利因素可能决定的利率。然而，他没有具体说明研究中使用的特定视界T。如图1所示，为了使不同经纪人在2018年（5月）制定的当前保证金率合理化，我们必须接受长达三年的期限。实际上，这些经纪人每周甚至每天都会检查偿付能力。我们使用了样本值r=0.035，σ=0.4，S=100，D=50。请注意，D/S=50%的初始贷款价值比是美国法律允许的最大值。2.1“填充式”二项格上的超级套期保值如果我们生活在Black-Scholes（1973）世界，那么我们必须得出以下结论：（1）零售经纪人正在对保证金贷款进行大规模套利，或者（2）这些经纪人在发出保证金通知之前等待数月或数年。这两种解释都不太令人满意。事实上，这种情况对经纪人来说甚至比模型所暗示的更有利，因为许多客户会存入额外的资金，而不是放弃破产账户。

当然，在美国，违约保证金债务会导致不利的法律诉讼和负面的信用报告。然而，我们将在下文中展示，经纪人对冲风险的能力似乎存在微小差异，这可能会导致他们可以安全收取的保证金率出现巨大差异。为了说明这些影响，我们考虑了股票动力学的“填充”二项式晶格模型。我们假设代理将区间[0，T]细分为长度为的子区间t=各t/N。我们以标准方式将二项式晶格参数su，d与几何布朗运动相匹配（Luenberger 1998）：letu=eσ√与通常的二项式{u，d}晶格不同，我们将允许价格相对S（t+t） /S（t）取d和u之间的任何值。除了S（t+t） /秒（t）∈ [d，u]，我们不会对价格过程St进行额外的假设。例如，S（t+t） /S（t）在区间[d，u]上具有均匀分布（或任何其他分布）。继Ritchken和Kuo（1988）之后，这种填充镶嵌物的看涨期权的无套利价格不能超过Cox Ross Rubinstein（1979）的价格nxj=0新泽西州qj（1- q） N个-jmax（SujdN-j- K） ，（5）其中K是履约价格，q是风险中性概率。使用该上限，经纪人套利利润（损失）在t=0时的现值至少为- D-NXj=0新泽西州qj（1- q） N个-jmax（Su2j-N- DeRT，0），（6）图2：在不同保证金率下保证无损失所需的修订次数。r=0.035，σ=0.4，T=3/365，S=100，D=50。其中q=（ert型- d） /（u- d） 是上升的风险中性概率。作为N→ ∞,这个数字（Cox和Rubinstein 1985）收敛到S- D- C（S，0；K），其中C（S，0；K）是Black-Scholes（1973）的价格。

具有在[0，T]上进行N次修正能力的经纪人可以收取的最高合理价格R由以下等式表征- D=NXj=0新泽西州qj（1- q） N个-jmax（Su2j-N- DeRT，0）。（7） 对于每种可能的利率R>R，让N（R）是经纪人能够保证套利收益的最小修正数。图2绘制了N（R），R=0.035，σ=0.4，t=3/365，S=100，D=50。请注意，对于三天的保证金贷款，经纪人能够修改其（超级）对冲的频率的微小变化将导致经纪人可以适当收取的保证金利率的巨大差异。三天内的四次额外修订足以解释一个经纪人收取4%的费用与另一个经纪人收取8%或9%的费用以保证没有损失之间的差异。再次重申，我们发现每三天进行四次额外修订，以解释目前观察到的保证金贷款定价的所有异质性。3向Kelly Gamblers提供保证金贷款3.1即时需求我们以n只相关股票参与一般股票市场i∈ {1，…，n}在几何布朗运动中，股票i的价格位置根据Sit/Sit=uidt+σidWit演变。（8） ui和σi分别是库存i和W1t……的漂移和波动性。。。，Wntarecorelated unit布朗运动。我们假设ρij=Corr（dWit，dWjt），σij=ρijσiσj=Cov（dSit/Sit，dSjt/Sjt）/dt。∑=[σij]n×nis单位时间瞬时收益的协方差矩阵。Rl是经纪人对保证金贷款收取的利率，r是资金成本（货币市场利率）。我们假设经纪人的唯一客户是Kelly（1956）赌徒，他遵循一个持续的再平衡规则b=（b，…，bn）∈ 注册护士。这意味着，在每一个时刻t，交易者都将其财富的一部分押在股票i上。我们让Vt（b）表示交易者在t上的财富。

IfnPi=1bi≥ 1，则交易员已获得保证金贷款nPi=1bi- 1.Vt（b）美元。IfnPi=1bi≤ 1，则交易员有现金存款1.-nPi=1biVt（b）美元。如果BI<0，那么交易者在股票i中有空头头寸。赌徒必须继续平衡他的投资组合，以保持目标配置b。在瞬间t，他持有股票i的SBIVT（b）/SITShards。因此，客户的财富遵循几何布朗运动DVT（b）/Vt（b）=nXi=1biui- 最大值nXi=1bi- 1, 0rL+最大值1.-nXi=1bi，0rdt+nXi=1biσidWit。（9） 请注意，没有违约风险，因为几何布朗运动总是正的。在t借入的钱在t+t时会得到利息偿还，然后交易者再次借入。设B=nPi=1biandu=（u，…，un），我们得到简明表达式Vt/Vt=αdt+nXi=1biσidWit，（10），其中α=uB- （B）- 1） +rL+（1- B） +r是赌徒财富的漂移，x+，max（x，0）表示x的正部分。将其^o引理应用于几个扩散过程（Wilmott 2001），我们得到vt=V·exp(α - b∑b/2）t+nXi=1biσiWit. （11） 交易者的渐近增长率为→∞对数（Vt/V）/t=极限→∞α - b∑b/2+tnXi=1biσiWit= α - b∑b/2。（12） 定义1。凯利规则（或增长最优再平衡规则）isb*= arg最大值∈Rn{α（b）- b∑b/2}。（13） 最大渐近增长率称为Kelly增长率。提案1。增长率Γ（b）=α（b）- b∑b/2在Rn上是凹的。证据因为∑是正半定义，所以术语ub- b∑b/2为凹形。因此，必须表明（1- B） +r- （B）-1） +RLI是B中的凹面，因为线性变换B=nPi=1B将保持凹面。为了实现这一点，我们加上和减去（1- B） +RL获取（1- B） +（r- rL）+[（1- （B）+- （B）- 1） +]rL=（1- B） +（r- rL）+（1- B） rL。